数学建模生产管理概率问题

摘要

本文通过对检查间隔、刀具更换策略以及检查方式的改进，优化了工序设计，从而提高了自动化车床的连续生产的效益。

首先，我们对题目中给出的150次刀具故障记录进行了6SQ统计分析，发现了机器发生刀具故障的规律，由于机器发生刀具故障和其他故障是相互独立的，我们经过合理假设，推测出了机器发生其他故障的规律。

问题一中，通过对自动化车床管理决策优化模型的模拟，我们以一个换刀间隔作为一个周期，求得周期内各项费用的期望值之和与合格零件数的比值，即以单个合格零件的平均费用为目标函数，运用Matlab软件，以穷举法进行求解，然后结合实际情况分区段得出一系列解。最终我们得出，在每隔514个零件进行一次检查、连续检查1次后强制换刀时，单个合格零件的最小平均费用最小，为2.46057，并求得其他X组解。

问题二中，针对出现了工序正常与否均可产出合格以及不合格零件的改变，我们通过对模型的模拟，决定仍以一个换刀间隔为周期。在问题一模型的基础上，本题增加了误检费和部分零件损失费。我们以单个合格零件的平均费用为目标函数，进行求解。最终我们得出，在每隔52个零件进行一次检查、连续检查10次后强制换刀时，单个合格零件的最小平均费用最小，为6.373119。

问题三中，为了获得更高的效益，我们改变了对零件的检查方式，在一个周期的前期增大检查间隔，然后再逐渐减小检查间隔，最终得出如下检查间隔方案：

4418

4017

3715

3414

3113

2912

2712

2411

2310

219

199

887766655

此时，最小平均费用为5.874278128，低于之前的方案。

最后，我们在模型改进中重新对模型进行了思考，考虑以一次非刀具损坏作为一个周期，或者采用积分的方法计算期望值，由于时间不足，无法计算出结果。

关键词：期望 良品率

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1．问题重述

一道工序用自动化车床连续加工某种零件，由于刀具损坏等原因该工序会出现故障，其中刀具损坏故障占90%，其它故障仅占10%。工序出现故障是完全随机的，假定在生产任一零件时出现故障的机会均相同。工作人员通过检查零件来确定工序是否出现故障。

现积累有150次刀具故障记录，故障出现时该刀具完成的零件数如附表。现计划在刀具加工一定件数后定期更换新刀具。

已知生产工序的费用参数如下：

故障时产生的零件损失费用f=300元/件；进行检查的费用t=20元/次；

发现故障进行调节使恢复正常的平均费用d=3000元/次（包括刀具费）；未发现故障时更换一把新刀具的费用k=1200元/次。1） 假定工序故障时产出的零件均为不合格品，正常时产出的零件均为合格品，试对该工序设计效益最好的检查间隔（生产多少零件检查一次）和刀具更换策略。

2） 如果该工序正常时产出的零件不全是合格品，有1%为不合格品；而工序故障时产出的零件有25%为合格品，75%为不合格品。工序正常而误认有故障停机产生的损失费用为1500元/次。对该工序设计效益最好的检查间隔和刀具更换策略。

3） 在2）的情况，可否改进检查方式获得更高的效益。

附：150次刀具故障记录（完成的零件数）548 603 533 581 567 614 588 619 569 599 544 582 612 565 587

571 594 591 579 580 584 571 604 562 587 591 574 583 587 563

578 547 584 563 542 560 562 557 578 595 607 551 619 578 579

582 596 570 608 604 560 573 569 561 572 595 586 558 579 597

599 598 569 591 562 617 604 609 581 599 610 555 566 580 564

568 595 560 608 568 621 629 590 588 587 608 565 567 585 585

568 608 581 572 609 615 587 590 609 594 564 578 580 572 577

578 589 590 560 564 557 577 548 586 561 536 597 562 568 580

582 569 575 598 574 578 596 587 571 613 618 590 563 592 575

517579572583572578572596615591590555534574641

2．模型的假设与符号说明

2.1模型的假设

假设1：对零件进行检查后才进行换刀。

假设2：当检查出不合格的零件时，立刻停止行生产，直到排除机器故障。假设3：在问题一和问题二中进行等间隔检查。

假设4：问题一中出现损坏零件时，其数量为一个间隔内零件数的一半。假设5：当检查出不合格的零件时，立刻停止行生产，直到排除机器故障。2.2符号说明

mn

每生产m个零件时，对零件进行一次检查；每进行n次检查后，强制更换一次刀具；单个合格零件的平均最低费用；一个周期内生产零件发生的费用每对零件进行一次检查的费用；

每生产一个零件，机器发生其他故障的概率；每生产一个不合格的零件造成的损失；

发现刀具故障进行调节使机器恢复正常的平均费用；发现其他故障进行调节使机器恢复正常的平均费用；未发现机器故障时，更换一把刀具的费用；一个周期内生产的合格零件的数量；

Fftpfdgkql因误判造成的停机损失费。

3．问题分析

本问题是一个决策优化模型，要求我们通过对检查间隔、刀具更换策略以及检查

方式的改进，优化工序设计，从而提高该自动化车床的连续生产的效益。题目中给出了150次刀具故障记录，通过对数据的分析，我们可以得出机器发生刀具故障的规律并推测出发生其他故障的规律。

针对问题一，我们可以通过对模型的模拟，分析可能出现的费用。工作人员通过检查零件是否合格，确定工序是否出现故障，检查费用为t=20元/次。当零件不合格时，可能出现两种故障：第一、刀具损坏故障，其维修费用为d=3000元/次；第二、其他故障，因为无需更换刀具，故假设在总维修费用中减去更换一个道具的费用，维修费用为g=1800元/次。而零件不合格又会产生零件损失，费用为f=300元/件；对该批次零件重新进行检查，费用为t=20元/次。为了降低刀具损坏故障造成的损失，在加工一定件数零件后，不管刀具是否损坏，均对其进行更换，更换费用为k=1200元/每次。因此，为了提高工序设计的效益，即降低总费用，我们可以将目标函数转化为一个换刀周期内单个合格零件的平均费用，即一个周期内上述五种费用和其对应概率的乘积的累积和，与该周期内生产的合格零件数的比值。采用穷举法，对周期内检测零件的零件间隔数以及强制换刀时的已生产零件数进行求解，即可求得使单个合格零件的平均费用最小的方案。

问题二中，通过对模型的模拟，我们发现，除了工序是否正常不能决定零件是否

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合格外，其他条件均未改变。所以，我们仍以一个换刀周期内单个合格零件的平均费用作为目标函数。由于工序正常时产出的零件不全是合格品，会造成因故障误判造成的停机损失，费用为l=1500元/次；工序故障时产出的零件不全为不合格品，会加大对零件返检的难度与费用。为此，我们暂时不考虑对零件进行返检的费用，通过对其他费用各自产生概率的求解，求得总费用的期望值，最终得出与该周期内生产的合格零件数的比值，从而得出目标函数。然后运用软件求解，即可得出最终结果。

问题三中，我们可以结合实际情况，首先从良品率对问题二进行分析改进。然后，我们可以改进检查方式，以一个梯度对零件进行检查，在周期开始时，以较大的间隔进行检查，然后不断缩小检查间隔，从而既提高了零件的良品率，又降低了检测费用以及生产出不合格零件造成的损失。

4．数据分析

4.1刀具故障规律的分析

针对题目中给出的150次刀具故障记录，我们应用EXCEL软件进行了6SQ统计分析，输入数据可得到统计信息表1，如下：

表1 统计信息表统计量数据个数平均值方差偏度峰度最小值中位数最大值150581.18420.7794631-0.0019873320.332186361517580641箱线图下须线上须线527.875634.875参数置信度（%）小数位数置信区间0.950平均值LCILCI中位数LCIUCI标准偏差LCIUCI581.18579.4986359582.86136415805788520.51218.4247791523.13905891标准偏差20.51290967区间宽度3.378378378然后我们将题目中所给数据绘制成图1，如下：

图1 故障数据条形统计图

频数201816141210864201120122145549121318正态概率0.070.060.051210755442100.040.030.023330.011100000518.2528.4538.6548.8559569.2579.4589.6599.8610620.2630.46SQ.Net根据图形特点，我们假设故障数据服从正态分布，并用安德森-达令正态性检验对猜想进行验证,得到以下结果表2，如下：

表2 安德森-达令正态性检验安德森-达令正态性检验AD统计量P值0.3512717850.486937423检验结果服从正态分布最终，我们得出刀具损坏规律的正态分布函数：F(x) = X~N(581.2,20.5)(t)2x1 = e22dt24.2其他故障规律的分析

考虑实际可知，机器发生故障时，刀具损坏故障与其他故障是相互独立的，其发生概率是通过大量的统计后得出的结果。所以，我们不能通过刀具故障的规律来推断其他故障发生的规律。

但是，题目中给出，刀具损坏故障占90%，其它故障仅占10%。由刀具故障记录知，生产XXX个零件时，共发生150次道具损坏故障，则可得出每生产一个零件发生其他故障的概率p。

10%150p90%87177640.6000第 5 页 共 14

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4p=1.91210即，每生产一个零件，机器发生其他故障的概率为。

4.3所需数据的处理

刀具故障服从正太分布，则，由F(x) = X~N(581.2,20.5)可知，在生产mn个零件

后，发生刀具故障的概率为(mn)。

则在生产mn个零件后，发生其他故障的概率为pmn。

5．问题一的解答

5.1模型分析

根据上述分析，我们把相邻两次换刀的期间作为一个周期时，得出了问题一的模拟模型，做出示意图2如下，从中可清楚的看出一个周期内生产零件的流程以及产生的各种费用。

图2 问题一的模拟模型

周期开始检测零件费用t=20元/次其他故障 零件是否合格维修费用1800元/件否否刀具故障维修费用3000元/次造成损失检测 t=20元/次损坏f=300元/件是否强制换刀强制换刀费用k=1200元/次5.2模型建立目标函数：

我们假设一个周期内每间隔生产m个零件，进行一次检查；当连续检测n次时，不管机器是否发生故障，均将刀具进行更换。则，一个周期内共产生如下费用：

1、检测费用：一个周期内对零件进行检查的费用。

f1nt其中， n表示检查的次数；t为每对零件进行一次检查的费用。2、零件损坏费用：我们假设零件出现损坏时，被检查零件所在批次的零件有一半是损坏的，则造成的费用包括对零件进行返检的费用与零件损失费用：

mf2((mn)+pmn)(ft)2其中，(mn)、pmn分别为生产mn个零件时，机器发生刀具损坏故障、发生其他故障的概率；m为一个检查间隔内零件的数量；f为每损坏一个零件造成的损失费用；

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t为每对零件进行一次检查的费用。

3、故障换刀费用：发现机器故障（包括刀具故障时），进行调节使机器恢复正常的平均费用。

f3(mn)d其中，(mn)为对零件连续检查n次时，出现刀具故障的概率；d为发现刀具故障进行调节使机器恢复正常的平均费用。

4、故障换其他费用：发现机器故障，刀具未故障时，进行调节使机器恢复正常的平均费用。

f4pmng

其中，p为每生产单个零件，出现非刀具故障的概率；g为发现其他故障进行调节使机器恢复正常的平均费用。

5、定期换刀费用：当连续检测n次时，不管机器是否发生故障，均更换刀具

f51-(mn)k1-(mn)为不发生故障换刀的概率；k为未发现机器故障时，更换一把刀

其中，具的费用。

6、合格零件数：由问题一知，只有既不发生刀具损坏故障，又不发生其他故障时，生产的零件才合格，则：

mqmn-((mn)+pmn)2其中，(mn)、pmn分别为生产mn个零件时，机器发生刀具损坏故障、发生其他故障的概率。

约束条件：

根据实际情况，我们可以判断m、n的取值范围

m,nN*得出模型：

综上所述，我们可以得出一个周期内产生的全部费用，与该周期内生产的合格零件数的比值，从而建立问题一的模型：

ff2f3f4f5F11qs.t. m,nN*5.3模型求解

我们采用穷举法，运用Matlab软件进行求解，得出了问题一的最优解：

m514,n1,F12.460567即，每隔514个零件进行一次检查，共检查1次，在生产514个零件后强制更换刀具，此时单个零件的平均成本为元2.46057。

5.4结果分析

分析结果，由于机器在生产514个零件内发生故障的概率非常小，使得零件检查间隔非常大，降低了零件的良品率，这与实际生活不相符合。而分析目标函数，知F1的值又处于上下波动。

为此，我们重新计算，求得F1的各个波谷值，重新对最优结果进行求解，并取成本小于5的，结果如下表3：

成本2.4605672.5400292.6587882.7669293.0111093.0310963.3219743.3532183.7376093.9063194.820395

表3 问题一的其他结果检查周期换刀周期51451426152217652813353277539605406854442546505504655233561

检查次数

123479813111217

6．问题二的解答

6.1模型分析

与问题一中的模型对比，我们发现，问题二中只是增加了工序正常时，产出的零件不全是合格品，以及工序故障时，产出的零件不全为不合格品这两种情况。这样，就会出现在机器正常运转时的误检费用并增加机器故障时的零件损失费用。对上述条件进行模拟分析，作图3如下：

图3 问题二的模拟模型

故，根据实际情况，我们可以根据检查零件工人数的多少以及检查的快慢从上述

表格中取得所需最优解。

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周期开始检测零件费用t=20元/次合格零件99% 机器是否故障1(mn)pmn否不合格零件1%误检(mn)是其他故障合格零件25%pmn刀具故障不合格零件75%6.2模型建立

我们仍将相邻两次换刀的期间作为一个周期，假设一个周期内每间隔生产m个零件进行一次检查，当连续检查n次时，不管机器是否发生故障，均更换刀具。则，一个周期内产生的费用如下：

1、检测费用：一个周期内对零件进行检查的费用。

f1nt其中， n表示检查的次数；t为每对零件进行一次检查的费用。

2、零件损坏费用：与问题一不同，当机器正常运转时可能出现零件损坏；当机器出现故障时，又可能因为生产出合格零件而未检测出，使前几个检测间隔内生产出更多的损坏零件：

f21%(1(mn)pmn)75%((mn)pmn)mnf其中，(mn)、pmn分别为生产mn个零件时，机器发生刀具损坏故障、发生其他故障的概率；m为一个检查间隔内零件的数量；f为每损坏一个零件造成的损失费用；t为每对零件进行一次检查的费用。

3、故障换刀费用：发现机器故障（包括刀具故障时），进行调节使机器恢复正常的平均费用。

f3(mn)d其中，(mn)为对零件连续检查n次时，出现刀具故障的概率；d为发现刀具故障进行调节使机器恢复正常的平均费用。

目标函数：

4、故障换其他费用：发现机器故障，刀具未故障时，进行调节使机器恢复正常的平均费用。

f4pmng

其中，p为每生产单个零件，出现非刀具故障的概率；g为发现其他故障进行调节使机器恢复正常的平均费用。

5、定期换刀费用：当连续检测n次时，不管机器是否发生故障，均更换刀具

f51-(mn)k1-(mn)为不发生故障换刀的概率；k为未发现机器故障时，更换一把刀

其中，具的费用。

6、误检费用：因为检测失误，造成机器停机的费用：

nf61%1(mn)-(mn)mnl12mnn其中，l表示停机损失费用;mn表示被检测出的概率。

7、合格零件数：一个周期内生产的全部零件中，是合格品的数量：

q99%(1(mn)+2(mn))11(mn)-2(mn)25%mn2mn)分别为机器发生刀具损坏故障、发生其他故障的概率。其中，1(mn)、(约束条件：

根据实际情况，我们可以判断m、n的取值范围。

m,nN*得出模型：

综上所述，我们可以得出一个周期内产生的全部费用，与该周期内生产的合格零件数的比值，从而建立问题一的模型：

ff2f3f4f5f6F21qs.t. m,nN*6.3模型求解

与问题一相同，我们运用软件求得结果如下：

m52,n10,F16.373119即，每隔52个零件进行一次检查，共检查10次，在生产520个零件后强制更换刀具，此时单个零件的平均成本为元6.373119。6.4结果分析

与问题一相比，问题二的结果较为合理，此时良品率为0.988942。

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7．问题三的解答

7.1模型分析

通过上述问题一和问题二的分析求解，我们发现机器在一个使用周期的前期出现故障的可能性较低，运行稳定；而在使用周期的后期，故障率大大增加。所以，我们考虑改进等间隔检查方式，使之在前期检查间隔较大，然后逐渐减小检查间隔，从而获得更高的效益。 7.2模型建立目标函数：

x,xdx时间内发生故障的概率会增假设机器在x时刻时，未发生故障；则在大，单位时间内检查次数n(x)也会增大。fp(x)d(x)n(x)t1(mn)pmnx,xdx时间内发生故障的概率。其中，p(x)d(x)是机器在p(x)d(x)x,xdx时间因此，1(mn)pmn是设备到x时刻未发生故障的条件下，内发生故障的条件概率。这里，

p(x)1220.3e(x575.37)2220.32根据以上分析，检查方式可表示如下：

1d1n(0)第一次检查时间间隔为

1d2n(1)第二次检查时间间隔为

1d3n(1)n(2)第三次检查时间间隔为

····

置信区间 结果列表4如下：

表4 一个周期内的检查间隔

44188

40178

37157

34147

31136

29126

27126

24115

23105

219

199

将以上di带入问题二的目标函数中，即可得到期望损失费用5.874278128，此费用

小于问题二中的期望损失费用。同时，良品率为

8. 模型的评价、改进及推广

8.1模型的评价优点：

(1) 本文建模思想比较简单，易于理解，且模型操作性强。

(2) 模型考虑了10%的非刀具故障，减少了非刀具故障对检查间隔和换刀间隔的影响。

(3) 对零件的检查采取了等间隔抽查，简化了模型，使模型便于建立和求解。

(4) 对故障（刀具、非刀具）发生的概率进行了讨论，并利用“平均费用期望”作为目标函数综合考虑了各种情况。

(5) 模型三采用不等间隔检查法，大大减小了工序正常时误检的概率和工序故障时误检的概率，即减少了工序正常时误检停机产生的费用和工序故障而误检正常造成的次品损失费用。缺点：

(1) 模型均采用等间隔检查法，而实际生产中刀具在开始的一段时间内发生故障的概率较小，在后面发生的概率较大。8.2模型的改进

(1) 我们可以把一次非刀具损坏作为一个周期。

(2) 我们可以通过对每个区间产生不合格零件概率的积分，求得车床故障时产生的损坏零件数。8.3模型的推广

本文所建立的模型针对的是单道工序加工单一零件的情况，但可以扩展到多道工序和多个零件的复杂车床管理系统。在多道工序中，我们可以通过统计分析各道工序发生故障的概率，为工序的检查确定优先级，有效的控制故障发生的次数。当生产多个零件时，可以采用随机检查一组零件的方式，把这组零件当做一个整体来考虑，再综合利用以上模型，就可以求解出最优的检查间隔和换刀间隔。本模型还可以用于其他产业的连续生产。

参考文献

[1]盛骤，谢式千，概率论与数理统计，高等教育出版社，2008。

[2]戴朝寿,孙世良,数学建模简明教程,高等教育出版社。

[3]宋来忠，王志明，数学建模与实验，北京科学出版社，2005。

[4]石敏，林超有，方斌，自动化车床管理，数学的实践与认识，2000。

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附录

附录一，X：