《勾股定理》基础练习
一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，若AB＝10，CD＝3，则三角形ABD的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
2．（5分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A．1.6 B．1.4 C．1.5 D．2
3．（5分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（ ）
A．
B．
C．5 D．
4．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4m，BC＝3m，则线段CD的长为（ ） A．5m
B．
m
C．
m
D．m
5．（5分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（ ）
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A．18 B．114 C．194 D．324
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，AC＝12，AB＝15，DE⊥AB于E，则△BDE的面积是 ．
7．（5分）一个直角三角形的面积是24，两条直角边的差是2，则较短的直角边长为 ．
8．（5分）若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3．CD＝1，则△ABC的面积等于 ．
9．（5分）若点A（3，m）在直角坐标系的x轴上，则点B（m﹣1，m+2）到原点O的距离为 ．
10．（5分）若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为 ． 三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积．
12．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当t为何值时，△APD和△QBE全等．
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13．（10分）如图，在△ADC中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，∠BAC＝30°，若AB＝6，求AD的长．
14．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm．求： （1）BC的长； （2）△ABC的面积；
15．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°． （1）求线段AD的长； （2）求△ABC的周长．
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《勾股定理》基础练习
参考答案与试题解析
一、选择题（ 本大题共5小题，共25.0分）
1．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，且AD平分∠BAC，若AB＝10，CD＝3，则三角形ABD的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°，AD平分∠BAC， ∴DE＝CD＝3，
∴△ABD的面积＝AB•DE＝×10×3＝15． 故选：B．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出AB边上的高是解题的关键．
2．（5分）如图，小方格都是边长为1的正方形，则△ABC中BC边上的高是（ ）
A．1.6 B．1.4 C．1.5
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D．2
【分析】根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论． 【解答】解：∵BC＝
＝5，
∵S△ABC＝4×4﹣×1×1﹣×3×4﹣×3×4＝，
∴△ABC中BC边上的高＝故选：B．
＝，
【点评】本题考查了勾股定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．（5分）如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，AB＝4，则点C到斜边AB的距离是（ ）
A．
B．
C．5 D．
【分析】根据勾股定理求出BC，根据三角形的面积公式计算． 【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，AB＝4， ∴CB＝
＝
，
＝×4×CD，
△ABC的面积＝×AC×BC＝×AB×CD，即×3×解得，CD＝故选：D．
，
【点评】本题考查的是勾股定理，直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
4．（5分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝4m，BC＝3m，则线段CD的长为（ ） A．5m
B．
m
C．
m
D．m
【分析】根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式列式计算．
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【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝＝5，
△ABC的面积＝×AB×CD＝×AC×BC，即×5×CD＝×4×3， 解得，CD＝故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，掌握直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2是解题的关键．
5．（5分）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是4，9，1，4，则最大正方形E的面积是（ ）
，
A．18 B．114 C．194 D．324
【分析】根据正方形的面积公式，勾股定理，得到正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，
S1＝42+92，S2＝12+42， 则S3＝S1+S2，
∴S3＝16+81+1+16＝114． 故选：B．
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【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
二、填空题（ 本大题共5小题，共25.0分）
6．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．AD是△ABC的角平分线，若CD＝4，AC＝12，AB＝15，DE⊥AB于E，则△BDE的面积是 6 ．
【分析】先根据角平分线的性质得出CD＝ED，再利用HL证明Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝12，DE＝CD＝4，于是得到BE＝AB﹣AE＝3，进而根据三角形的面积公式即可求出△BDE的面积． 【解答】解：∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB， ∴CD＝ED．
在Rt△ACD与Rt△AED中，
，
∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）， ∴AE＝AC＝12，DE＝CD＝4， ∵AB＝15，
∴BE＝AB﹣AE＝3，
∴S△BDE＝BE•DE＝×3×4＝6． 故答案为6．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积的求法，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
7．（5分）一个直角三角形的面积是24，两条直角边的差是2，则较短的直角边长为 6 ．
【分析】设较短的直角边长为x，则另一条直角边长为x+2，根据直角三角形的面积是24列出方程，求出x的值即可．
【解答】解：设较短的直角边长为x，则另一条直角边长为x+2，
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∵直角三角形的面积是24， ∴x（x+2）＝24，
解得x＝6或x＝﹣8（舍去）， ∴较短的直角边长为6． 故答案为：6．
【点评】本题考查的是直角三角形的面积以及一元二次方程的解法，根据三角形的面积公式列出方程是解答此题的关键．
8．（5分）若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3．CD＝1，则△ABC的面积等于 2 ．
【分析】首先根据题意画出图形，求出BC，再根据三角形的面积公式列式计算即可．
【解答】解：如图． ∵BD＝3，CD＝1， ∴BC＝BD﹣CD＝2，
又∵AD是BC边上的高，AD＝2，
∴△ABC的面积＝BC•AD＝×2×2＝2． 故答案为2．
【点评】本题考查了三角形的面积，三角形的高的定义，掌握钝角三角形的高的画法进而画出图形是解题的关键．
9．（5分）若点A（3，m）在直角坐标系的x轴上，则点B（m﹣1，m+2）到原点O的距离为 ．
【分析】首先根据x轴上的点纵坐标为0得出m的值，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：∵点A（3，m）在直角坐标系的x轴上，
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∴m＝0，
∴点B（﹣1，2）到原点O的距离为：故答案为
．
＝
．
【点评】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．求出m的值是解题的关键．
10．（5分）若一个直角三角形的两直角边长分别为12、5，则其斜边长为 13 ． 【分析】由两个直角边的长度，利用勾股定理可求出斜边的长度，此题得解． 【解答】解：故答案为：13．
【点评】本题考查了勾股定理，牢记“在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方”是解题的关键． 三、解答题（ 本大题共5小题，共50.0分）
11．（10分）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，AB＝BC+1，求Rt△ABC的面积．
【分析】根据题意表示出AB，BC的长，再利用勾股定理得出AB的长． 【解答】解：如图所示：设AB＝x，则BC＝x﹣1， 故在Rt△ACB中， AB2＝AC2+BC2， 故x2＝52+（x﹣1）2， 解得；x＝13， 即AB＝13． ∴BC＝12，
∴S△ABC＝•AC•BC＝×5×12＝30．
＝13．
【点评】此题主要考查了勾股定理，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．
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12．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P、Q是边AC、BC上的两个动点，PD⊥AB于点D，QE⊥AB于点E．设点P、Q运动的时间是t秒（t＞0）．若点P从C点出发沿CA以每秒3个单位的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回到点C停止运动；点Q从点B出发沿BC以每秒1个单位的速度向点C匀速运动，到达点C后停止运动，求当t为何值时，△APD和△QBE全等．
【分析】分两种情况：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP＝AC﹣CP＝8﹣3t，BQ＝t，求得t＝2，②t≥时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t，求得t＝4．
【解答】解：①0≤t＜时，点P从C到A运动，则AP＝AC﹣CP＝8﹣3t，BQ＝t，
当△ADP≌△QBE时， 则AP＝BQ，
即8﹣3t＝t，解得：t＝2，
②t≥时，点P从A到C运动，则AP＝3t﹣8，BQ＝t， 当△ADP≌△QBE时， 则AP＝BQ， 即3t﹣8＝t， 解得：t＝4，
综上所述：当t＝2s或4s时，△ADP≌△QBE．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是正确进行分类讨论，不要漏解．
13．（10分）如图，在△ADC中，∠C＝90°，AB是DC边上的中线，∠BAC＝30°，若AB＝6，求AD的长．
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【分析】求出AC、CD，利用勾股定理求出AD即可；
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6， ∴BC＝AB＝3， 在Rt△ABC中，AC＝
＝3
，
∵AB是DC边上的中线，∴DB＝BC＝3， 所以CD＝6， 在Rt△ACD中，AD＝答：AD的长是3
＝＝3．
【点评】本题考查勾股定理，中线的定义，直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
14．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm．求： （1）BC的长； （2）△ABC的面积；
【分析】（1）直接根据勾股定理求得BC的长即可， （2）利用三角形的面积公式可求出△ABC的面积． 【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，
第11页（共12页）
∴BC＝＝4cm；
（2）S△ABC＝AC•BC＝6cm2．
【点评】本题考查了勾股定理的运用以及直角三角形面积公式的运用，熟记勾股定理的内容是解题的关键．
15．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BD＝8，∠ACD＝45°． （1）求线段AD的长； （2）求△ABC的周长．
【分析】（1）由AD⊥BC可得出∠ADB＝90°，在Rt△ABD中，利用勾股定理即可求出AD的长；
（2）由AD⊥BC、∠ACD＝45°可得出△ACD为等腰直角三角形，结合AD的长度可得出CD、AC的长度，再利用周长的定理即可求出△ABC的周长． 【解答】解：（1）∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝90°．
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝10，BD＝8， ∴AD＝
＝6．
（2）∵AD⊥BC，∠ACD＝45°， ∴△ACD为等腰直角三角形， 又∵AD＝6， ∴CD＝6，AC＝6
，
．
∴C△ABC＝AB+BD+CD+AC＝24+6
【点评】本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及三角形的周长，解题的关键是：（1）在Rt△ABD中利用勾股定理求出AD的长；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CD、AC的长．
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