湖南省常德市示范中学2022年高三二诊模拟考试数学试卷含解析

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知等边△ABC内接于圆：x2+ y2=1，且P是圆τ上一点，则PA(PBPC)的最大值是（ ） A．2

B．1

C．3

D．2

2．已知三棱锥PABC中，ABC是等边三角形，AB43,PAPC25,PABC，则三棱锥PABC的外接球的表面积为（ ） A．25

B．75

C．80

D．100

3．已知a，b满足a23，b3，ab6,则a在b上的投影为（ ） A．2

B．1

C．3

D．2

4．已知函数f(x)sin(x)(0,||在区间(A．12

2)，xπ为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)44

43,)上单调，则的最大值是（ ）

B．11

C．10

D．9

5．已知x，yR，则“xy”是“A．充分而不必要条件 C．充分必要条件

x1”的（ ） yB．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知数列an的通项公式为an2n2，将这个数列中的项摆放成如图所示的数阵.记bn为数阵从左至右的n列，

n2n从上到下的行共n个数的和，则数列的前2020项和为（ ） bn

101020192020 C． D．

2021202020215log3|x1|7．下列四个图象可能是函数y图象的是（ ）

x1A．

B．

1011 2020A． B． C．

D．

8．设m、n是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则m的一个充分条件是（ ） A．且m B．m//n且n

C．且m// D．mn且n//

9．在ABC中，内角A的平分线交BC边于点D，AB4，AC8，BD2，则ABD的面积是（ ） A．162 B．15 C．3

D．83 10．已知复数z满足1iz2i，则z（ ）

B．1

2A．2

C．

2 2D．

1 211．已知命题p:x2m1,q:x5x60，且p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为（ ） A．m1 2B．m1 2C．m1 D．m1

12．以下两个图表是2019年初的4个月我国四大城市的居民消费价格指数（上一年同月100）变化图表，则以下说法错误的是（ ）

（注：图表一每个城市的条形图从左到右依次是1、2、3、4月份；图表二每个月份的条形图从左到右四个城市依次是

北京、天津、上海、重庆）

A．3月份四个城市之间的居民消费价格指数与其它月份相比增长幅度较为平均 B．4月份仅有三个城市居民消费价格指数超过102

C．四个月的数据显示北京市的居民消费价格指数增长幅度波动较小 D．仅有天津市从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．某中学举行了一次消防知识竞赛，将参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，记图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五组，已知第二组的频数是80，则成绩在区间[80,100]的学生人数是__________．

3xy2014．若实数x，y满足约束条件xy20，则zx2y的最大值为________.

x4y4015．已知数列an是各项均为正数的等比数列，若a3a25，则a48a2的最小值为________.

x2y216．已知双曲线2-2=1(a>0，b>0)与抛物线y2=8x有一个共同的焦点F，两曲线的一个交点为P，若|FP|=5，则点

abF到双曲线的渐近线的距离为_____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

y2x23 17．（12分）已知椭圆C221a0,b0的长轴长为4，离心率eab2（1）求椭圆C的方程；

（2）设A,B分别为椭圆与x轴正半轴和y轴正半轴的交点，P是椭圆C上在第一象限的一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，问PMN与PAB面积之差是否为定值？说明理由.

2018年反映社会现实的电影18．（12分）《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A的研发费用x（百万元）和销量y（万盒）的统计数据如下：

研发费用x（百万元） 2 3 6 10 13 15 18 21 销量y（万盒） 1 1 2 2.5 3.5 3.5 4.5 6 （1）求y与x的相关系数r精确到0.01，并判断y与x的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：r0.75时，可用线性回归方程模型拟合）；

（2）该药企准备生产药品A的三类不同的剂型A1，A2，A3，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型A1，A2，A3合格的概率分别为

143，，，第二次检测时，三类剂型A1，A2，255A3合格的概率分别为

412，，．两次检测过程相互，设经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格的种类数为523nX，求X的数学期望．

附：（1）相关系数rxynxyiii122xnxynyiii1i12282i8nn

（2）

xyii18i347，x1308，yi293，178542.25．

i1i119．（12分）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2cosB（1）求角C的大小； （2）若ABC的面积为2ab. c33，求ABC的周长的最小值. 232220．（12分）已知fxxaxax2. （1）若a0，求函数fx的单调区间；

2（2）若不等式2xlnxfxa1恒成立，求实数a的取值范围.

21．（12分）数列an满足a12a23a3（1）求数列an的通项公式； （2）设bnnan2n2. n2an2，Tn为bn的前n项和，求证：Tn.

1an1an1322．（10分）已知函数f(x)|2x1|． （1）解不等式：f(x)f(x2)6； （2）求证：fxa2f(x1)x2a23x2aa2．

参

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D 【解析】

如图所示建立直角坐标系，设Pcosθ,sinθ，则PA(PBPC)1cos，计算得到答案. 【详解】

如图所示建立直角坐标系，则A1,0，B1,322，C1,3，设P22cosθ,sinθ， 则PA(PBPC)(1cos,sin)(12cos,2sin)

(1cos)(12cos)2sin22cos2cos12sin21cos2.

当，即P1,0时等号成立. 故选：D.

【点睛】

本题考查了向量的计算，建立直角坐标系利用坐标计算是解题的关键. 2、D 【解析】

根据底面为等边三角形，取BC中点M，可证明BC⊥平面PAM，从而BCPM，即可证明三棱锥PABC为正三棱锥.取底面等边ABC的重心为O，可求得P到平面ABC的距离，画出几何关系，设球心为O，即可由球的性质和勾股定理求得球的半径，进而得球的表面积. 【详解】

设M为BC中点，ABC是等边三角形， 所以AMBC， 又因为PABC，且PAAMA，

所以BC⊥平面PAM，则BCPM， 由三线合一性质可知PBPAPC,

所以三棱锥PABC为正三棱锥，AB43,PAPBPC25, 设底面等边ABC的重心为O， 可得AO22AM64，POPA2AO220162， 33所以三棱锥PABC的外接球球心在面ABC下方，设为O，如下图所示：

由球的性质可知，PO平面ABC，且P,O,O在同一直线上，设球的半径为R， 在RtAOO中，AO2AO2OO2，

2即R216R2，

解得R5，

所以三棱锥PABC的外接球表面积为S4R2425100， 故选：D. 【点睛】

本题考查了三棱锥的结构特征和相关计算，正三棱锥的外接球半径求法，球的表面积求法，对空间想象能力要求较高，属于中档题.

3、A 【解析】

根据向量投影的定义，即可求解. 【详解】

ab6acos2. a在b上的投影为

3b故选:A 【点睛】

本题考查向量的投影，属于基础题. 4、B 【解析】

12由题意可得()k，且k，故有2(kk)1①，再根据

4422由①②可得的最大值，检验的这个值满足条件． 【详解】

解：函数f(x)sin(x)(0，||34，求得12②，

2)，

xπ为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴， 44

()k，且k，k、kZ，2(kk)1，即为奇数①． 442f(x)在(，)单调，4312234，12②．

由①②可得的最大值为1． 当11时，由x故有4

为yf(x)图象的对称轴，可得114k2，kZ，

，()k，满足x为f(x)的零点，

444π同时也满足满足f(x)在,上单调， 43故11为的最大值， 故选：B． 【点睛】

本题主要考查正弦函数的图象的特征，正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，属于中档题．

5、D 【解析】

xy，不能得到

【详解】 因为x，yR，

xx1， 1成立也不能推出xy，即可得到答案. yy1xxyx1,y当时，不妨取，21，

2y故xy时，

x1不成立， yx当1时，不妨取x2,y1，则xy不成立， y综上可知，“xy”是“故选：D 【点睛】

本题主要考查了充分条件，必要条件的判定，属于容易题. 6、D 【解析】

由题意，设每一行的和为ci，可得ciaiai1...an1in(n2i1)，继而可求解

x1”的既不充分也不必要条件， ybnc1c2...cn2n2(n1)，表示

【详解】

由题意，设每一行的和为ci 故ciaiai1...an1in1，裂项相消即可求解. bn2n(n1)(aian1i)nn(n2i1)

22因此：bnc1c2...cnn[(n3)(n5)...(n2n1)]2n(n1)

n1111() bn2n(n1)2nn1故S2020111111111010(1...)(1) 222320202021220212021故选：D 【点睛】

本题考查了等差数列型数阵的求和，考查了学生综合分析，转化划归，数算的能力，属于中档题. 7、C 【解析】

首先求出函数的定义域，其函数图象可由y5log3|x|5log3|x|的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，因为y为xx奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)对称，即可排除A、D，再根据x0时函数值，排除B，即可得解. 【详解】

5log3|x1|的定义域为x|x1，

x15log3|x|其图象可由y的图象沿x轴向左平移1个单位而得到，

x5log3|x|∵y为奇函数，图象关于原点对称，

x5log3|x1|∴y的图象关于点(1,0)成中心对称.

x1∵y可排除A、D项. 当x0时，y故选：C 【点睛】

本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题. 8、B 【解析】

由m//n且n可得m，故选B. 9、B 【解析】

利用正弦定理求出CD，可得出BC，然后利用余弦定理求出cosB，进而求出sinB，然后利用三角形的面积公式可计算出ABD的面积. 【详解】

5log3|x1|0，∴B项不正确.

x1AD为BAC的角平分线，则BADCAD.

ADBADC，则ADCADB，

sinADCsinADBsinADB，

42ABBD，即，①

sinADBsinBADsinADBsinBADACCD8CD在ACD中，由正弦定理得，即，②

sinADCsinADCsinADCsinCAD21，解得CD4，BCBDCD6， ①②得

CD2在ABD中，由正弦定理得

AB2BC2AC2115由余弦定理得cosB， ，sinB1cos2B2ABBC44因此，ABD的面积为SABD故选：B. 【点睛】

本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题. 10、A 【解析】

根据复数的运算法则，可得z，然后利用复数模的概念，可得结果. 【详解】

2i1i2i2i2i2 由题可知：z1i1i1i1i21ABBDsinB15. 2由i21，所以z1i 所以z1212故选：A 【点睛】

本题主要考查复数的运算，考验计算，属基础题. 11、D 【解析】

求出命题q不等式的解为2x3，p是q的必要不充分条件，得q是p的子集，建立不等式求解. 【详解】 解：

命题p:x2m1,q:x5x60，即: 2x3，

22 p是q的必要不充分条件，

(2,3)(,2m1,)，

2m13，解得m1．实数m的取值范围为m1．

故选：D． 【点睛】

本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：

(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2)求解参数的取值范围时， 一定要注意区间端点值的检验． 12、D 【解析】

采用逐一验证法，根据图表，可得结果. 【详解】

A正确，从图表二可知，

3月份四个城市的居民消费价格指数相差不大 B正确，从图表二可知，

4月份只有北京市居民消费价格指数低于102 C正确，从图表一中可知，

只有北京市4个月的居民消费价格指数相差不大 D错误，从图表一可知

上海市也是从年初开始居民消费价格指数的增长呈上升趋势 故选：D 【点睛】

本题考查图表的认识，审清题意，细心观察，属基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、30 【解析】

根据频率直方图中数据先计算样本容量，再计算成绩在80～100分的频率，继而得解. 【详解】

根据直方图知第二组的频率是0.040100.4，则样本容量是又成绩在80～100分的频率是(0.0100.005)100.15， 则成绩在区间[80,100]的学生人数是2000.1530．

80200， 0.4故答案为：30 【点睛】

本题考查了频率分布直方图的应用，考查了学生综合分析，数据处理，数形运算的能力，属于基础题. 14、3 【解析】

作出可行域,可得当直线zx2y经过点A(1,1)时,z取得最大值,求解即可. 【详解】

作出可行域（如下图阴影部分）,联立3xy20,可求得点A1,1,

xy20当直线zx2y经过点A(1,1)时,zmax1213. 故答案为:3.

【点睛】

本题考查线性规划,考查数形结合的数学思想,属于基础题. 15、40 【解析】

设等比数列an的公比为q，根据a3a25，可得a15，因为

q(q1)a48a2a1q38a1q【详解】

5q28q195q12，根据均值不等式，即可求得答案.

q1设等比数列an的公比为q，

a3a25， a15，

q(q1)等比数列an的各项为正数，

q1，

a48a2a1qq285q28q1

95q1240，当且仅当q13，

q1即q4时，a48a2取得最小值40. 故答案为：40. 【点睛】

本题主要考查了求数列值的最值问题，解题关键是掌握等比数列通项公式和灵活使用均值不等式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 16、3 【解析】

设点P为x0,y0，由抛物线定义知，FPx025，求出点P坐标代入双曲线方程得到a,b的关系式，求出双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】

由题意得F(2，0)，因为点P在抛物线y2=8x上，|FP|=5，设点P为x0,y0，

x03由抛物线定义知，FPx025，解得，

y260924x2y2不妨取P(3，26)，代入双曲线2-2=1，得2-2=1，

abab又因为a2+b2=4，解得a=1，b=3，因为双曲线的渐近线方程为y所以双曲线的渐近线为y=±3x，由点到直线的距离公式可得，

bx， a点F到双曲线的渐近线的距离d2312323. 故答案为：3 【点睛】

本题考查双曲线和抛物线方程及其几何性质；考查运算求解能力和知识迁移能力；灵活运用双曲线和抛物线的性质是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

y217、（1）x21（2）是定值，详见解析

4【解析】

a23c3（1）根据长轴长为4，离心率e，则有求解.

a2222abc222（2）设Px0,y0x00,y00，则4x0y04，直线PA:yy0yx1，令x0得，yM0，则x01x01BM2yM，直线PB:yy022x0x2，令y0，得xN，则AN1xN，再根据x2y02SPMNSPABSMANSPANSBANSPANSMANSBAN求解.

【详解】

a23c（1）依题意得，

a222abc2a2解得，

b1y2则椭圆C的方程x21.

422（2）设Px0,y0x00,y00，则4x0y04，

直线PA:yy0x1， x01y0， x01令x0得，yM则BM2yM2y0， x01直线PB:yy02x2， x22x0， y02令y0，得xN则AN1xN12x0， y02SPMNSPABSMANSPANSBANSPANSMANSBAN y2x011ANBM2012. 22x01y02【点睛】

本题主要考查椭圆的方程及直线与椭圆的位置关系，还考查了平面几何知识和运算求解的能力，属于中档题. 18、（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）【解析】

（1）根据题目提供的数据求出x,y，代入相关系数公式求出r，根据r的大小来确定结果；

（2）求出药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后A1，A2，A3三类剂型合格的种类数为X，X服从二项分布X【详解】

解：（1）由题意可知x6 52B3,，利用二项分布的期望公式求解即可. 5236102113151811，

81122.563.53.54.5y3，

83478113830.98，

3402121785由公式rr0.980.75，∴y与x的关系可用线性回归模型拟合；

（2）药品A的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为

142412322PA1，PA2，PA3，

255525535由题意，X2B3, ， 526EX3.

55【点睛】

本题考查相关系数r的求解，考查二项分布的期望，是中档题. 19、（1）C【解析】 （1）因为2cosB2ab，所以b2ccosB2a， cπ（2）36 3a2c2b22a，化简得a2b2c2ab， 由余弦定理得b2c2ac1a2b2c21可得，解得cosC，

22ab2又因为C(0,)，所以Cπ.（6分） 31333（2）因为S△ABCabsinC，所以ab6， ab242则ab2ab26（当且仅当ab6时，取等号）.

，解得c6. 6时，取等号）由（1）得c2a2b2ab2ababab6（当且仅当ab所以abc36（当且仅当abc6时，取等号）， 所以ABC的周长的最小值为36. 20、（1）答案不唯一，具体见解析（2）2, 【解析】

（1）分类讨论，利用导数的正负，可得函数fx的单调区间.

（2）分离出参数a后，转化为函数的最值问题解决，注意函数定义域. 【详解】

（1）fx3x2axaxa3xa

22由fx0得xa或xxa 3a. 3①当a0时，由f由f0，得axa 3x0，得xa或x此时fx的单调递减区间为a,②当a0时，由f由faa,a，单调递增区间为和,33. x0，得

axa 3x0，得xa或xa 3aa,a，单调递增区间为,和a,

33此时fx的单调递减区间为aaa,fx,a综上：当a0时，单调递减区间为和, ，单调递增区间为33当a0时，fx的单调递减区间为aa,a，单调递增区间为,和a,.

332（2）依题意x0,，不等式2xlnxfxa1恒成立

等价于2xlnx3x22ax1在0,可得alnx上恒成立， 上恒成立，

31x，在0,22x设hxlnx31x13x1 131x，则hx222xx22x2x2令hx0，得x1，x（舍）

当0x1时，hx0；当x1时，hx0 当x变化时，hx，hx变化情况如下表：

13x hx 0,1  单调递增 1 1, 0 hx 2 单调递减 ∴当x1时，hx取得最大值，hxmax2，∴a2.

∴a的取值范围是2,. 【点睛】

本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题. 21、（1）an【解析】

（1）利用Sn与an的关系即可求解. （2）利用裂项求和法即可求解. 【详解】

解析：（1）当n1时，a12当n2，nan21（2）证明见解析 n231； 22n2n1n12a，可得， n2n2n12n2n又∵当n1时也成立，an1； n21n2n1112b2（2）nn， 112n12n11212n111n1n1221111Tn222321212121122212n1n1

3213213【点睛】

本题主要考查了Sn与an的关系、裂项求和法，属于基础题. 22、（1）{x|1x2}； （2）见解析. 【解析】

（1）代入得f(x)f(x2)|2x1||2x3|，分类讨论，解不等式即可； （2）利用绝对值不等式得性质，fxa11 2n12n112f(x1)2a22，

x2a23x2aa2【详解】

3a22a3，比较3a22a3,2a22大小即可.

（1）由于f(x)f(x2)|2x1||2x3|， 于是原不等式化为|2x1||2x3|6，

11，则2x1(2x3)6，解得1x； 221313xx若，则2x1(2x3)6，解得； 222233若x，则2x1(2x3)6，解得x2．

22若x综上所述，不等式解集为{x|1x2}． （2）由已知条件， 对于xR，可得

fxa2f(x1)2x2a21|2x1|又x2a3x2aa2222a222a22．

2a232aa23a22a3，

218由于3a2a33a0，

33所以x2a3x2aa2223a22a3．

22又由于3a2a32a2a2a1(a1)于是3a22a32a22． 所以fxa【点睛】

20，

2f(x1)x2a23x2aa2．

本题考查了绝对值不等式得求解和恒成立问题，考查了学生分类讨论，转化划归，数算能力，属于中档题.