勾股定理典型练习题

一、基础知识点： １．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2b2c2 ２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：

1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化简可证．

2方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形

DHEFbAcGaC1的面积与小正方形面积的和为S4abc22abc2 大正方形面积为

2S(ab)a2abb 所以a2b2c2

222Bbacabc111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化简得证

222３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征。

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，C90，则ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量

bccbaaAaDbccBbEaC关系③可运用勾股定理解决一些实际问题 ５.勾股定理的逆定理

如果三角形三边长a，b，c满足a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

① 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形

的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a2b2与较长边的平方c2作比较，若它们相等时，以a，b，c为三边的三角形是直角三角形；

② 若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的三角形是钝角三角形；若a2b2c2，时，以a，b，c为三边的

三角形是锐角三角形； ③ 定理中a，b，c及a2b2c2只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a，b，c满足

a2c2b2，那么以a，b，c为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 ６.勾股数

①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a2b2c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数

②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n组勾股数：n21,2n,n21（n2,n为正整数）；2n1,2n22n,2n22n1（n为正整数）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n为正整数）

７．勾股定理的应用

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解． ８.勾股定理逆定理的应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．

９.勾股定理及其逆定理的应用

勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：

CCC30°ABADBBDA

10、互逆命题的概念

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

二、经典例题精讲

题型一：直接考查勾股定理

例题1例１.在ABC中，C90． C ⑴已知AC6，BC8．求AB的长

⑵已知AB17，AC15，求BC的长：

A DB

题型二：利用勾股定理测量长度

例题3 如图（8），水池中离岸边D点1.5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0.5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC.

题型三：勾股定理和逆定理并用——

例题4 如图3，正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上一点，且FB形吗？为什么？ 例题5 如图4，已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将叠使点D恰 好落在BC边上的点F，求CE的长. 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直—— 1AB那么△DEF是直角三角4△ADE折例题6如图5，王师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？ 题型六：旋转问题： 变式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的边长.

变式2、如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的点，且∠EAF=45 试探究BE、CF、EF间的关系，并说明理由.

222

题型七：关于翻折问题

例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm，BC=6cm，E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在CD边上的点G处，求BE的长.

变式：如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿直线AD翻折，点C落在点C’的位置，BC=4,求BC’的长.

题型八：关于勾股定理在实际中的应用：

例1、如图，公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学，AP=160米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到影响，请说明理由；如果受到影响，已知拖拉机的速度是18千米/小时，那么学校受到影响的时间为多少？

题型九：关于最短性问题

例5、如右图1－19，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在 自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它 故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷

袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?（π取3.14，结果 保留1位小数，可以用计算器计算）

变式：如图为一棱长为3cm的正方体，把所有面都分为9个

小正方形，其边长都是1cm，假设一只蚂蚁每秒爬行2cm，则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟？

一、选择题

1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的是 ( ) A. 9,12,15 B.5,12,13 C. 6,8,10 D. 3,5,7 3.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形 ( ) A.可能是锐角三角形 B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形 D.可能是钝角三角形

4.在测量旗杆的方案中，若旗杆高为21m，目测点到杆的距离为15m，则目测点到杆顶的距离为（设目高为1m） ( )

A.20m B.25m C.30m D.35m

5.一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为 ( )

A. 12cm B.

C.

D.

6．已知直角三角形一个锐角60°，斜边长为1，那么此直角三角形的周长是（ ） A.

533 B.3 C.3+2 D. 22

二、填空题

7.如图,、400分别为所在正方形的面积，则图中字母A所代表的正方形面积是 _______ .

(第5题) （第6题)_ 8. 如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处.树折断之前有______米. 9.已知甲往东走了4km，乙往南走了3km，这时甲、乙两人相距 .

10.一个长方形的长为12cm，对角线长为13cm，则该长方形的周长为 .

11.以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，则Sk＝ . 12.直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边上的高为 . 13．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，则AC的长必为______cm.

三、解答题

11.P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE的位置，若BP＝a.求：以PE为边长的正方形的面积.

12.已知:如图13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC边上的高.

13.从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？

13.如下图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他的小屋位于他的南7km东8km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

小河 北 A 牧童 东

B 小屋

1、如图，∠C=90°，AC=3，BC=4，AD=12，BD=13， 判断△ABD的形状，并说明理由。

2、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2－b2c2=a4－b4，试判断△ABC的形状.

3、（10分）已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.

试判断△ABC的形状.

4、已知：在△ABC中，∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线，CD=6cmBD=10cm，求AC的长？

5、已知：在△ABC中，AB=13cm，AC=5cm，边上的中线AD=6cm，

求BC的长？

6、 已知：在△ABC中，∠C=90°,BD、AE分别是AC、BC边的中线，AE=

AB边的长？

73, BD=52, 求