解析法在几何中的应用 １１７０１４辽宁省本溪市第三高级中学【摘要】解析法彻底改变了数学的研 口（、 ，ｏ），则ＭＢＩ＝２、 ． 辽宁本溪杨扩 证明因Ｐ。 ’ ，’ ）为点Ｐ。关于平面霄 究方法．它把几何的问题变换成一个相应的 代数问题，再把代数问题归结到去解一个方 由ｓ－ｎ孚＝ｊＩ ｃｏｓＣ ，，得ｓｍｔ竿＝ ｓｍ 即２（ｓｉｎＢ－ｓｉｎＡ）＝ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＣ． 由正弦定理，得２（ＩＡＣ１一ｔＢＯ）＝￣４Ｂｌ＝２、／２ 的对称点，则ＰｌＰ，’的中点｛ ． ，半｝在 平面叮ｒ上， ．．程式，从而使解决问题的方法变得更为简单。 本文将从平面几何、立体几何、平面解析几 何和空间解析几何四大方面举例说明解析法 ． 半＋ ＋ｃ半一ｏ（５） ‘． 由双曲线的定义知，即△ＡＢＣ的顶点ｃ 线， 的轨迹是以原点为中心，ｄ＝ ，ｃ＝、／２的双 ｉ耳＝ｋ—ＸＩ，Ｙｌ。一ｙ ，＝： ｝与 ＝ 丑ｑ共 在几何中的应用。 【关键词】解析法；几何；轨迹；对称 笛卡尔为了把算术、代数、几何统一起来， 他设想把数学问题化为一个代数问题，再把 任何代数问题归结到去解一个方程式，于是 笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平 面上的点和实数对Ｏ 的对应关系， 和Ｙ的 不同数值可以确定平面上不同的点，即平面 上的点和实数对 建立了一一对应关系， 这就是解析几何的基本思想，也是代数和几 何的第一次完美结合。 一、解析法的概念 平面解析几何的基本思想有两个点： 第一，在平面建立坐标系，取定两条相 互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线， 叫做平面上的一个直角坐标系ｏｘｙ。利用坐标 系可以把平面内的点和一实数对 建立起 一一对应的关系，除了直角坐标系外，还有 斜坐标系，极坐标系，空间直角坐标系等等， 在空间直角坐标系中还有球面坐标系和柱面 坐标系。 第二，坐标系将几何对象和数，几何关 系和函数之间建立了密切联系，这样就可以 对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾 驭的数量关系的研究了，用这种方法研究几 何学通常就叫做解析法。 二、解析法的意义 这种解析法不但对于解析几何是重要的， 而且对于几何学的各个分支的研究也是十分 重要的．应用坐标法不仅可以把几何问题通 过代数的方法解决，而且还把变量、函数以 及数和形等重要概念密切联系起来．正如笛 卡尔的数学格言： “一切问题可以化成数学 问题，一切数学问题可以化成代数问题，一 切代数问题可以化成方程求解的问题。” 三、解析法在平面解析几何中求轨迹问 题的应用 根据形成曲线的几何条件，在适当的坐 标系下求出曲线的方程，这是解析几何的基 本问题，也是代数方法研究几何问题的基础。 轨迹求法的步骤是根据题设条件，分析、推 导出动点所满足的几何性质，然后根据圆锥 曲线的定义，以及所熟悉的各种曲线的定义， 写出轨迹方程，并说明其图形的形状和位置。 例１已知ＡＡＢＣ的两个顶点Ａ、曰分别 是椭圆 ＋３／＝１２的左、右焦点，且 ｍ！≠＝ ｃｏｓ －求顶点Ｃ的轨迹方程 解椭圆｝＋｝ 的焦点分别为Ａ（一、／２，０】、 都市家教２３８ 曲线的右支（除去顶点（ ｏ）） ・・．ｂ２＝ｃ２＿ａ２＝；，故△ＡＢＣ的顶点ｃ的轨 迹方程为：２ 一 ：１Ｏ【＞０Ｏ＇≠ｏ） 四、解析法在空间解析几何中关于点、 直线、平面之间对称性的应用 在几何历史上，不少学者对对称问题作 了很多研究．从代数观点看，实质上就是一 种变换．下面用解析法展开了对点、直线、 平面之间的对称性问题的求解方法的研究， 并用定理证明和例题解答的形式明确给出了 各种对称性问题的求解方法． 定理１点Ｐ１ ｌ １，ｚ１）关于点ｐｏ（Ｘｏ，ｙｏ，Ｚｏ）的 对称点Ｐ，’的坐标是 ’＝２ｘｏ－ｘｌ，Ｙ１’：２） －ｙＩ，ＺｌＩ＝２ｚｏ－ｚ１ 证明设点Ｐｌ’ ’’）， ，ｚ’）是点Ｐ。 １’ｚ１）关于 点Ｐ０ 的对称点，由中心对称的性质， 是线段Ｐ。Ｐ ’中点，因而有 薹隧 ＝ 半 ｛ ＝２ 故Ｐｌ’的坐标是（２ｘｏ－ｘ１，２ｙ￣－ｙ１，２ｚｏ－ｚ１）。 利用定理１的结论可以解决关于一点的 对称直线与对称平面问题。 例２求平面霄： ＋ｚ一５－－０关于点 Ｇ（１，２，３）的对称平面 ’ 解设 ’上的点 ’）＇力关于点Ｐ０的对称 点为Ｐ１ ｌ’），ｌ＇ｚ１），则点｜Ｐ 在平面１ｒ上： ７＋ｚ一５－－０（１） 由中点坐标公式得： ＝２－ｘ，Ｙｌ： ， Ｚ：－６－Ｚ．（２） 把（２）代人（１），即得所求对称平面 ’ 的方程 ｚ一７＝０ 例３求直线ｆ：ｊ 考 关于点 【ｏ＇０，１） 的对称直线Ｚ。． 解设ｚ’上的点Ｐ（ｘａａ）关于点Ｐ０的对称 点为Ｐ， ＇）＇ ，ｚ。），由ＰＩ在直线ｆ上可得 ＝ ＝！ （３）由中点坐标公式，得 Ｘｌ＝ ，Ｙｌ＝—ｙ，Ｚｔ＝２－ｚ（４） 把（４）代人（３）得所求对称直线 的 方程 ＝当＝罕． 定理２点Ｐ１ ｌ ＇ｚ１）关于平面叮ｒ：Ａｘ＋Ｂｙ ＋Ｃｚ＋Ｄ＝Ｏ的对称点只’的坐标是 ； … … ０ 当 《ｔ峨。Ｂ 。 Ｂｙ ＋Ｄｋ＋ Ｄｋ ： 警：芦《｛ ％“ ’Ｉ札十‰＋＆ －， ｏ Ｌ ： ～ 簪：ｉ 《 ＋鼽・机“ ｃ、 ｍ ・・．．． Ａ ＝ 口 ＝ Ｃ ＼（６ ，） 解（５）与（６）得证． 定理３ 点Ｐ 。 ，ｚ，）关于直线 ，；芋＝ ＝ 的对称点Ｐ ・的坐标是其 中：产＋， ＋ｎ ＝１． 证明因为Ｐ。 ＇ｚ ）为点Ｐ 关于直线ｌ 的对称点，则Ｐ１在直线Ｚ上， Ｐｌ。的中点｛ 玉，【‘ ‘ ， ‘ ｝ ’・・华一 一 华 （７） ．．． ．．．．．一＝．．．．±．．．．．—一＝———．§ ———－－——－ ， Ｊ，， ｎ ——＿ｒ ． ． 、 ＝讧ｌ— ｌ， ｌ— Ｉ，ｚｌ—Ｚ１ｊ ・・．与 ｛ｆ ，１）垂直， 。．．ｆ ’ １） ｌ’－ｙｔ）＋ｎ（ｚｌ。－Ｚ１）＝０（８） 解（７）与（８）定理得证。 利用定理３不仅可以直接求出关于一直 线对称点的问题而且通过它的证明方法可以 解决关于一直线的对称直线与对称平面问题。 关于一直线对称点的问题把已知条件直接代 入到定理３的公式中即可求出关于一直线对 称点的坐标，下面将举例说明如何通过定理３ 的证明过程来解决关于一直线的对称直线与 对称平面问题。 例４求直线１１： ＝半＝ 关于直线 ０ ＝ ：半的对称直线ｆＩ 。 解可以证明二直线ｚ 与 相交，首先求 出二直线的交点Ｑ（－１，一１，ｏ）。 取Ｐｌ（０＇ｏ，１）∈ｆ设Ｐ１’ ’），’，ｚ’）为点Ｐ。关于 直线 的对称点，则Ｐ Ｐ，’的中点｛寻，导。 ｝ 在直线ｆ＇上， ・．．立；丘： （９） ２ —２ ｌ ＿‘．丽＝ ｙ 一Ｉ｝与 ＝卜Ｉ，一Ｉ，１）垂直， ・．． ｌ’＿ｙｌ‘＋ｚｌ’一Ｉ＝０（１０） ．ｆ ４ ４ ５１ 解（９）与（１Ｏ）得对称点 １一ｊ’一 计 最后由两点式写出对称直线ｆ。’的方程 ： ：三 １ ｌ ５ 综上所述，我们可以知道用解析法解题 往往要通过坐标系写出几何关系的表达式， 再进行计算．解析法在计算方面虽然有时比 较繁琐，但它比较容易找到解决问题的途径， 而且解析法的解题过程有时能启发我们如何 添加辅助线，以便找到综合证明的出发点和 关键。总之，灵活运用解析法，不但有助于 解析几何的教学，而且对于解决中学平面几 何和立体几何的难题，也是大有好处。