#Kalman filter
一个线性时不变系统如下：
x
k
+
1
=
A
x
k
+
B
u
k
+
w
k
y
k
=
C
x
k
+
v
k
x_{k+1} = Ax_k+Bu_k+w_k\\ y_k = Cx_k+v_k
xk+1=Axk+Buk+wkyk=Cxk+vk
其中，
w
k
w_k
wk是process noise,
w
k
∈
R
n
w_k\in\mathbb{R}^n
wk∈Rn,
w
k
∼
N
(
0
,
Q
)
w_k\sim \mathcal{N}(0, Q)
wk∼N(0,Q),
v
k
v_k
vk是mearsurement ,
v
k
∼
R
m
v_k\sim\mathbb{R}^{m}
vk∼Rm
v
k
∈
N
(
0
,
R
)
v_k\in\mathcal{N}(0,R)
vk∈N(0,R),
A
,
B
,
C
A,B,C
A,B,C分别为系统参数，
x
k
+
1
x_{k+1}
xk+1代表
k
+
1
k+1
k+1 时刻状态变量的值，
y
k
y_k
yk表示
k
k
k 时刻测量值。
卡尔曼滤波器的状态由以下两个变量表示：
$\hat x_{k|k} $，在时刻k的状态的估计；
P k ∣ k {\textbf {P}}_{k|k} Pk∣k，后验估计误差协方差矩阵，度量估计值的精确程度。
卡尔曼滤波器的操作包括两个阶段：预测与更新。在预测阶段，滤波器使用上一状态的估计，做出对当前状态的估计。在更新阶段，滤波器利用对当前状态的观测值优化在预测阶段获得的预测值，以获得一个更精确的新估计值。
首先定义几个接下来需要用的的变量。
P
k
∣
k
=
c
o
v
(
x
k
−
x
^
k
∣
k
)
{\textbf {P}}_{k|k} = cov(x_k-\hat x_{k|k})
Pk∣k=cov(xk−x^k∣k)
P
k
∣
k
=
c
o
v
(
x
k
−
x
^
k
∣
k
−
1
)
{\textbf {P}}_{k|k} = cov(x_k-\hat x_{k|k-1})
Pk∣k=cov(xk−x^k∣k−1)
S
k
=
c
o
v
(
y
k
−
C
x
^
k
∣
k
−
1
)
{\textbf {S}}_{k} = cov(y_{k}-C\hat x_{k|k-1})
Sk=cov(yk−Cx^k∣k−1)
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