三角恒等变换教案设计

三角恒等变换教案 适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 教学难点 高中数学 全国通用 适用年级 课时时长（分钟） 高中一年级 60 两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式 理解并掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，辅助角公式，体会三角恒等变换在数学中的应用 1.二倍角公式的推导。 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力. 大全

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教学过程

一、课堂导入

思路1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换： 代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本 节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.

思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有

了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、 运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差 异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的 各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.

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二、复习预习

复习三角函数值的计算及诱导公式（一）-（六）。

2k)cos ， tan(2k)tan （公式一） sin(2k)sin， cos( sin(p+a)=-sina， sin(-a)=-sina ， sin(）sin ， sin(p2-a)=cosa cos(p-a)=sina 2

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cos(p+a)=-cosa ， cos(-a)=cosa， cos(）-cos， tan(p+a)=tana tan(-a)=-tana tan(）tan sin(p2+a)=cosacos(p2+a)=-sina（公式二）

（公式三）

（公式四） （公式六） （公式五）

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三、知识讲解

考点1两角和的正弦、余弦、正切公式

⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；

⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin； ⑸tantantan  （tantantan1tantan）；

1tantantantan  （tantantan1tantan）．

1tantan ⑹tan

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考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式

⑴sin22sincos．1sin2sincos2sincos(sincos) 222⑵cos2cos2sin22cos2112sin2

升幂公式1cos2cos2,1cos2sin222

降幂公式cos2cos212，sin21cos22． ⑶tan22tan1tan2．

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万能公式:2tanα1tan2αsinα 2;cosα 21tan2α2α21tan2 标准文案

考点3 辅助角公式

把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 yAsin(x)B形式。

sincos22sin，其中tan

． 四、例题精析

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考点一 两角和的正弦、余弦、正切公式 例1已知α(，3)，β(0，),cos(α－

444353)＝，sin(＋β)＝，求sin(α＋β)的值．

413

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【规范解答】

∵α－＋3＋β＝α＋β＋442，

α∈(,3) β∈(0,14413sinx1)

∴α－

331243∈(0,) β＋∈(,π)∴sin(α－)＝ cos()＝－ 4244451342∴sin(α＋β)＝－cos[＋(α＋β)]＝－cos[(α－

356)＋()]＝

【总结与反思】这道题主要考察了诱导公式及两角和的余弦公式，先通过诱导公式的变形然后带入余弦公式即可。

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例2计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )． A．－

223

B. C. D．1 222

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【规范解答】原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝

【总结与反思】本题考察了两角差的正弦公式，带入公式即可。

2. 2大全

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考点二 二倍角公式的应用

12 例3化简

2tan(x)sin2(x)442cos4x2cos2x

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2sin2xcos2x【规范解答】切化弦，合理使用倍角公式．原式＝2sin(x)cos2(x)

44cos(x)41cos22x12＝＝＝2cos 2x.

2sin(x)cos(x)sin(2x)4421(1sin22x)212【总结与反思】

三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．

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sin α＋cos α－1sin α－cos α＋1

例4 化简：

sin 2α

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.

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αααααα

2sincos－2sin22sincos＋2sin2222222

【规范解答】原式＝ αα4sin 2cos 2cos αααααα

cos－sin cos＋sinsin

22222

cos

＝

α2

cos αcos αsin ＝cos

＝

α2α2αcos－sinsin

222

cos

α2＝tan

α2

α2

cos αα2

.

cos α【总结与反思】三角函数式的化简要遵循“三看”原则：

(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式； (2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；

(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．

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考点三 辅助角公式的应用

例5 已知函数f(x)＝2cos 2x＋sin2x. (1)求f()的值；

3 2)求f(x)的最大值和最小值．

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【规范解答】先化简函数y＝f(x)，再利用三角函数的性质求解． 2ππ(1)f()＝2cos3＋sin23 331＝－1＋4＝－4. (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x) ＝3cos2x－1，x∈R. ∵cos x∈[－1,1]， ∴当cos x＝±1时，f(x)取最大值2； 当cos x＝0时，f(x)取最小值－1. 【总结与反思】 高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y＝A sin(ωx＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．

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课程小结

1.本节课主要是三角恒等变换的应用，通过三角恒等变形,把形如y=a sin x+b cos x的函数转化为形如y=A sin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的.在教学中教师要强调：分析、研究三角函数的性质，是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的解析式变形化简，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.因此，三角恒等变换是求解三角函数问题的一个基本步骤.但需注意的是，在三角恒等变换过程中，由于消项、约分、合并等原因，函数的定义域往往会发生一些变化，从而导致变形化简后的三角函数与原三角函数不等价.因此，在对三角函数式进行三角恒等变换后，还要确定原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析其性质.

2.在三角恒等变化中，首先是掌握利用向量的数量积推导出两角差的余弦公式，并由此导出角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和积化差、和差化积及半角公式，以此作为基本训练.其次要搞清楚各公式之间的内在联系，自己画出知识结构图.第三就是在三角恒等变换中，要结合第一章的三角函数关系、诱导公式等基础知识，对三角知识有整体的把握.

3.今后高考对三角变换的考查估计仍以考查求值为主.和、差、倍、半角的三角函数公式、同角关系的运用仍然是重点考查的地方，应该引起足够重视，特别是对角的范围的讨论，从而确定符号.另外，在三角形中的三角变换问题，以及平面向量为模型的三角变换问题将是高考的热点.

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