专题二 阴影部分面积的计算
如图，四边形ABCD是菱形．∠A＝60°，AB＝2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________．
【分析】 根据菱形的性质得出△DAB是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出△ABG≌DBH，得出四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，进而求出即可．
【自主解答】 如解图，连接BD，∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴∠ADC＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，
∴△DAB是等边三角形，∵AB＝2，∴△ABD的高为3，∵扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，∴∠3＋∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AD、BE相交于点G，设BF、DC相交于点H，在△ABG和△DBH中， ∠A＝∠2
AB＝BD，∴△ABG≌△DBH(ASA)，∴四边形GBHD的面积等于△ABD的面积，∴图中阴影部分的面积∠3＝∠4
60π×212π是：S＝S扇形EBF－S△ABD＝－×2×3＝－3.
36023
1．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得到线段ED，分别以O、E为圆心，OA、ED为半径画弧AF和弧DF，则图中阴影部分面积是( )
2
A．8－π
B.5π
4
C．3＋π
D．π
2．(2018·河南说明与检测)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系．将△ABC绕点B顺时针旋转，使点A旋转至y轴的正半轴上
的A′处，则图中阴影部分的面积为( )
4
A.π－2 2
4
B.π 3
2
C.π 3
2
D.π－2 3
3．(2018·河南说明与检测)如图，正六边形ABCDEF的边长为a，分别以C，F为圆心，a为半径画弧，则图中阴影部分的面积是( )
12A.πa 6
12
B.πa 3
22
C.πa 3
42D.πa 3
︵︵
4．(2018·河南说明与检测)如图，把半径为2的⊙O沿弦AB、AC折叠，使AB和AC经过圆心O，则阴影部分的面积为( )
A.3
2
B.3
C．23
D．43
5．(2016·黔东南州)如图，在△ACB中，∠BAC＝50°，AC＝2，AB＝3.现将△ACB绕点A逆时针旋转50°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为______．
︵
6．如图，点B、C把AD分成三等分，ED是⊙O的切线，过点B、C分别作半径的垂线段．已知∠E＝45°，半径OD＝1，则图中阴影部分的面积是_________．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝23，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点︵
D.将BD绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为__________．
8．(2018·洛阳模拟)在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，以A为旋转中心将△ABC顺时针旋转30°得到△ADE，则图中阴影部分的面积为________．
9．(2018·新乡模拟)如图所示，半圆O的直径AB＝4，以点B为圆心，23为半径作弧，交半圆O于点C，交直径AB于点D，则图中阴影部分的面积是__3______．
10．(2018·河南模拟)如图，在Rt△ABC中，∠B＝30°，BC＝3，以BC为直径画半圆，交斜边AB于D，则图中阴影部分的面积为________．
11．(2018·濮阳一模)如图，将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A′B′CD′的位置，AB＝2，AD＝4，则阴影部分的面积为__________．
12．(2018·河南说明与检测)如图，在圆心角为90°的扇形AOB中，半径OA＝2，点C、D分别是OA、OB︵
的中点，点E是AB的一个三等分点．将△COD沿CD折叠，点O落在点F处，则图中阴影部分的面积为________．
13．(2018·河南说明与检测)如图，在▱ABCD中，∠BCD＝60°，AB＝2BC＝4.将▱ABCD绕点B逆时针旋转
一定角度后得到▱A′BC′D′，其中点C的对应点C′落在边CD上，则图中阴影部分的面积是______．
14．(2018·濮阳二模)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，AC＝3，以BC为直径的半圆交AB于点D，则阴影部分的面积为________．
︵
15．如图，在圆心角为90°的扇形OAB中，半径OA＝4，C为AB的中点，D、E分别为OA，OB的中点，则图中阴影部分的面积为________________．
16．(2018·河南说明与检测)如图，AC⊥BC，AC＝BC＝4，以AC为直径作半圆，圆心为点O；以点C为圆︵
心，BC为半径作AB，过点O作BC的平行线交两弧于点D，E，则阴影部分的面积是__________．
参考答案
针对训练
1．A 【解析】作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝OA＋OB＝13.由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝13，△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积＋1190×π×390×π×（13）△EOF的面积＋扇形AOF的面积－扇形DEF的面积＝×5×2＋×2×3＋－22360360＝8－π. 2．C 3.C 4.C
55052
5.π 【解析】∵S△ABC＝S△AB1C1，∴S阴影＝S扇形ABB1＝πAB＝π. 436046.
︵π
【解析】∵点B、C把AD分成三等分，ED是⊙O的切线，∠E＝45°，∴∠ODE＝90°，∠DOC＝45°，8
2
2
2
2245×2×π×11221
∴∠BOA＝∠BOC＝∠COD＝45°.∵OD＝1，∴阴影部分的面积是－×(1×)×2＋
36022245×π×1ππ
×1×1－＝，故答案为.
36088
2
7．23－π 【解析】由旋转可知AD＝BD，∵∠ACB＝90°，AC＝23，∴CD＝BD，∵CB＝CD，∴△BCD
3360π×2
是等边三角形，∴∠BCD＝∠CBD＝60°，∴BC＝AC＝2，∴阴影部分的面积为23×2÷2－＝
33602π2π
23－.故答案为23－.
33
8．3π 【解析】∵在Rt△ABC中，AC＝BC＝6.∴AB＝62，∵以A为旋转中心将△ABC顺时针旋转30°得到△ADE，∴∠CAD＝∠BAE＝30°，AD＝AC＝6，AE＝AB＝62，∴图中阴影部分的面积为S（62）30·π×6
－＝3π. CAD＝30·π×3603601
9.3－π 【解析】如解图，连接BC、OC、AC.
3
2
2
扇形BAE
2
2
－S
扇形
第9题解图
∵AB是直径，∴∠ACB＝90°.∵AB＝4，BD＝BC＝23，∴AC＝4－（23）＝2，∴AC＝OA＝OC＝2，60·π·2130·π·（23）
∴AB＝2AC，∴∠ABC＝30°，∴S阴＝S扇形OAC＋S△BOC－S扇形BDC＝＋×2×3－
3602360π
＝3－. 3
53110.－π 【解析】如解图，连接OD，CD，过O作OH⊥BD于H，∵BC为直径，∴∠BDC＝90°，
168
2
2
2
2
第10题解图
33
∵∠B＝30°，BC＝3，∴∠DOC＝60°，BD＝.∵∠ACB＝90°，∴AC＝BC＝1.∵∠OHB＝90°，∴OH
2332
60π·（）
213113353
＝OB＝，∴阴影部分的面积为S△ACB－S△BDO－S扇形ODC＝×1×3－××－＝－24222436016π. 8
8
11.π－23 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，CD＝AB＝2，∠BCD＝∠ADC＝90°，∴CE3＝BC＝4，∴CE＝2CD，∴∠DEC＝30°，∴∠DCE＝60°.由勾股定理，得DE＝23，∴阴影部分的面积是60π×4188
S＝S扇形CEB′－S△CDE＝－×2×23＝π－23，故答案为π－23.
360233212
12.π－ 13.π 323
45914.3－π 【解析】如解图，连接OD，CD，∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，AC＝3，∴sin B168＝
AC1
＝，∴∠B＝30°，∴∠COD＝60°，∴BC＝33. AB2
2
第14题解图
∵BC为⊙O的直径，∴CD⊥BD，∴CD＝
339
，BD＝，∴阴影部分的面积为S△ABC－S22
扇形COD
－S△BOD＝
1
2
332
60·π×（）
211339459459
×3×33－－×××＝3－π，故答案为3－π.
3602222168168
︵
15．2π＋22－2 【解析】连接OC，如解图，过C点作CF⊥OA于F，∵半径OA＝4，C为AB的中点，D、E分别是OA、OB的中点，∴OD＝OE＝2，OC＝4，∠AOC＝45°，∴CF＝22，
第15题解图
45π×41
∴空白图形ACD的面积＝扇形OAC的面积－三角形OCD的面积＝－×2×22＝2π－22，三角
36021
形ODE的面积＝OD×OE＝2，∴图中阴影部分的面积＝扇形OAB的面积－空白图形ACD的面积－三角形ODE
290π×4
的面积＝－(2π－22)－2＝2π＋22－2.
3605
16.π－23 3
2
2
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