几类数列裂项求和

传统的裂项求和如

c其中an是等差数列已被大家熟悉，从近年的高考题和模aai1ii1n拟题来看，在裂项上力求有一定的创新，本文从安徽省近年的高考模拟题和高考题出发来介

绍几类裂项求和问题。

1. 形如11(nkn)型

nknk例：（合肥二模文科数学）

1上的点与x轴上的点顺次构成等x1腰直角三角形OB1A1,A1B2A2,,直角顶点在曲线yx如图所示,设曲线y上,设An的坐标为an,0,A0为坐标原点.

(1) 求a1,并求出an和an1(nN)之间的关系式;

(2) 求数列an的通项公式； (3) 设bn2(nN),，求数列bn的前n项和Sn.

an1an2. 形如

1111型 n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)例（安徽名校联考六）

已知数列an，其前n项和为Sn满足Sn12Sn1（为大于0的常数），且a11，

a34.

(1) 求的值;

(2) 求数列an的通项an; (3) 若bn2log12115nT,n1,设Tn为数列2的前项和,求证:. nan4n(bn1)

1

3. 含指数型裂项

例（安徽名校联考）

已知数列an的前n项和为Sn，若Sn2ann,且bn（1） 求证：数列an1为等比数列； （2） 求数列bn的前n项和Tn.

例(安徽省“江南十校”联考)

an1. anan12n1an数列an满足a12，an1（nN）.

1(n)an2n22n（1）设bn，求数列bn的通项公式bn；

an151（2）设cn，数列cn的前n项和为Sn，求出Sn并由此证明：Sn＜.

n(n1)an1162解析:对(2)解答如下:

2n2n1由（1）知ann2，

bn12n2(n1)211n22n2∴ an1，cn

(n1)21n(n1)2n22n(n1)2n11n2nn2 n1n12n(n1)2n(n1)21111 n1nn122n2(n1)2

∴ Sn11111111(2n1)()()22322221222223211(1)n1221211 n11222(n1)21211n21()n1 22n11n1n21n11()(1)递减 易知()2n12n11n1n2111123∴0＜()()

2n121182

(11 )nn1n2(n1)2

∴

511n21511()n1 ＜，即 ＜ Sn1622n12162合肥三模中也将含指数型裂项作为文科数学的压轴题，考题如下：

已知正项等差数列an中，其前n项和为Sn，满足2Snanan1. (1)求数列an的通项公式；

Sn1，Tnb1b2an24. 含三角型裂项

(2)设bn例（安徽省高考题）

bn,求证:Tn3.

在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作Tn，再令anlgTn,n1. （1）求数列{an}的通项公式；

（2）设bntanantanan1,求数列{bn}的前n项和Sn. 解析:对(2)的解答过程如下: 由题意和(1)的计算结果可知

bntan(n2)tan(n3),(n1)

另一方面,利用

tan1tan((k1)k)得

tan(k1)tank所以 Sntan(k1)tank,

1tan(k1)tanktan(k1)tank1,

tan1btan(k1)tank

ii1k3nn2tan(k1)tanktan1 k3

tan(n3)tan3ntan1例(安庆重点中学联考)

已知数列an中,a11,a2(1)求a2,a3的值;

3

n2(n1)an1(n2,3,4,) ,且an1na4n(2)设bn11(nN),试用bn表示bn1并求bn的通项公式; an1sin3(nN),求数列cn的前n项和Sn.

cosbncosbn1(3)设cn解析:对问题（3）的解答如下: ∵cnsin3sin(3n33n)tan(3n3)tan3n，

cosbn•cosbn1cos(3n3)•cos3ncn(tan6tan3)(tan9tan6)∴Snc1c2(tan(3n3)tan3n)

tan(3n3)tan3

以上我们通过几个典型问题的解析，总结了四类裂项求和的常见模型，可以让我们更清楚的认识到裂项相消的来龙去脉，而这些模型是近几年高考中普遍采用的，要求我们注重培养学生的化归、转化的能力.

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