2013年1月20 日解析几何上海 高三复习 讲 义5

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哈谷6号学府 教学讲义

学员编号 ： 上课时间 ： 2013 年1 月20 日 第 6 时段 学员姓名： 辅导科目：数 学 年 级：高 三 学科教师：潘文波

课 题 教学目标 主要知识点： （一）直线的倾斜角（）和斜率（k） 1. 定义 倾斜角范围0180 斜率：kR  解析几何：直线的方程，圆的方程 直线的方程，圆的方程 不存在90ky2y1tana[0,90)(90,180)xx212. k与的关系： arctank(k0)arctank(k0)(k不存在)2 （二）直线的方程 （二）直线方程 1. 直线方程的五种形式及适用范围 （1）点方向式： （2）点法向式 （3）斜截式：ykxb 不含与x轴垂直的直线 （4）点斜式：yy0k(xx0) 不含与x轴垂直的直线 yy1xx1x2x1 不含与x轴、y轴垂直的直线 （5）两点式：y2y1xy1ab（6）截矩式： 不含过原点和与x轴、y轴垂直的直线 教育，我们只做精品

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22AxByC0(AB0) 无（可表示任何直线） （7）一般式：注：两点式的“改良”(xx1)(y2y1)(yy1)(x2x1)0 可表示任何直线。 2. 直线系： （1）平行直线系：yk0xb （b为待定系数，斜率k0已知） （2）过定点直线系：yy0k(xx0) （k为待定系数，点(x0,y0)为已知） （3）过两直线交点的直线系：已知L1:A1xB1yC10；L2:A2xB2yC20，则L:(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0 （为参数——待定系数） L是过L1与L2交点的直线系 （不含L2） 若L1//L2，则L是与L1与L2平行的直线系。 注：（1）与已知直线AxByC0平行的直线系：AxBym0（m为参数） （2）与已知直线AxByC0垂直的直线系：BxAyn0（n为参数） （三）两条直线的位置关系 1. 判定两条直线的位置关系（三种：相交、平行、重合） 设L1:yk1xb1；A1xB1yC10 L2:yk2xb2；A2xB2yC20 （1）L1L2Pk1k2或仅有一个不存在A1B2A2B10 L1L2k1k21或一个为零一个不存在A1A2B1B20 （2）L1//L2k1k2且b1b2或k1,k2均不存在A1B2A2B10且A1C2 A2C10 （3）L1与L2重合k1k2且b1b2或k1,k2均不存在A1B2A2B10且A1C2 A2C10 2. 两条直线所成的角（夹角）与直线L1到L2的角 教育，我们只做精品 2

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tan|夹角：k1k2kk1|tan21k1k2 L1到L2的角：1k1k2 d|Ax0By0C|A2B2 3. 点到直线的距离： P(x0y0)到yb的距离为|y0b|；P(x0,y0)到xa的距离为|x0a|， d|C1C2|A2B2 两条平行线l1:AxByC10；l2:AxByC20，则l1与l2的距离 （四）对称性问题（专题）方法——相关点法 1. 对称分两大类 （1）关于点中心对称：点P(x0y0)关于定点A(a,b)中心对称点Q(2ax0,2by0) （2）关于直线轴对称：点P(x0y0)关于直线l:AxByC0的对称点Q(x,y)，则y0yx0xABC022yyA0()1Bxx0AxByCxx2A0A2B2yy2BAxByC0A2B2 解出x,y的值为：2. 常用对称的规律：已知点P(x,y)，直线L:2x3y50 （1）关于X轴对称的对称点Q(x,y)；l:2x3y50 （2）关于Y轴对称的对称点Q(x,y)；l:2x3y50 （3）关于直线Xa的对称点Q(2ax,y)；l:2(2ax)3y50 （4）关于直线yb的对称点Q(x,2by)；l:2x3(2by)50 （5）关于原点O(0,0)的对称点Q(x,y)；l:2x3y50 （6）关于点A(a,b)的对称点Q(2ax,2by)；l:2(2ax)3(2by)50 （7）关于直线yx的对称点Q(y,x)；l:2y3x50 （8）关于直线yx的对称点Q(y,x)；l:2y3x50 （9）关于直线yxa的对称点Q(ya,xa)；l:2(ya)3(xa)50 （10）关于直线yxa的对称点Q(ay,ax)；l:2(ay)3(ax)50 教育，我们只做精品

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[例1] （1）直线2xy30的斜率k ，倾斜角 。 （2）若ab0，则直线axbyc0的斜率 ，倾斜角 。 拓展：取消ab0的，结论如何。 （3）直线L过点M(1,2)且与以P(2,3)，Q(4,0)为端点的线段PQ相交，则斜率的取值范围 ，倾斜角的取值范围 。 （4）若623，则k 。 （5）若2k1时，则 。 aaarctanb 答案：（1）2；arctan2 （2）b；22(,][5,)[arctan5,arctan]55 （3）；(,3](3,)[0,)[arctan2,)34 （5） （4）变式1：若直线l的斜率为sinθ，(0,2),则其倾斜角为( C ) A、θ B、arc sinθ C、arc tan( sinθ) D、π + arc tan( sinθ) 2：已知直线l过点P(－2，－1)且与以A(－1，1)、B (5，－4)为端点的线段相交，那么直线l的斜率的取值范围应是( D ) 3333A、(,) B、(,2) C、(,][0,2) D、[,2] 77773：直线的倾斜角是,且6001200，则直线的斜率是( B ) A、[3,3] B、(,3][3,) C、(,3)(3,) D、(,3) 4：直线xcos3y20的倾斜角的取值范围是_____________． 解：已知直线的方程为ycos3x23，其斜率kcos3． 由kcos313，得tan13， 即33． tan33教育，我们只做精品 4

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由0,，得0,25[,)． 66例2： 已知两直线L1:xmy60；L2:(m2)x3my2m0，当m为何值时，L1与L2 （1）相交（2）平行（3）重合 2ABAB03mm(m2)0 ∴ m(m1)(m3)0 21解：当12时，则（1）当m0时，L1:x60；L2:2x0 ∴ L1//L2 （2）当m1时，L1:xy60；L2:3x3y20 ∴ L1//L2 （3）当m3时，L1:x9y60；L2:x9y60 ∴ L1，L2重合 （4）当m0，m1，m3时，相交。 说明：A1B2A2B10时，L1与L2平行或重合相交且只有有数几个值应先分析。 变式：两条直线l1：(m3)x2y53m，l2：4x(5m)y16，求分别满足下列条件的m的值． (1) l1与l2相交； (2) l1与l2平行； (3) l1与l2重合； (4) l1与l2垂直； (5) l1与l2夹角为45． 分析：可先从平行的条件a1b1(化为a1b2a2b1)着手． a2b2m322得m8m70，解得m11，m27． 45mm353m由得m1． 416解：由(1)当m1且m7时，a1b1，l1与l2相交； a2b2(2)当m7时，a1b1c1．l1//l2； a2b2c2a1b1c1，l1与l2重合； a2b2c2(3)当m1时，(4)当a1a2b1b20，即(m3)42(5m)0，m(5) k111时，l1l2； 3m34，k2． 25m教育，我们只做精品

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由条件有k2k1tan451． 1k2k12将k1，k2代入上式并化简得m14m290，m725； m22m150，m5或3． ∴当m725或-5或3时l1与l2夹角为45． 例3： 直线l过点M（2，1），且分别交x轴、y轴的正半轴于点A、B．点O是坐标原点，（1）求当ABO面积最小时直线l的方程；（2）当MAMB最小时，求直线l的方程． 解：（1）如图，设OAa，OBb，ABO的面积为S，则 S1ab 2ByMA并且直线l的截距式方程是 xy＋＝1 ab由直线通过点（2，1），得 21＋＝1 ab所以:Ox1ab＝＝ 1b121b因为A点和B点在x轴、y轴的正半轴上，所以上式右端的分母b10．由此b2111abb1得:Sb bb1b121b12 b1224 b11，即b2时，面积S取最小值4， b1xy这时a4，直线的方程是:＋＝1 42当且仅当b1即:x2y40 （2）设BAO，则MA＝21，MB＝，如图， cossin教育，我们只做精品 6

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所以 MAMB＝241＝ sincossin2当＝45°时MAMB有最小值4，此时k1，直线l的方程为xy30． 变式：过点P(1,4)引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距为正值，且它们的和最小，求这条直线方程． 分析：利用直线方程的点斜式，通过两截距之和最小求出直线的斜率，从而求出直线方程．或借助直线方程的截距式，通过两截距之和最小，求出直线在两轴上的截距，从而求出直线的方程． 解法一：设所求的直线方程为y4k(x1)． 显见，上述直线在x轴、y轴上的截距分别为1由于14、4k． k40，且4k0可得k0． k直线在两坐标轴上的截距之和为： 444S(1)(4k)5(k)()549，当且仅当k，即k2时，S最小值为9． kkk故所求直线方程为y42(x1)，即2xy60． 解法二：设欲求的直线方程为据题设有xy1(a0，b0)． ab141， ① ab令Sab． ② 14b4a①×②，有S(ab)()5549． ababb4a14当且仅当时，即2ab，且1，也即a3，b6时，取等号． ababxy故所求的直线方程为1，即2xy60． 36例4：不论m取什么实数，直线(2m1)x(m3)y(m11)0都经过一个定点，并求出这个定点． 解法一：对于方程(2m1)x(m3)y(m11)0，令m0，得x3y110；令m1，得x4y100． x3y110解方程组得两直线的交点为(2,3)． x4y100将点(2,3)代入已知直线方程左边，得： (2m1)2(m3)(3)(m11)4m23m9m110． 这表明不论m为什么实数，所给直线均经过定点(2,3)． 解法二：将已知方程以m为未知数，整理为： (2xy1)m(x3y11)0． 由于m取值的任意性，有 2xy10，解得x2，y3． x3y110教育，我们只做精品

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所以所给的直线不论m取什么实数，都经过一个定点(2,3)． 例5：（1）经过点P(2,1)且与直线3x2y60平行的直线l的方程． 因为直线l平行于直线3x2y60，所以可设直线l的方程为3x2yC0． 又点P(2,1)在直线l上，所以322(1)C0，解得C8． 故直线l的方程为3x2y80． （2）过点P(1,1)且与直线2x3y10垂直的直线l的方程． 分析：已知直线l与直线2x3y10垂直，故l的斜率可求，又l过已知点P，利用点斜式可得到l的方程．另外由于l与已知直线垂直，利用垂直直线系方程，再由已知点P，也可确定l的方程． 解法一：由直线2x3y10，知其斜率k2． 313． k2又由l与直线2x3y10垂直，所以直线l的斜率kl又因l过已知点P(1,1)，利用点斜式得到直线l的方程为 y13(x1)，即3x2y50． 2解法二：由直线l与直线2x3y10垂直，可设直线l的方程为： 3x2yC0． 又由直线l经过已知点P(1,1)，有312(1)C0． 解得C5．因此直线l的方程为3x2y50． （3）点P1(2,3)，P2(4,5)和A(1,2)，求过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程． 分析：可以用待定系数法先设出直线方程，再求之；也可从几何意义上考察这样的直线具有的特征． 解：(法1)设所求直线方程为y2k(x1)，即kxyk20，由点P1、P2到直线的距离相等得： 2k3k2k124k5k2k12． 教育，我们只做精品 8

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化简得3k13k3，则有：3k13k3或3k13k3，即k1或方程无解． 3方程无解表明这样的k不存在，但过点A，所以直线方程为x1，它与P1，P2的距离都是3． ∴所求直线方程为y2(x1)或x1． (法2)设所求直线为l，由于l过点A且与P1，P2距离相等，所以l有两种情况，如下图： 13 (1)当P1，P2在l同侧时，有l//P1P2，此时可求得l的方程为y253(x1)，即421y2(x1)； 3(2)当P1，P2在l异侧时，l必过P1P2中点(1,4)，此时l的方程为x1． ∴所求直线的方程为y2(x1)或x1． 例6：已知直线l：x2y80和两点A(2,0)、B(2,4)． (1)在l上求一点P，使PAPB最小； (2)在l上求一点P，使PBPA最大． 分析：较直接的思路是：用两点间的距离公式求出PAPB的表达式，再求它的最小值．这样计算'''量太大也不可行．我们可以求出A关于直线l的对称点A，从而将AP转化为AP，从而当B、P、A13三点共线时，PAPB才最小，对于PBPA最大也可以利用这样的方法． 解：(1)如图，设A关于l的对称点为A(m,n) '教育，我们只做精品 9

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n2,m2'则∴m2，n8．∴A(2,8) m22n8022∴A'B的的是x2，A'B与l的交点是(2,3)，故所求的点为P(2,3)． (2)如下图， AB是方程y即yx2． 0(4)(x2)， 2(2)代入l的方程，得直线AB与l的交点(12,10)， 故所求的点P为(12,10)． 说明：本例利用求对称点的方法巧妙地求出了所求点P的坐标． 一、选择题： 1、若直线x1的倾斜角为，则 （ ） A．0 B 4C2D不存在 3，则y的值等于 （ ） 4 2、经过两点A(4,2y1),B(2,3)的直线的倾斜角为A 1 B 3 C 0 D 2 3、已知A（2，3)，B （3,2），直线l过定点P（1， 1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 （ ） 教育，我们只做精品 10

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3313 B k4 C k D k4或k 4424 4、若从点M（1，2）向直线l作垂线，垂足为点（1，4），则直线l的方程为（ ） A 4k A xy50 B xy50 C xy50 D xy50 5、如果ac0且bc0，那么直线axbyc0不通过 （ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 6、经过点A（1，2），且在两坐标轴上的截距相等的直线共有 （ ） A 1条 B 2条 C 3条 D 4条 7、两直线：xsinycosa0与xcosysinb0的位置关系是 （ ） A 平行 B 垂直 C 重合 D 随变化而确定 3 8、已知直线(m2m4)x(m4)y2m10的倾斜角为，则m的值是（ ） 4 A 2或4 B 4或2 C 4或0 D 0或2 9、直线l与直线2x3y60关于点(1,1)对称，则直线l的方程是 （ ） A 3x2y20 B 2x3y70 C 3x2y120 D 2x3y80 10、a3是直线ax2y3a0和直线3x(a1)ya7平行且不重合的 （ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D 既不充分也不必要条件 二、填空题： 4 1、过点（1，1），倾斜角是直线ycotx的倾斜角的2倍的直线方程是 。 3 2、三角行的三顶点为A（3，3）、B（1，2）和C（7，1），则过△ABC的重心G，且在x轴上的截距为2的直线方程是 。 3、过点（3，4）的两条直线把以点（4,5),(5,1)为端点的线段三等分，则这两条直线的方程为 。 4、点P（3,4)关于直线4xy10的对称点的坐标是 。 5、设三条直线3x2y60,2x3m2y180和2mx3y120围成直角三角行，则m的值是 。 三、解答题： 1、△ABC的两顶点A（3，7），B（2，5），若AC的中点在y轴上，BC的中点在x轴上。 教育，我们只做精品

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（1）求点C的坐标； （2）求AC边上的中线BD的长及BD的倾斜角 。 2、求直线xy20关于直线3xy30对称的直线的方程。 3、求经过两直线x2y40,2xy40的交点，且分这两直线与y轴所围成的三角行的面积比为1﹕3两部分的直线l的方程。 4、已知直线l：xy20，一束光线从点P（0，31）出发，沿着倾斜角为120的直线投射到直线l上，求经过直线l反射后的反射光线所在的直线的方程。 参 一、CBDDC BBADC 24二、1 y3(x1)1 2 yx 993 x4y1303xy50 4 （5，2） 5 0，1,三、1 （1） （3,5) （2） 25, 2 7xy220 3 7x8y40 4 9arctan2 或 13x8y200 4 x3y310 教师对学员本次课评价： ○ 很积极 ○ 比较积极 ○ 一般 ○ 差 学员上次作业完成情况： ○ 优秀 ○ 良好 ○ 一般 ○ 差 教师签字： 教育，我们只做精品 12