湖南省重点中学2020-2021学年高二下学期3月联考数学试题及答案

数学试卷

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容：人教A版必修一至必修五，选修2-1、2-2、2-3。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知A.ARAB，则下面选项中一定成立的是

BA B.ABB C.ABB D.ABR

x34x2.函数fxx的部分图像大致为

eex

A B C D

3.将函数fxsinx的图像上所有点的横坐标变为原来的

1（0），纵坐标不变，得到函数gx的图像，若函数gx的最小正周期为6，则 A.

11 B.6 C. D.3 3624.已知点P在抛物线y16x上，F为焦点，点A2,1，则PAPF的最小值为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.某招聘网站通过对企业一年内发布的所有招聘信息中的工资数据来分析该企业的待遇情

况.已知某上市企业近一年发布的招聘信息中的月工资（单位：千元）数据都在5,35之间，根据这些数据将其分为5,10，10,15，15,20，20,25，25,30，30,356组，绘制出频率分布直方图如图所示，则该企业员工的月平均工资约为（提示：同组数据用该数据的中点值代替）

A.17千元 B.17.5千元 C.17.25千元 D.17.75千元 6.经过点2,0作曲线yxe的切线有

2xA.1条 B.2条 C.3条 D.4条 7.已知等比数列an的前n项和为Sn，则“Sn1Sn”是“an单调递增”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必条件 8.若定义在0,上的函数fx满足fxxfxlnxx，则不等式

fxlnx1≥x的解集为

A.0,1 B.1, C.e, D., 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9.已知12x20211ea0a1xa2x2a3x32021a2021x2021，则

A.展开式中所有项的二项式系数为2320211 B.展开式中所有奇次系数和为

2aaa33202113C.展开式中所有偶次项系数和为 D.1222222a20211 202121x2y21有且只有一个公共点，则m的值可能为 10.若直线yx1与双曲线m2A.2 B.4 C.8 D.10 11.设z1，z2为复数，且z1z2，下列命题中正确的是 A.若z1z2，则z1z2 B.若

z1i，则z1的实部与z2的虚部互为相反数 z2C.若z1z2为纯虚数，则z1z2为实数

D.若z1，z2R，则z1，z2在复平面内对应的点不可能在同一象限

12.在梯形ABCD中，AB2AD2DC2CB，将BDC沿BD折起，使C到C的位置（C与C不重合），E，F分别为线段AB，AC的中点，H在直线DC上，那么在翻折的过程中

A.DC与平面ABD所成角的最大值为B.F在以E为圆心的一个定圆上 C.若BH 6平面ADC，则DH3CH

D.若AD平面BDC，四面体CABD的体积取得最大值

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上. 13.一条与直线x2y30平行且距离大于5的直线方程为 . 14.设随机变量~2,1，若P3m1Pm5，则m . 15.若向量a，b满足a4，b22，aba8，则a，b的夹角为 ，

ab .（第一空3分，第二空2分）

16.某班需要选班长、学习委员、体育委员各2名，其中体育委员中必有男生，现有4名男生4名女生参加竞选，若不考虑其他因素，则不同的选择方案种数为 . 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（10分）

如图，在平面四边形ABCD中，ADCD，BAD3，2ABBD4. 4

（1）求cosADB； （2）若BC18.（12分）

已知数列an满足a22，nan1nn1an1n1an，nN，n1.

*22，求CD.

（1）求数列an的前3项和S3；

（2）若a20202020，求数列an的前2021项和S2021. 19.（12分）

如图，在四棱锥ABCED中，底面BCED为直角梯形，DE∥CB，BCEC，

ADBDCDBC2，AED90.

（1）证明：平面ABC平面ACE. （2）若AC20.（12分）

某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下： 时间 活动项目 周一 篮球 周二 国画 周三 排球 周四 声乐 周五 书法 6，求二面角BADE的余弦值.

要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项.

（1）求甲选排球且乙未选排球的概率；

（2）用X表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求X的分布列和数学期望.

21.（12分）

33x2y22x交于已知椭圆C：221（ab0）的离心率为，椭圆C与抛物线y212ab，椭圆C的右焦点在直线MN上，O为坐标原点，A，B，M，N两点（M在x轴上方）

E分别为椭圆C的左、右、上顶点.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设D为椭圆C上一点（异于顶点），直线DE与x轴交于点P，直线AD上有一点Q满足OPOQ4，证明直线BE经过点Q. 22.（12分）

已知函数fxxexaxlnx. （1）当a0时，讨论fx的单调性.

（2）若fx在xx0处取得极小值，且fx00，证明：

fx02.

a1x0答案

1.B 因为

RAB，所以BA，则ABB.

2.D 因为fxfx，所以fx为奇函数，其图像关于原点对称，故排除B.易知

fx有3个零点2，0，2.当x0,2时，fx0；当x2,时，fx0.

所以排除A，C，故选D.

3.A 由题意可知gxsinx，因为gx的最小正周期为6，所以T26，

得.1. 324.D 因为抛物线方程y16x，所以其准线方程是x4.过P作PM垂直于准线，垂足为M，则PFPM，所以PAPFPAPM.当

A，P，M三点共线时，

PAPM最小，最小值246，故PAPF的最小值为6.

5.A

由图可知，该企业员工的月平均工资约为

7.50.1512.50.3017.50.2522.50.1527.50.1032.50.0517千克.

6.C 因为yx2xe，所以曲线yxe在点x0,x0e2x2x2x0处的切线方程为22x022yx0ex02x0ex0xx0.将2,0代入，得x0ex0x0x040.因为0，

所以方程xx40有两个不同的根，且根不为0，所以方程x0e0x0x040共有3个不同的根，即经过点2,0作曲线yxe的切线有3条.

2x2x7.D 设an的公比为q，若Sn1Sn，则an1Sn1Sna1q0，所以可能a10，

nq1或a10，0q1；若a10，则an单调递增，但0an1anq0,1，

Sn1Sn，故选D.

8.B 由题意知

a1，

fxfxlnx10.令gxfxlnxx1，则xgxfxlnxfx1，所以gx在0,上单调递增，且g10.不等式xfxlnxx1≥x，等价于gx≥g1，故x≥1.

9.ACD 由二项式定理可知，ab的展开式中所有项的二项式系数和为2n，故A正确. 令x1，得a0a1a2a3令x1，得a0a1a2a3①②得a1a3a4na2021120211，①

a202132021，②

320211a2021，故B不正确.

2a2020320211，故C正确.

2①②得a0a2a4令x0，得a01，

111令x，得0a0a1a222221a202122021，

11所以a1a22221a202122021a01，故D正确.

1x.当直线与双曲线相交于一点时，m10.BC 由题知m0，双曲线的渐近方程为y直线y111x1与渐近线平行，则，此时m4；当直线与双曲线相切于一点时，2m21yx11122联立2，可得xx20，由0，解得m8.综上可知，当m4m4xy21m1x2y21有且只有一个公共点. 或m8时，直线yx1与双曲线m211.BD 若z1z2，则z1，z2不一定共轭；若z1z2为线虚数，则z1，z2的实部互为相反数，而虚部不一定相等，所以z1z2不一定为实数，故A，C错误；令z1abi，

z2cdi，a，b，c，dR，若

z1i，则z1abiz2icdiicid，所z2以ad，故B正确；若z1z2abicdiacbdbcadi，则bcad0.

如果z1，z2在复平面内对应的点在同一象限，那么bc，ad同号，不可能使bcad0，故D正确.

12.ACD 如图，在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AB2AD2DC2CB，

所以易得ADDB，DAB3，BDCDBC6.

在将BDC沿BD翻折至BDC的过程中，BDC与DBC的大小保持不变，由线面角的定义可知，DC与平面ABD所成角的最大值为

，故A正确； 6因为DBC大小不变，所以在翻折的过程中，C的轨迹在以BD为轴的一个圆锥的镀面圆周上，

而EF是ABC的中位线，所以点F但此圆的圆心不是点E，故B不正确； 当BH的轨迹在一个圆锥的底面圆周上，

平面ADC时，BHDH.

因为HCB3，所以DCBC2CH，所以DH3CH，故C正确；

在翻折的过程中，BCD的面积不变，显然当AD平面BDC时，四面体CABD的体积取得最大值，故D正确.

13.x2yc0（c8或c2）（写出符合条件的一条直线方程即可） 设与直线

x2y30平行的直线方程为x2yc0，由c312225，得c8或c2.

14.2 根据正态分布的特征，可得3m1m54，解得m2.

2315.；22 设a，b的夹角为，因为abaaab8，且a4，所以

4ab8.因为a4，b22，所以cosabab382，故，，

42422abab2ab8，ab22.

16.1980 根据题意，分3步：①体育委员在8人中任选2人，至少一名男生有C8C422种方案；②班长在剩下的6人中任选2人，有C615种方案；③学习委员在剩下的4人中任选2人，有

222222C246种方案.故共有221561980种方案.

17.解：（1）在ABD中，由正弦定理得

BDAB，

sinBADsinADB所以sinADB2. 414. 4因为ADB2，所以cosADB（2）因为sinADB2，且ADC， 422. 4222所以cosBDCsinADB在BDC中，根据余弦定理得BCBDCD2BDCDcosBDC， 化简得CD22CD6CD32故CD32. 18.解：（1）当n2时，所以a3因为a22，所以a1a31， 故S3a1a2a33. （2）由题知，an12CD20，

a2a1. 21anan1， nn1所以a3aaaaa2a1aa，a432，a543，…，ann1n2， 213243n1n2anaaaaa2a1324323243an1an2 n1n2以上式子相加，得a3a4a5a1an1， n1anan1a2， n1所以a1a2a3a4a5即Snan12， n1a202023. 2020所以S202119.（1）证明：在直角梯形BCED中，BCEC，DE∥CB， 则DEEC.

又AED90，即AEDE. 因为AEECE，

所以DE平面ACE， 所以BC平面ACE， 因为BC平面ABC， 所以平面ABC平面ACE.

（2）解：在直角梯形BCED中，BDCDBC2， 则BCDDBCBDCEDC60. 在RtCDE中，DE1CD1，所以CE3. 23. 在RtADE中，AD2，DE1，所以AE因为AC6，所以在ACE中，AE2CE2AC2，

则AECE，所以AE，CE，DE两两垂直.

以E为原点，AE，CE，DE分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Exyz，

则A0,3,0，D0,0,1，B3,0,2，所以AB3,3,2，AD0,3,1.

设平面ABD的法向量为nx,y,z，

ABn3x3y2z0则，令y1，得n1,1,3. ADn3yz0因为平面ADE的一个法向量为m1,0,0， 所以cosm,nmmmn15，

55由图可知二面角BADE为钝角，所以二面角BADE的余弦值20.解：（1）设A表示事件“甲选排球”，B表示事件“乙选排球”，

5. 5C1C22324则PA2，PB3.

C33C55因为事件A，B相互独立，

所以甲选排球且乙未选排球的概率PABPAPB2341. 3515C234（2）设C表示事件“丙选排球”，则PC3，

C55X的可能取值为0，1，2，3.

1224PX0；

355752221321234PX1；

3553553551523222313311PX2；

355355355252336PX3.

35525所以X的分布列为

X P EX00 1 2 3 4 754 1511 256 254411628123. 7515252515221.（1）解：设点M的坐标为c,yM，则yM3c， 123cycc所以221221①，

abab22M22又

c3②， a2a2222由①②，结合abc，得b1，

c3x2y21. 所以椭圆C的方程为4（2）证明：设直线DE的方程为ykx1，则P1,0. kykx18k22xx04k1x8kx0联立方程组x2，得，所以，， 12224k1y148k14k2即D2,2.

4k14k114k224k12k1， 因为A2,0，所以直线AD的斜率为

8k4k2224k1所以直线AD的方程为y2k1x2. 4k2设点Qx0,2k1x02， 4k2由OPOQ1x04，可得x04k，所以Q4k,2k1. k101， 022因为直线BE的斜率为kBE直线BQ的斜率为kBQ2k11，

4k22所以直线BE经过点Q.

22.（1）解：当ae时，fxxex， 所以fxx1ex.

因为x0，所以x10，则fx0， 所以fx在0,上单调递增.

（2）证明：因为fxxexaxlnx， 所以fxx1ea1x1x1xexa. xx①当a≤0时，fx0，即fx在0,上单调递增， 函数fx无极小值，所以a≤0不符合题意；

②当a0时，令hxxexa，x0，hxx1ex0， 故函数hx在0,上单调递增.

因为h0a0，haae10，

a据零点存在性定理可知，存在x00,a，使得hx00，fx00. 当0xx0时，hx0，fx0，函数fx在0,x0上单调递减； 当xx0时，hx0，fx0，函数fx在x0,上单调递增. 所以fx在xx0处取得极小值，所以a0符合题意. 因为hx00，所以x0ex0a.

因为fx00，即aax0lnx00，所以a1x0lnx00. 因为a0，所以1x0lnx00，即x0lnx010. 令mxxlnx1，

因为mx在0,上单调递增，且m10，mx00，所以0x01. 令pxlnxx1，0x1， 因为px110，所以px在0,1上单调递增， x所以pxp10，即lnxx1，其中0x1.

因为fx0a1x0lnx0a1x0x012a1x0， 结合0x01，a0，所以可得

fx02.

a1x0