2017届重庆市第八中学高三上学期适应性月考(四)数学(文)试题

数学（文）试题

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1.已知集合Axx2n1,nN,Bx1x10，则集合AB中元素的个数为（ ） A．5 B．4 C. 3 D．2 2.复数z2i(i是虚数单位)，则z的虚部为（ ） iA．2i B．2i C.2 D．2

3.正项等比数列an满足：a11,2a2a3a4，则S5（ ） A．31 B．32 C. 33 D．34 4.已知fx1312xbxcx1，则“b24c0”是“fx有极值”的（ ） 32A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C. 充要条件 D．既不充分也不必要条件

xy10,5.设x,y满足约束条件xy10,，则z3xy的最大值为（ ）

x2y10,A．11 B．9 C. －3 D．－1

6.球O为三棱锥PABC的外接球，PA,PB,PC两两垂直，PA2,PB2,PC4，则球O的表面积为（ ）

A．96 B．48 C. 24 D．12 7.某几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为（ ） A．

4753 B． C. D． 3632第页 1

8.执行如图2所示的程序框图，则输出的s的值为（ ） A．－3 B．－2 C. 0 D．3

9.已知a为单位向量，且与非零向量b满足ab3,ab7，则a,b的夹角为（ ）

A．

4 B．

3 C.

2 D．

23 410.O为坐标原点，F为抛物线C:y4x的焦点，经过点F的直线l与C交于P,Q两点，若POQ的面积为6，则线段PQ的中点坐标为（ ） A．1 B．2 C. 3 D．4 11.若函数fx12内单调递增，则a的取值范围是（ ） xax2lnx1在区间1，23, D．A．,3 B．,22  C.22，x2y212.O为坐标原点，直线l:y3x1与双曲线C:221a0,b0的渐近线分别交于A,B两点，

abOA2OB,且A,B均在x轴上方，则该双曲线的离心率为（ ）

A．23 B．2 C. 2 D．27 32

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第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.从3男2女中任选2人参加培训，其中所选两人为一男一女的概率为 ． 14.定义在R上的函数fxsinx在区间0，上单调递增，且

4115.数列an满足an11,a42，则a2015 ．

anf1，则= ． 416.已知fx是定义在R上的偶函数，且满足：①fx0，②fx21，则f3 ． fx三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. （本小题满分12分）

A,B,C,D四点共圆，且AB:BC:CD:DA1:3:2:2.

（Ⅰ）求C的大小；

（Ⅱ）若四边形ABCD的面积为23，求BD的长. 18. （本小题满分12分）

为了了解某校初三年年级学生的体重情况，现从中抽取100名学生，测量他们的体重（单位：斤），得频数分布表如下：

（Ⅰ）根据频数分布表在图3中作出频率分布直方图； （Ⅱ）估计该校初三学生的平均体重（同一区间取中点值）；

（Ⅲ）若该校初三年级共有500人，估计该年级体重不低于105斤的人数.

19. （本小题满分12分）

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3

如图4，四棱锥PABCD中，平面PAD平面ABCD，PAPD5,ABCD22,

AD//BC,AD6,BC2,点G为PAD的重点，K为线段PD上一点，PK2KD.

（Ⅰ）求证：GB//平面PDC； （Ⅱ）求四面体GKCD的体积.

20. （本小题满分12分）

x2y22平面直角坐标系xOy中，椭圆C:221ab0的离心率为，短轴长为4.M为椭圆C上一

ab2点，A0,2,且满足MA2MO. （Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若过点M的直线l交C所得弦长为21. （本小题满分12分）

已知函数fxaesinx，其中xR,e2.71828为自然对数的底数.若fx在0,f0处的切线

x82，求直线l的方程. 3与直线xy10垂直.

（Ⅰ）求a，并判断fx在0，内的单调性；

2

（Ⅱ）当x0,时，fxkx，求k的取值范围. 2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为

sin24sin0，P点的坐标为3,，在平面直角坐标系中，直线l经过点P，倾斜角为.

23（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的参数方程； （Ⅱ）设直线l与曲线C相交于A,B两点，求

11的值. PAPB23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

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4

设函数fx2x3x1. （Ⅰ）解不等式fx3；

（Ⅱ）若存在x,1，使不等式a21fx成立，求实数a的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5: ADABA 6-10: CBCBB 11、12：DD 【解析】

1.A1,3,5,7,9，则AB中的元素有5个，故选A. 2.z2i12i，则z的虚部为-2，故选D. i23.2a2a3a42qqq2或－1（舍），S511251231,故选A.

xy10,5约束条件xy10,表示的可行域为图1中ABC的边界及内部，易知当目标函数经过点C3,2x2y10,时，z取最大值，最大值为z33211，故选A.

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6.采用补形法可知，球O的直径2RPA2PB2PC226，所以R6，

S4R224,故选C.

7.该几何体为正方体和一个三棱锥组合而成，体积为V7，故选B. 68.依次执行的程序为：s3,k1;s3,k1;s2,k2;s0,k3，之后输出s0，故选C.

2222229.ab3ab2ab3,ab7ab2ab7，所以ab1,ab=5， ab1又∵a=1，b2，∴cos，∴=. 故选B.

3ab210.当l斜率不存在时，SPOQ2,不符合题意；当l斜率存在时，设l的斜率为k，则l的方程为

2k24ykx1，代入y4x得kx2k4xk0，所以xPxQ，

k222222PQxPxQ24k21k2,点O到直线l的距离dkk12，所以

SPOQ2k114k12k21PQd=6，解得k22，所以线段PQ的中点横坐222kkk21标x0xPxQ2k222，故选B.

k212xax2lnx1在区间1,+内单调递增，所以211.因为函数fxfxxa2220ax，在1,+内恒成立，令gxxx1，则xxxgxmaxg222，故a22，故选D.

12.如图2所示，记直线l与y轴的交点为K，不妨设xAxB，由双曲线的对称性可知BOKAOK，

y3x1,AKAO1由角平分线定理可知得，同理2，所以xA2xB①，联立xAbbBKBOyx,3aa第页

6

bb，代入①式解得33，所以离心率e127，故选D. xBbaa3a12

二、填空题 13.

31 14. 2 15. 16. 1 5263. 105【解析】

13.所有选法共有10种，其中一男一女的选法有6种，所以P14.由题意知：0,0和x15.由an11∴a2015a24为一对相邻的对称中心和对称轴，∴

40T2，∴T,∴2. 411,a42，知a31，同理，a2,a12，所以数列an是周期为3的周期数列，

2an1. 216.fx为偶函数fxfxf1f1①，又fx211f1②， fxf111. f1又fx0恒成立，知f10,f10③，由①②③得:f1f11，故f3三、解答题

17.解：（Ⅰ）因为A,B,C,D四点共圆， ∴AC,

由AB:BC:CD:DA1:3:2:2，可令ABa,BC3a,CDDA2a,

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7

化简得：cosC（Ⅱ）S四边形ABCD21，又C0,,∴C. 23121SABDSBCDa2asin2a3asin23a2，

2323∴23a23，∴a1，

∴BD22232223cosC7， 即BD7. 18. 解：（Ⅰ）如图3.

（Ⅱ）该校初三学生体重的样本平均数为：

x800.06900.261000.381000.221200.08100，

所以该校初三学生体重的平均数的估计值为100.

（Ⅲ）体重不低于105的初三学生所占比例的估计值为0.220.080.3，则n0.3500150. 即估计该年级体重不低于105斤的人数为150人.

19.（Ⅰ）证明：如图4，连接PG并延长使其与AD交于点E， 因为点G为PAD的重心，所以PG2GE， 又PK2KD，所以GK//ED，且GK因为PAPD5,AD6， 所以PEAD,ED3,GK2,

又AD//BC,BC2，所以BC//GK,BCGK, 所以四边形GKCB为平行四边形，

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8

2ED. 3所以GB//CK

又∵CK平面PDC，且GB平面PDC， 所以GB//平面PDC. （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知PE14PA2AE24,CEPE.

33因为ABCD22,AD//BC,AD6,BC2， 所以B到AD的距离为2.

由（Ⅰ）知VGKCDVBCDKVKBCDVGBCD1148SBCDGE2. 3339

c2,a220. 解：（Ⅰ）由2b4,解得a22,b2,c2，

a2b2c2,x2y2所以椭圆C的标准方程为1.

84x02y02（Ⅱ）设点Mx0,y0，则1，①

84由MA2MQ得x0y022x0y0，

2222化简得x02y02+联立①②得44y00，② 33x00,所以点M0,2.

y02,若l的斜率不存在，则弦长为4，不成立；

若l的斜率存在，设斜率为k，则直线l的方程为ykx2，

x2y28k1得12k2x28kx0，解得根为x10,x2代入， 28412k第页 9

所以弦长为1k208k82，

12k23化简得k4k220，解得k1， 所以直线l的方程为yx2或yx2.

x21. 解：（Ⅰ）fxaesinxcosx，

直线xy10yx1的斜率为1，

因为fx在0,f0处的切线与直线xy10垂直， 所以f0a1 故fxe当x0,xsinxcosx，

时，sinx0,cosx0，则fx0 2内单调递增. 2x故fx在0,（Ⅱ）fxesinx，

令gxfxkxesinxkx，则gxexxsinxcosxk，

已知条件等价于gx0在0,



内恒成立，而g00， 2



gx2excosx0在0,内恒成立，故gx在0,内单调递增.

22

①g01k0，即k0时，gx0恒成立，gx在0,恒成立；

②g01k0，即k1时，必存在x00,内单调递增，必有gxg002使得当x0,x0时，gx0，则gx在0,x0，2内单调递增，而g00，不可能保证gx0恒成立. 综上：k1.

22. 解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x4y，

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2P点的极坐标为：P3,，化为直角坐标为P0,3.

21xt,xtcos,23直线l的参数方程为，即 (t为参数).

y33t,y3tsin,32（Ⅱ）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得整理得：t83t480，

显然有0，则t1t248,t1t283，

212t1223t， 4PAPBt1t2t1t248,PAPBt1t2t1t2所以

t1t224t1t286，

PAPB116. PAPBPAPB623. 解：（Ⅰ）∵fx2x3x1，

33x2,x23∴fxx4,x1,

23x2,x1,33x,x1,x1,fx3或或 223x233x23x435x或x1.

3综上，不等式fx3的解集为,1,.

2（Ⅱ）存在x,1使不等式a1fx成立x,1时，a1fx532min

由（Ⅰ）知，x35时，fx，

min22a21566或a， a222∴实数a的取值范围为,第页

66. ,2211

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