线性代数讲义-03线性方程组

第一节 线性方程组与矩阵的行等价

一 线性方程组

以前学过求解二元一次方程组与三元一次方程组的方法. 这里研究一般的一次方程组.

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2定义3.1 多元一次方程组称为线性方程组.

am1x1am2x2amnxnbm方程组有m个方程, n个未知数xi(i1,2,,n), 而aij(i1,2,,n;j1,2,,m)是

未知数的系数, bj(j1,2,,m)是常数项.

如果bj0(j1,2,,m), 则称为齐次线性方程组, 否则称为非齐次线性方程组. 数组c1,c2,,cn是方程组的一个解, 如果用它们分别代替方程组中的未知数x1,x2,,xn, 可以使方程组变成等式组. 方程组的全部解的集合称为方程组的通解. 相对于通解, 称方程组的一个解为特解.

定义3.2 如果两个线性方程组有相同的通解, 则称它们同解.

按照定义, 两个方程组同解是指它们的解的集合相等. 集合相等是一种等价关系, 因此方程组同解也是一种等价关系. 特别, 方程组同解具有传递性.

通过消元, 可将线性方程组变成比较简单的同解方程组, 从而得到原方程组的解.

2x1x23x31 例3.1 解线性方程组2x1x2x35.

4xx2x5231解 从上向下消元, 得同解方程组组.

2x1x23x312x22x34. 这种方程组称为阶梯形方程

x332x13从下向上消元, 得同解方程组2x210.

x33再除以第一个未知数的系数, 得线性方程组的解x13/2, x25, x33.

解线性方程组的基本方法是加减消元法. 求解过程中常用三种运算. 定义3.3 下列三种运算称为方程组的初等变换. (1) 交换两个方程的位置;

(2) 用一个非零常数乘以一个方程;

(3) 将一个方程的k倍加到另一个方程上去.

注意 如果用一种初等变换将一个线性方程组变成另一个线性方程组, 则也可以用初等变换将后者变成前者. 即初等变换的过程是可逆的.

30

定理3.1 用初等变换得到的新的线性方程组与原方程组同解.

证 先证明只进行一次初等变换.

首先如果一组数是原方程组的解, 则它满足方程组中的每一个方程. 此后, 无论进行的是哪种初等变换, 这组数也满足新方程组的每个方程, 因此是新方程组的解. 反之, 由于初等变换的可逆性, 新方程组的解也是原方程组的解. 因此, 两个方程组同解.

最后, 由于方程组同解的传递性, 进行任意多次初等变换所得方程组与原方程组同解.

二 矩阵的行等价

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2112222nn2用矩阵乘法, 可以将线性方程组写作

am1x1am2x2amnxnbma11a12a1nx1b1a21a22a2nx2b2, am1am2amnxnbm称为线性方程组的矩阵表示. 其中mn矩阵A(aij)称为方程组的系数矩阵, n1列矩阵

x(x1,x2,,xn)称为未知数(矩阵), m1列矩阵b(b1,b2,,bm)称为常数(矩阵). 此时, 线性方程组可以简写作Axb.

如果数组c1,c2,,cn是线性方程组Axb的解, 令列矩阵(c1,c2,,cn), 则有矩阵等式Ab. 列矩阵(c1,c2,,cn)是方程组的解的矩阵表示.

将常数矩阵添加到系数矩阵上作为最后一列, 得到分块矩阵A(A,b), 称为线性方程组的增广矩阵.

线性方程组与其增广矩阵是互相唯一确定的. 因此, 可以将方程组的语言翻译成矩阵的语言. 从线性方程组的初等变换, 产生矩阵的行初等变换的概念.

定义3.4 设A是矩阵, 则下列三种运算称为对矩阵A的行初等变换.

(1) 交换A的两行;

(2) 用非零常数k乘以A的一行;

(3) 将A的一行的k倍加到另一行上去.

定义3.5 如果通过行初等变换, 可以将矩阵A变成矩阵B, 则称矩阵A与B行等价. 记作AB.

仿照定理3.1的证明, 可以得到下面的结果.

性质3.1 行等价是一种等价关系, 即具有下述性质.

rA; (1) 反身性: A(2) 对称性: 如果AB, 则BA;

rrrrB,BC, 则AC. (3) 传递性: 如果A当一类对象具有多种不同的等价关系时，要用不同的符号予以区别. 矩阵的相等是一种等价

关系, 已经用等号表示为AB. 作为矩阵的另一种等价关系, 行等价使用符号AB.

用矩阵的行等价的概念, 可以将定理3.1写作:

rrr 31

定理3.2 如果两个线性方程组的增广矩阵行等价，则这两个线性方程组同解.

通过初等变换, 可以从线性方程组产生一个阶梯形方程组. 换成矩阵的语言, 通过行初等变换, 可以从矩阵产生下面的具有特殊结构的矩阵.

如果矩阵中某行中所有元素都是0, 则称为零行, 否则称为非零行. 定义3.6 具有下面的性质的矩阵称为行阶梯形阵. (1) 非零行在上, 零行在下;

(2) 每个非零行的第一个非零元素(首元素)在上面的非零行的首元素的右下方.

2131例3.2 用行初等变换化简矩阵A2115.

4125 解 做行初等变换, 得

121312131213rr02240224. A2115034300134125 经过消元, 得到的已经是行阶梯形阵. 继续消元, 得

121321082003rrrA02240201002010.

001300130013最后, 每行除以其首元素, 得

20031003/2rrA020100105.

00130013 定义3.7 具有下列性质的行阶梯形阵称为行最简阵.

(1) 每个非零行的首元素等于1;

(2) 包含首元素的列的其它元素都是0.

在例3.2中, 最后得到的是行最简阵. 由以上的讨论, 可得下面的定理. 定理3.3 对于任意矩阵A, 存在一个行最简阵R, 使得A与R行等价.

如果矩阵A与行阶梯形阵R行等价，则称R是A的行阶梯形阵. 如果A与行最简阵R行等价, 则称R为矩阵A的行等价标准形.

其实, 例3.2中的矩阵就是例3.1中线性方程组的增广矩阵. 而矩阵的行初等变换的过程与线性方程组的初等变换的过程完全一样. 唯一的区别在于这里只有系数和常数, 没有未知数和等号. 由于增广矩阵与线性方程组可以互相唯一确定, 缺少未知数和等号完全不影响问题的解决.

习题3-1

x1x2x3x45x2xx4x212341. 写出线性方程组的系数矩阵与增广矩阵, 并用消元法求解.

2x3xx5x223413x1x22x311x40 32

2131545, 写出该线性方程组, 并用消元法2. 设线性方程组的增广矩阵为322531816求解.

3. 求下列矩阵的行等价标准形.

0210231031; (2) 0343;

0471043134323137354112024. ; (4) 32830232023743421312311 4. 求t的值, 使得矩阵31532的行等价标准形恰有两个非零行.

2122t

1（1）2313(3) 23第二节 矩阵的秩

一 矩阵的秩的定义

定义3.8 设矩阵A(aij)mn, 从A中任意选取k行,k列(kmin{m,n}), 位于这些行与列的交叉点上的k个元素按照原来的相对位置构成的k阶行列式称为A的一个k阶子式.

242139的第一,三行, 第二，四列的二阶子式为 例如, 位于矩阵A01702133213.

23一个mn矩阵有CmCn个k阶子式. 矩阵的每个元素都是它的一个一阶子式. 而n阶方阵的行列式是它的唯一的n阶子式.

定义3.9 如果矩阵A(aij)mn中有一个r阶子式不等于零, 而所有r1阶子式都等于零, 则称矩阵A的秩等于r. 记作rank(A)r.

如果矩阵的所有r1阶子式都等于零, 根据行列式按照一行展开, 可以证明所有更高阶的子式也都等于零. 因此, 矩阵的秩等于它的不等于零的子式的最高阶数.

约定 对于零矩阵O, 约定rank(O)0. 由矩阵的秩的定义, 可以得到下面简单事实: (1) 设A是非零矩阵, 则rank(A)1;

kk 33

(2) 设A是mn矩阵, 则rank(A)min{m,n};

(3) n阶方阵A可逆的充分必要条件为rank(A)n. 于是, 可逆阵又称为满秩阵.

1230 例3.3 设A0121, 求它的秩.

2460解 左上角的二阶子式不等于零. 而所有四个三阶子式都等于零. 于是, rank(A)2. 例3.4 求对角阵Adiag(a1,a2,,an)的秩.

解 由不等于0的主对角元素所在的行与列确定的子式不等于0. 而阶数高于这个子式的子

式必然有零行. 因此对角阵的秩等于其不等于0的主对角线元素的个数.

例3.5 设矩阵A的秩等于r0, 从A删除一行得到矩阵B, 问B的秩可能取哪些值? 如果给A添加一行呢?

解 因为矩阵B的子式也是矩阵A的子式, 所以B的秩不大于A的秩. 已知rank(A)r, 不妨设A的r阶子式D不等于0. 如果D也是B的子式, 则

rank(B)r. 否则, 根据行列式按照一行展开, 在D的未被删除的r1行中, 至少有一个r1阶子式不等于0. 于是rank(B)r1.

仿照上面的证明, 添加一行所得矩阵的秩等于r, 或者r1.

性质3.2 设A是矩阵, k是数, 则 (1) 转置: rank(A)rank(A);

(2) 数乘: 如果k0, 则rank(kA)rank(A). 证 只证(2).

考虑矩阵A的一个s阶子式Ds, 根据矩阵的性质2.6, 矩阵kA的相应的子式等于kDs. 已知k0, 因此kDs0的充分必要条件为Ds0.

设rank(A)r, 则A有一个r阶子式不等于0, 而所有r1阶子式都等于0. 根据前面的分析, 矩阵kA具有相同的性质. 因此, rank(kA)r.

ss二 行初等变换

用定义计算矩阵的秩时, 需要计算许多个行列式. 计算量非常大. 定理3.4 设矩阵A与B行等价, 则rank(A)rank(B).

证 设一次行初等变换将矩阵A变成矩阵B，且rank(A)r, 则A的所有r1阶子式都等

于0. 下面对于三种行初等变换证明矩阵B的所有r1阶子式也都等于0.

(1) 矩阵A的一行乘以非零常数k. 此时B的一个r1阶子式或者就是A的相同位置的r1阶子式, 或者是A的相同位置的r1阶子式的一行乘以非零常数k. 于是, B的所有r1阶子式都等于0.

(2) 交换矩阵A的两行. 考虑B的一个r1阶子式D, 则A有一个r1阶子式与D的差别至多是行的顺序不同. 于是, B的所有r1阶子式都等于0.

(3) 将A的第j行的k倍加到第i行. 如果B的一个r1阶子式不包含A的第i行, 它就是A的相同位置的r1子式. 如果B的一个r1阶子式D包含A的第i行, 用行列式的性质, 这个子式可以分解为D1kD2, 其中D1就是A的相同位置的r1子式. 如果D不包含A的第

j行, 则D2可以由A的某个r1阶子式经交换行得到. 如果D包含A的第j行, 则D2有两个

34

相同的行. 于是, B的所有r1阶子式都等于0.

总之, rank(B)rrank(A).

另一方面, 由矩阵的行等价的对称性, 也可以用行初等变换将矩阵B变成矩阵A. 从而还有rank(A)rank(B). 于是, 无论做哪种行初等变换, 都有rank(A)rank(B).

最后, 由矩阵的行等价的传递性, 进行多次行初等变换也不改变矩阵的秩.

推论3.1 矩阵的秩等于它的行阶梯形阵中非零行的个数, 也就是行等价标准形中非零行的个数.

证 设矩阵A的行等价标准形R中恰有r个非零行, 则所有r1阶子式都等于0. 另一方面, 它的非零行的首元素所在的列的前r行构成r阶单位阵. 于是rank(R)r. 根据定理3.4, 有

rank(A)r.

11511123 例3.6 求矩阵A的秩. 31811397解 用行初等变换, 得

1115111511511123r0274r0274A. 3181027400001397041480000矩阵A的行阶梯形阵有两个非零行, 因此, rank(A)2.

BO 例3.7 设分块矩阵AOC, 求证: rank(A)rank(B)rank(C).

 证 设矩阵B,C的行等价标准形分别为R和S, 分别对B和C所在的行做行初等变换, 得

BOrROAOS, OC其中R和S分别是B和C的行等价标准形. 将R所在的行中的零行移动到矩阵的最下方, 而不改变非零行的上下顺序, 可得到一个行最简阵. 而且, 这就是A的行等价标准形. 于是, A的行等价标准形中非零行的个数恰等于B与C的行等价标准形中非零行的个数之和.

用这个方法可以证明: 准对角阵的秩等于各对角块的秩的和.

习题3-2

11111. 设矩阵A1257，按照从小到大的顺序排列它的所有二阶子式.

2. 设mn矩阵A的秩等于r, 任取A的s行构成矩阵B, 求证: rank(B)rsm. *3. 设A是mn矩阵，求证：rank(A)1的充分必要条件为: 存在m1非零矩阵B与1n非零矩阵C，使得ABC.

4. 用行初等变换求下列矩阵的秩.

35

1(1) 2411(3) 00033235; (2) 21457101001100011100; (4) 1011021011135. 求t的值, 使得方阵A2132

2132313; 56144135.

42437361323的秩等于2. t325第三节 齐次线性方程组的基础解系

齐次线性方程组的矩阵表示为Ax0.

此时方程组与其系数矩阵A互相唯一确定. 齐次线性方程组Ax0总有零解. 于是, 解齐次线性方程组的基本问题是:

(1) 对给定的齐次线性方程组，判定是否有非零解;

(2) 如果有非零解, 求出所有的解(通解). 性质3.3 如果列矩阵1与2是齐次线性方程组Ax0的两个特解, 则对于任意的数h,k, 列矩阵h1k2也是方程组的解. 证 将h1k2代入方程组, 得

36

A(h1k2)hA1kA2000.

由定理3.2与定理3.3可得解齐次线性方程组的基本路线. 下面通过例题予以说明. 例1求齐次线性方程组

x22x32x46x50xxxxx012345的通解. 3x2xx2x3x0123455x14x23x34x4x50解 首先写出方程组的系数矩阵.

61. 31然后做行初等变换, 由矩阵A产生行阶梯形

阵.

12201111A32123411111122603212354341

37

1111112260r.

0001000000 继续做行初等变换, 得到矩阵A的行等价

标准形.

100010r00010512060010000001051206.

00100000 从行等价标准形得到同解方程组

x1x35x50x2x6x0235. x0400

38

将行等价标准形的非零行中的首元素对应的未知数留在方程组的左边, 将其余未知数移

x1x35x5x2x6x235到方程组的右边, 得到.

x0400任意取定右边未知数(自由未知数)的值, 则

左边未知数(约束未知数)的值也随之确定, 由此产生方程组的一个解.

实际上，由此可以得到方程组的全部解. 设(d1,d2,d3,d4,d5)是方程组的任意的特解, 上面求解时x3与x5可以任意取值, 自然包含取值x3d3与x5d5. 由于(d1,d2,d3,d4,d5)是方程组的解, 必须满足方程组. 因此

d1d35d5,d22d36d5,d40. 于是, 这个特解可以由上面的方法产生. 令x3h,x5k, 得到齐次线性方程组的通解x1h5k,x22h6k,x3h, x40, x5k, 其中h,k是任意常数.

39

在通解中令h1,k0, 得到齐次线性方程组的一个特解(1,2,1,0,0). 反之, 令h0,k1, 得到另一个特解(5,6,0,0,1). 从而得到齐次线性方程组的通解的矩阵表示: xhk, 其中h,k是任意常数. 为了得到方程组的通解, 只须求得特解与， 因此, 称,为齐次线性方程组的基础解系.

注意 将一个自由未知数取1, 其他自由未知数取0, 得到齐次线性方程组的一个特解. 这些特解的集合就是基础解系. 因此, 如果有s个自由未知数, 则方程组的基础解系包含s个特解.

定理3.5 设A是mn矩阵, 则齐次线性方程组Ax0的基础解系中所包含的特解的个数等于nrank(A).

证 根据推论3.1, 系数矩阵A的秩等于行等价标准形R中非零行的个数, 也就是约束未知数的个数. 于是, 未知数的个数n与系数矩阵的秩rank(A)的差等于自由未知数的个数, 也就是基础解系中所包含的特解的个数.

推论3.2 齐次线性方程组只有零解的充分

12121212 40

必要条件为: 系数矩阵的秩等于它的列数. 证 根据定理3.5, 此时没有自由未知数, 于是只有一个零解.

推论3.3 设A是n阶方阵，求证：齐次线性方程组Ax0只有零解的充分必要条件为: 行列式|A|0.

证 根据推论3.2, 齐次线性方程组Ax0只有零解的充分必要条件为rank(A)n. 由矩阵的秩的定义, rank(A)n的充分必要条件为|A|0.

例3.9 设A是n阶方阵, 且rank(A)rn, 求证: 存在n阶方阵B, 满足ABO, 且rank(B)nr.

证 考虑齐次线性方程组Ax0, 根据定理3.5, 它的nr个特解,,,组成基础解系. 即有A0, i1,2,,nr.

构造分块n阶方阵B(,,,,0,,0), 即B的前nr列是基础解系中的特解构成的列矩阵, 后面的r个列的元素都是0. 由基础解系的构造, 在B的前nr列中, 与自由未知数对应的行可以构成一个单位阵, 因此rank(B)nr.

另一方面, 由分块矩阵的运算规则, 有

12nri12nr 41

ABA(1,2,,nr,0,,0)(A1,A2,,Anr,0,,0)O.

习题3-3

1. 求下列齐次线性方程组的通解. (1) (3)

x1x22x30x1x2x302x3x013; (2)

x12x2x33x46x502x14x22x3x45x502x4x2x4x2x023451;

x1x2x3x4x503x2xxx3x012345x22x32x46x505x14x23x33x4x50x12x2x3x4x502xxx2x3x0123453x12x2x3x42x502x15x2x32x42x50; （4）

.

2. 设齐次线性方程组的系数矩阵的列数大于行数, 求证: 该方程组有非零解.

3. 当a满足什么条件时, 齐次线性方程组

ax1x2x30x1ax2x30xxx0231只有零解?

4. 求a的值, 使得齐次线性方程组

ax1x22x30x12x24x30xxx0231有非零解. 并求其基础解系.

5. 设n0, 求证: n次多项式至多有n个两

42

两不同的零点.

第四节 非齐次线性方程组的通解

解非齐次线性方程组Axb的基本问题是: (1) 对于给定的方程组, 判断是否有解; (2) 如果有解, 求出全部解(通解).

定义3.10 将非齐次线性方程组Axb中各方程的右边变成0, 得到的齐次线性方程组Ax0称为方程组Axb的导出组.

性质3.4 设列矩阵1与2是线性方程组Axb的两个特解, 则它们的差12是它的导出组Ax0的解.

证 将12代入导出组的左边, 得 AA(12)A1A2bb0. 推论3.4 如果非齐次线性方程组有解, 则它的通解是它的一个特解与它的导出组的通解的和.

证 首先, 设列矩阵是方程组Axb的特解, 列矩阵是其导出组Ax0的特解, 则有

43

A()AAb0b, 即列矩阵是方程组Axb的解.

其次, 设列矩阵是方程组Axb的任意的特解, 根据性质3.4, 列矩阵是导出组Ax0的解. 移项, 得, 即方程组Axb的任意的特解可以表示为它的取定的特解与导出组Ax0的解的和.

综合两方面, 即得本推论.

注意 求非齐次线性方程组的通解, 只须求出它的一个特解, 以及它的导出组的通解. 而后面的问题已经解决.

在齐次线性方程组的解题路线中, 用增广矩阵代替系数矩阵, 得非齐次线性方程组的解题路线. 现举例说明.

例3.10 求非齐次线性方程组

x22x32x46x524xxxxx712345的通解. 3x12x2x3x43x535x14x23x33x4x513解 首先写出方程组的增广矩阵

44

1220111132113362417.

33113 然后做行初等变换, 由增广矩阵产生行阶

梯形阵.

111117122624032113354331131111171226240r.

000000000000 继续做行初等变换, 得到增广矩阵的行等

价标准形.

45

10001001r000001151712262400000000001151722624.

00000000 从行等价标准形得到同解方程组

x1x3x45x517x2x2x6x242345. 0000将自由未知数移到右边, 得

x1x3x45x517x2x2x6x242345. 0000 将自由未知数取值0, 计算约束未知数的

46

值, 即得非齐次方程组的一个特解(17,24,0,0,0).

根据推论3.3, 还需要求它的导出组的基础解系. 注意到: 如果删除增广矩阵的最后一列, 就是系数矩阵. 在做行初等变换之后, 如果删除增广矩阵的行等价标准形的最后一列, 也就是系数矩阵的行等价标准形. 于是, 如果将非齐次方程组的同解方程组的常数项变成0, 就是它的导出组的同解方程组. 用前面的方法, 得基础解系

1(1,2,1,0,0), 2(1,2,0,1,0),

2(5,6,0,0,1).

于是, 非齐次线性方程组的通解的矩阵表示为xk11k22k33, 其中k1,k2,k3是任意常数.

例3.11 解非齐次线性方程组

x22x32x46x524xxxxx712345. 3x12x2x3x43x525x14x23x33x4x513

47

解 这个方程组的增广矩阵为

12201111321133111112200000000062417.

3311317624.

0100通过行初等变换, 得到行阶梯形阵

在这里, 有一个非零行的首元素在最后一

列. 当从行阶梯形阵出发, 得同解方程组时, 该行对应矛盾方程: 01. 因此, 同解方程组无解. 于是, 原线性方程组无解. 反之, 如果不出现这种情况, 则用前面的方法可以求出通解.

于是, 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的首元素不出现在最后一列(常数项). 下面的定理用矩阵的秩表述这个结论.

48

定理3.6 非齐次线性方程组有解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于它的增广矩阵的秩.

证 在增广矩阵的行阶梯形阵中, 首元素不出项在最后一列的充分必要条件为: 增广矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数等于系数矩阵的行阶梯形阵的非零行的个数. 由推论3.1, 即系数矩阵与增广矩阵有相同的秩.

推论3.5 非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为: 它的系数矩阵的秩等于其列数, 且等于增广矩阵的秩.

证 综合定理3.6和推论3.2即可. 例3.12 当a,b取何值时, 非齐次线性方

x1x2x3x40x2x2x1234程组有唯一解, 无

x2(a3)x32x4b3x12x2x3ax41解, 有无穷多解? 对后者求通解. 解 对增广矩阵做行初等变换, 得

49

110112210101a32b321a1110111221r0

01a32b012a31

012210a10b100a1001111221

0a10b100a10 根据定理3.6, 当a1,b1时无解. 当a1,b1时, 非齐次线性方程组的特解为(1,1,0,0), 导出组的基础解系为1(1,2,1,0), 2(1,2,0,1)，通解为

50

10r0010r00111xk11k22, 其中k1,k2是任意常数. 当a1时有唯一解

1(ba2,a2b3,b1,0).

a1 例3.13 设A是n阶方阵, 且|A|0. 将A分块A(B,C), 其中C是A的最后一列, 求证: 线性方程组BxC无解.

证 线性方程组的增广矩阵就是A, 由|A|0, 增广矩阵的秩等于n. 而线性方程组的系数矩阵B只有n1列, 它的秩不大于n1. 根据定理3.6, 线性方程组BxC无

解.

推论3.6 设A是n阶方阵, 则线性方程组Axb有唯一解的充分必要条件为: 行列式|A|0.

证 充分性. 设|A|0, 则方阵A的秩等于其列数n. 又方程组的增广矩阵(A,b)只有n行, 于是, 由例3.5, 有

nrank(A)rank(A,b)n.

根据推论3.5, 方程组有唯一解.

必要性. 设方程组Axb有唯一解, 根

51

据推论3.5, 方阵A的秩等于其列数n. 于是, 行列式|A|0.

条件|A|0保证方阵A可逆. 用A的逆阵左乘Axb, 得xAb. 这个公式是用逆阵表示线性方程组的唯一解. 从这个公式出发, 可以得到另一个公式. 根据定理2.1, 有

11A*b, xAb|A|其中方阵A*是A的伴随阵. 计算这个矩阵等式的第j行的元素, 得

1xj(A1jb1A2jb2Anjbn),

|A|j1,2,,n.

1根据定理1.3, 等式右边的括号可以看作: 用常数矩阵b代替系数行列式|A|的第j列所得的行列式, 按照第j列的展开式. 将这个行列式记作Dj, 又将|A|改写作D, 则上式为

xjDjD, j1,2,,n.

这个公式是用行列式的商表示线性方程组的唯一解，称为克拉默法则.

52

习题3-4

1. 设列矩阵(i1,2,,,m)是非齐次线性方程组Axb的特解, 数k(i1,2,,,m)满足kkk1, 求证: 列矩阵kkk也是方程组Axb的特解.

2. 求下列非齐次线性方程组的通解.

ii12m1122mm (1) (3)

x1x3x432xx4x3x412343x1x2x317x17x33x43x12x22x323x2xx51232x15x23x34x14x26x30; (2)

x12x23x34x44x2x3x43xx2x2134; ,

; (4)

x2x3xn1xn1xxxx213n1nx1x2xn2xn1n其中n1.

3. 求证: 线性方程组4. 求

b2x1x2x3x41x12x2x34x42x7x4x11xb2341x12x2x3x42x1x22x3x43xx4x5x22341无解.

的值, 使得线性方程组有解, 并求其通解.

5. 当a,b,c,d满足什么条件时, 线性方程组

53

x1x2axxb34x1x3cx2x4d有解? 并求其通解.

x12x23x31x13x26x322x3xaxb231 6. 当a,b取何值时, 线性方程组

有唯一解, 无解, 有无穷多解? 对后者求其通

解.

*7. 设A是n阶方阵, b是n1矩阵, 且分块方

Ab阵满足rankb0rank(A), 求证: 非齐次线性方程

组Axb有解.

第五节 初等方阵与初等变换

一 初等方阵

定义3.11 对单位阵E做行初等变换所得方阵称为初等方阵.

三种行初等变换产生三种初等方阵:

(1) 交换E的第i行与第j行所得方阵记作Pij;

(2) 用非零常数k乘以E的第i行所得方阵记作Di(k);

(3) 将E的第j行的k倍加到第i行所得方阵记作Tij(k). 三种初等方阵是可逆阵, 且它们的逆阵也是初等方阵. 实际上, 有

1PijPij, Di1(k)11Di, Tij(k)Tij(k).

k

定理3.7 对矩阵A做一种行初等变换, 相当于左乘一个相应的初等方阵.

注意 定理3.7在矩阵的相等与矩阵的行等价之间建立了联系, 从而可以用矩阵的运算性质研究矩阵的行等价. 下面将看到, 有时这是非常方便的.

推论3.7 任意矩阵A可以表示成AE1E2EsR, 其中Ei是初等方阵, R是A的行等价标准形.

证 对A做行初等变换, 可得其行等价标

55

准形R. 这个过程相当于用一系列初等方阵Ei左乘矩阵A. 即有EsE2E1AR. 由于初等方阵可逆, 用它们的逆阵逐个左乘此式, 得

111AE1E2EsR. 因为初等方阵的逆阵还是初等方阵, 换符号即得推论中的表示.

推论3.8 方阵A可逆的充分必要条件为: 它可以表示成初等方阵的乘积.

例3.14 设A,B都是mn矩阵, 求证: A与B行等价的充分必要条件为存在m阶可逆阵P, 使得PAB.

二 矩阵方程

矩阵方程AXB, 其中A是n阶可逆阵, B是nm矩阵, 而X是nm未知矩阵.

已知A是可逆阵, 用其逆阵左乘方程, 得

1矩阵方程的解XAB.

对于可逆阵A, 存在初等方阵Ei, 使得EsE2E1AE. 用同样的初等方阵左乘矩阵

56

方程AXB, 得

EsE2E1AXEXXEsE2E1B 这个等式说明, 对可逆阵A与矩阵B做相同的行初等变换, 当将A变成单位阵时, 矩阵B变成矩阵方程AXB的解XA1B.

例3.15

21设方阵A1210,B114311112矩阵方程AXB.

解 做分块矩阵: 左边部分是A, 分是B. 做行初等变换, 得

A|B

211113210432111125111125r210432 211113 57

32, 解

5右边部

532278 01341002/318/3108/3510/3. 013418/32/311于是，XAB8/3510/3.

341 如果矩阵方程AXB中的方阵A可逆, 方阵B是单位阵E, 则用这个方法得到的矩阵方程的解XA1EA1就是A的逆阵. 由此得

1r001r001112到计算逆阵的简单方法.

101 例3.16 求方阵A210的逆阵.

325解 用初等变换法.

A|E

101100210010325001

58

100101r012210

0027211005/211/2r010511

0017/211/25/211/2111. 于是 A57/211/2如果X与B是列矩阵, 用这里的方法可以得

1到线性方程组AXB的解XAB. 而且这

种解法正是前面的消元法.

性质3.5 两个矩阵的乘积的秩不大于每个因子的秩.

证 设A是mp矩阵, B是pn矩阵, rank(A)r. 先证明rank(AB)r.

根据推论3.7, 有EsE2E1AR, 其中A的行等价标准形R恰有r个非零行. 用矩阵B右乘此式, 得EsE2E1(AB)RB. 根据矩阵乘法定义, 矩阵RB至多有r个非零行. 根据定理3.4, 有

59

rank(AB)rank(RB)rrank(A).

转置可证明另一部分.

例3.17 设A是可逆阵,则rank(AB)rank(B).

证1 记矩阵CAB. 由性质3.5, 有rank(C)rank(B). 用逆阵A1左乘CAB, 得 BA1C, 从而有rank(B)rank(C).

上面的证明主要体现了逆阵的一种应用, 并不是最简捷的证明.

证2 已知A是可逆阵，根据推论3.8, 有ABEsE2E1B. 再根据定理3.4, 有rank(AB)rank(B).

三 初等变换

与矩阵的行初等变换类似, 可以定义矩阵的列初等变换.

定义3.12 设A是矩阵, 称下面三种变换为对矩阵A的列初等变换. (1) 交换A的两列;

60

(2) 用非零常数k乘以A的一列;

(3) 将A的一列的k倍加到另一列上去, 与行初等变换类似, 可以定义矩阵的列等价与列等价标准形.

性质3.6 列初等变换与列等价具有下述性质.

(1) 列初等变换不改变矩阵的秩;

(2) 对一个矩阵做列初等变换, 相当于用相应的初等方阵右乘这个矩阵;

(3) 矩阵的列等价是等价关系;

(4) 矩阵B与A列等价的充分必要条件为: 存在可逆阵Q, 使得AQB.

与用行初等变换解矩阵方程AXB类似, 可以用列初等变换解矩阵方程XAB.

211113, 例3.18设A210, B432111解矩阵方程XAB.

解 做分块矩阵, 上边是A, 下边是B. 然后做列初等变换. 当将A变成单位阵时, B变成矩阵方程的解XBA1. 如果用表示列

等价, 则有

61

21111210102121111111111313114323243001100001. 1228/352/3212. 于是X8/352/30102500332例3.19 设分块矩阵(A,B), 求证:

rank(A,B)rank(A)rank(B).

证 设矩阵A,B的列等价标准形分别为R,S, 则R与S分别有rank(A)与rank(B)个非零列. 从而分块矩阵(R,S)有rank(A)rank(B)个非零列. 另一方面, 如果在矩阵(A,B)中分别对两个子块做列初等变换, 则可以得到分块矩阵(R,S). 于是, 有

rank(A,B)rank(R,S)rank(A)rank(B).

62

定义3.13 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. 如果经过初等变换可以将矩阵A变成矩阵B, 则称A与B等价. 由于矩阵的行等价与列等价都是等价关系, 矩阵的等价也是等价关系.

定理3.8 设矩阵A的秩等于r, 则A与形

Er如OO的分块矩阵等价, 其中Er是r阶单O位阵.

证 先做行初等变换, 将矩阵A变成行等价标准形. 再做列初等变换: 用各非零行的首元素消去其右方的非零元素. 最后, 将中间的零列移到非零列的右边, 而不改变非零列的顺序. 经过这些初等变换所得到的矩阵的左上角是一个单位阵, 其他元素等于0. 因为初等变换不改变矩阵的秩, 所以位于左上角的单位阵的阶等于r.

这种形式的矩阵称为矩阵A的等价标准形.

仿照矩阵的初等变换，可以定义分块矩阵的初等变换. 分块矩阵的初等变换, 相当于对矩

63

阵的若干行(或列)同时做初等变换.例如,设A,B,C,D都是mn矩阵,则分块矩阵的初等变换

BrACBD DDC相当于将这个2m2n矩阵的第m1行加到第一行, 第m2行加到第二行, 等等. 因此,

AC分块矩阵的初等变换也不改变矩阵的秩. 从分块矩阵的初等变换的观点, 可以得到例3.19的另一个证明. 用分块矩阵的初等变换与例3.7, 有

ABAOrank(A,B)rankrankOBOBrank(A)rank(B).

习题3-5

120145. 1.解矩阵方程421X231132

1112. 设可逆阵A111, 求方阵X,

1111满足条件AXA2X.

3. 求下列矩阵的逆阵.

1ab (1) A01a;

00132012102(2) A;

1232012111111111 (3) A;

111111111aa2a3a401aa2a32(4) A001aa. 0001a010004. 设mn, 且nm矩阵A与mn矩阵B满足

65

条件ABE, 求证:

rank(A)rank(B)n.

3212. 5. 解矩阵方程X54566. 求方阵X, 满足条件

231976202452X11218129. 5731112315117. 设A,B是mn矩阵， 求证：A与B等价的充分必要条件为: 存在m阶可逆阵P与n阶可逆阵Q，使得BPAQ.

8. 求证: 两个同型矩阵等价的充分必要条件为: 它们具有相同的秩.

9. 设A,B是同型矩阵，求证：

rank(AB)rank(A)rank(B). 10. 设A是n阶方阵, 求证: rank(EA)rank(A)n.

补充材料

66

一 列满秩阵与行满秩阵

可逆阵的秩等于它的阶数(即行数或列数), 因此又称为满秩阵. 在推论3.2中, 满足条件: 秩等于其列数的矩阵称为列满秩阵. 设A是mn列满秩阵, 则mnrank(A). 对于方阵, 列满秩阵就是可逆阵. 因此, 可逆阵可以看作列满秩阵的特例. 可逆阵有许多特殊性质. 这里介绍列满秩阵的相应性质.

在推论3.8的证明中得到: 可逆阵的行等价标准形是单位阵. 用类似的方法可以证明关于列满秩阵的相应结果.

E 命题1 列满秩阵的行等价标准形为O.

对于可逆阵A与同阶方阵B, 有

rank(AB)rank(BA)rank(B). 列满秩阵保留了这里的左乘部分.

命题2 设A是列满秩阵，则rank(AB)rank(B).

证 根据定理3.4与命题1, 有

EBrank(AB)rankBrankrank(B).

OO 由命题2可以证明: 如果A是列满秩阵,

67

且ABO, 则BO.

仿照列满秩阵, 可以定义行满秩阵. 行满秩阵的列等价标准形为E,O. 而且当用行满秩阵右乘一个矩阵时, 也不改变矩阵的秩.

二 多项式插值

命题3 对于任意给定的数对(x,y),(x,y),,(x,y), 其中xxx, 则 存在唯一的不超过n次的多项式P(x)aaxaxax, 使得P(x)y, i0,1,,n.

证 设多项式P(x)aaxaxax满足条件, 则有

0011nn01nn1n01n1niin1n01n1nn1na0a1x0an1x0anx0y0n1na0a1x1an1x1anx1y1n1na0a1xnan1xnanxnyn.

这是有n1个未知数a,a,,a,a的线性方程组, 其

系数行列式是范德蒙行列式的转置. 已知xxx, 则该行列式不等于0. 由推论3.6, 多项式唯一确定.

01n1n01n 68

三 隐函数定理

命题4 设点P(u,v,x,y)的坐标满足隐函数组F(u,v,x,y)0， 其中F,G在点P处有连续偏导数, 且G(u,v,x,y)00000雅可比(Jacobi)行列式

FuGuFv0Gv, 则隐函数组在

该点的一个邻域内唯一确定有连续偏导数的函数uu(x,y)与vv(x,y).

证 以x,y为自变量，u,v为函数. 对自变量x求导, 得

FuGuuFvF0xvxxuGvF0xvxx , 即

FuGuuFvFxvxxuGvFxvxx.

已知其中F,G在点P处有连续偏导数, 且雅可比行列式

FuGuFv0Gv, 由连续函数的性质, 存在点P的一个邻域, 使得在该邻域内, 雅可比行列式都不等于0. 根据推论3.6, 在该邻域内,可以

uv唯一地解出偏导函数与. 由连续函数的性xx质, 有偏导函数连续. 与此类似, 对自变量yuv求导, 可以唯一解出与. 由此可得: 隐函yy

69

数组在该点的一个邻域内唯一确定有连续偏导数的函数uu(x,y)与vv(x,y).

70