中考中的动态几何问题 中考经典

孔令森 宋艳

动态几何问题，是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类问题，常见形式是：点在线段或弧线上运动、图形的翻折、平移、旋转等，解这类问题的基本策略是： 1. 动中求静。即在运动变化中探索问题中的不变性；

2. 动静互化。抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动与静”的关系；

3. 以动制动。即建立图形中两个变量间的函数关系，通过研究函数，来研究变量元素间的关系。下面举例说明一下这类问题的求解。 一. 动中求静。

 例1 如图（1）⊙O半径为r，点C、D是直径AB 同侧圆上的两点，AC的度数为96°，BD的度数

为36°，动点P在AB上，则PC+PD的最小值是 。

图（1）

分析：动中求静，由PC+PD的最小值联想到对称性，则PC与PD转化到一条线段上，两点之间线段最

短。找D关于AB的对称点D'，连结CD'。即找到PC+PD最小时P点位置，则CD'的度数为120°，在COD'中，COD'120，OCr，则CD3r

二. 动静互化。 例2 如图（2），在直角梯形ABCD中，AD//BC，B90，AB8cm，AD24cm，BC26cm，AB为⊙O直径，动点P从A点开始沿AD边向点D以1cm/秒速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/秒的速度运动，P、Q分别从A、C两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒。

图（2）

求：（1）t分别为何值时，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形？（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切、相交、相离？

分析：对于（2）首先要将P、Q的运动转化到直线PQ的运动中，要探求时间t对直线PQ与⊙O位置关系的影响，可先动中取静，即先考察“直线PQ与⊙O相切”这一整个运动过程中的特殊一瞬，然后再结合PQ的初始与终止状态一起加以考察，动静互化。 解：

（1）QC=PD时，即3t24t,t6,四边形PQCD为平行四边形。

（2）PQ=CD，PD≠QC时，即t7时，四边形PQCD为等腰梯形。（略解） （2）设运动t秒时，PQ与⊙O切于G点，连结OP、OQ、OG。则POQ为Rt， OG2PGGQAPBQ。 即 4t(263t),t 故当 t22或8。 32或8时，PQ与⊙O相切； 322 当 0t 或 8t8 时，PQ与⊙O相交。

3326228）；当t8时，PQ与⊙O相离。 （Q运动到C时，t333三. 以动制动。

1 例3 已知，如图（3），AB为半圆O的直径，弦BC25,cotB,ADDC, PD与半圆O相切

2于D点，DP与BA的延长线交于P点。

图（3）

（1）求四边形PBCD的面积；

（2）若M、N两点分别在线段PD与PB上运动，（M不与P、D两点重合），且MN//BC，PNx，五边形MNBCD的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围。

分析：对于①通过作辅助线，把四边形PBCD的面积表示为常规图形面积的和，即

SPBCDSABCS梯形PACD ，须计算出相关线段的长，对于②建立运动函数关系，就可整体地把握问题。yS四边形PBCDSPMN ，由比例线段把PM、MN用x的代数式表示。

解：

（1）连结OD、AC交于E点， 则OD⊥AC，PD∥AC，

RtACB中，AC45，AECE25 。 AB10，OD5 ，

DE（10DE）（25） 。 DE55。

又BCAC，ODAC。

2

OD∥BC，AODB，PD10

S四边形PACDSABD3555 。 S四边形PBCD（2）由 PAPBPD，

PA555,PO55 。 又MN∥BC，DO∥BC， MN∥DO。 2PNPMMN， POPDDO 得PM25x 。 5 MN y

51x，SPMNx2 。 5512x3555(0x55) 5