平行四边形的判定典型例题与练习

一、知识点复习

1、平行四边形的判定

平行四边形的判定方法 ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 ②一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 ③两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 ④对角线相互平分的四边形是平行四边形。 2、平行线等分线段和三角形中位线定理 （1）平行线等分线段定理：

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

（2）平行线等分线段定理的推论:

经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边。

（3）三角形的中位线:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（4）三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一

半。

3、三角形的重心

（1）重心的定义：三角形的三条中线交于一点，这点就是三角形的重心。

（2）重心的性质：三角形的三条中线相交于一点，这点和各边中点的距离等于相应各边

上中线的三分之一。

二、典型例题讲解 模块1：平行四边形的判定

题型1：平行四边形的判定

例题1：如图所示，在平行四边形ABCD中，AE,CF分别是DAB，BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。

例题2：如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，以AD为边向左侧作等边三角形ADE。

（1）求CAE的度数。

（2）取AB的中点F，连接CF、EF。试证明四边形CDEF是平行四边形。

例题3：如图，在平行四边形ABCD中，BD为对角线，E,F是BD上的点，且BEDF. 求证：四边形AECF是平行四边形。

变式练习：

1.如图，在ABC中，中线BD，CE相交于点O,F、G分别是OB、OC的中点，连接EF,FG,GD,DE，求证：四边形DEFG是平行四边形。

2.如图，已知AB//DE，ABDE，AFDC，求证：四边形BCEF是平行四边形。

3.如图，四边形ABCD中，AD//BC，作AE//DC交BC于E。ABE的周长是25cm，四边形ABCD的周长是37cm，那么AD cm。

题型2：添加条件证明平行四边形

例题4：如图，在四边形ABCD中，DACACB，要使四边形ABCD成为平行四边形，则应添加的条件不能是（ ）

A、ADBC B、OAOC C、ABCD D、ABCBCD180 例题5：A、B、C、D在同一平面，从①AB//CD；②ABCD；③BC//AD；④BCAD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有 种。 变式练习

1.(如图，四边形ABCD的对角线交于点O，下列哪组条件不能判断四边形ABCD是平行四边形（ ）

A、OAOC,OBDO B、BADBCD,AB//CD C、AD//BC,ADBC D、ABCD,AOCO 2. 已知在四边形ABCD中，AB//CD，添加下列一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A、ADBC B、ACBD C、AC D、AB 3.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F是对角线BD上两点，连接AE,AF, CE,CF,添加 条件，可以判定四边形AECF是平行四边形。（填一个符合要求的条件即可）

4.四边形ABCD中，AD//BC，要使四边形ABCD成为平行四边形还需满足的条件是 （横线上只需填一个你认为合适的条件即可）

题型3：平行四边形的判定与性质的综合应用

例题6：已知：如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过点B作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF。 （1）求证：FBCO；

（2）求证：四边形AOBF是平行四边形。

例题7：如图所示，O为等边ABC任意一点，OD//BC，OE//AC，OF//AB，并且D、E、F分别在AB、BC、AC上，求证：ODOEOFBC．

例题8:如图所示，BD是ABC的角平分线，点E,F分别在边BC,AB上，且DE//AB,EF//AC. （1）求证：BEAF；

（2）若ABC60,BD6,求四边形ADEF的面积。

 变式练习

1. 如图，P是等边三角形ABC外一点，且PD//AB,PE//BC，PF//AC，若ABC的周长是36，则PDPFPE= 。

2.如图，在平行四边形ABCD中，AC交BD于点O,AEBD，CFBD，垂足分别为E,F，求证：四边形AECF为平行四边形。

3. 如图所示，在平行四边形ABCD中，C60,M,N分别是AD,BC的中点，BC2CD. （1）求证四边形MNCD是平行四边形； （2）求证BD3MN.

题型4：平行四边形中的动点问题

例题18：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，点P、Q分别从A、C两点的位置同时出发，点P以1cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动．试探究：几秒后四边形ABQP是平行四边形？

例题19：如图，在四边形ABCD中，AD//BC,AD6，BC16，E是BC的中点。点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动。点P停止运动时，点Q也随之停止运动。当运动时间t为多少秒时，以P,Q E,D为顶点的四边形是平行四边形。

变式练习

1.如图：在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分别从A、C同时出发，P以1cm/s的速度由A向D运动，Q以2cm/s的速度由C向B运动，______秒时直线QP将四边形截出一个平行四边形．

2. 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，B90,AB8cm，

AD24cm，BC26cm，点P从点A出发，以1cm/S的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动。规定，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，从运动开始，使PQ//CD和PQCD,分别需经过多少时间？为什么？

模块2：三角形的中位线

题型1:直接利用三角形的中位线性质

例题1：如图，在ABC中，AB5,BC6,AC7,点D,E,F分别是ABC三边的中点，则DEF的周长为（ ）

A、9 B、10 C、11 D、12

例题2：如图，ABC周长为1，连接ABC三边中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，以此类推，第2018个三角形的周长为（ ）

A、22016 B、22017 C、22018 D、22019 变式练习

1. 已知三角形的3条中位线分别为3cm、4cm、6cm，则这个三角形的周长是（ ） A、3cm B、26cm C、24cm D、65cm 2.如图所示，EF是ABC的中位线，BD平分ABC,交EF于D,若DE2，则EB 。

题型2：利用三角形的中位线解决图形的面积问题

例题3：如图，DE是ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G,若CEF的面积为12cm，则SDGF的值为（ ）

2 A、4cm B、6cm C、8cm D、9cm 例题4：如图，ABC的面积是12，点D、E、F、G分别是BC、AD、BE、CE的中点，则AFG的面积是（ ）

2222 A、4.5 B、5 C、5.5 D、6 变式练习

1. 如图，在ABC中，ABAC，M,N分别是AB,AC的中点，D,E为BC上的点，连接DN,EM。若AB13cm，BC10cm，DE5cm，则图中阴影部分面积为（ ）cm。

A、25 B、35 C、30 D、42

2 第1题 第2题

2.如图，在ABC中，BAC90,AB4,AC6,点D,E分别是BC,AD的中点，AF//BC交CE的延长线于F，则四边形AFBD的面积为 。 题型3：与三角形中位线有关的动点问题

例题4：如图，四边形ABCD中，A90,AB8,AD6,点M,N分别为线段BC,AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E,F分别为DM,MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A、8 B、6 C、4 D、5

变式练习

1. 如图，已知四边形ABCD中，R,P分别是BC，CD边上的点，E,F分别是AP,RP的中点，当点P在CD上从C向D移动而点R不动时，下列结论成立的是（ ） A、EFP的周长不变 B、线段EF的长与点P的位置无关 C、点P到EF的距离不变 D、APR的大小不变

2. 如图，已知四边形ABCD中，C90,点P是CD边上的动点，连接AP，E,F分别是AB,AP的中点，当点P在CD上从点D向点C移动过程中，下列结论成立的是（ ）

A、线段EF的长先减小后增大 B、线段EF的长不变 C、线段EF的长逐渐增大 D、线段EF的长逐渐减小

 题型4：三角形中位线性质的综合应用

例题5：如图，在ABC中，点D是边BC的中点，点E在ABC，AE平分BAC，CEAE，点F在边AB上，EF//BC. （1）求证：四边形BDEF是平行四边形；

（2）线段BF、AB、AC的数量之间具有怎样的关系？证明你所得到的结论。

变式练习

BDAO的延长线于点D,E是BC1.如图所示，已知AO是ABC中BAC的平分线，的中点。求证：DE1(ABAC). 2 课后作业 一、选择题。

1. 下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（ ） A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B.两组对边分别相等的四边形是平行四边形

C.一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形 D.对角线相互平分的四边形是平行四边形

2. 能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（ ） A、AB//CD,ADBC B、AB,CD C、AB//CD,CA D、ABAD,CBCD 3. 小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（ ） A、①，② B、①，④ C、③，④ D、②，③

第3题 第4题 第5题

4. 如图，ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分ABC，交DE于点F，若BC6，则DF的长是（ ）

A、3 B、2 C、5 D、4 25. 如图，M是ABC的边BC的中点，AN平分BAC, BNAN于点N,且AB10,BC15,MN3,则AC的长是（ ）

A、12 B、14 C、16 D、18

6. 如图，在ABC中D，E分别是AB,AC的中点，点F,G在BC上，且

BC4BF4CG,EF与DG相交于点O，若DFE40，DGE80，那么DOE的度数是（ ）

A、100 B、120 C、140 D、160  第6题 第7题 第8题

7. 如图，在四边形ABCD中，AB//CD,ADBC5，DC7，AB13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿ADDC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动。当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（ ）

A、4s B、3s C、2s D、1s 8. 如图，平行四边形ABCD中，AB6cm，AD10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P,D,Q,B四点组成平行四边形的次数有（ ） A、1次 B、2次 C、3次 D、4次

二、填空题。

9.如图，在ABC中，D,E分别是边AB,AC的中点，B50，先将ADE沿DE折叠，点A落在三角形所在平面的点为A1，则BDA1的度数为 。

 10.如图，用9个全等的等边三角形，按图拼成一个几何图案，从该图案中可以找出 平行四边形。

11. 如图，已知BC为等腰三角形纸片ABC的底边，ADBC,BAC90,将

此三角形纸片沿AD剪开，得到两个三角形，若把这两个三角形拼成一个平行四边形，则能拼出平行四边形 个。

12. 已知直角坐标系有四个点O(0,0),A(3,0),B(1,1),C(x,1)，若以O,A,B,C,为顶点的四边形是平行四边形，则x= 。

13. 如图，在等边三角形ABCD中，BC6cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动。如果点E,F同时出发，设运动时间为t(s)，当t= s时，以A,C,E,F为顶点的四边形是平行四边形。

三、解答题

14.如图，四边形ABCD中，AABC90，AD1,BC3，E是边CD的中点，连接BE并延长，与AD的延长线相交于点F. 求证：四边形BDFC是平行四边形。

 15.如图，在平行四边形ABCD中，AECG,BFDH,连接EF,FG,GH,HE.求证：四边形EFGH是平行四边形。

16.在平行四边形ABCD和平行四边形ADEF中，AB8,AF6,ABAF,M,N分别是对角线AC、DF的中点，求MN的长。

BD交于E点，DF//AC,DFCAEB,17. 如图，平行四边形ABCD是对角线AC、连接EF。

（1）求证：DFAE；

（2）求证：四边形BCFE是平行四边形。

18.如图所示，在四边形ABCD中，ADBC,P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点。请判断PMN的形状，并说明理由。