2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试卷(全国Ⅲ卷)(含解析)

2020年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（全国Ⅲ卷）（含解析）

1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。回答选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=x,yx,yN*,yx，B=x,yxy8，则AB中元素个数为

A. 2 B. 3 C. 4 D. 6

12.复数的虚部是

13i1331A.  B.  C. D.

101010103.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且pi1，

i14则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是

A.p1p40.1,p2p30.4 B.p1p40.4,p2p30.1 C.p1p40.2,p2p30.3 D.p1p40.3,p2p30.2

4. Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数It（t的单位：天）的Logistic模型：ItK1e0.23t53，其中K为的最大确诊病例数.当It0.95K时，标

志着已初步遏制疫情，则t约为（ln193）

A.60 B.63 C.66 D.69

5. 设O为坐标原点，直线x2与抛物线C:y22px(p0)交于D，E两点，若

ODOE，则C的焦点坐标为

11A. (,0) B. (,0) C. (1,0) D. (2,0)

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b6，则cos＜a,ab＞ 6. 已知向量a,b满足a5，b6，a·31191719 B.  C. D. 3535353527. 在△ABC中，cosC=，AC4，BC3,则cosB

31112A. B. C. D. 93238.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.已知2tantan()7，则tan

4A.-2 B.-1 C.1 D.2

110.若直线l与曲线yx和圆x2y2都相切，则l的方程为

51111y2x1y2xyx1yxA. B. D. 2 C. 222

x2y211. 设双曲线C:221(a0,b0)的左、右焦点分别为F1, F2，离心率为

ab5. P是C上一点，且F1PF2P.若△PF1F2的面积为4，则a=

A.1 B.2 C.4 D.8 12. 已知5584，13485，设alog53，b=log85，clog138，则 A. abc B. bac C. bca D. cab 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

xy013. 若x,y满足约束条件2xy0，则z=3x+2y的最大值为_____.

x12（x2)6的展开式中常数项是______（用数字作答）. 14.

x15.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为____.

116.关于函数f(x)sinx有如下四个命题：

sinx①f(x)的图像关于y轴对称. ②f(x)的图像关于原点对称.

2

③f(x)的图像关于直线x④f(x)的最小值为2.

2

对称.

其中所有真命题的序号是____.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。 17.（12分）

设数列an满足a13，an13an4n.

(1)计算a2，a3，猜想an的通项公式并加以证明； (2)求数列2nan的前n项和Sn.

18.（12分)

某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）： 锻炼人次 空气质量等级 1（优） 2（良） 3（轻度污染） 4（中度污染） [0,200] 2 5 6 7 （200,400] 16 10 7 2 （400,600] 25 12 8 0 (1)分别估计该市一天的空气质量等级为1,2,3,4的概率； （2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”。根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？

空气质量好 空气质量不好 附：

3

人次400 ，

人次＞400

19.（12分）

如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，点E，F分别在棱DD1，BB1上，且

2DEED1，BF2FB1.

（1）证明：点C1在平面AEF内；

（2）若AB2，AD1，AA13，求二面角AEFA1的正弦值.

20.（12分）

15x2y2已知椭圆C: 21(0m5)的离心率为，A，B分别为C的左、

425m右顶点.

（1）求C的方程；

（2）若点P在C上，点Q在直线x6上，且|BP||BQ|,BP⊥BQ，求△APQ的面积. 21.(12分)

11设函数f(x)x3bxc,曲线yf(x)在点(,f())处的切线与y轴重直.

22(1)求b；

(2)若f(x)有一个绝对值不大于1的零点，证明: f(x)所有零点的绝对值都不大于1.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）

4

x=2-t-t²在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数且t≠1），

y=2-3t+t²C与坐标轴交于A，B两点. （1）求｜AB｜;

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB的极坐标方程.

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分） 设a,b,cR，abc0，abc=1. （1）证明：abbcca0； （2）用maxa,b,c表示a,b,c的最大值，证明：

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maxa,b,c34.

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