一种用于力觉再现的柔性体变形仿真弹簧-质点模型

维普资讯 http://www.cqvip.com 第３７卷第５期　２００７年９月　东南大学学报（自然科学版）　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＳＯＵＴＨＥＡＳＴ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　ＶＯ１．３７　Ｎｏ．５　Ｓｅｐｔ．２００７　一种用于力觉再现的柔性体变形仿真弹簧一质点模型　崔　桐　宋爱国　吴　涓　（东南大学仪器科学与工程学院，南京２１００９６）　摘要：提出一种新型的在虚拟现实中可实现的弹簧一质点力／变形模型．它按质点连接顺序划分　层次，以受力网格为第１层，构建类似同心环状的弹簧一质点系统．施力刚体以点接触的方式与柔　性体进行力交互作用．运用虚功原理，结合施力刚体与受力柔性体组成的系统中虚拟力和质点位　移的关系，区别于以往对局部变形的研究，对柔性体进行全局变形分析．柔性体变形是整个柔性　体表面质点在力平衡条件下位移变化累加的结果．利用ＤＥＬＴＡ手控器对柔性体的接触变形以　及实时虚拟力反馈进行仿真，实验表明所提出的方法适用于柔性体的力反馈计算，满足精细作业　对虚拟现实系统的要求．　关键词：弹簧一质点模型；虚拟现实；力反馈　中图分类号：ＴＰ３９１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００１—０５０５（２００７）０５－０８４９－０４　Ｅｆｉｃｉｆｅｎｔ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｈａｐｔｉｃ　ｄｉｓｐｌａｙ　ｏｆ　ｌｆｅｘｉｂｌｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｕｓｉｎｇ　ｍａｓｓ－ｓｐｒｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍｓ　Ｃｕｉ　Ｔｏｎｇ　Ｓｏｎｇ　Ａｉｇｕｏ　Ｗｕ　Ｊｕａｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｉｎｓｔｒｕｍｅｎｔ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ　２１００９６，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎ　ｉｍｐｒｏｖｅｄ　ｄｉｓｃｒｅｔｅ　ｍａｓｓ—ｓｐｒｉｎｇ　ｍｏｄｅｌ　ｉｓ　ｐｒｏｐｏｓｅｄ　ｆｏｒ　ｍｏｄｅｌｉｎｇ　ｏｆ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｄｅ－　ｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ａｎｄ　ｉｔｓ　ｓｕｒｆａｃｅ　ｉｓ　ｄｉｖｉｄｅｄ　ｒａｄｉａｌｌｙ　ａｌＯｎ２　ｆｏｒｃｅ　ｍｅｓｈ　ｎａｍｅｄ　ｔｈｅ　ｆｉｒｓｔ　ｈｉｅｒａｒｃｈｙ．Ｔｈｅ　ｍａｓｓ．　ｓｐｒｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｓ　ｃｏｍｐｏｓｅｄ　ｏｆ　ｎｏｄｅｓ　ｃｏｎｎｅｃｔｅｄ　ｗｉｔｈ　ｒａｄｉａｌｌｙ　ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｅｄ　ｓｐｒｉｎｇｓ．Ｔｈｅ　ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎ　ｂｅ－　ｔｗｅｅｎ　ｒｉｇｉｄ　ｏｂｊｅｃｔ　ａｎｄ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｉｓ　ｐｅｒｆｏｒｍｅｄ　ｂｙ　ｔｈｅ　ｐｏｉｎｔ　ｃｏｎｔａｃｔ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｖｉｒｔｕａｌ　ｗｏｒｋ，ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｖｉｒｔｕａｌ　ｆｏｒｃｅ　ａｎｄ　ｄｉｓｐｌａｃｅｍｅｎｔｓ　ｏｆ　ｍａｓｓ　ａｒｅ　ａｎａｌｙｚｅｄ　ｔｏ　ｇｅｔ　ｗｈｏｌｅ　ｆｌｅｘｉ．　ｂｌｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｖｉｓｕａｌ　ｓｙｓｔｅｍ　ｉｎｓｔｅａｄ　ｏｆ　ｓｏｍｅ　ＵＳＵａｌ　ｌｏｃａｌ　ａｎａｌｙｓｅｓ．Ｖｉｓｕａｌ　ｏｂｉｅｃｔ　ｄｅ．　ｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ　ｂｙ　ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ　ｎｏｄａｌ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｂａｓｅｄ　ｏｎ　ｆｏｒｃｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ａｔ　ｅａｃｈ　ｍｅｓｈ　ｎｏｄｅ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｓｕｒｆａｃｅ．Ｕｓｉｎｇ　ｔｈｉｓ　ｍｏｄｅ１．ｔｈｅ　ｆｌｅｘｉｂｌｅ　ｏｂｊｅｃｔ　ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉＳ　ｓｉｍｕｌａｔｅｄ．ａｎｄ　ｓｙｎｃｈｒｏｎｏｕｓｌｙ　ｔｈｅ　ｒｅａｌ－ｔｉｍｅ　ｖｉｒｔｕａｌ　ｃｏｎｔａｃｔ　ｆｏｒｃｅ　ｉｓ　ｐｒｏｖｉｄｅｄ　ｗｉｔｈ　ＤＥＬＴＡ　ｈａｐｔｉｃ　ｄｅｖｉｃｅ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｍａｓｓ－ｓｐｒｉｎｇ　ｍｏｄｅｌ；ｖｉｒｔｕａｌ　ｒｅａｌｉｔｙ；ｆｏｒｃｅ　ｆｅｅｄｂａｃｋ　虚拟现实（ｖｉｔｒｕａｌ　ｒｅａｌｉｔｙ，ＶＲ），实质上是利用　计算机生成一种逼真的视、听、力、触和运动等感觉　的虚拟环境，能以自然的方式与虚拟世界中的对象　进行交互操作．随着虚拟现实技术在外科手术仿　真、遥操作机器人控制、虚拟制造等领域的应用，　著．因此人们希望不仅能够身临其境地观察物体，　而且还能够身临其境地接触物体．这就要求虚拟环　境不仅提供真实的视觉反馈，还能具有力觉再现和　力觉交互的功能　１－２］．　虚拟力觉交互系统要让操作者感受到与真实　环境中一致的真实力，必须首先建立精确的接触力　力／触觉信息的反馈对于虚拟操作的重要性Ｆｔ益显　收稿日期：２００７－０３．１９．　模型．早在２０００年Ｐｏｐｅｓｃｕ等就提出了虚拟现实　中基于力反馈的交互系统模型Ｌ　３］．２００３年，Ｌｕｃｉａｎｏ　等提出了计算虚拟物体多个接触点的作用力，然后　取数学平均求合力的方法　Ｊ．但以上方法大都是　基金项目：国家重大基础研究发展计划（９７３计划）资助项目　（２００２ＣＢ３１２１０２）、国家自然科学基金资助项目　（６０６４３０ｏ７）．２００７江苏省研究生科研创新计划资助项目．　作者简介：崔桐（１９８１一），男，博士生；宋爱国（联系人），男，博　士，教授，博士生导师，ａ．ｇ．ｓｏｎｇ＠ｓｅｌ１．ｅｄｕ．ｃｎ．　基于刚性物体间的接触及平衡关系，物体表面不发　生变形，接触力的计算只涉及到力／力矩的动力学　维普资讯 http://www.cqvip.com ８５０　东南大学学报（自然科学版）　１．２　虚拟弹簧受力模型　第３７卷　平衡方程．而现实世界中，绝大部分物体是可变形　的非刚性物体，因而对柔性物体的接触力／变形建　模研究更具有实际应用价值．　。　１用弹簧一质点系统建立柔性体的物　理模型　针对柔性体变形区域是变化的，且变形区域边　界又是未知的，本文提出方法的基本思路是：施加　弹簧一质点模型具有简单易行、虚拟弹簧受力　模型计算量较小等优点．在多数情况下为了简便，　般作线性的近似假设．对质点进行受力位移分　析，质点　的空间坐标向量为口＝｛Ｕ　，Ｕ　，Ｕ　｝，在　外力作用下发生位移．其相邻质点Ａ的坐标向量为　一’，　＝　｛＇，　，＇，　，＇，　｝，　示．　ｙ　）　弹簧长度　ＩＡＢＩ＝　￣／（１ｌ　一Ｖ　）　＋（Ｕｙ－Ｖｙ）　＋（“：一ｖ　）　，如图２所　Ⅳ（Ⅳ０）　Ｌ　Ｂ　在柔性体表面上的力，其作用由受力网格逐步向周　围的各层质点扩散，引起各层质点发生相对位移，　直到不满足变形条件．同时以整个柔性体作为研究　对象，根据虚功原理与系统弹性势能不变原理，使　外力做功与增加的弹簧势能平衡，柔性体产生全局　变形．　（ａ）弹簧的原始状态　—　查卜——　、　—Ａ　・卜＿＿——＋　§　１．１物体表面质点层次的确定　设定受力柔性体模型为可变形的弹簧一质点模　型．质点是理想质点，弹力模型认为是线性的，并可　（ｂ）弹簧拉伸后状态　．．卜＿－——＋　由虎克定律计算决定．在上述条件下，弹簧一质点网　格中单个质点的运动受牛顿第二定律约束，弹簧初　始长度的变化量为零．质点在外力的作用下发生位　移，弹簧另一端质点受到弹簧力的作用位置也随之　变化．对柔性体表面质点按先内后外的顺序分层，　且一个质点只能属于一个层．　（ｃ）弹簧压缩后状态　图２虚拟弹簧受力变形模型　力向周围空间传递，引起了相邻质点的相对运　动，从而产生物体的变形【５］．假定虚拟弹簧ＡＢ的　原长为　，受到作用于　点的作用力Ｆ后产生变形　（拉伸或压缩）．设在外力Ｆ的作用下引起　的位　第１层Ｃ．＝｛碰撞体和柔性体接触网格上所　有质点｝；　第２层ｃ２皇｛与ｃｌ上所有质点相连接的质　点｝；　第３层ｃ３＝｛与ｃ２上所有质点相连接的质　点｝；　以此类推，柔性体可分为Ⅳ层，任意质点均属　Ｎ　移量为ｌ口一　ｌ，Ａ的位移量ｌ’，一　Ｉ，以质点Ａ作　为受力的研究对象，由虎克定律可知：　Ｉ　Ｉ＝　Ｉ’，一’，。Ｉ　（１）　式中，　为第２层弹簧的弹性系数．　当拉伸变形时　Ｉ　Ｆ　Ｉ＝Ｋ。（１　Ｕ一＇，０　ｌ—ｌ＇，一＇，０　ｌ—Ｌ）（２）　当压缩变形时　ｆＦ　Ｉ＝ＫＩ（Ｌ—Ｉ口一’，０　Ｉ—Ｉ’，一’，０　Ｉ）（３）　式中，墨为第１层弹簧的弹性系数．　由质点Ａ受力平衡知：　于∑Ｃ（ｉ为质点层数），其表面形成类似同心环　ｆ＝ｌ　状的质点分布结构，如图ｌ所示，柔性体整体变形　ｌ　ｌ＝ｌ　Ｆ　ｌ　（４）　是各层质点变形迭代累加的结果．　外力Ｆ的作用点　及连接点Ａ有拉伸和压缩２　种情况，由式（１）一（４）联立得变形后Ａ点的变形　长度：　当拉伸变形时　＝Ｋ。　（５）　当压缩变形时　Ｉ＝Ｋ１　一一第１层；　★一第２层质子　＠一第１层质子；　Ａ一第３层质子　（６）　图１　柔性体表面弹簧一质点模型　根据式（５）、（６），已经确知弹簧质点的原始坐　标和弹簧质点　变形后坐标之间关系，可求出确定　Ａ点在拉伸和压缩２种状态下的新坐标：　维普资讯 http://www.cqvip.com

第５期　崔桐，等：一种用于力觉再现的柔性体变形仿真弹簧一质点模型８５１　Ｈ一　ｆ＋Ｌ　Ｋ２　…。ｆ（　＋　）　１．３　弹簧网格的受力分析及参数的选取　运用弹簧一质点模型时，一个重要的问题是如　＋　何将数据描述的实体力学特征转变成网格中弹簧　和质点的相应参数．为了研究快速变形的实现方　—　法，暂时简单地认为弹簧力和弹簧倔强系数呈线性　关系．柔性体由若干个质点网格构成，～　在未受力时，　质点由弹簧相连均匀分布．第１层网格（受力网格）嗟　一　　的每一个质点均由第２层的４个质点连接（ｍ＝１，Ｈ　　２，３，４），在弹簧拉力和外力的共同作用下保持平　衡．设第１层网格３个质点受到的弹簧拉力　的方　向与外力Ｆ的方向夹角分别为０，　，　，如图３所示．　，　图３　第１层网格的受力分析　当第１层网格达到力平衡时满足：　４　Ｆ＝Ｋｌ∑（ＡＬ　ｃｏｓ０　＋ＡＬ　ＣＯＳＯ￣　＋△　ｃｏｓ０　）　ｍ＝ｌ　（８）　式中，　。为第１层与第２层间的弹性系数；△Ｌ为第　１层网格的移动所引起的弹簧变形量；ｆ，　，ｋ分别为　第１层三角形的３个顶点（质点）．　在计算物体受力变形模型中，计算量的大小在　很大程度上取决于变形层数　的大小．令变形边　Ａ　ｒ　界点的变形率Ａ＝　／．２ｔ￣（其中，△Ｌ为弹簧的变形量，　Ｌ０　Ｌｎ为弹簧的原始长度），　的大小取决于Ａ．当Ａ＜　０．０５时，认为在此边界以外外力产生的变形量为　零，它的变形主要由柔性体的膨胀内力产生．　第　层网格的弹性系数Ｋｉ（　＝１，２，…，　）是　影响接触力与变形计算的关键．根据ｏｊｉｍａ等基于　小波分析的方法可以从理论上证明：相邻的弹簧弹　性系数之比为常数，即第ｆ（　∈Ｍ）个弹簧的弹性　系数　和第１层弹簧的弹性系数　是指数倍关　系　，从而有　＝ｅ　＝　＝１，２，…，Ｍ；　≥１（９）　式中，　为常数．柔性体的弹性性能取决于　，　越小表示物体越柔软、　１．４　弹簧网格受力的全局变形分析　在低匀速碰撞变形过程中，运用虚功原理分析　碰撞体与柔性体所组成的系统，使其满足总能量不　变原则．将动力问题转化为静力平衡问题，根据虚　功原理解决弹性系统静力平衡问题，其平衡方程的　一般形式为　Ｆ一　＋，Ｄ一，Ｏｓｉｇｎ（Ｕ　）＋Ｐ（ｔ）＋Ｑ＝０　（１０）　式中，Ｆ为外力矢量；　为系统弹性力矢量；　＝　ｆ（一ｐｕ　）ｄＶ为系统惯性力矢量；，Ｏ为系统库伦摩　ＪＶ　擦力矢量；ｐ（ｔ）为系统干扰力矢量；Ｑ为系统重力　矢量．　在给定瞬间ｔ，式（１０）两边乘以系统虚位移　，并考虑碰撞体作虚功Ｗ＝　，可得　一，Ｓ　一ｆ（ＪＶ　　Ｈ　）ｄＶ一，ｏ　ｓｉｇｎ（Ｈ　）＋　（ｔ）＋　Ｑ＝０　（１１）　在力交互系统中，只有弹力和质点位移Ｕ改　变，惯性力、干扰力、重力均不变化，外力是可知　的．在给定瞬间ｔ，系统总势能的一阶微分必须等于　零，取不变值，因此可使　ＡＥ＝一Ｉ（　Ｔ，）Ｈ　）ｄＶ一，Ｏ　ｓｉｇｎ（Ｈ　）＋　ＪＶ　（ｔ）＋　Ｑ　（１２）　设柔性体共划分为Ⅳ层，前　层受到外力Ｆ的　作用产生变形；后ＪＶ—　层弹簧质点由于外力Ｆ作　用较小，其变形主要是由内压增大产生的．内压在　柔性体的内部产生的压强处处相等，但对于前　层质点，受到的外力要远远大于内压力．可知　Ｍ　１　ｗ＝　一ＡＥ＝∑—｝　（△Ｌ　）　＋　ｍ　ｌ　Ｎ　１　∑÷　（△Ｌ　）　一ＡＥ　（１３）　ｍ：１　式中，ｗ为外力Ｆ的功；△Ｌ　为Ｆ所引起的第ｍ层　弹簧的变形；△Ｌ　为内力引起的第ｍ层弹簧变　形ＥＴＩ．　２　虚拟力觉再现系统的实现　建立基于ＤＥＬＴＡ手控器的力觉再现系统，用　Ｖｃ＋＋，ＯｐｅｎＧＬ编程，在Ｐｅｎｔｉｕｍ　４　２．４　ＧＨｚ，１　ＧＢ内存，ＮＶＩＤＩＡ　ＧｅＦｏｒｃｅ２显卡的ＰＣ机上实现　了变形仿真．在实验中，以６　２０４个三角网格（共３　１０４个质点）构成的虚拟肝脏为例．　通过ＤＥＬＴＡ手控器控制虚拟环境中虚拟探　维普资讯 http://www.cqvip.com ８５２　东南大学学报（自然科学版）　第３７卷　针运动，当探针与虚拟柔性体接触时，依据本文提　出的力变形模型，模拟柔性体变形，同时把接触力　通过ＤＥＬＴＡ手控器反馈给操作者，如图４和图５　所示，　图４实验环境原理图　图５　实验环境示意图　对于同种材料弹性系数确定，如对肝脏（取　＝２．０，Ｋｌ＝１．８　Ｎ／ｍ）进行仿真模拟．因为一个弹　性网格层是由多个质点组成的，所以讨论的网格层　变形量是指一层中所有质点变形量的均值．变形量　及变形区域的大小取决于施加的外力Ｆ，Ｆ越大，　变形量　和变形区域Ｍ就越大，但由变形率Ａ的　临界性知，变形区域Ｍ也不会无限扩大，随着力的　增大，变形区域增大的速度越来越缓慢，如图６和　图７所示．　图６虚拟肝脏受力变形示意图　３结语　本文针对虚拟现实系统的需要，提出了一种用　于虚拟力触觉再现的弹簧一质点模型，采用对柔性　体表面进行层次分割的方法，得到力与物体变形之　间的关系．该模型变形区域由接触力和变形ｌ晦界条　弹簧阿格层数　图７在不同外力作用下弹簧网格层数与变形量的关系　件决定，分割精度可以根据计算准确性要求调整．　运用虚功原理和弹性系统总势能不变原理，建立了　全局变形模型，并通过ＤＥＩ，ＴＡ手控器进行了虚拟　力触觉再现仿真．实验表明，该模型能够满足力反　馈精细作业对虚拟现实系统的要求．　［１］Ｂｕｒｄｅａ　Ｇｒｉｇｏｒｅ　Ｃ．Ｈａｐｔｉｃｓ　ｉｓｓｕｅｓ　ｉｎ　ｖｉ＿ｒｔＵａｌ　ｅｎｖｉｒｏｎ—　ｍｅｎｔｓ［Ｃ］／！Ｐｒｏｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　Ｃｏｍｐｕｔｅｒ　Ｇｒａｐｈｉｃｓ　Ｉｎｔｅｒ－　ｎａｒｗｈａｌ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ．Ｔｏｋｙｏ，Ｊａｐａｎ，２０００：２９５—３０２．　［２］Ｃａｖｕｓｏｇｌｕ　Ｍｕｒａｔ　Ｃｅｎｋ，Ｓｈｅｒｍａｎ　Ａｌｎａａ，Ｔｅｎｄｉｃｋ　Ｆｒａｎｋ．Ｄｅｓｉｇｎ　ｏｆ　ｂｉｌａｔｅｒａｌ　ｔｅｌｅｏｐｃｒａｔｉｏｎ　ｃｏｎｔｒｏｌｌｅｒｓ　ｆｏｒ　ｈａｐｔｉｃ　ｅｘｐｌｏｒａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｔｅｌｅｒｎａｎｉｐｕｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｏｆｔ　ｅｎｖｉｒｏｎ—　ｍｅｒｉｔ［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｒｏｂｏｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ａｕ￣ｍａ—　ｔｉｏｎ，２００２，１８（４）：６４１—６４７．　［３］Ｐｏｐｅｓｃｕ　Ｖ，Ｂｕｒｄｅａ　Ｇ，Ｂｏｕｚｉｔ　Ｍ，ｅｔ　１ａ．Ａ　ｖｉｒｔｕａｌ—ｒｅａｌ—　ｉｔｙ－ｂａｓｅｄ　ｔｅｌｅｒｅｈａｂｉｌｉｔａｔｉｏｎ　ｓｙｓｔｅｍ　ｗｉ也ｆｏｒｃｅ　ｆｅｅｄ－ｂａｃｋ　［Ｊ］．ＩＥＥＥ　Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ　ｉｎ　Ｂｉｏ—ｍｅｄｉｃｉｎｅ，２０００，４（１）：４５—５１．　［４］Ｌｕｃｉｎａｏ　Ｃ，Ｂａｎｅｒｊｅｅ　Ｐ，Ｍｅｔｈｒｏｔｒａ　Ｓ，ｅｔ　ａ１．Ａ　ａｍｅ－　ｗｏｒｋ　ｆｏｒ　ｅｆｉｆｃｉｅｎｔ　ａｎｄ　ｍｏｒｅ　ｒｅａｌｉｓｔｉｃ　ｈａｐｔｉｃ　ａｐｐｆｉｃａｔｉｏｎ　Ｃ＼／／Ｐｍｃｅｅｄｉｎｇｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　２３ｒｄ　ＡＳＭＥ　Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ　２０ｏ３　Ｃ　Ｃｈｉｃａｇｏ，Ｉｕｉｎｏｉｓ，ＵＳＡ，２０ｏ３：１—６．　［５］Ｃｈｅｎ　Ｐ，Ｂａｒｎｅｒ　Ｋ　Ｅ，Ｓｔｅｉｎｃｒ　Ｋ　Ｖ．Ａ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｍａｓｓ－　ｓｐｒｉｎｇ　ｄｅｆｏｒｍａｂｌｅ　ｍｏｄｅｌ　ｆｏｒ　ｓｏｆｔ　ｉｔｓｓｕｅ　ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎｓ　ｗｉｔｈ　ｈａｐｔｉｃ　ｆｅｅｄｂａｃｋ［Ｃ］／／Ｐｒｏｃ　Ｍｅｄｉｃｉｎｅ　Ｍｅｅｔｓ　Ｖｉｒｔｕａｌ　一　口Ｚ　．Ｌｏｎｇ　Ｂｅａｃｈ，Ｃａｌｉｆｏｒｎｉａ，ＵＳＡ，２００６：４９９—５０５．　［６］ｏｊｉｍａ　Ｈ，Ｎａｇａｓｅ　Ｋ，Ｈａｙａｋａｗａ　Ｙ．Ｗａｖｅ—ｂａｓｅｄ　ａｎａｌｙ－　ｓｉｓ　ａｎｄ　ｗａｖｅ　ｃｏｎｔｒｏｌ　ｏｆ　ｄａｍｐｅｄ　ｍａｓｓ－ｓｐｒｉｎｇ　ｓｙｓｔｅｍｓ　ｃ　／／Ｐｍｃｅｅｍｎｇｓ　ｆｏｔｈｅ　ＩＥＥＥ　Ｃｏｎｆｅｒｅｎｃｅ　ｏｎ　Ｄｅｃ￣ｉｏｎ　ａｎｄ　Ｃｏｎｔｒｏ１．Ｆｌｏｒｉｄａ，ＵＳＡ，２０ｏ１，３：２５７４—２５７９．　［７］ｚｃｎｇ　Ｑｉｎｇｙｕａｎ，Ｌｏｕ　Ｐｉｎｇ，Ｘｉｎａｇ　Ｊｕｎ．Ｔｈｅ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ　ｏｆ　ｔｏｔａｌ　ｐｏｔｅｎｔｉａｌ　ｅｎｅｒｇｙ　ｗｉｔｈ　ｓｔａｔｉｏｎａｒｙ　ｖａｌｕｅ　ｉｎ　ｅｌａｓｔｉｃ　ｓｙｓｔｅｍ　ｄｙｎａｍｉｃｓ　ａｎｄ　ｉｔｓ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｔｏ　ｔｈｅ　ａｎａｌｙｓｉｓ　ｏｆ　ｖｉｂｒａｔｉｏｎ　ｎａｄ　ｄｙｎａｍｉｃ　ｓｔａｂｉｌｉｔｙ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕａ—　ｚｈｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　ａｎｄ　Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ：Ｕｒｂａｎ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ，２００２，ｌ９（１）：７—１４．