相交线与平行线
1.未正确理解垂线的定义
1．下列判断错误的是（ ）.
A.一条线段有无数条垂线；
B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；
C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直； D.若两条直线相交，则它们互相垂直. 错解：A或B或C.
解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直. 正解：D.
2.未正确理解垂线段、点到直线的距离
2．下列判断正确的是（ ）.
A.从直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到已知直线的距离；
B.过直线外一点画已知直线的垂线，垂线的长度就是这点到已知直线的距离； C.画出已知直线外一点到已知直线的距离；
D.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中垂线段最短. 错解：A或B或C.
解析：本题错误原因是不能正确理解垂线段的概念及垂线段的意义.
A.这种说法是错误的，从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离. 仅仅有垂线段，没有指明这条垂线段的长度是错误的.
B.这种说法是错误的，因为垂线是直线，直线没有长短，它可以无限延伸，所以说“垂线的长度”就是错误的；
C.这种说法是错误的，“画”是画图形，画图不能得到数量，只有“量”才能得到数量，这句话应该说成：画出已知直线外一点到已知直线的垂线段，量出垂线段的长度. 正解：D.
3.未准确辨认同位角、内错角、同旁内角
3．如图所示，图中共有内错角（ ）.
A.2组； B.3组； C.4组； D.5组. 错解：A.
解析：图中的内错角有∠AGF与∠GFD，∠BGF与∠GFC，∠HGF与∠GFC三组.其中 ∠HGF与∠GFC易漏掉。 正解：B.
4.对平行线的概念、平行公理理解有误
4．下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条直线不平行必相交；③过一点有
且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行. 其中正确的有（ ）.
A.1个； B.2个； C.3个； D.4个. 错解：C或D.
解析：平行线的定义必须强调“在同一平面内”的前提条件，所以②是错误的，平行公理中的“过一点”必须强调“过直线外一点”，所以④是错误的，①③是正确的. 正解：B.
5.不能准确识别截线与被截直线，从而误判直线平行
5．如图所示，下列推理中正确的有（ ）.
①因为∠1＝∠4，所以BC∥AD； ②因为∠2＝∠3，所以AB∥CD；
③因为∠BCD＋∠ADC＝180°，所以AD∥BC；④因为∠1＋∠2＋∠C＝180°，所以BC∥AD.
A.1个； B.2个； C.3个； D.4个.
错解：D.
解析：解与平行线有关的问题时，对以下基本图形要熟悉：“有③推理正确. 正解：A.
”“
”“
”，只
6.混淆平行线的判定和性质、忽略平行线的性质成立的前提条件
6．如图所示，直线
，∠1＝70°，求∠2的度数.
错解：由于以∠2＝70°.
，根据内错角相等，两直线平行，可得∠1＝∠2，又因为∠1＝70°，所
解析：造成这种错误的原因主要是对平行线的判定和性质混淆. 在运用的时候要注意：（1）判定是不知道直线平行，是根据某些条件来判定两条直线是否平行；（2）性质是知道两直线平行，是根据两直线平行得到其他关系. 正解：因为
（已知），
所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）， 又因为∠1＝70°（已知）， 所以∠2＝70°.
7.对命题这一概念的理解不透彻
7．判断下列语句是否是命题. 如果是，请写出它的题设和结论.
（1）内错角相等；（2）对顶角相等；（3）画一个60°的角. 错解：（1）（2）不是命题，（3）是命题.
解析：对于命题的概念理解不透彻，往往认为只有存在因果关系的关联词才是命题，正确认识命题这一概念，关键要注意两点，其一必须是一个语句，是一句话；其二必须存在判断关系，即“是”或“不是”. 正解：
（1）是命题. 这个命题的题设是：两条直线被第三条直线所截；结论是：内错角相等. 这个命题是一
个错误的命题，即假命题.
（2）是命题. 这个命题的题设是：两个角是对顶角；结论是：这两个角相等. 这个命题是一个正确的
命题，即真命题.
（3）不是命题，它不是判断一件事情的语句.
8.忽视平移的距离的概念
8．“如图所示，△A′B′C′是△ABC平移得到的，在这个平移中，平移的距离是线
段AA′”这句话对吗？
错解：正确.
解析：平移的距离是指两个图形中对应点连线的长度，而不是线段，所以在这个平移过程中，平移的距离应该是线段AA′的长度. 正解：错误.
第六章 平面直角坐标系 1.不能确定点所在的象限
1．点A
的坐标满足，所以
，
，试确定点A所在的象限. ，所以点A在第一象限. ，
时，
的情况，此时点A在第三象
错解：因为
解析：本题出错的原因在于漏掉了当限.
正解：因为
，所以
，
为同号，即
，或，. 当，
时，点A在第一象限；当时，点A在第三象限.
2.点到x轴、y轴的距离易混淆
2．求点A（-3，-4）到坐标轴的距离.
轴的距离为4.
错解：点A（-3，-4）到轴的距离为3，到
解析：错误的原因是误以为点A（而事实上，点A（形进行分析.
）到轴的距离等于
）到轴的距离等于，到
，到轴的距离等于，
轴的距离等于，不熟练时，可结合图
正解：点A（-3，-4）到轴的距离为4，到轴的距离为3.
第八章 二元一次方程组
1.不能正确理解二元一次方程组的定义
1．已知方程组：① ，② ，③ ，④ ，正确的说
法是（ ）.
A.只有①③是二元一次方程组； B.只有③④是二元一次方程组； C.只有①④是二元一次方程组； D.只有②不是二元一次方程组. 错解：A或C.
解析：方程组①④是二元一次方程组，符合定义，方程组③是二元一次方程组，符合定义，而且是最简单、最特殊的二元一次方程组. 正解：D.
2.将方程相加减时弄错符号
2．用加减法解方程组
，所以
，把
.
代入①，得
，解得
错解：①－②得
.所以原方程组的解是 .
错解解析：在加减消元时弄错了符号而导致错误.
正解：①－②得，所以，把代入①，得，解得.
所以原方程组的解是 .
3.将方程变形时忽略常数项
3．利用加减法解方程组 .
错解：①×2＋②得，解得. 把代入①得，解得
. 所以原方程组的解是 .
错解解析：在①×2＋②这一过程中只把①左边各项都分别与2相乘了，而忽略了等号右边的常数项4.
正解：①×2＋②得，解得. 把代入①得，解得
. 所以原方程组的解是 .
4.不能正确找出实际问题中的等量关系
4．两个车间，按计划每月工生产微型电机680台，由于改进技术，上个月第一车间
完成计划的120％，第二车间完成计划的115％，结果两个车间一共生产微型电机798台，则上个月两个车间各生产微型电机多少台？若设两车间上个月各生产微型电机程组为（ ）.
台和
台，则列方
A. ；
B. ；
C. .
D.
错解：B或D.
.
解析：错误的原因是等量关系错误，本题中的等量关系为：（1）第一车间实际生产台数＋第
二车间实际生产台数＝798台；（2）第一车间计划生产台数＋第二车间计划生产台数＝680台. 正解：C.
第九章 不等式与不等式组
1.在运用不等式性质3时，未改变符号方向
1．利用不等式的性质解不等式：
，即
.
.
. 根据不等式的性质3，
错解：根据不等式性质1得在
两边同除以-5，得
解析：在此解答过程中，由于对性质3的内容没记牢，没有将“＜”变为“＞”，从而得出错误结果.
正解：根据不等式的性质1，在不等式的两边同时减去5，得质3，在不等式
的两边同时除以-5，得
.
，根据不等式的性
2.利用不等式解决实际问题时，忽视问题的实际意义，取值时出现错误
2．某小店每天需水1m³，而自来水厂每天只供一次水，故需要做一个水箱来存水. 要
求水箱是长方体，底面积为0.81㎡，那么高至少为多少米时才够用？（精确到0.1m）
错解：设高为m时才够用，根据题意得
.
答：高至少为1.2m时才够用.
. 由. 要精确到0.1，所以
解析：最后取解时，没有考虑到问题的实际意义，水箱存水量不得小于1m³，如果水箱的
高为时正好够，少一点就不够了. 故最后取近似值一定要大于，即取近似值时只能入
而不能舍.
正解：设高为m时才够用，根据题意得所以
.
. 由于，而要精确到0.1，
答：水箱的高至少为1.3m时才够用.
3.解不等式组时，弄不清“公共部分”的含义
3．解不等式组
，由②得
.
，所以不等式组的解集为
.
错解：由①得
错解解析：此题错在对“公共部分”的理解上，误认为两个数之间的部分为“公共部分”（即解集）. 实质上，
和
没有“公共部分”，也就是说此不等式组无解. 注意：“公共部
分”就是在数轴上两线重叠的部分. 正解：由①得
，由②得
，所以不等式组无解.
第十章 数据的收集、整理与描述 1.全面调查与抽样调查选择不当
1．调查一批药物的药效持续时间，用哪种调查方式？
错解：全面调查.
解析：此调查若用全面调查具有破坏性，不宜采用全面调查. 正解：抽样调查.
2.未正确理解定义
2．2006年4月11日《文汇报》报道：据不完全统计，至今上海自愿报名去西部地区
工作的专业技术人员和管理人员已达3600多人，其中硕士、博士占4％，本科生占79％，大专生占13％. 根据上述数据绘制扇形统计图表示这些人员的学历分布情况. 错解：如下图所示：
解析：漏掉其他人员4％，扇形表示的百分比之和不等于1，正确的扇形统计图表示的百分比之和为1.
正解：如下图所示：
3.对频数与频率的意义的理解错误
3．某班组织25名团员为灾区捐款，其中捐款数额前三名的是10元5人，5元10人，
2元5人，其余每人捐1元，那么捐10元的学生出现的频率是__________.
错解：捐10元的5人，.
解析：该题的错误是因为将5＋10＋5作为总次数，实际上应是25为总次数，这其实是对频率概念错误理解的结果. 正解：0.2
二元一次方程组应用探索
二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题，大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下：
一、数字问题
例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9；如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数．
分析：设这个两位数十位上的数为x，个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示：
原两位数 新两位数 十位上的数 x y 个位上的数 y ｘ 对应的两位数 10x+y 10y+x 相等关系 10x+y=x+y+9 10y+x=10x+y+27 10xyxy9x1解方程组，得，因此，所求的两位数是14．
10yx10xy27y4点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元，然后列一元一次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为x，或只设十位上的数为x，那将很难或根本就想象不出关于x的方程．一般地，与
数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之．
二、利润问题
例2一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20%；如果打八折出售可以盈利10元，问此商品的定价是多少？
分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为0.9x元，获利(0.9x-y)元，因此得方程0.9x-y=20%y；打八折时的卖出价为0.8x元，获利(0.8x-y)元，可得方程0.8x-y=10.
x2000.9xy20%y解方程组，解得，
y1500.8xy10因此，此商品定价为200元．
点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价．利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价×利润率（盈利百分数）．特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念．
三、配套问题
例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓，多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套？
分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，2=每天生产的螺母数×1．因此，设安每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数×
排ｘ人生产螺栓，ｙ人生产螺母，则每天可生产螺栓25ｘ个，螺母20ｙ个，依题意，得
x20xy120，解之，得． y10050x220y1故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母．
点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力，使生产出来的产品恰好配套
成为主管生产人员常见的问题，解决配套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是：
（1）“二合一”问题：如果ａ件甲产品和ｂ件乙产品配成一套，那么甲产品数的ｂ倍等于乙
产品数的ａ倍，即
甲产品数乙产品数； ab
（2）“三合一”问题：如果甲产品ａ件，乙产品ｂ件，丙产品ｃ件配成一套，那么各种产品
数应满足的相等关系式是：
甲产品数乙产品数丙产品数． abc
四、行程问题
例4 在某条高速公路上依次排列着A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米，B到C的距离也是120千米．分别在A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上．问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？
【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则
3xy120xy40x80，整理，得，解得， xy120y40xy120因此，巡逻车的速度是80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时．
点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：
“相向而遇”时，两者所走的路程之和等于它们原来的距离；
“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离． 五、货运问题
典例5 某船的载重量为300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，
甲、乙两重货物应各装多少吨？
分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积”．设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则
x150xy300xy300，整理，得，解得， y1506x2y12003xy600因此，甲、乙两重货物应各装150吨．
点评：由实际问题列出的方程组一般都可以再化简，因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法，这样可以减少计算量，增加准确度．化简时一般是去分母或两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等．
六、工程问题
例6 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的
4；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服200套，这样不5仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？
分析：设订做的工作服是x套，要求的期限是y天，依题意，得
4150yxx33755. ，解得y18200y1x25点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间×工作效率”以及它们的变式“工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间”．其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量．
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