上海市松江区2014届高三数学一模试卷(文科,含答案)

数学（文科）试卷

（满分150分，完卷时间120分钟）

2014.1

一、填空题 (本大题满分56分)本大题共有14题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填

写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．若函数f(x)2．若42xx111(x1)的反函数为f1(x)，则f1() ▲ ． x120，则x ▲ ．

1)，(,0)，则tan ▲ ． 2324．某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为：9.7，9.9，10.1，10.2，10.1，则这组数

3．已知sin(据的方差为 ▲ ． 5．函数f(x)2sinx3cos2xcosx的最小正周期为 ▲ ．

6．如图，正六边形ABCDEF的边长为1，则ACDB

▲ ．

7．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn．若a11，

a35，Sn64，则n ▲ ．

8．将直线l1：xy30绕着点P(1,2)按逆时针方向旋转45后得到直线l2，则l2的方程为 ▲ ． 9．执行如图所示的程序框图，输出的S= ▲ ． 10．若圆xyR(R0)和曲线个公共点，则R的值是 ▲ ． 11．记an为(1x)n1222|x||y|1恰有六34的展开式中含xn1项的系数，则

lim(n111) ▲ ． a1a2an12．对于任意实数x，x表示不小于x的最小整数，如1.22,0.20．定义在R上的函数f(x)x2x，若集合Ayyf(x),1x0，则集合A中所有元素的和为 ▲ ．

1 / 4

x2y213．设F1,F2是双曲线C:221(a0,b0)的两个焦点，P是C上一点，若

abPF1PF26a,且PF1F2的最小内角为30，则C的渐近线方程为 ▲ ．

14．对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：

①若f(x)是奇函数，则函数f(x1)的图像关于点A(1,0)对称； ②若f(x)是偶函数，则函数f(x1)的图像关于直线x1对称； ③若2是f(x)的一个周期，则对任意的xR，都有f(x1)f(x)； ④函数yf(x1)与yf(1x)的图像关于y轴对称． 其中正确命题的序号是 ▲ ．

二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答

题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．某市共有400所学校，现要用系统抽样的方法抽取20所学校作为样本，调查学生课外阅读的情况．把这400所学校编上1~400的号码，再从1~20中随机抽取一个号码，如果此时抽得的号码是6，则在编号为21到40的学校中，应抽取的学校的编号为 A ．25

B．26 C．27 D．以上都不是

ab16．已知0ab，且ab1，则下列不等式中，正确的是

11ba A．log2a0 B．2C．log2alog2b2 D．2

2217．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{1,2,3}中随机选取一个数b，则关于x的方程

abx22axb20有两个虚根的概率是

A．

1 5B．

2 5C．

3 5D．

4 518．下列四个命题，其中正确的是

①已知向量和，则“0” 的充要条件是“0或0”；

nn②已知数列{an}和{bn}，则“limanbn0”的充要条件是“liman=0或limbn0”；

n③已知z1,z2C，则“z1z20” 的充要条件是“z10或z20”； ④已知,R，则“sincos0” 的充要条件是“k(kZ)或



2． k(kZ)”

B．②③ C．①④ D．③④

A．①②

2 / 4

三．解答题(本大题满分74分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定

区域内写出必要的步骤．

19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分

已知集合A{xx11}，B{xx4ax3a0,a0} (1)当a1时，求集合AB；

⑵若ABB，求实数a的取值范围．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

22x2过椭圆y21的左焦点F1的直线l交椭圆于A、B两点．

2⑴求AOAF1的范围；

⑵若OAOB，求直线l的方程．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分

如图，相距200海里的A、B两地分别有救援A船和B船．在接到求救信息后，A船能立即出发，B船因港口原因需2小时后才能出发，两船的航速都是30海里/小时．在同时收到求救信息后，A船早于B船到达的区域称为A区，否则称为B区．若在A地北偏东45方向，距A地1502海里处的M点有一艘遇险船正以10海里/小时的速度向正北方向漂移． ⑴求A区与B区边界线（即A、B两船能同时到达的点的轨迹）方程； ⑵问：

①应派哪艘船前往救援？

②救援船最快需多长时间才能与遇险船相遇？（精确到0.1小时）

3 / 4

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小

题满分6分

已知函数f(x)x(x1)|xa|． ⑴若a1，解方程f(x)1；

⑵若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；

⑶是否存在实数a，使得g(x)f(x)xx在R上是奇函数或是偶函数？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由．

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小

题满分8分

对于数列{An}：A1,A2,A3,,An，若不改变A1，仅改变A2,A3,,An中部分项的符号，得到的新数列{an}称为数列{An}的一个生成数列．如仅改变数列1,2,3,4,5的第二、三项的符号可以得到一个生成数列1,2,3,4,5．

已知数列{an}为数列{⑴写出S3的所有可能值；

21}(nN)的生成数列，Sn为数列{an}的前n项和． n21,n3k1n2,kN，求Sn； ⑵若生成数列{an}的通项公式为an1,n3k12n⑶用数学归纳法证明：对于给定的nN，Sn的所有可能值组成的集合为：

{x|x

2m1n1,mN,m2}． n24 / 4

松江区2013学年度第一学期高三期末考试

数学（文科）试卷参考答案

2014.1

一、填空题

1．3 2． 1

3．22 4．0.032

35．  6．

27． 8 8．y2 9．102 10．3 11．2 12．-4 13．y2x 14． ①②

二、选择题

15．B 16． C 17．A 18．D

三、解答题

19．解：

(1)由x11, 得0x2，所以A[0,2]„„ 2分

当a1时, B{xx4x30}x1x3,„„„„„„„„„ 4分 ∴AB[1,2] „„„„„„„„„ 6分 (2) a0, ∴Ba,3a， „„„„„„„„„7分 若ABB，则BA, „„„„„„„„„ 8分

2a02∴ 即a[0,] „„„„„„„„„12 分

33a22,b1,c1 ∴F1(1,0)， „„„„„1分

22设A(x1,y1)，则AOAF1x1x1y1 „„„„„„„„„ 3分

20．解：（1）易知a2x2∵1y11

21112∴AOAF1x1x1y12x12x11(x11)2 „„„„„„5分

2221∵x1[2,2] ∴AOAF1[,22]， „„„„„„„„„ 6分

2(2)设A、B两点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)

122①当l平行于y轴时，点A(1,)、B(1,)，此时OAOB0„„8分

222②当l不平行于y轴时，设直线l的斜率为k，则直线l方程为yk(x1)，

5 / 4

yk(x1)2222由x2 得 9分 (12kx)4kx2k2 „„„„„„„02y124k22k22，x1x2 „„„„„„„ 11分 x1x22212k12kOAOBx1x2y1y2(1k2)x1x2k2(x1x2)k2

2k224k2222=(1k) 得 kk0k2，k2„„„„ 13分 2212k12k故所求的直线方程为y2(x1) „„„„ 14分

221．

解：⑴设点P为边界线上的点，由题意知

PAPB2，即PAPB60， 3030即动点P到两定点A、B的距离之差为常数，

∴点P的轨迹是双曲线中的一支。 „„„ „„„„„ 3分 由2c200,2a60得a30，b210023029100

x2y2∴方程为1（x0） „„„„„„„ 6分

9009100⑵①解法一：M点的坐标为M(50,150)，A点的坐标为A(100,0)，B点的坐标为B(100,0)，∴MA1502212.1，MB5021502158.1，

MAMB212.1158.15460，∴点M在A区，又遇险船向正北方向漂移，，即

遇险船始终在A区内，∴应派A船前往救援 „„„„„„„8分

②设经t小时后，A救援船在点N处与遇险船相遇。在AMN中，AM1502，MN10t,AN30t,AMN135 „„„„„„„ 9分 ∴(30t)2(10t)2(1502)2210t1502cos135 整理得4t215t2250，

151517151517（舍） „„„„„„„ 13分 9.606或t88∴A救援船需9.6小时后才能与遇险船相遇． „„„„„„„14分

解得t22．

解：（1）当a1时，f(x)x(x1)|x1|, 故有,

22x21,x1f(x), „„„„„„„2分

x11,当x1时，由f(x)1，有2x211，解得x1或x1„„„„„„„3分 当x1时，f(x)1恒成立 „„„„„„„4分 ∴ 方程的解集为{x|x1或x1} „„„„„„„5分

2x2(a1)xa,xa（2）f(x), „„„„„„„7分

(a1)xa,xa6 / 4

若f(x)在R上单调递增，则有

a1a1， 解得，a „„„„„„„9分 43a101∴ 当a时，f(x)在R上单调递增 „„„„„10分

32（3）g(x)x(x1)xaxx

g(1)0,g(1)22a1

若存在实数a，使得g(x)在R上是奇函数或是偶函数，

则必有g(1)0，22a10,a0或a2 „„„„„12分 ①若a0，则g(x)x(x1)xxxxx，

22g(x)g(x)对xR恒成立，

g(x)为偶函数 „„„„„14分

2②若a2，则g(x)x(x1)x2xx

g(2)4,g(2)8，g(2)g(2)且g(2)g(2)，

g(x)为非奇非偶函数

当a0时，g(x)为偶函数；当a0时，g(x)为非奇非偶函数。„„„„„16分

23．

11，|an|n(nN,n2)， 2211∴a2,a3 „„„„„„„„„„„„„„2分

481117111511131111由于,,,

24882488248824881357∴S3可能值为,,,． „„„„„„„4分

8888（1）由已知，a1

1,n3k12n,kN （2）∵an1,n3k12n∴n3k(kN)时，

111111111)()() 21222324252623k223k123k111111111(143k2)(253k1)(363k) 222222222Sn(7 / 4

1111k11k[1(3)k][1()][1()]2333222222111131313222n3k1(kN)时，

8111111[1()k]()[1()n] 7824872„„„„„„„„7分

11111SnSn1an[1()n1]n[15()n] „„„„„„„8分

72272n3k2(kN)时，

11111SnSn1an1[1()n1]n1[13()n]

7227211(1),n3kn7251Sn(1n),n3k1(kN) „„„„„„„10分

2731(1),n3k2n721，命题成立。 „„„„„„„„„„11分 2②假设nk(k1)时命题成立，即Sk所有可能值集合为：

2m1k1{x|x,mN,m2} k22m1由假设，Sk=(mN,m2k1) „„„„„„„„„„„„13分 k22k1Sk1111111则当nk1，Sk123kk1Skk1 k122222222k1Sk12(2m1)1(mN,m2k1)„„„„„„„„„„„„15分 Sk1k1k1222(2m1)12(2m)1k1(mN,m2) 即Sk1或Sk1k1k1222m1k即Sk1k1 (mN,m2) ∴nk1时，命题成立 „„17分

22m1n1由①②，nN，Sn所有可能值集合为{x|x,mN,m2}。„„18分 n2（3）①n1时， S18 / 4