高考数学命题热点名师解密专题 函数的零点与方程的根(理)

专题04 函数的零点与方程的根的解题方法

本专题特别注意：

一．命题类型： 1.零点与整数解； 2.二分法；

3.分段函数的零点； 4.零点范围问题； 5.零点个数问题； 6.零点与参数； 7.零点与框图；

8.二次函数零点分布问题； 9.抽象函数零点问题； 10.复合函数零点问题； 11.函数零点与导数； 12.零点有关的创新试题。

二．【学习目标】

1．结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断根的存在性与根的个数． 2．利用函数的零点求解参数的取值范围 【知识要点】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)，我们把使___________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．

(2)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有________． (3)函数零点的判定

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是_________的一条曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函数y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)零点的分布

根的分布 (m0

Δ>01

mm f（m）>0Δ>0x10f（n）>0f（m）>0f（n）<0 f（p）>0Δ>0m（一）零点与整数解；

Δ＝0b m<－0)，在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为

，

，

，则下列说法中正确的是( ) 内一定有零点 B．函数f(x)在区间内无零点 D．函数f(x)在区间

或或

内有零点，或零点是内有零点

A．函数f(x)在区间C．函数f(x)在【答案】B

【解析】根据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，A. 函数f(x)在区间

2

内一定

有零点，不对，因为有可能在这个区间之外，这个是不确定的；D. 函数f(x)在区间中或f（或

之内，C. 函数f(x)在内无零点

或

内有零点，这个也是不确定的。在零点应在

）＝0.这个是有可能的。

故答案为B。

点睛：本题主要考查二分法的定义，属于基础题．已经知道零点所在区间，根据二分法原理，依次“二分”区间，零点应存在于更小的区间， 而不是更大的区间。这样就可以断定ACD是错误的。故可以得到结论。 练习1.【河北定州2019模拟】设函数围是（ ）

，若存在唯一的整数，使得

，则的取值范

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】当直线令

，

,函数

时，

，当

在时，

上为减函数，在，若存在唯一的整数

上为增函数，当，使得

时，取得极小值为，即

，

，只需

解得： ，选D.

练习2.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x2﹣2x﹣3，求当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数为（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A

【解析】由函数为奇函数可知当x≤0时，不等式f（x）≥0整数解的个数与x0时fx0的个数相同，

3

由奇函数可知f00，由的整数点有4个

得，所以整数解为1,2，3，所以满足题意要求

（二）二分法；

例2．下面关于二分法的叙述中，正确的是 ( ) A．用二分法可求所有函数零点的近似值

B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位 C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成 D．只能用二分法求函数的零点 【答案】B

【解析】用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误； 二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误； 求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.

练习1.已知函数，设，且F(x)的零点均在区间(a,b)内，

其中a,bZ，ab，则F(x)0的最小整数解为（ ） A．1 B．0 C．5 D．4 【答案】D

考

点：函数图象平移与零点.

【思路点晴】本题主要考查函数图象变换和零点与二分法的知识.由于

，所以函数Fx的

图像是有函数fx的图像向左平移4个单位所得.由于Fx零点都在某个区间上，所以函数fx的零点也在某个区间上.利用二分法的知识，计算

的值，

，且f'x0函数递

增，有唯一零点在区间1,0，左移4个单位就是5,4.

（三）分段函数的零点；

例3.已知函数

实数根，则a的取值范围是

，若关于x的方程

有8个不等的

4

A．0, B．,3 C．1,2 D．（2, 【答案】D

14139） 4【解析】函数，的图象如图：

关于x的方程

有8个不等的实数根， fx必须有两个不相等的实数根，由

化为：

，

函数fx图象可知（，令t（，方程fx）（，12）fx）at23t，开口向下，对称轴为： t2， a（2，]，故选D.

3，可知： a的最大值为：2， a的最小值为

94练习1．函数

A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B

的零点个数为（ ）

【解析】由得零点个数为2,选B.

（四）零点范围问题；

例4．【哈六中2019模拟】设函数且

，若方程恰好有三个根，

，则的取值范围是（ ）

5

A．【答案】B

B． C． D．

【解析】由题意画出函数的大致图象： 由图得,当

,则，

时,方程f(x)=a恰好有三个根

,由由图知,点点∴即

与点

得

,由与点

得

关于直线

， 对称，

关于直线

,则

的取值范围是[

,

对称，

，

)，

练习1.已知函数

则x1gx2gx3的取值范围是（ ）

，且存在不同的实数x1,x2,x3，使得

，

A．0,3 B．1,2 C．0,2 D．1,3 【答案】A

【解析】函数

，画出fx的图象如图所示，作出直线yt，当1t2时，直

，即

，

，t越大其值越大，则有

，

线与fx图象有三个交点，横坐标由小到大，设为x1，x2，x3，令则有x1x2t1，令2令

x2t，得到

，即有

，t1,2，t10，t越大其值越大；

，故选A．

6

（五）零点个数问题；

例5．【湖北2019模拟】定义在R上的奇函数fx满足①

，②

，③x0,1时，则函数的零点个数是（ ）

A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C

【解析】由①②可知,f(x)是周期为2的奇函数,又x∈[0,1]时,可得函数f(x)在R上的图象如图，

，

由图可知,函数y=f(x)−log3|x|的零点个数为6个， 本题选择C选项.

点睛：函数零点的求解与判断：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． 练习1.关于x的方程

有三个不同实数解，则实数a的取值范围是（ ）

A．2, B．3, C．(0, 3 ) D．,3 【答案】B

7

【解析】

,即为ax22， x，

设当x1时,

,导数

在(1,+∞)递增；

在(−∞,0),(0,1)递减。

当x0,或0x1时,

可得fx在x1处取得极小值3，

作出yfx的图象，由题意可得当p>3时， 直线ya与yfx有3个交点。

即有原方程有三个不同实数解,则a的范围是3,. 练习2．已知函数

，用minm,n表示m,n中最小值，

，则函数hx的零点个数为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C

【解析】由题意，作出hx的图象如图所示，由图象，得函数的零点有三个：

1,e,3；故选C. e

（六）零点与参数；

8

6．【2019南昌模拟】曲线围是

与直线

有两个交点时，实数k的取值范

A．【答案】A 【解析】

B． C． D．

可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，

2

为半径的圆y≥1的部分．直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个． 且kAP=

35，由直线与圆相切得d=2，解得k=， 41253,， 124则实数k的取值范围为 故选B．

点睛：先确定曲线的性质，然后结合图形确定临界状态，结合直线与圆相交的性质，可解得k的取值范围．

练习1．已知fx，又0, 则fx的取值范围为( )

A．0, B．a10 C．fx0 D．x【答案】A

，若满足的有四个，

1 a1点睛：本题考查复合函数，换元设内外层函数，找到内外层的对应关系；

9

练习2．若方程A．【答案】C

【解析】问题等价于方程

，所以k的取值范围是

练习3．方程A． B．

有大于2的根，则实数的取值范围是（ ）

C．

D．

在有解，而函数

，故选C.

在上递增，值域为

在区间1,5上有根，则实数a的取值范围为（ ）

232323, B．1, C．,1 D．,

555【答案】C 【解析】由于方程故方程

有解，设它的两个解分别为x1，x2，则x1⋅x2=−2<0，

在区间[1,5]上有唯一解。

设f(x)= x2ax2，则有f(1)f(5)<0，即(a−1)(5a+23)⩽0， 解得： 故选：C.

点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．

23⩽a⩽1， 5（七）零点与框图；

例7.二分法是求方程近似解的一种方法，其原理是“一分为二、无限逼近”．执行如图所示的程序框图，若输入

，则输出n的值（ ）

10

A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B

【解析】模拟程序的运行，可得 n=1,x1=1,x2=2，d=0.1，

令f(x)=x2−2,则f(1)=−1<0,f(2)=2>0，

m=1.5,f(1.5)=0.25>0,满足条件f(m)f(x1)<0,x2=1.5， 此时|1.5−1|=0.5>0.05，不合精确度要求。

n=2,m=1.25,f(1.25)=−0.4375<0.不满足条件f(m)f(x1)<0,x1=1.25， 此时|1.5−1.25|=0.25>0.05，不合精确度要求。

n=3,m=1.375,f(1.375)=−0.109<0.不满足条件f(m)f(x1)<0,x1=1.375， 此时|1.5−1.375|=0.125>0.05，不合精确度要求。

n=4,m=1.375,f(1.4375)=0.066>0.满足条件f(m)f(x1)<0,x2=1.4375，此时|1.5−1.4375|=0.062>0.05，符合精确度要求。 n=5,m=1.4375,f(1.40625)=0.066<0.满足条件f(m)f(x1)<0,x1=1.40625，此时|1.5−1.4375|=0.03125<0.05，符合精确度要求。

退出循环，输出n的值为5. 本题选择B选项.学+科网

点睛：二分法是一种求方程近似解的常用方法。

二分法求方程的近似解的步骤：定区间，找中点，中值计算两边看.同号去，异号算，零点落在异号间.周而复始怎么办? 精确度上来判断。 练习1.执行下图程序框图，若输出

，则输入的为（ ）

11

A．

或

或1 B．

C．

或1 D．1

【答案】C 【解析】由题当

时，

,当时，,综上.

点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.

（八）二次函数零点分布问题；

例8.关于x的方程范围为（ ）

A．, B．【答案】A

【解析】令f（x）=x2+（a+2b）x+3a+b+1，由题意可得f（0）＝3a+b+1＜0…①，f（1）＝4a+3b+2＞0…②，f（−1）＝2a−b+2＞0…③．

画出不等式组表示的可行域，令目标函数z=a+b，如图所示：

的两个实根分别在区间1,0和0,1上，则ab的取值

3155321121, C．, D．,

555555

12

由

求得点A,34， 55由

，求得点C,152． 5当直线z=a+b经过点A时，z=a+b=

13；当直线z=a+b经过点C时，z=a+b=， 55故z=a+b的范围为, 练习1．已知关于x的方程（ ）

A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】B

【解析】∵关于x的一元二次方程∴k−1≠0，即k≠1，

，

∵方程有两个不相等的实数解， ∴△>0， ∴∴k，

有两个不相等的实数根，

3155有两个不相等的实数根，则k可取的最大整数值为

3， 2∴k的取值范围是k3且k≠1. 2k可取的最大整数值为0.

故选B.

点睛：解一元二次方程时，首先要求二次项的系数不能为0，其次根据判别式和0的关系可得方程根的个数，当V0时，方程有两个相等实根；当V0，时方程无解；当V0时，方程有两个不等实根.

（九）抽象函数零点问题；

例9．【2019河南名校模拟】已知函数内，

，当x(0,1]时，f(x)x，若在区间(1,1]2有两个不同的零点，则实数t的取值范围是（ ）

A．(0,) B．(0,) C．[【答案】D

13

1211,0) D．(0,] 22

【解析】由题意可知函数fx在1,1上的解析式为

可得

由

，所以要使方程由两个不同的零点，即fx得图象与直线

1ytx1有两个不同的交点，作出它们的图象，可知斜率t(0,]，故选D.

2

考点：根的存在性与根个数的判断.

【方法点睛】本题主要考查了函数的零点及方程根个数的判断，考查了数形结合的数学思想，属于中档题.本题解答时，首先根据fx在x(0,1]上的解析式，求出fx在1,1上的解析式，从而作出分段函数

fx的图象，把函数的零点问题转化为两个基本初等函数的交点个数问题，结合参数t的几何意义求得其范

围.

练习1.已知函数fx满足：①定义域为R；②xR，都有

；③当x1,1时，

，则方程

在区间3,5内解的个数是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A

【解析】画出函数图象如下图所示，由图可知，共有5个解.

14

考点：函数的图象与性质.

（十）复合函数零点问题；

例10. 【广西2019模拟】设定义域为的函数

（ ）

若关于的方程

有7个不同的实数解，则

A．6 B．4或6 C．6或2 D．2 【答案】D

【解析】试题分析：由图可知方程由

根为9，不满足题意；所以选D.

，又当

有两个不等实根，其中一根为4，另一根在时，另

；

一根为1，满足题意；当时，另一

考点：函数与方程

【方法点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.

(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

练习1.函数

15

的定义域为实数集，，对于任意都有

，

若在区间A．【答案】D

内函数 B．

C．

恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）

D．

练习2.已知函数A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D

，方程，，则方程的根的个数是（ ）

【解析】因为合图象可知，

，所以

有两个不同的根，

或，

，作函数的图象如图，结

有三个不同的根，且个根都不相同，故方程

的根的个数是，故选D．

考点：分段函数图象与性质．

16

【思路点晴】本题主要考查分段函数的图象与性质，由于，所以或，作

函数的图象，根据图象可知有两个不同的根，，有三个

不同的根，合起来就一共有个不同的实根．对于函数根的问题，往往转化为函数图象和值域来求解，有时候也转化为两个函数交点来求解．

（十一）函数零点与导数；

例11.已知yfx为R上的连续可导函数，当x≠0时点个数为（ ）

A．1 B．2 C．0 D．0或2 【答案】C

，则函数的零

【解析】试题分析：∵当x≠0时，的根的个数可转化成

，∴

的根的个数，令

，要求关于x的方程当x0时，

即

F（'x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上单调递增；当x＜0时，

在（-∞，0）上单调递减而y（为R上的连续可导的函数∴fx）考点：1.导数的运算；2.根的存在性及根的个数判断． 练习1．若函数f(x)为定义在R上的连续奇函数且的实根个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A

【解析】x0时，对

3即F（'x）＜0，∴F（x）无实数根，故选C．

对x0恒成立，则方程

两边乘以x得

2，即

3单调递

增，由于函数为奇函数，所以xfx为偶函数，图象关于y轴对称，所以当x0时，函数xfx是单调递减，且x0时，函数值为0，由此可知xfx0，故

3没有实数根.

，则函数

练习2.定义在R上的可导函数fx，且fx图像连续，当x0时，

的零点的个数为（ ）

A.1 B.0 C.2 D.0或2 【答案】B 【解析】由于函数

17

，可得x0，因而gx的零点跟xgx的非零零点是完全一样的，所

以转化为函数

的零点，由于当x0时，，（1）当x0时，

，所以在区间(0,)上，函数xgx单调递增函数，当x0时，fx1，所以在(0,)上，函数

恒成立，因此在(0,)上，函数xgx没

有零点；（2）当x0时，数xgx单调递减函数，

，所以函数在区间(0,)上，函

恒成立，因此在(0,)上，函数xgx没有零点，

（十二）零点有关的创新试题

例12. 【2019天门模拟】定义：如果函数

，则称函数

函数”，则实数a的取值范围是 A．

B．

C．

D．

是

在

上存在，

满足

是

，

上的“双中值

上的“双中值函数”，已知函数

【答案】C 【解析】由题得：

是

上的“双中值函数”，等价于

在

故选C

上有两个不同的实数解，令则解之得

点睛：首先要读懂新定义“双中值函数”，根据新定义可得问题等价于不同的实数解是解题关键

在上有两个

练习1.已知fx是定义在R上的奇函数，满足, 且当x0,1时，

,则函数

A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】由∵

在区间6,6上的零点个数是

，令x1，则f10，

， ∴fx的图像关于点1,0对称，

18

又fx是定义在R上的奇函数，∴∴fx是周期为2的函数.

，

当x0,1时，画出fx及y为增函数，

1x在0,6上的图像如图所示， 3

经计算，结合图像易知，函数fx的图像与直线y在0,6上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知，

1x 3函数

在区间6,6上的零点个数是5.

练习2．已知；；设函数

，且函数F(x)的零点均在区间a,b（ab，a，bZ）内，则ba的最小值为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C

【解析】∵，当x(1,0)时，

，∴函数f(x)在区间(1,0)上单调递增，故函数f(x)有唯一零点x(1,0)；∵

，，当

x(1,2)时，，∴函数g(x)在区间(1,2)上单调递减，故函数g(x)有唯一零点

x(1,2)；∴f(x3)的零点在(4,3)内，g(x4)的零点在(5,6)内，∵

，且函数F(x)的零点均在区间a,b（ab，a，bZ）内，因此的零点均在区间4,6 内，∴ba的最小值为10.故选C．

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考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、数列求和；3、函数零点存在性定理． 【思路点睛】利用导数分别求出函数f(x)、g(x)的零点所在的区间，然后要求

的零点所在区间，即求f(x3)的零点和g(x4)的零点所在区间，根

据图象平移即可求得结果．本题考查函数零点存在性定理和利用导数研究函数的单调性以及数列求和问题以及函数图象的平移，体现了分类讨论的思想，以及学生灵活应用知识分析解决问题的能力．属于中档题． 练习3.已知当xR,x表示不超过x的最大整数，称yx为取整函数，例如

，若

fxx，且偶函数

，则方程的所有解之和为（ ）

A．1 B．-2 C．53 D．53 【答案】D

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