基于等几何分析的二维线弹性问题研究 口刘正堂１，２ 口陈兴１，２ 口邓益民１，２ ３１５２１１ １．宁波大学机械工程与力学学院浙江宁波３１５２１１ ２．宁波大学浙江省零件轧制成形技术研究重点实验室 浙江宁波摘要：等几何分析是传统有限元分析的一种拓展。给出基于等几何分析的二维线弹性问题具体解 决过程，同时考虑基函数阶数对精度的影响，与传统有限元分析结果进行比较，确认等几何分析在解决 二维线弹性问题时的有效性及精确性。 关键词：数值计算等几何分析有限元线弹性 文章编号：１０００—４９９８（２０１７）０６—０００１—０６ 中图分类号：ＴＨ１２２：ＴＰ３９ 文献标识码：Ａ Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｉｓ ａｎ ｅｘｔｅｎｓｉｏｎ ｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ．Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗａｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｗｏ－ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ ｗｈｉｌｅ ｔｈｅ ｉｍｐａｃｔｓ ｏｆ ｔｈｅ ｏｒｄｅｒ ｏｆ ｂａｓｉｓ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｔｏ ｔｈｅ ｐｒｅｃｉｓｉｏｎ ｗｅｒｅ ｇｉｖｅｎ．Ｉｎ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｏｆ ｔｒａｄｉｔｉｏｎａｌ ｆｉｎｉｔｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ａｎａｌｙｓｉｓ，ｉｔ ｉｓ ｐｏｓｓｉｂｌｅ ｔｏ ｄｅｆｉｎｅ ｔｈｅ ｖａｌｉｄｉｔｙ ａｎｄ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｈｅｎ ｉｔ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｓｏｌｖｅ ｔｈｅ ｔｗｏ． ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｌｉｎｅａｒ ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ ｐｒｏｂｌｅｍ． Ｋｅｙ Ｗｏｒｄｓ：Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔ Ｌｉｎｅａｒ Ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ 有限元分析方法已经成为工程领域重要的分析方 法，不仅解决了大量的实际工程问题，而且创造了巨大 的经济效益…。处理传统的工程问题是在计算机辅助 设计（ＣＡＤ）软件中进行设计建模，然后将建好的ＣＡＤ 模型导人有限元分析软件，进行网格划分，定义材料属 性和约束：或用有限元分析软件自带的建模工具建模， 再进行网格划分、定义材料属性和约束。 目前．普遍使用的商业ＣＡＤ软件均采用非均匀有 理Ｂ样条（ＮＵＲＢＳ）作为定义几何模型的数学表达．能 Ｈｕｇｈｅｓ等［４－５］在解决ＣＡＤ／ＣＡＥ无缝集成过程中 提出了一种新的方法——等几何分析方法。等几何分 析方法基于有限元分析方法的等参单元思想，将计算 机辅助几何设计（ＣＡＧＤ）中用于描述几何模型的 ＮＵＲＢＳ基函数作为形函数进行分析．从而实现ＣＡＤ 与ＣＡＥ的无缝集成。等几何分析过程中将ＣＡＤ几何 模型的信息作为有限元分析的输入信息，这一过程简 化了有限元分析中复杂的网格划分。Ｈｕｇｈｅｓ等还提出 了一种超越有限单元标准的Ｃ。连续新网格细化方 精确描述复杂高级几何形状。在有限元分析中，计算 机辅助工程（ＣＡＥ）软件在复杂几何建模方面采用近似 方法，如多边形或多面体逼近，与相应的ＣＡＤ模型有 所差异。 法——ｋ一型细化，这种新细化方法比传统Ｐ一型细化和 ｈ一型细化精度更高、更有效。目前，等几何分析方法已 经成功应用于板壳问题 ］、结构优化［ｓ圳、流固耦合［ｍ］、 接触分析… ｚ］等多个方面。其算法研究也在不断发 展［１３－１５］。笔者根据等几何分析的基本思想．结合二维线 弹性问题的有限元分析，给出等几何分析方法在二维 线弹性问题分析中的具体过程，并给出实例。经与有限 元分析结果比较表明，等几何分析方法在解决二维线 弹性问题时具有相对优势。 网格划分及划分前的几何模型准备是有限元分析 中最消耗时间的工作，目前尚不能做到较高精度的网 格自动划分。如在汽车、航天等领域，网格划分及划分 前的几何模型准备大约占整个分析时间的８Ｏ％［２－３］。此 外，在有限元分析中使用的网格划分工具不能给出复 杂高级曲面的精确网格离散．对复杂几何形状的识别 精度较低。因此，实现ＣＡＤ模型与有限元模型的无缝 集成成为工程领域所面临的重要问题之一。 浙江省大学生科技创新活动计划暨新苗人才计划项目（编号 ２Ｏｌ５Ｒ４Ｏ５Ｏ９１） １ 基本原理 １．１ ＮＵＲＢＳ曲面定义和性质 令 ＝｛ｕ。，“ ，…，“ ｝是一个单调不减的实数序列， 即 ≤“ １，２，…，ｍ一１，其中 为节点， 看作节点 宁波大学研究生科研创新基金资助项目（编号：Ｇ１６０６９） 矢量，用Ｎｉ． （Ｍ）表示第ｉ个Ｐ次ＮＵＲＢＳ基函数。 当Ｐ＝０时： 收稿日期：２０１６年１２月 机械制造５５卷第６３４￣Ｊ ２０１７／６ ｆ １ Ｎｉ．。（“）ｉ０ 当ｐ≥１时： Ｎｉ．ｐ（Ｍ）＝ ＬＮｉ，ｐ－１（ ）＋ 虹 Ｌ ｌ １（ ） （２） ‘ｌｇｉ＋ｐ－－ｌＺｉ ｌｇｉ＋ｐ＋ｌ－－ｌＺｉ＋１ 式中：Ｐ为自然数，人为规定０／０＝０。 一条Ｐ次ＮＵＲＢＳ曲线定义为： －１ ， （ ）∞ Ｃ（ｕ）＝生 ——一—— 口≤“≤ｂ （３） １．＇ ， （ ） 式中： 为控制点，形成控制多边形；∞ 为权因子。 假定ａ＝０，ｂ＝ｌ，且对所有的ｉ均有 ＞Ｏ，令： （“）： Ｌ’ （４） ∑ ， （ｕ） 』＝ｌ 则式（３）可以改写为： ｃ（ ）＝∑Ｒｉ，ｐ（ ） （５） ｉ：０ 式中：Ｒ （“）为有理基函数，是 ∈［０，１］上的分段有理 函数。 一张在／Ｚ方向Ｐ次、 方向ｑ次的ＮＵＲＢＳ曲面具 有如下形式的双变量分段有理矢值函数： 、∑∑ ， （“） ， （ ） 。 ｓ（ｕ， ）＝生｝ ０≤ ， ≤１ （６） ｉ：∑∑ ，ｌ Ｊ＝１ （“） ． （ ） 式中： 为形成的有两个方向的控制网格；ｔｏ 为权因子。 引入分段有理基函数： Ｒ （Ｍ，Ｖ）＝ Ｎ． （ｕ、Ｎ． （＂）ｔｏ （７） ∑∑ ， （“） ， （ ） ¨ ｋ＝１ Ｚ：１ 则式（６）可以改写为： ．ｓ（ｕ， ）＝∑∑Ｒ （ｕ， ） （８） ｉ＝１ ＝１ ＮＵＲＢＳ基函数具有以下特征＿ｌ６］。 （１）非负性。对于所有的ｉ４、 、 ，均有 （ ， ）ｔ＞０。 （２）规范性。对于所有的（ ，Ｖ）Ｅ［０，１］ｘ ＥＯ，１］，均 有∑∑ （“， ）：１。 ｉ＝ｌ Ｊ Ｉ （３）局部支持性。当（ｕ，Ｖ）在矩形区域［ ， ）Ｘ ［ ， “）之夕 时，有Ｒ （ｕ， ）＝０。 （４）如果对所有的ｉ＝１，２，…，ｎ ＝１，２，…，ｍ，有 ｔｏｉｄ＝口且ａ≠０，则对所有的ｉ，Ｊ，均有Ｒ Ｊ（ ， ）＝Ｎｉ，Ｐ（ ） ， ｖ）。 １．２单元位移场表达 针对二维线弹性问题，根据有限元单元法ｍ］，选取 ２０１７／６ 等几何分析单元为４控制点，如图１所示，厚度为ｔ，则 控制点坐标分别为（ Ｙ ）、（ ），：）、（ Ｙ３）、（ Ｙ４），控制 点位移分别为（ｕ ， ）、（“：， ）、（ Ｖ，）、（“ ， ），相应的 参数空间用ｕ（ｕ Ｅ［ ，ｕ 。］）和ｖ（ｖ∈［Ｖｊ，Ｖｊ＋ ］）表示。 记单元节点位移向量艿 和节点力向量Ｆ 为： ＝［“１ Ｖｌ ２ Ｖ２… Ｍ ＩＴ （９） Ｆ ＝［ － ｚ … ．］ （１Ｏ） 式中：ｍ为单元中的控制点总数。 对于二维问题。位移场函数为： ｆｕ（ｘ，ｙ）１ Ｉ （ ，，，）Ｊ 因此。位移场函数可用带有形函数的下式表示： ｆＭ（ ，ｙ）＝ １（ ，ｙ）“１＋Ｒ２（ ，ｙ） ２＋…＋Ｒ ．（ ，ｙ） ｛【 （ ，），）＝Ｒ１（ ，ｙ）ｖ１＋月２（ ，ｙ）ｖ２４－…＋Ｒ （‘ ，ｙ）ｖ ‘ （ ）１２ 即： Ｕ （ ，ｙ）＝ ｆＲｌ（【 ０ ， Ｒ ，，）（０ ，ｙ）０… Ｒ （ ，Ｙ）０Ｒ （ ， １ｙ）Ｊ （１３） … ｍ们 ：｝ 则形函数矩阵为： ｆ 。（ ，ｙ）０ … （ ，ｙ）０ ］ 足 （ ，ｙ） １ ０ Ｒ１（ ，ｙ）０ ． ．Ｒ （ ，ｙ）ｌ ４） 单元内的位移场函数式可以简写为： Ｕ （ ，），） （１５） １。３单元应变场表达 根据单元位移场函数，由弹性力学平面问题中的 几何方程可以得到单元应变场表达式： ｏ ｄ ｓ ｃ ，ｙ ＝ｆ三三１＝ ＯＯａｕｘｖｏ— ｖ ０ｌＶ Ｊ． ａ ａ ａｖ Ｏｘ ａｖ Ｏｘ 机械制造５５卷第６３４期 将位移场函数式代入式（１６），可得应变场表达式： Ｒｌ０ Ｒ２， ． ０ Ｒ ．， ０ ￡ （戈， ）＝ ０ Ｒ】，，０ Ｒ２． ０ Ｒ （１７） ｌ，ｙ １． ２，ｙ Ｒ２Ｒ ｙ Ｒ＾． 。 式中：Ｒ 和Ｒ 分别表示对 （ ，Ｙ）在 和ｙ方向的 偏导。 应变场表达式可以简写为： 艿 （１８） 式中：Ｂ为几何矩阵。 曰矩阵可以用分块矩阵表示： 曰＝ＥＢ Ｂ２Ⅲ …曰 ］ （１９） 『Ｒ咄０ ］ Ｂｉ＝Ｊ ０ 由Ｊ ｉ＝１…２…ｎｔ （２ｏ） ＩＲ ， Ｒ Ｊ １．４单元应力场表达 由弹性力学中平面问题的物理方程及应变场表达 式，可以得到单元应力场表达式： ｏ＇＝Ｄｅ ．ｊ９四 ＝跖 （２１） 式中：Ｓ＝ＤＢ，为应力矩阵；Ｄ为弹性矩阵。 对于平面应力问题，有： １／ａ． Ｏ Ｄ： ／ａ．１ ０ （１ ）‘ （２２） ０ ０ Ｌ ２ 对于平面应变问题，只需将Ｅ改为Ｅ／（１ ）， 改 为 （１ ）即可。 １．５边界条件表达 在平面问题中，关于 方向和ｙ方向的位移边界 条件为： Ⅱ－－一Ｉｔ｝在 上 （２３） ＝ Ｊ 式中： 和 为在 上指定的沿 方向和ｙ方向的位 移； 为给定的位移边界。 和 分别为所作用在沿 方向和ｙ方向的面 力，则有： 口 ｎ ｆ 儿＋ 产 ｝＝ｔｙ １ 在 上 （２４） 式中： 为给定的力边界。 位移边界条件和力边界条件如图２所示。图中 边界为定义域。 １．６单元刚度方程表达 单元势能表达式为： ＩＩｅ＝Ｕ－Ｗ＝ 』 ８ｏＴｏ￣ｄｇ２－Ｅ』 Ｈ￣Ｔｂｄｇ２＋』 ｌｆ＂Ｔｔａａ］（２５） 机械制造５５卷第６３４期 式中：ｂ为单位体积的体积力；ｔ为单元上的表面力。 将位移场函数式、应变场表达式、应力场表达式代 人式（２５），得： ＝ 』 ｄ ［ＬＲｅＴ６ｄ Ｒ￣ＴｔｃｌＡ（２６） 利用最小势能原理及ＢＴＤＢ的对称性。可得： ｜ｎ Ｉ。曰．ｒ上 粥 ｌ门 Ｊ。ｌ ｄ Ｒ ＇６ｄ门ｌ＋３ｆ欠 ｄＡ Ａ （２７） 单元刚度方程为： 胎；Ｐ。（２８、 式中：Ｋｅ为单元刚度矩阵；Ｐ为等效节点载荷矩阵。 ２单元几何形状坐标变换 由单元的构造过程可以看出，计算刚度矩阵是关 键。以平面问题为例，必须实现坐标系之间的三种映射 关系。 ２．１ 坐标映射 图３所示为基准 空间、参数空间和物 理空间之间的映射关 系。基准空间为伦： ［－１，１］ｏ Ｅ－１，１］，参 数空间为 ＝ ， ］ ｏ［ ， ＋－］，将它们映 射到物理空间中需要 两步映射。 映射咖：伫一伫。从 （ ， ）＝ （ ，石）＝争［（ 面＋（ ）］ ● （２９） （ ， ）＝ １ ［（￣Ｕｉ＋１－ ｆ） ＋（ ｌ＋ 。）］ 映射Ｆ： —伫，从参数空间到物理空间： Ｆ（Ｍ， ）＝ 用ｉ√表示下标，用ｎ、ｍ表示不同方向上的控制 ２０１７／６ 点总数．则ａ可以由下式给出： ａ＝ｎ（，一１）＋ ２．２坐标变换 （３Ｉ） ＂ｒｒ／２时。环向应力为： ｔｒａ＝－ｑ（１＋ ＋等） 式中：ｒ为截面上任意一点距圆心的距离。 当ｒ＝ａ时， （３９） 根据链式规则，对于映射 ，有雅可比矩阵 ： ａｕ ａ荭 ＝ ａ ａ ｌ（ｕｉ＋，－ｕｉ） ３ｑ，即最大环向应力发生在孑Ｌ的边 ０ （３２） 缘处，其理论值为３ｑ。 ３．２分析比较 ｄ Ｏｖ ａ ０ ｌ∑一（ｖ ∑ ｊ＋ｌ－ｖｊ） ａ 有限元分析方法采用ＡＢＡＱＵＳ分析软件，八节点 曲四边形单元。在网格划分较细且合理的情况下，划分 为２ ｌｌ２个单元。给出相应网格下 如图５所示。 （３３） 对于映射，，有雅克比矩阵 ： ａ ８ｕ 立Ｌ ａＵ 应力分布云图， Ｊｕ＝ ａ ａｔ， ａ ∑ ∑一 由图５可以看出，最大应力出现在ｒ＝ｎ、０＝＇ｒｒ／２处， 值为３．０８５ｑ．与理论值误差为２．８３％。 组合映射Ｆ。西：伫一伫，从基准空间到物理空间： ｎ —一池 ！ 一ｓ（五， ）：∑ Ｒ：（“， ）∑ Ｒ：咖（ ， ） ，ｈ ｎ （３４） （３５） ｄ＝Ｉ ｎ＝Ｉ 故组合雅克比矩阵为： ＝＿Ｊ（ ． （…） ２．３面积变换 在物理坐标系（ 。Ｙ）中，由ｄｕ和 所围成的微小 平行四边形，其面积为： ｄＡ＝ｌｄｆｆｘｄ ｌ （３６） 由组合映射关系得： Ｏｘ坛ｄｆｆ ０￣Ｌｄｆｆ ａ＝ｄ，４： ｄ ｄ Ｌ，Ｉｄ ｄ （３７） ＝为进行等几何分析，选取“方向上的节点矢量为 ［０ ０ ０ ０．５ ｌ ｌ １］，基函数阶数为２，ｔ，方向上的 ［０ ０ ０ １ １ １］，基函数阶数为２。表 因此．单元刚度矩阵可写为高斯求积形式： ｒ ＝节点矢量为 ｒ ＢＴｆＤＢ４Ｏ＝ｆ ＢＴＤＢｄＡ・ｔ Ｊ ｒ １ ｒ Ｉ １为平板的等几何分析控制点及权重。 表１ 平板等几何分析控制点及权重 Ｊ ＝Ｊ—ｌ ｝１ ＢＴＤＢＬ，Ｉｄ五ｄ ・ｔ 一ｌ （３８） 编号 １ （２．５，０）。１ 控制点与权重 （Ｉ１．２５，０），１ （１１．２５，１．８７５），１ （１．８７５，１１．２５）．１ （２０．０）．１ （２０，２０），１ （２０．２Ｏ）．１ ３实例分析 ３．１ 问题描述 ２ ３ （２．５，１．０３５ ５），０．８５３ ６ （１．０３５ ５，２．５），０．８５３ ６ ４ （０．２．５），１ （０，１１．２５），１ （０，２０），１ 以二维线弹性平面应力问题为例进行分析 ］。考 虑一个内部带圆孑Ｌ的单位厚度正方形平板，边长１＝４０ ｍｍ．圆孔半径ａ＝２．５ ｍｍ，杨氏模量Ｅ＝２００ 为得到等几何分析结果．通过ＭＡＴＬＡＢ编制相应 程序。实际操作过程中，可以通过提高基函数阶数或插 入新控制点的方法来细化网格，如ｈ一型、Ｐ一型或ｋ一型 细化方法。由于等几何分析中的网格细化可通过编制 相应的程序自动完成，因此网格细化方法更为简便。图 ６所示为等几何分析模型网格，图７所示为ｈ一型细化 方法得到的网格，其中图７右侧为２ ０４８个等几何分 ＧＰａ．泊松比，ｔＬ＝０．３。平 板水平方向上，两端 受有均匀拉力口：ｌ０ ｋＰａ。为了便于分析计 算，并考虑其对称性， 取１／４平板作为研究 对象．图４所示为所建模型。 析单元，图８所示为２ ０４８个等几何分析单元基函数 阶数为２时的应力分布云图，图９所示为２ ０４８个等 几何分析单元基函数阶数为３时的应力分布云图。 通过图８可以看出。等几何分析得出的应力最大 值也出现在ｒ＝ａ、０＝＇ｒｒ／２处，与理论值相差约０．０３７ ７ｑ． 根据文献［１９—２０］建立第一象限极坐标系，当 ＝ ２０１７／６ 机械制造５５卷第６３４期 Ｏ ２ ５ ， ［一 Ｏ ● 一 ５ ＿一０ ＿５一 — Ｌ ５ 一 ５ ０ ５ ｌＯ １５ ２０ —５ Ｏ ５ ｌ０ １５ ２０ ▲图６等几何分析模型网格 ０ ０．５ １ １ ５ ２ ２．５ ３ ▲图７等几何分析细化网格ｈ一型细化网格 ０ ０．５ ｌ １．５ ２ ２．５ ３ —４００—２００ ０ ２ｏ０ ４００ ６（）０ ８００ ■ｌｌ匿 二：．二ｌ＿ 一２０，－ 。５ 加 ｍ ５ Ｏ ： ２０ ｒ Ｍａｘ＝３００００ ×１０４ｐａ ２０ ｌ５ Ｊ １０｝ ５ｌ０｛ ５ ０ 一 ｌ Ｍ ＝３Ｄ３７７．２５０２ ０ －Ｍａｘ＝８８８ ７９５７ ５ 一 ５ Ｏ 一ｌＯ ｌ５ ２０ — ２５ Ｌ— 一 一 一５ Ｏ ２Ｏ ２５ ＿＿ ０ ５ ｌ０ １５ ２Ｏ ２５ （ａ）应力分布云图 ０ ０．５ １ １．５ ２ ２．５ ３ ５０ （ｂ）理论应力分布云图 ▲图８基函数阶数为２时应力分布云图 ０ ５０ ｌ００ ｌ５Ｏ ２００ （（，）成力整体误差分布云图 —■■—●睡 一～～～一—凋■■■＿ ＪＯ４Ｐａ 与经典有限元分析相比，等儿 何分析克服了有限元分析方法的部 ｌ。ｊ 加 ｍ ５ ０ 分缺点，简化了复杂几何体的网格 细化，为复杂几何体提供更加精确 的建模，在解决二维线弹性问题时 具有高效率、高精度等特点。当然， 一５ ，ｊ１０ 一一 １５ ２Ｏ ５｝ 一 Ｍａｘ＝３Ｏ０７５．３７５４ ５ 一Ｏ …Ｏ ５ ｌ０ １５ ２０ ２５ －这一方法目前处在迅速发展阶段． （ａ１应力分布云图 （ｂ）应力整体误差分布云图 仍有许多挑战。 （１）尚未有成熟的商业软件供 ▲图９基函数阶数为３时应力分布云图 误篾为ｌ＿２６％。比较图５与图８可知，等几何分析得到 的应力分布趋势与有限元分析的应力分布趋势吻合， ｆｊ＿在网格划分密度相近的情况下，等几何分析方法得 到的应力比有限元分析方法得到的应力更为精确。考 工程技术人员使用，因此实际应用范同有限。 （２）对于高阶样条模型，其基函数的影响域覆盖 了附近多个节点，在求刚度矩阵时会对该区间多次积 分计算，影响了效率。 （３）ＮＵＲＢＳ构造采用张量积形式，不利于网格的 局部细化，部分研究者尝试用经ＮＵＲＢＳ扩展的Ｔ样 条，更适合网格的自适应划分及网格局部细化。 虑基函数阶数对精度的影响，对等几何分析的基函数 进行升阶后，由图９可知，在ｒ＝ｏ、０＝＇ｎ－／２处，实际值与 理沦值相差约０．００７ ５ｑ，误差为０．２５％，冈此，基 数 阶数对精度的影响也较为明显，此外，基函数阶数对整 总之，等几何分析方法作为一种新的数值计算方 法，以其独特的优势将会在工程应用『ｆ１发挥重要的作 用 体误差也有重要影响 ４结束语 等ＪＬ何分析是对有限元分析的一种拓展，采用 ＮＵＲＢＳ基函数作为分析中的形函数，几何模型与分析 参考文献 ［１］ 曾攀．有限元分析及应用［Ｍ］．北京：清华大学出版社， ２００４． 模型采用统一几何描述，有助于设计、分析和优化的无 缝融合，对ＣＡＤ／ＣＡＥ领域的进一步发展产生了重要 ［２］ ＣＯＴＹＲＥＬＬ Ｊ Ａ，ＨＵＧＨＥＳ Ｔ Ｊ Ｒ，ＢＡＺＩＬＥＶＳ Ｙ．１ｓｏｇｅｏ ｍｅｔｒｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｔｏｗａｒｄ Ｉｎｔｅｇｒａｔｉｏｎ ｏｆ ＣＡＤ ａｎｄ ＦＥＡ［Ｍ］． Ｈｏｂｏｋｅｎ：Ｗｉｌｅｙ，２００９． 作用。等几何分析可以通过对现有有限元分析框架和 程序的改造，实现几何计算和分析功能。 ［３］葛建立，杨国来，吕加．同几何分析研究进展［Ｊ］．力学进 机械制造５５卷第６３４期 ２０１７／６ 展。２０１２，４２（６）：７７１—７８４． ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１１，２００（５－８）： ７２６－７４１． 【４］ ＨｕＧＨＥＳ Ｔ Ｊ Ｒ， Ｃ０ＴｒＲＥＩ Ｊ Ａ， ＢＡＺＩＬＥＶＳ Ｙ． Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ：ＣＡＤ，Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ，ＮＵＲＢＳ， ［１２］ＴＥＭＩＺＥＲ Ｉ，ｗＲＩＧＧＥＲＳ Ｐ，ＨＵＧＨＥＳ Ｔ Ｊ Ｒ．Ｃｏｎｔａｃｔ Ｔｒｅａｔｍｅｎｔ ｉｎ Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ ＮＵＲＢＳ［Ｊ］．Ｃｏｍ— ｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， Ｅｘａｃｔ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｎｄ Ｍｅｓｈ Ｒｅｆｉｎｅｍｅｎｔ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００５，１９４（３９—４１）： ４１３５－４１９５． ２０１１，２００（９—１２）：ｌ１００一ｌ１１２． ［５］吴紫俊，黄正东，左兵权，等．等几何分析研究概述［Ｊ］．机 械工程学报，２０１５，５１（５）：１ １４—１２９． ［１３］徐曼曼，王书亭，吴紫俊，等．基于等几何分析基函数重用 的积分方法［Ｊ］．计算机辅助设计与图形学学报，２０１６，２８ （９）：１４３６—１４４２． ［６］ＫＩＥＮＤＬ Ｊ，ＢＬＥＴＺＩＮＧＥＲ Ｋ Ｕ，ＬＩＮＨＡＲＤ Ｊ，ｅｔ １．Ｉａｓｏｇｅｏ— ｍｅｔｒｉｃ Ｓｈｅｌｌ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ Ｋｉｒｃｈｈｏｆｆ—Ｌｏｖｅ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ［Ｊ］． Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ［１４］陈积瞻，苏海东，祁勇峰．基于ＣＡＤ几何的数值流形方法 初步研究［Ｊ］．长江科学院院报，２０１６，３３（２）：１３７—１４３． ［１５］刘雪冬．基于ＣＡＤ／ＣＡＥ系统的机构设计与校验［Ｊ］．机械制 造，２００７，４５（１０）：７３—７４． ２００９ １９８（４９—５２）：３９０２－３９１４． ［７］ＢＥＮＳＯＮ Ｄ Ｊ，ＢＡＺＩＬＥＶＳ Ｙ，ＨＳＵ Ｍ Ｃ，ｅｔ ａ１．Ａ Ｌａｒｇｅ Ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ，Ｒｏｔａｔｉｏｎ—ｆｒｅｅ，Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｓｈｅｌｌ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２０１ １，２００ ［１６］ＰＩＥＧＬ Ｌ，ＴＩＬＬＥＲ Ｗ．Ｔｈｅ ＮＵＲＢＳ Ｂｏｏｋ［Ｍ］．２ｎｄ ｅｄｉｔｉｏｎ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９９７． （１３—１６）：１３６７一ｌ３７８． ［１７］丁科，陈月顺．有限单元法［Ｍ］．北京：北京大学出版社， ２００６． ［８］ ＷＡＬＬ Ｗ Ａ，ＦＲＥＮＺＥＬ Ｍ Ａ，ＣＹＲ０Ｎ Ｃ．Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｓｈａｐｅ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ａｐｐｌｉｅｄ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ａｎｄ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００８，１９７（３３—４０）： ２９７６—２９８８． ［１８］ＦＩＳＨ Ｊ，ＢＥＬＹＴＳＣＨＫ０ Ｔ．Ａ Ｆｉｍｔ Ｃｏｕｒｓｅ ｉｎ Ｆｉｎｉｔｅ Ｅｌｅｍｅｎｔｓ ［Ｍ］．Ｈｏｂｏｋｅｎ：Ｗｉｌｅｙ，２００７． ［１９］王光钦，丁桂保，杨杰．弹性力学［Ｍ］．３版．北京：清华大学 出版社，２０１５． ［９］ ＣＨＯ Ｓ Ｈ，ＨＡ Ｓ Ｈ．Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｓｈａｐｅ Ｄｅｓｉｇｎ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ： Ｅｘａｃｔ Ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｎｄ Ｅｎｈａｎｃｅｄ Ｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙ［Ｊ］．Ｓｔｕｃｒｔｕｒａｌ ａｎｄ Ｍｕｌｔｉｄｉｓｃｉｐｌｉｎａｒｙ Ｏｐｔｉｍｉｚａｔｉｏｎ，２００９，３８（１）：５３—７０． ［２０］ＧＯＵＬＤ Ｐ Ｌ Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎ ｔｏ Ｌｉｎｅａｒ Ｅｌａｓｔｉｃｉｔｙ［Ｍ］．３ｒｄ ｅｄｉｔｉｏｎ． Ｎｅｗ Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇｅｒ－Ｖｅｒｌａｇ，２０１３． ［１Ｏ］ＢＡＺＩＬＥＶＳＹ，ＣＡＬＯＶＭ，ＺＨＡＮＧＹ Ｊ，ｅｔ ａ１．Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｆｌｕｉｄ－ｓｔｒｕｃｔｕｒｅ Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｗｉｔｈ Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ ｔｏ 作者简介： Ａｒｔｅｒｉｌａ Ｂｌｏｏｄ ｎｏｗ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ．２００６，３８（４）： ３１ ＿３２２ 刘正堂（１９９ｌ一），男，硕士研究生，主要研究方向为材料成 形计算机辅助设计与工程；陈兴（１９６３一），男，副教授，主要研究 方向为材料成形计算机辅助设计与工程。 （编辑 丁 罡） ［１１］ＬＵ Ｊ．Ｉｓｏｇｅｏｍｅｔｒｉｃ Ｃｏｎｔａｃｔ Ａｎａｌｙｓｉｓ：Ｇｅｏｍｅｔｉｒｃ Ｂａｓｉｓ ａｎｄ Ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ Ｆｒｉｃｔｉｏｎｌｅｓｓ Ｃｏｎｔａｃｔ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｍｅｔｈｏｄｓ 我国与俄罗斯将联合研制远程宽体飞机 Ｃ９１９国产大飞机于５月５日成功首飞后，我国民航制造业 再度开启新篇章。日前，中国商用飞机有限责任公司与俄罗斯 联合航空制造集团的合资企业——中俄国际商用飞机有限责 任公司在上海成立。合资公司主要负责中俄联合研制新一代远 程宽体飞机项目的运行工作。合资公司透露，已经确定了Ｃ９２９ 远程宽体飞机系列化发展方案，完成了飞机级指标初步定义， 一计、大量应用复合材料、装配新一代大涵道比涡轮发动机等方 式提高飞机的综合性能指标，比同类机型拥有更低的直接运营 成本。 复合材料用多用少，是当今全球航空业衡量飞机先进性的 大指标。波音７８７和空客Ａ３５０机体结构大量应用先进材料， 对于减重、增大强度、耐腐蚀、简化维护都大有益处，波音７８７ 复合材料用量占机体结构质量的５０％，空客Ａ３５０为５２％，根据 很快将进入初步设计阶段，其总装将在上海完成。 根据空客公司的最新预测，未来２０年我国将需要５ ９７０架 新飞机．价值９ ４５０亿美元，其中包括４ ２３０架单通道窄体客机 和１ ７４０架宽体客机。因此，尽早研制出宽体客机，可以满足快 速增长的国内市场需求。 根据现有信息，Ｃ９２９中俄远程宽体客机将采用双通道客舱 布局．基本型航程为１２ ０００ ｋｍ，２８０座，将通过采用先进启动设 俄罗斯方面的介绍，Ｃ９２９的复合材料比重也将超过５０％。多电 技术将是Ｃ９２９的另一大亮点，基于多电技术，次级能源全部或 尽量多地使用电能，而不是传统的液压、气动等。如果相关技术 目标都能实现，Ｃ９２９的技术水准将相当于波音７８７或是空客 Ａ３５０，比目前的空客Ａ３３０要领先一代。 （据《解放日报》报道） ２０１７／６ 机械制造５５卷第６３４期