函数恒成立存在性问题

知识点归纳梳理

1、成立问题的转化：|a 2、能成立问题的转化:~~|a

f X恒成立

f X

a

a

f Xmax；

f X min ；

a

f x

恒成立a

a a

f xmn

能成立

a f x能成立a f x max

f x在M上恒成立 f x在CRM上恒成立

3、恰成立问题的转化：a

f x在M上恰成立 a f x的解集为M

另一转化方法：W x D,f(x) A在D上恰成立，等价于 f(x)在D上的最小值fmin(x) x D, f(x) B在D上恰等价于 f(x)在D上的最大值fmax(x) B .

A,若 成立，则

4、设函数f x、g x ,对任意的x1 5、设函数 f x、g x ,对任意的 6、设函数 f x、g x 7、设函数 f x、g x 8、若不等式f x y g x图象上方； 9、若不等式f x y g x图象下方；

x1

,存在 xi ,存在 xi

a , b，存在x2 c, d，使彳导f xi a , b ,存在 x2 c , d ,使得 f xi a , b ,存在 x2 a , b ,存在 x2

c, d ,使得 c, d ,使得

g x2

,贝U f min x g min x

g x2 ,则 fmax x gmax x

g x在区间D上包成立，则等价于在区间 g x在区间D上包成立，则等价于在区间

f xi g x2 ,则 fmax x gmin x f xi g x2 ,则 fmin x gmax x D上函数y f x和图象在函数 D上函数y

f x和图象在函数

例题讲解：

题型一 I、常见方法

i、已知函数 f (x) x2 2ax i , g(x)-,其中 a 0 , x 0 . x

i )对任意x [i,2],都有f (x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

2 )对任意xi [i,2],x2 [2,4],都有f(xi) g(x2)恒成立，求实数a的取值范围；

a . i ..一 i

2、设函数h(x) — x b,对任意a [―,2],都有h(x) io在x [—,i]恒成立，求实数b的取值范围.

x 2 4

3、已知两函数f(x) x , g(x) - m,对任息xi

i

x

0,2 ,存在x2 i,2 ,使得f(xi) g x2，则

实数m的取值范围为 _____________

题型二、十参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数

i、对于满足 p 2的所有头数p,求使不等式x px i p 2x恒成立的x的取值范围。

2、已知函数f(x) ln(ex a)(a为常数)是实数集R上的奇函数，函数 g x f (x) sinx是区间 i,i上的减函数, (I)求a的值；

( n)若g(x) t2 t i在x i,i上恒成立，求t的取值范围；

... .............................................................................................................................. 2

_

)

题型三I分离参数法(欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来)

i、当x i,2时，不等式x2 mx 4 0恒成立，则m的取值范围是 .

题型四、数形结合(包成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法)

i、若对任意x R,不等式|x| ax恒成立，则实数a的取值范围是 2、已知函数f x x2 2kx 2 ,在x 1恒有f x k ,求实数k的取值范围。

)

题型五J不等式能成立问题(有解、存在性)的处理方法：

而一|若在区间D上存在实数x使不等式f x A成立，则等价于在区间D上f x max A；

若在区间D上存在实数x使不等式f x B成立，则等价于在区间D上的f x min B.

1、存在实数x,使得不等式x 3 x 1 a2 3a有解，则实数a的取值范围为。

I _________________ i max

1

2、已知函数f x ln x - ax2 2x a 0存在单调递减区间，求a的取值范围

恒成立与有解的区别：

恒成立和有解是有明显区别的一|,以下充要条件应细心思考， 甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一体。

fmax(x) M?, x I。即f x的上界小于或等于M ； ①不等式f x M对x I时恒成立 f②不等式f x M对x I时有解 fmin (x) M?, x I 0或 x的下界小于或等于M ;

③不等式f x M对x I时恒成立 fmin(x) M?, x I。即f x的下界大于或等于M ；

④不等式f X M对x I时有解 fmax(X)M , x I .。或f X的上界大于或等于M ；

课后作业：

1、设a 1,若对于任意的x [a,2a],都有y [a,a2]满足方程log ax log a y 3,这时a的取值集合为() (A){a|1 a 2} (B){a |a 2}

(C){a|2 a 3} (D) {2,3}

x y 0

2、若任意满足 x y 5 0的实数x,y,不等式a(x2 y2) (x y)2恒成立，则实数a的最大值是 .

y 3 0

3、不等式sjn2 x 4sinx 1 a 0有解，则a的取值范围是

4、不等式ax C4—x-在x

2

0,3内恒成立，求实数 a的取值范围。

3.2

5、已知两函数 f x 7x 28x c, g x 2x 4x 4Cxo

(1)对任意x 3,3 ,都有)成f x g x立，求实数c的取值范围；

(2)存在x 3,3 ,使成立f x g x ,求实数c的取值范围；

(3)对任意x,x2

3,3,都有f xg x,求实数c的取值范围；

1

2

(4)存在x1，x2 3,3 ,都有f xg x2 ,求实数c的取值范围；

1

1 Q O O

6、设函数 f(x) -x 2ax 3a x b (0 a 1, b R). 3

(I)求函数f x的单调区间和极值；

(n)若对任意的 x [a 1,a 2],不等式f x a成立，求a的取值范围。

7、已知A、B、C是直线 上的三点，向量 OA OB OCl足：OA y 2f 1 OB ln x 1 OC 0.

2x (1)求函数y = f(x)的表达式；

(2)若x>0,证明：f(x) >x+2；

1 2 2 2

(3)右不等式2x fx m 2bm 3时，x 1,1及b 1,1都恒成立，求实数 m的取值范围. 8、设fx px - 21nx，且fe qe - 2 (e为自然对数的底数) x e

(I) 求p与q的关系； (II)

2e

(III) 设gx —，若在1,e上至少存在一点X。，使得f x0 g X0成立，求实数p的取值范围.

x

若fx在其定义域内为单调函数，求 p的取值范围；

参：题型一、常见方法。

1、分析：1)思路、等价转化为函数 f(x) g(x) 0恒成立，在通过分离变量，创设新函数求最值解决.

f(X)和g(X)分别求最值，即只需满足 证仅)gma/x)即可. 2 )思路、对在不同区间内的两个函数

3 3 x x ............................... xx

简解：(1) 由 x2 2ax 1

2x2 1 3 4 2xx x (X0,故(x)在x ［1,2］是增函数, .对(x) 一2——求导,

(2x2 1) 2x2 1 )

2,所以 3 ⑴

a的取值范围是0az min ( x)

3 2、分析：思路、解决双参数问题一般是先解决一个参数，再处理另一个参数.以本题为例，实质还是通 过函数求最值解决. h(x) 1hmax(x) 10； 方法1 ：化归最值,

0 (a

x x)或a x2 (10 方法2: 变量分离, b 10 1

10 0, a (a) 方法3: 变更主元,

2]

b 求导，h (x) 1 g(x) 简解：方法 1：对

h(x) x

1 - 一1、 . ............................. 」 由此可知,

h(x)在［―，1］上的最大h(一)与h(1)中的较大者.

1 h(-) 值为 1b 10 4 39 4 10 4a a b 104a 1 4 4 7

,对于任息a [―，2] h(1) 10 9 a

2

3、解析：对任意 x1 x2 1,2 ,使得 f(x1) g x2 存在 1 ____ 2 _ _ _ . .. ....................... 1

最小值一 m不大于f (x) x在0，2上的最小值0,既一 m 0 ,，m 1、解：不等式即 x

2x2 -成立，只需满足 2 x

(x)

x x的最小值大于a即可 2百

a

~2

i-

J-

x

(x a)(x . a) 得b的取值范围是

等价于g(x)

.

1

2 1 4_

m在1,2上的

4 4 题型二、主参换位法(已知某个参数的范围，整理成关于这个参数的函数 2x 1 0，设

f

x

2

2 )。

x 2x 1 ,则 f p 在[-2,2]上恒

4x 3

2 x f

2、( n)分析：在不等式中出现了两个字母: 及t，关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作 ，1内关于 的一次函数大于等于 0为常数。显然可将 视作自变量，则上述问题即可转化为在

g(x) x 立的问题。(n)略解：由(i)知：f(x) x , sinx , Q g(x)在 1,1 上单调

cosx cosx 在 1,1 1) 上恒成立， 1, g(x) max g( 1) sin1 , 递减， g(x)

2 1 0 (其中 sin1 t(t t2 sin1 1, 1)恒成立，由上述②结论 只需

0 t 1 t 2 t1) sin1 0( 1)，:可令 f (t 10' t2 sin1 2 1 t则

大于0,故有：

恒成

题型三、分离参数法 (欲求某个参数的范围, 就把这个参数分离出来)

0恒成立，则m的取值范围是 不等式x 1、当 x 1,2 时, mx 4

0 得 m -——4 . m 5 . 2解析：当x (1,2)时，由X mx 4 x

题型四、数形结合(恒成立问题与二次函数联系(零点、根的分布法) 1、解析：对 x R,不等式|x| ax恒成立、则由一次函数性质及图像知

2、分析：为了使f x k在x 1, 恒成立，构造一个新函数 F x f x k,则把原题转化成左边二次

函数在区间 1, 时恒大于等于0的问题，再利用二次函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到解决。

解：令 F x f x k x2 2kx 2 k ,贝U F x 0,即 ①当图象与x轴无交点满足

②当图象与x轴有交点，且在x 1,

0对x 1, 恒成立，而F x是开口向上的抛物线。 4k2 2 2 k 0 ,解得 2 k 1。

时F x 0,则由二次函数根与系数的分布知识及图象可得:

0

F 1 0解得 2,故由①②知

2k

一 1

2 2 一.. a 0 2 .

ax bx c a 0大于 0恒成立, 小结：若二次函数

一

则有0,同理，右二次函数y ax bx ca 0

0。若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数 小于0恒成立，则有

的分布知识求解。

题型五、不等式能成立问题（有解、存在性）的处理方

x max 法。 若在区间D上存在实数x使不等式 f x A成立，则等价于在区间 A

； f x 若在区间D上存在实数x使不等式 f x B成立，则等价于在区间 B. D上的 min

a2 3a a2 3a有解, 1、解：设f x

3a 4 ,解得

2、解: 因为函数 存在单调递减区间，所以 f

1 2 ~0, 有解.即a 能成立，设u \"2 —x 0,

x x

2 1 2 umin x 1.于是，a 1 1 2 xx 得, x

0,所以 1,0 0, 由题设a

a的取值范围是

ax

ax

2

2x 1

1,

课后作业:

B 由 lOg a x lOg a y

、 25 …

2、 答案：25。解析:

13

3解：原不等式有解 、 2 sin x 2 3

min

4、 解：画出两个曲数

上的图象如图知当 当agx 3

故 hmin x 0。令 h x 单调递增，在 1,2

2

a 对任息的 [ a] ,将 ------------

2

x

a,2

2,故

由不等式 a(x

2

/ 2 2 2

1a

2 y,由线性规划可得1

sin1有解, x

y ) (x y)可得

a sinx

4sin1 sinx 2 x

2

。

ax和y ..x 4 x 在 x

3 a 一 3

0,3

0,3 时总有 ax Jx 4 x所以a

g x 6x2 6x 12

3

2

5、解析：（1）设

2x3 3x2 12x 6x1x2

2,3单调递增,

\\in

c ,问题转化为x

单调递减，在

1或2。

h x

极大值h 1 c

7,

h x极小值

h 2 c 20 , h 3 c9

x h 3 c 45 ,由 c 45 0 ,得 c 45。

(2)据题意：存在x 3,3 ,使f x g x成立，即为：h x g x f x 0在x 3,3有解，

故 hmax x 。，由(1 )知 hmax X C 7 0 ,于是得 C 7。

(3)它与(1)问虽然都是不等式恒成立问题，但却有很大的区别，对任意

xi,x2

3,3 ,

都有f xi g x2成立，不等式的左右两端函数的自变量不同， ・•.要使不等式恒成立的充要条件是：

2

x,地的取值在 3,3上具有任意性,

fma/x) gmin(x)??x [ 3?3] o

147 c,

3,3 上只有一个解

3 •• f x 7x2 C 28, x 3,3 f x max f 3 4 •• g x 6x2 5 g x 刀所 g (4)存在

8x 40 2 3x 10 x 2

x1,x2

2 , g x 0在区间 48 ,即 c 195. x1

g x2 ,等价于

x 2。

48, 147 c

3,3 ,都有 f

fmin X gmax 乂？，由(3)得

fmin x f 2 c 28, gmax 海 g 3

确使用其成立的充要条件。

6、解：(I) f (x)

102, c 28 102 c 130

点评：小题的三个小题,表面形式非常相似，究其本质却大相径庭，应认真审题，深入思考, 多加训练，准

x 4ax 3a

2

2

(1 分)

(4分)

令f (x) 0,得f (x)的单调递增区间为(a,3a )

令f (x) 0,得f (x)的单调递减区间为(一 ，a)和(3a, + )

3 3

当x=a时，f(x)极小值=—a

b, 4

(6分)

当x=3a时，f (x)极小值=b.

(n)由 | f (x)| wa,得一aw—x2+4ax —3a2Wa.①(7 分) 02a.

f (x) x 4ax 3a在[a 1, a 2]上是减函数.

2

2

(9 分)

f (x)max f (a 1) 2a 1.f (x)min f(a 2) 4a 4.

于是，X•任意x [a 1,a 2],不等式①恒成立，等价于 a 4a 4,解得 4 a 1.又 0 a 1, a 2a 1. 5

[y+2f/(1)]

4 a 1.

5

+ [—ln(x +1)] =1 ................................................. 2分

7、解：(1) ,. OAv [y+2f /(1)]OB^+ ln(x +1)OC= 0, . •条[y + 2f/(1)]OB一 一 ln(x + 1)OC 由于 A、B、C三点共线 即6 •.y = f(x) =ln(x +1)+1—2f/(1) 1 1 f/(x) =xT7，彳# f/⑴ =2,故 f(x) =ln(x +1) ................................................................................................ 4 分

2x (2)令 g(x) =f(x) —x+2，由 g/(x) =x+1 — (x + 2)2

,-x>0,

1 2(x + 2) — 2x x2 =(x+1)(x+2)2

g/(x) >0, g(x)在(0 , +8)上是增函数 ........................................................ 6 分

故 g(x) >g(0) =0

2x

即 f(x) >x^-2 ..................................................................................................................................................... 8 分 1

(3)原不等式等价于 2x2—f(x2) 1 1 2x x3 —x 令 h(x) =2x2 —f(x2) =2x2 —ln(1 +x2),由 h/(x) =x—1+x2=1+x2 ........................................................................ 10分

当 xC[ —1, 1]时，h(x)max=0, • . m2— 2bm— 3>0

Q(1) =m2- 2m- 3>0

令 Q(b)=m2— 2bm- 3,则 Q(-1) = m2+ 2m- 3>0

得 3 或 — 3 ................................................ 12 分

8、解：(I)由题意得 f e pe q 2ln e e (II) 由(I)知 f x px 艮 2ln x, x

p -

qe—2 pqe— e 2

p 2 px 2x p P -

x x x

1 „ e 2 ----

1

0 而 e - 0 ,所以 P

e

4分

令h x

h(x) >0

px

或 h(x)

2

2x p ,要使f x在其定义域(0,+ )内为单调函数，只需 h(x) 在(0,+

........ 5分

2

)内满足:

①当p

0时，

px 0时,

0,2x0 px2 2x

h x 0 ,所以f x在(0,+ )内为单调递减,

p ,其图象为开口向上的抛物线，对称轴为 1

p - 0,即 p>1 时，h(x) > 0, p

1 x —

p

0,

0；

…hmin

X

p

在(0,+ 由(I) 恒成立.

p (1 +

f (x)

内为单调递增，故p >1适合题意. 知 f (x) = px

p

x — 21n x f

’(x) = p +

综上可p>1 或 p < 0 2 得， -x = P (1 +

x-2 p )内满足：f'

另解：(II) 要使f (x)

(x)工

在其定义域 (0,+

)内为单调函数，只需

pf x + x

f，(x)在(0,+

时等号成立，故

x .

p> 1

2

'(x) w 0 2x

> 0 且 x ~

0 时，x 2 + 1

p (1 +

2x pw x 2 +

1

- 0 ,故 p<0

2x

p> 1 或 p < 0 2e g(x) =

x = e

[2,2e]

\"x\"在[1,e] ...............

( 1 )max = 1

一x W 0

2x

p < (x 2 + 1 )min , x > 0 综上可得,

(III)

上是减函数

x = 1 时, 10g(x)max = 2e

时，g(x)min = 2 ,

即 g(x) 分 在[1,e]

-x

>0 1 - x 1

①p < 0时，由(II) 知f (x)

递减

f (x)max = f (1) = 0 < 2

,不合题意。

时，由x

1

[1,e]

f (x) = p (x -x ) 当p = —21n x —21n x 右边为f (x) 1 时的表达式，故在[1,e]

1

f (x) Wx — x — 21n x We — ③p > 1时，由(II) 知f (x)

1

e — 21n e = e

递增

1

e — 2 < 2 ,不合题意。

在[1,e]

1

e ) -21n e > 2

连续递增，f (1) = 0 < 2 ，又 g(x)在[1,e] ，x [1,e]

上是减函数

本命题 f (x)max > g(x)min = 2

f (x)max = f (e) = p (e

4e

p > e 2-1 综上，p的取值范围是(e 2-1 ,+ )

4e

其他特殊型：二次函数型一一利用判别式，韦达定理及根的分布求解

在与恒成立问

“珑实生卷品成立一，求a的取值范围

式x2 2x a成立，则a的取值范围是

,则a的取值范围是 x 2x a

1、在某次考试中， ----------------------------------- 分数大于120分 最高分大于120分

我们班有同学数学

2、在某次考试中，我们班每一位同学数学分数都高于 60分 最低分大于60分。

3、在某次考试中，我们班同学数学成绩没在高于 x D, f (x)［加贝

130分的 最高分小于等1 130

分。

3、结但：对

最低点都在直线y a的上方

x D,f(x) [m,n]

.f (x) a, x D 恒成立 f (x) min a

有：

y f (x), x D 线y=a的上方 n a 1、包成立问题f (x)值都大于a f (x)min a

{f(x)|x D} (解集非空)a

域 a {f(x)|x

符号语言：函数

f(x) a,x D包成立

f(x)min

a {f(x)|x D} D}

函数f(x)

f ( x) max

a, x D恒成立 a

符号语 存在x D ,使得

x a 不等式f (x) a, x D ,有解

在直缉二a的上方 最高点都在直线

2、存在性问题

函数 f (x) a f (x)max a 存在 x D，使得L 1数 f (x) a f (x)min a 3、有解问题

不等式f(x) a,x D有解(解集非空)

符号语言:

f (x)max a

不等式f(x) a,x D解集为空集 f (x)min a 方程f(x) a,x D有解(解集非空)

思考：若对x D,f(x) (m,n)又有怎么样的结论呢?

例1:不等式x2 2x a对于xCR恒成立，求a的取值范围

存在x C R使得不等式 x2 2x a成立，则a的取伯范围是 方程x2 2x a

有解,则a的取值范围是

变式1: 变式2: 变式3: 变式4

x2 2x a解集不空,则a的取值范围是

不等式 x2 2x a解集为空集，则a的取俏范围是

例2::已知函数f(x) x ax a,若存在x [ 1,2]使得f(x) 0 ,试求实数a的取值范围 解：法一：f(1) 1 0,所以对a R,均存在x [1,2]使得f(x) 0. 法二：原题同解于：当x [ 1,2]时，f(x)max a, 即：f( 1) 0或f(2) 0 代入可得：1 2a 0或4 a 0 解得a 1或a 4

2

a R

例3:方程x2 2x 2 a 0在区间(0,3)内有解，则实数a的取值范围是 解：原题同解于：a x2 2x 2,x (0,3),的值域。a (x 1)2

1

「.aS a [f(1),f(3))即a [1,5),『青比较此题的后解问题匕上题的后解问题的区别 例 4: A={x|x 2-mx+1> 0},B=R+,AAB=B,求m的取值范围。 分析：AC B=B可得 B A。即:x>0 时,x 2-mx+1 > 0

.

法一(1 0 0

(2) m 0 解略

f(0) 0

法二例分析原题同解于：x-mx+1 > 0在(0,+ °°)上包成立，求m的取值范围。

不等式ax2 x2 a 1 0对满足2 a 2的所有a都成立，求x的取值范围 对f (x) ax x a 1而言，已知参数范围，象定义位。

• • : : 5 g(-2) 0

设 g(a) (x 1)2a x 1 0

2 a 2,则转化为已知定义域求参数范围。即:

g(2) 0

1、对于不等式(1-m)x 2+(m-1)x+3>0

当| x | <2,上式包成立，求实数 m的取值范围； 当| m | <2,上式包成立，求实数x的取值范围. 2、若不等式ax2-2x+2>0对xS (1,4)恒成立，求实数a的取值范围。 3、设不等式2x2 2kx k 1对一切实数x都成立，则k的范围是

4x 6x 3

可以等价转化为一次型的函数(利用单调性直接求解)

对于一次函数 f (x) kx b, x [m,n]有：

例1：若不等式2x 1 m(x2 1)对满足 2 m 2的所有m都成立，求x的范围

c 2

解析：我们可以用改变主元的办法，将 m视为主变元，即将元不等式化为: 令 f(m) m(x2 1) (2x 1),则 2 m 2 时，f(m) 0 包成立， 2 所以只需() 0即(2x

f (2) 0 2(x

) (x ) 1) (2x 1) 0

,解出即可。

三、数形结合(对于f(x) g(x)型问题，利用数形结合思想转化为函数图象的关系再处理)

若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象, 则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。

例10 (07安徽理科3)若对任意x R,不等式|x| ax恒成立，则实数a的取值范围是

(A) a 1 (B)

|a| 1

(C)

|a| 1 (D) a 1

解析：对 x R,不等式|x| ax恒成立 则由一次函数性质及图像知

1 a 1,即|a| 1。

/ 1 ，7 1 x (—2，^^)o

3、

四、赋值型一一利用特殊值求解

等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求得 例1 .如果函数

y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=— 对称，那么a=(

A.1

B.-1

C .、. 2

.

.略解：取x=0及x= j 则f(0)=f( —)JP a=-1 ,故选B.此法体现了数学中从一般到特殊的转化思想

____________ 利用导数求参数的取值范围

一.已知函数单调性，求参数的取值范围~~.

类型1.

惨数放在函数表达式上.

例1、设函数f(x) 2x3 3(a 1)x2 6ax 8其中a R.

略解：(1)由f'(3) 0解彳导a 3.经检验知a 3t,x 3为f (x)的极值点

(2)方法 1 ： f'(x) 6x2 6(a 1)x 6a 6(x a)(x 1) 方法2 : 方法3 .

............... .. 、 ................................................................................................. 、 ..................................................................................... _ .. 解题方法 总结：求f (x)后，若能因式分解则先因式分解，讨论 f (x)=0两根的大小判断函数 f(x)的 单调性，若不能因式分解可利用函数单调性的充要条件转化为恒成立问题 ^

用型2.参数放在区间边界上一

例2.已知函数f (x) ax3 bx2 cx d在x 0处取得极值，曲线y f (x)过原点和点p (-1,2), 若曲线y

直线y 2x的夹角为45且切线的倾余^角为钝角.

(1)求f (x)的表达式

(2)若f (x)在区间［2m-1,m+1］上递增，求m的取值范围.

f(x)在点P处的切线与

略解(1) f(x) x3 3x2

总结:先判断函数的单调性，再保证问题中的区间是函数单调递增(递减)区间的一个子区间即可.—

二.已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围 H[口参数放在不等式上 例3.已知f (x) x3 ax2 bx c在x

2与x 1时都取得极值 3

(1)求a、b的值及函数 f(x)的单调区间.

(2)若对x [ 1,2],不等式f(x) C2恒成立，求c的取值范围.

1

_

略解：(1)a ,b 2

2

总结：区间给定情况下，转化为求函数在给定区间上的最值 类型2.参数放在区间上 例4 .已知三次函数

.

f(x) ax3 5x2 cx d图象上点(1,8)处的切线经过点(3,0),并且f (x)在x=3处有极值.

(1)求f (x)的解析式.(2)当x (0, m)时，f (x) >0恒成立，求实数m的取值范围.

分析：(1) f (x) x3 5x2 3x 9

三.知函数图象的交点情况，求参数的取值范围. 例5.已知函数f(x) ax3 bx2 3x在x

(1)求函数f(x)的解析式. (2)若过点A(1,m)(m

1, x 1处取得极值

2)可作曲线y= f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.

略解(1)求得f (x) x3 3x

(2)设切点为 M(x°,x； 3x。)，因为 f'(x) 3x2 3

总结:从函数的极值符号及单调性来保证函数图象与

x轴交点个数.

四.开放型的问题，求参数的取值范围。 例 6.已知 f(x) x2 C,且 f[f(x)] f (x2 1)。

(1)设 g(x) f[ f (x)],求 g(x)的解析式。

(2)设(x) g(x) f(x),试问：是否存在 R,使(x)在(，1)上是单调递

减函数，且在(1,0)上是单调递增函数；若存在，求出 的值；若不存在，说明理由。 分析： (1)易求 C=1g(x) x4 2x2 2

4

(x)

(x)

f(x)

(

(

2

)

2

(2) g = x 2 )x 2 ，:

由题意 他)在(，1)上是单调递减函数，且在(1,0)上是单调递增函数知， (1) 0得 4

当 4, x ( 1,0)时，(x) 0, ； (x)是单调递增函数；

是极小值，，由

(x) 2x[2x (2

)] (1) 0

x ( , 1)时，(x) 0, (x)是单调递减函数。所以存在 4 ,使原命题成立。

在数学中，涉及到高次函数问题一般可用导数知识解决，只要把导数的几何 意义,用导数求函数的极值及最值，用导数求函数单调性等这些基础知识搞清弄 懂，那么，利用导数求参数的取值范围这个问题即可迎刃而解 .