中考数学总复习（全套）专题提升检测卷汇总
专题提升(一) 数形结合与实数的运算
类型之一 数轴与实数
【经典母题】
如图Z1－1, 通过画边长为1的正方形的边长, 就能准确地把2和－2表示在数轴上．
图Z1－1
【思想方法】 (1)在实数范围内, 每一个实数都可以用数轴上的点来表示; 反过来, 数轴上的每一个点都可以表示一个实数．我们说实数和数轴上的点一一对应;
(2)数形结合是重要的数学思想, 利用它可以比较直观地解决问题．利用数轴进行实数的大小比较, 求数轴上的点表示的实数, 是中考的热点考题． 【中考变形】
1．[2017·北市区一模]如图Z1－2, 矩形ABCD的边AD长为2, AB长为1, 点A在数轴上对应的数是－1, 以A点为圆心, 对角线AC长为半径画弧, 交数轴于点E, 则这个点E表示的实数是
( C )
图Z1－2
A.5＋1 C.5－1
B.5 D．1－5
【解析】 ∵AD长为2, CD长为1, ∴AC＝22＋12＝5, ∵A点表示－1, ∴E点表示的数为5－1.
2．[2016·娄底]已知点M, N, P, Q在数轴上的位置如图Z1－3, 则其中对应的数的绝对值最大的点是
( D )
图Z1－3
A．M
B．N
C．P
D．Q
3．[2016·天津]实数a, b在数轴上的对应点的位置如图Z1－4所示, 把－a, －b,
0按照从小到大的顺序排列, 正确的是 ( C )
图Z1－4
A．－a＜0＜－b C．－b＜0＜－a
B．0＜－a＜－b D．0＜－b＜－a
【解析】 ∵从数轴可知a＜0＜b, ∴－b＜0, －a＞0, ∴－b＜0＜－a. 4．[2017·余姚模拟]如图Z1－5, 数轴上的点A, B, C, D, E表示连续的五个整数, 若点A, E表示的数分别为x, y, 且x＋y＝2, 则点C表示的数为( B )
图Z1－5
A．0
B．1
C．2
D．3
【解析】 根据题意, 知y－x＝4, 即y＝x＋4, 将y＝x＋4代入x＋y＝2, 得x＋x＋4＝2, 解得x＝－1, 则点A表示的数为－1, 则点C表示的数为－1＋2＝1.
5．如图Z1－6, 在平面直角坐标系中, 点P的坐标为(－2, 3), 以点O为圆心, 以OP为半径画弧, 交x轴的负半轴于点A, 则点A的横坐标介于 ( A )
图Z1－6
A．－4和－3之间 C．－5和－4之间
B．3和4之间 D．4和5之间
【解析】 ∵点P的坐标为(－2, 3), ∴OP＝22＋32＝13.
∵点A, P均在以点O为圆心, 以OP为半径的圆上, ∴OA＝OP＝13,
∵9＜13＜16, ∴3＜13＜4. ∵点A在x轴的负半轴上,
∴点A的横坐标介于－4和－3之间．故选A.
6．[2017·成都改编]如图Z1－7, 数轴上点A表示的实数是__－2__．
图Z1－7
【中考预测】
如图Z1－8, 数轴上的点A, B分别对应实数a, b, 下列结论中正确的是( C )
图Z1－8
A．a＞b C．－a＜b
B．|a|＞|b| D．a＋b＜0
【解析】 由图知, a＜0＜b且|a|＜|b|, ∴a＋b＞0, 即－a＜b, 故选C. 类型之二 实数的混合运算 【经典母题】
计算: 2×(3＋5)＋4－2×5.
解: 2×(3＋5)＋4－2×5＝2×3＋2×5＋4－2×5＝6＋4＋2×5－2×5＝10.
【中考变形】
11．[2016·台州]计算: 4－－2＋2－1.
11
解: 原式＝2－2＋2＝2.
1－1
2．[2017·临沂]计算: |1－2|＋2cos45°－8＋2.
21－1
解: |1－2|＋2cos45°－8＋2＝2－1＋2×2－22＋2＝2－1＋2
－22＋2＝1.
3．[2017·泸州]计算: (－3)2＋2 0170－18×sin45°. 2解: (－3)2＋2 0170－18×sin45°＝9＋1－32×2 ＝10－3＝7. 【中考预测】
1－1
计算: 12－3tan30°＋(π－4)－2.
0
31－1
解: 12－3tan30°＋(π－4)－2＝23－3×3＋1－2＝3－1.
0
专题提升(二) 代数式的化简与求值
类型之一 整式的化简与求值 【经典母题】
已知x＋y＝3, xy＝1, 你能求出x2＋y2的值吗？(x－y)2呢？ 解: x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝32－2×1＝7; (x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝32－4×1＝5.
【思想方法】 利用完全平方公式求两数平方和或两数积等问题, 在化简求值、一元二次方程根与系数的关系中有广泛应用, 体现了整体思想、对称思想, 是中考热点考题．
完全平方公式的一些主要变形有: (a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2), (a＋b)2－(a－
b)2＝4ab, a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab, 在四个量a＋b, a－b, ab和a2＋b2中, 知道其中任意的两个量, 能求出(整体代换)其余的两个量． 【中考变形】
1．已知(m－n)2＝8, (m＋n)2＝2, 则m2＋n2的值为 A．10
B．6
C．5
( C )
D．3
11
2．已知实数a满足a－a＝3, 则a2＋a2的值为__11__.
111
【解析】 将a－a＝3两边平方, 可得a2－2＋a2＝9, 即a2＋a2＝11. 3．[2017·重庆B卷]计算: (x＋y)2－x(2y－x)． 解: 原式＝x2＋2xy＋y2－2xy＋x2＝2x2＋y2.
4．[2016·漳州]先化简(a＋1)(a－1)＋a(1－a)－a, 再根据化简结果, 你发现该代数式的值与a的取值有什么关系(不必说明理由)? 解: 原式＝a2－1＋a－a2－a＝－1. 故该代数式的值与a的取值没有关系． 【中考预测】
1先化简, 再求值: (a－b)2＋a(2b－a), 其中a＝－2, b＝3.
解: 原式＝a2－2ab＋b2＋2ab－a2＝b2. 1
当a＝－2, b＝3时, 原式＝32＝9. 类型之二 分式的化简与求值 【经典母题】
aba2＋b2
计算: (1)b－a－ab;
xx2－43x
(2)x－2－x＋2·.
x
a2－b2a2＋b2－2b22b
解: (1)原式＝ab－ab＝ab＝－a;
3x（x＋2）－x（x－2）x2－42x2＋8xx2－4
(2)原式＝·x＝2·x＝2x＋8.
（x－2）（x＋2）x－4
【思想方法】 (1)进行分式混合运算时, 一定要注意运算顺序, 并结合题目的具体情况及时化简, 以简化运算过程;
(2)注意适当地利用运算律, 寻求更合理的运算途径;
(3)分子分母能因式分解的应进行分解, 并注意符号的处理, 以便寻求组建公分母而约分化简;
(4)要注意分式的通分与解分式方程去分母的区别． 【中考变形】
3a2－2a＋1
1．[2017·重庆A卷]计算: a＋2＋a－2÷. a＋2a2－4（a－1）23
＋÷解: 原式＝ a＋2a＋2a＋2＝
（a＋1）（a－1）a＋2a＋1
·＝ a＋2（a－1）2a－1
2x2－1
2．[2017·攀枝花]先化简, 再求值: 1－x＋1÷2, 其中x＝2.
x＋x解: 原式＝
x＋1－2x（x＋1）
· x＋1（x＋1）（x－1）
x－1x（x＋1）x
＝·＝. x＋1（x＋1）（x－1）x＋1当x＝2时, 原式＝【中考预测】
1x2－2x＋12x2－4x＋3－－2, 其中x＝4. 先化简, 再求值:
3－xx－3x＋2x－2x－3（x－1）212x2－4x＋3
＋－ 解: 原式＝
x－3（x－1）（x－2）x－2x－3（x－2）2x－12（x－2）2x－3－＝＝·· x－3x－3x－2x－2x－2＝x－2.当x＝4时, 原式＝x－2＝2. 类型之三 二次根式的化简与求值 【经典母题】
已知a＝3＋2, b＝3－2, 求a2－ab＋b2的值．
22
＝3. 2＋1
解: ∵a＝3＋2, b＝3－2, ∴a＋b＝23, ab＝1, ∴a2－ab＋b2＝(a＋b)2－3ab＝(23)2－3＝9.
【思想方法】 在进行二次根式化简求值时, 常常用整体思想, 把a＋b, a－b, ab当作整体进行代入．整体思想是很重要的数学思想, 利用其解题能够使复杂问题变简单．整体思想在化简、解方程、解不等式中都有广泛的应用, 是中考重点考查的数学思想方法之一． 【中考变形】
1．已知m＝1＋2, n＝1－2, 则代数式m2＋n2－3mn的值为 A．9 C．3
B．±3 D．5
( C )
a2－2ab＋b2112．[2016·仁寿二模]先化简, 再求值: ÷a－b, 其中a＝2＋1, b＝
a2－b2
2－1.
（a－b）2b－aa－babab
解: 原式＝÷ab＝·＝－, （a＋b）（a－b）a＋bb－aa＋b当a＝2＋1, b＝2－1时, 原式＝－
2
＝－4. 221
x－yxy
－3．[2017·绵阳]先化简, 再求值: 2÷, 其中x＝22, y22
x－2xy＋yx－2xyx－2y＝2.
xx－yy
－解: 原式＝÷ 2
（x－y）x（x－2y）x－2y1y1－＝x－yx－2y÷ x－2y（x－2y）－（x－y）y
÷＝
（x－y）（x－2y）x－2y－yx－2y1
＝·y＝－. （x－y）（x－2y）x－y
112
当x＝22, y＝2时, 原式＝－＝－＝－2.
x－y2【中考预测】
5＋15－111b
先化简, 再求值: ＋＋, 其中a＝2, b＝2.
a＋bba（a＋b）ab＋a（a＋b）＋b2（a＋b）2a＋b
解: 原式＝＝＝ab, ab（a＋b）ab（a＋b）∵a＋b＝
5＋15－15－15＋1＋＝5, ab＝×＝1, 2222
∴原式＝5.
专题提升(三) 数式规律型问题
【经典母题】 观察下列各式: 52＝25; 152＝225; 252＝625; 352＝1 225; …
你能口算末位数是5的两位数的平方吗？请用完全平方公式说明理由． 解: 把末位数是5的自然数表示成10a＋5的一般形式, 其中a为自然数, 则(10a＋5)2＝100a2＋100a＋25＝100a(a＋1)＋25,
因此在计算末位数是5的自然数的平方时, 只要把100a与a＋1相乘, 并在积的后面加上25即可得到结果．
【思想方法】 模型化思想和归纳推理的思想在中考中应用广泛, 是热点考题之一． 【中考变形】
1．小明在做数学题时, 发现下面有趣的结果: 3－2＝1; 8＋7－6－5＝4;
15＋14＋13－12－11－10＝9;
24＋23＋22＋21－20－19－18－17＝16; …
根据以上规律可知第10行左起第1个数是 A．100
B．121
C．120
( C )
D．82
【解析】 根据规律可知第10行等式的右边是102＝100, 等式左边有20个数加减．∵这20个数是120＋119＋118＋…＋111－110－109－108－…－102－101, ∴左起第1个数是120.
2．[2016·邵阳]如图Z3－1, 下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律, 根据此规律, 最后一个三角形中y与n之间的关系是
( B )
图Z3－1
A．y＝2n＋1 C．y＝2n＋1＋n
B．y＝2n＋n D．y＝2n＋n＋1
【解析】 ∵观察可知: 左边三角形的数字规律为1, 2, …, n, 右边三角形的数字规律为21, 22…, 2n, 下边三角形的数字规律为1＋2, 2＋22, …, n＋2n, ∴最后一个三角形中y与n之间的关系为y＝2n＋n.
3．[2018·中考预测]根据图Z3－2中箭头的指向规律, 从2 017到2 018再到2 019, 箭头的方向是下列选项中的
( D )
图Z3－2
【解析】 由图可知, 每4个数为一个循环组依次循环, 2 017÷4＝504……1,
∴2 017是第505个循环组的第2个数,
∴从2 017到2 018再到2 019, 箭头的方向是故选D.
4．挑游戏棒是一种好玩的游戏, 游戏规则: 当一根棒条没有被其他棒条压着时, 就可以把它往上拿走．如图Z3－3中, 按照这一规则, 第1次应拿走⑨号棒, 第2次应拿走⑤号棒, …则第6次应拿走
( D )
A．②号棒 C．⑧号棒
B．⑦号棒 D．⑩号棒
.
图Z3－3
【解析】 仔细观察图形, 第1次应拿走⑨号棒, 第2次应拿走⑤号棒, 第3次应拿走⑥号棒, 第4次应拿走②号棒, 第5次应拿走⑧号棒, 第6次应拿走⑩号棒．
5．[2017·烟台]用棋子摆出下列一组图形(如图Z3－4):
图Z3－4
按照这种规律摆下去, 第n个图形用的棋子个数为 A．3n C．3n＋6
B．6n D.3n＋3
( D )
【解析】 ∵第1个图需棋子3＋3＝6; 第2个图需棋子3×2＋3＝9; 第3个图需棋子3×3＋3＝12; …∴第n个图需棋子(3n＋3)个．
6．古希腊数学家把数1, 3, 6, 10, 15, 21, …叫做三角形数, 其中1是第1个三角形数, 3是第2个三角形数, 6是第3个三角形数, …以此类推, 那么第9个三角形数是__45__, 2 016是第__63__个三角形数．
【解析】 根据所给的数据发现: 第n个三角形数是1＋2＋3＋…＋n, 则第9个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45; 由1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 2 016, 得
n（n＋1）
＝2 016, 解得n＝63(负数舍去)． 2
7．操场上站成一排的100名学生进行报数游戏, 规则是: 每位同学依次报自己11
的顺序数的倒数加1.如: 第1位同学报1＋1, 第2位同学报2＋1, 第3位
1
同学报3＋1, …这样得到的100个数的积为__101__.
1213
【解析】 ∵第1位同学报的数为1＋1＝1, 第2位同学报的数为2＋1＝2, 第
14
3位同学报的数为3＋1＝3, …
1101
∴第100位同学报的数为100＋1＝100,
234101
∴这样得到的100个数的积＝1×2×3×…×100＝101.
8．[2017·潍坊]如图Z3－5, 自左至右, 第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成; 第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成; 第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成; …按照此规律, 第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为__9n＋3__．
图Z3－5
【解析】 ∵第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成, ∴正方形和等边三角形的和＝6＋6＝12＝9＋3; ∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成, ∴正方形和等边三角形的和＝11＋10＝21＝9×2＋3; ∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成, ∴正方形和等边三角形的和＝16＋14＝30＝9×3＋3, …∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和＝9n＋3. 9．观察下列等式:
1第一个等式: a1＝＝2－1;
1＋2第二个等式: a2＝1
＝3－2; 2＋3
1
＝2－3; 3＋2
第三个等式: a3＝
1
第四个等式: a4＝＝5－2;
2＋5…
按上述规律, 回答以下问题:
(1)用含n的代数式表示第n个等式: an＝ (2)a1＋a2＋a3＋…＋an＝__n＋1－1__ 【解析】 a1＋a2＋a3＋…＋an＝(2－1)＋(3－2)＋(2－3)＋(5－2)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1.
10．[2016·山西]如图Z3－6是一组有规律的图案, 它们是由边长相同的小正方形组成, 其中部分小正方形涂有阴影, 依此规律, 第n个图案中有__4n＋1__个涂有阴影的小正方形(用含有n的代数式表示)．
1n＋n＋1
＝n＋1－n ;
图Z3－6
【解析】 由图可知, 涂有阴影的小正方形有5＋4(n－1)＝4n＋1(个)． 11．如图Z3－7是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案, 第1个图案中有6根小棒, 第2个图案中有11根小棒, …则第n个图案中有__5n＋1__根小棒．
图Z3－7
【解析】 ∵第1个图案中有6根小棒, 第2个图案中有6＋5×1＝11根小棒, 第3个图案中有6＋5×2＝16根小棒, …∴第n个图案中有6＋5(n－1)＝5n＋1根小棒．
12．《庄子·天下篇》中写道: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭．”意思是: 一
根一尺的木棍, 如果每天截取它的一半, 永远也取不完, 如图Z3－8所示． 11111
由图易得2＋22＋23＋…＋2n＝__1－2n__.
图Z3－8
13．[2016·安徽](1)观察图Z3－9中的图形与等式的关系, 并填空:
图Z3－9
【解析】 1＋3＋5＋7＝16＝42, 观察, 发现规律: 1＋3＝22, 1＋3＋5＝32, 1＋3＋5＋7＝42, …∴1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.
(2)观察图Z3－10, 根据(1)中结论, 计算图中黑球的个数, 用含有n的代数式填空:
图Z3－10
1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋__2n＋1__＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝__2n2＋2n＋1__．
【解析】 观察图形发现: 图中黑球可分为三部分, 1到n行, 第n＋1行, n＋2行到2n＋1行, 即1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋[2(n＋1)－1]＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＋(2n＋1)＋(2n－1)＋…＋5＋3＋1＝n2＋2n＋1＋n2＝2n2＋2n＋1.
【中考预测】
一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐, 现把若干张这样的餐桌按如图Z3－11方式进行拼接．
(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来, 四周分别可坐多少人？ (2)若用餐的人数有90人, 则这样的餐桌需要多少张？
图Z3－11
解: (1)把4张餐桌拼起来能坐4×4＋2＝18(人); 把8张餐桌拼起来能坐4×8＋2＝34(人);
(2)设这样的餐桌需要x张, 由题意, 得4x＋2＝90, 解得x＝22.
答: 这样的餐桌需要22张．
专题提升(四) 整式方程(组)的应用
类型之一 一元一次方程的应用 【经典母题】
汽车队运送一批货物．若每辆车装4 t, 还剩下8 t未装; 若每辆车装4.5 t, 恰好装完．这个车队有多少辆车？ 解: 设这个车队有x辆车, 依题意, 得 4x＋8＝4.5x, 解得x＝16. 答: 这个车队有16辆车．
【思想方法】 利用一元一次方程解决实际问题是学习二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、一元一次不等式(组)等的基础, 是课标要求, 也是热门考点． 【中考变形】
1．学校机房今年和去年共购置了100台计算机, 已知今年购置计算机数量是去年购置计算机数量的3倍, 今年购置计算机的数量是 A．25台
B．50台
( C )
C．75台 D．100台
【解析】 设今年购置计算机的数量是x台, 去年购置计算机的数量是(100－x)台, 根据题意可得x＝3(100－x), 解得x＝75.
2．[2016·盐城校级期中]小明的妈妈在菜市场买回3斤萝卜、2斤排骨, 准备做萝卜排骨汤．妈妈说: “今天买这两样菜共花了45元, 上月买同重量的这两种菜只要36元”．爸爸说: “报纸上说了萝卜的单价上涨50%, 排骨单价上涨20%”．小明说: 爸爸、妈妈, 我想知道今天买的萝卜和排骨的单价分别是多少？
请你通过列一元一次方程求解这天萝卜、排骨的单价(单位: 元/斤)． 36－3x
解: 设上月萝卜的单价是x元/斤, 则排骨的单价2元/斤, 根据题意, 得
36－3x
＝45, 3(1＋50%)x＋2(1＋20%)
2
36－3x36－3×2
解得x＝2, 则2＝＝15.
2∴这天萝卜的单价是(1＋50%)×2＝3(元/斤), 这天排骨的单价是(1＋20%)×15＝18(元/斤)．
答: 这天萝卜的单价是3元/斤, 排骨的单价是18元/斤． 【中考预测】
[2016·株洲模拟]根据如图Z4－1的对话, 分别求小红所买的笔和笔记本的价格．
图Z4－1
解: 设笔的价格为x元/支, 则笔记本的价格为3x元/本, 由题意, 得10x＋5×3x＝30, 解得x＝1.2, ∴3x＝3.6.
答: 笔的价格为1.2元/支, 笔记本的价格为3.6元/本． 类型之二 二元一次方程组的应用
【经典母题】
用如图Z4－2①中的长方形和正方形纸板做侧面和底面, 做成如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现在仓库里有1 000张正方形纸板和2 000张长方形纸板, 问两种纸盒各做多少个, 恰好将库存的纸板用完？
图Z4－2
解: 设做竖式纸盒x个, 横式纸盒y个, 可恰好将库存的纸板用完． 4x＋3y＝2 000，x＝200，
根据题意, 得解得
x＋2y＝1 000，y＝400.
答: 竖式纸盒做200个, 横式纸盒做400个, 恰好将库存的纸板用完． 【思想方法】 利用方程(组)解决几何计算问题, 是较好的方法, 体现了数形结合思想． 【中考变形】
1．小华写信给老家的爷爷, 问候“八·一”建军节．折叠长方形信纸, 装入标准信封时发现: 若将信纸按图Z4－3①连续两次对折后, 沿着信封口边线装入时宽绰3.8 cm; 若将信纸按图②三等分折叠后, 同样方法装入时宽绰1.4 cm.试求出信纸的纸长与信封的口宽．
①
② 图Z4－3
解: 设信纸的纸长为x cm, 信封口的宽为y cm. xy＝4＋3.8，x＝28.8，
由题意, 得解得
xy＝11.y＝＋1.4，3答: 信纸的纸长为28.8 cm, 信封的口宽为11 cm.
2．某中学新建了一栋四层的教学楼, 每层楼有10间教室, 进出这栋教学楼共有4个门, 其中两个正门大小相同, 两个侧门大小也相同．安全检查中, 对4个门进行了测试, 当同时开启一个正门和两个侧门时, 2 min内可以通过560名学生; 当同时开启一个正门和一个侧门时, 4 min内可以通过800名学生． (1)求平均每分钟一个正门和一个侧门各可以通过多少名学生？
(2)检查中发现, 出现紧急情况时, 因学生拥挤, 出门的效率将降低20%, 安全检查规定: 在紧急情况下全楼的学生应在5 min内通过这4个门安全撤离, 假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生, 问: 该教学楼建造的这4个门是否符合安全规定？请说明理由．
解: (1)设一个正门平均每分钟通过x名学生, 一个侧门平均每分钟通过y名学生, 由题意, 得
2x＋4y＝560，x＝120，
解得 4x＋4y＝800，y＝80.
答: 一个正门平均每分钟通过120名学生, 一个侧门平均每分钟通过80名学生;
(2)由题意得共有学生45×10×4＝1 800(人),
45学生通过的时间为1 800÷[(120＋80)×0.8×2]＝8(min)．
45
∵5＜8, ∴该教学楼建造的这4个门不符合安全规定． 【中考预测】
随着“互联网＋”时代的到来, 一种新型的手机打车方式受到大众欢迎, 该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成, 其中里程费按p元/km计算, 耗时费按q元/min计算(总费用不足9元按9元计价)．小明、小刚两人用该打车方式出行, 按上述计价规则, 其打车总费用、行驶里程数与车速如下表:
速度y(km/h) 里程数s(km) 车费(元)
小明 小刚 (1)求p, q的值;
60 50 8 10 12 16 (2)如果小华也用该打车方式, 车速55 km/h, 行驶了11 km, 那么小华的打车总费用为多少？
解: (1)小明的里程数是8 km, 时间为8 min; 小刚的里程数为10 km, 时间为12 min.
p＝1，8p＋8q＝12，
由题意得解得1
10p＋12q＝16，q＝；2(2)小华的里程数是11 km, 时间为12 min. 则总费用是11p＋12q＝17(元)．
类型之三 一元二次方程的应用 【经典母题】
某租赁公司拥有汽车100辆, 据统计, 当每辆车的月租金为3 000元时, 可全部租出, 每辆车的月租金每增加50元, 未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费为150元, 未租出的车每辆每月只需要维护费50元． (1)当每辆车的月租金定为3 600元时, 能租出多少辆？
(2)当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益(租金收入扣除维护费)可达到306 600元？
3 600－3 000
解: (1)100－＝88(辆)．
50
答: 当每辆车的月租金定为3 600元时, 能租出88辆． (2)设每辆车的月租金定为(3 000＋x)元, 则 xx
100－50[(3 000＋x)－150]－×50＝306 600,
50解得x1＝900, x2＝1 200,
∴3 000＋900＝3 900(元), 3 000＋1 200＝4 200(元)．
答: 当每辆车的月租金为3 900元或4 200元时, 月收益可达到306 600元． 【思想方法】利润＝收入－支出, 即利润＝租出去车辆的租金－租出去车辆的维护费－未租出去车辆的维护费． 【中考变形】
1．[2017·眉山]东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为6个档次, 第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件, 每件利润10元．调查表明: 生产提高一个档次的蛋糕产品, 该产品每件利润增加2元．
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元, 此批次蛋糕属第几档次产品; (2)由于生产工序不同, 蛋糕产品每提高一个档次, 一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元, 该烘焙店生产的是第几档次的产品？
解: (1)设此批次蛋糕属第a档次产品, 则10＋2(a－1)＝14, 解得a＝3. 答: 此批次蛋糕属第3档次产品．
14－10
或：∵ ＋1＝3，∴此批蛋糕属第3档次产品.2
(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品, 根据题意, 得[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1 080, 解得x1＝5, x2＝11(舍去)．
答: 该烘焙店生产的是第5档次的产品．
2．[2017·重庆B卷]某地大力发展经济作物, 其中果树种植已初具规模, 今年受气候、雨水等因素的影响, 樱桃较去年有小幅度的减产, 而枇杷有所增产． (1)该地某果农今年收获樱桃和枇杷共400 kg, 其中枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍, 求该果农今年收获樱桃至少多少千克？
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售．该果农去年樱桃的市场销售量为100 kg, 销售均价为30元/kg, 今年樱桃的市场销售量比去年减少了m%, 销售均价与去年相同; 该果农去年枇杷的市场销售量为200 kg, 销售均价为20元/kg, 今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%, 但销售均价比去年减少了m%.该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同, 求m的值． 【解析】 (1)根据“枇杷的产量不超过樱桃的产量的7倍”即可列出不等式求得今年收获樱桃的质量;
(2)抓住关键语句, 仔细梳理, 根据去年、今年樱桃销售量、销售均价, 求出各自的销售额, 可以用一张表格概括其中数量关系: 去年 销售量 100 kg 销售均价 30元/kg 销售额 3 000元 销售量 100×(1－m %)kg 200×(1 ＋2m %) kg 今年 销售均价 30元/kg 20×(1－m %)元/kg 销售额 3 000×(1－m %)元 樱桃 枇杷 200 kg 20元/kg 4 000元 4 000×(1 ＋2m %)×(1－m %)元 然后根据“今年樱桃和枇杷的销售总金额与去年樱桃和枇杷的市场销售总金额相同”可列方程求解．
解: (1)设该果农今年收获樱桃至少x kg, 今年收获枇杷(400－x)kg, 依题意, 得
400－x≤7x, 解得x≥50.
答: 该果农今年收获樱桃至少50 kg.
(2)由题意, 得3 000×(1－m %)＋4 000×(1 ＋2m%)×(1－m%)＝7 000, 解得m1＝0(不合题意, 舍去), m2＝12.5. 答: m的值为12.5. 【中考预测】
某水果批发商场经销一种水果, 如果每千克盈利10元, 每天可售出400 kg.经市场调查发现, 在进货价不变的情况下, 若每千克涨价1元, 日销售量将减少20 kg.
(1)当每千克涨价多少元时, 每天的盈利最多？最多是多少？
(2)若商场只要求保证每天的盈利为4 420元, 同时又可使顾客得到实惠, 每千克应涨价多少元？
解: (1)设每千克涨价x元, 总利润为y元． 则y＝(10＋x)(400－20x)
＝－20x2＋200x＋4 000＝－20(x－5)2＋4 500. 当x＝5时, y取得最大值, 最大值为4 500元．
答: 当每千克涨价5元时, 每天的盈利最多, 最多为4 500元; (2)设每千克应涨价a元, 则(10＋a)(400－20a)＝4 420. 解得a＝3或a＝7,
为了使顾客得到实惠, ∴a＝3. 答: 每千克应涨价3元．
专题提升(五) 一次函数的图象与性质的应用
类型之一 一次函数的图象的应用 【经典母题】
5x－2y＋4＝0，x＝－2，
如图Z5－1, 由图象得的解是 ．
3x＋2y＋12＝0y＝－3
图Z5－1
【思想方法】 (1)每个二元一次方程组都对应着两个一次函数, 于是也对应着两条直线．从“数”的角度看, 解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等, 以及这个函数值是何值; 从“形”的角度看, 解方程组相当于确定两条直线的交点坐标;
(2)一次函数、一元一次方程、一元一次不等式有着的概念, 但在本质上, 后者是前者的特殊情况, 从而可以利用函数图象解决方程或方程组问题, 体现出数形结合的思想． 【中考变形】
1．高铁的开通, 给衢州市民出行带来了极大的方便．五一期间, 乐乐和颖颖相约到杭州市某游乐园游玩, 乐乐乘私家车从衢州出发1 h后, 颖颖乘坐高铁从衢州出发, 先到杭州火车东站, 然后转乘出租车去游乐园(换车时间忽略不计), 两人恰好同时到达游乐园, 他们离开衢州的距离y(km)与乘车时间t(h)的关系如图Z5－2所示．请结合图象解决下列问题:
图Z5－2
(1)高铁的平均速度是每小时多少千米？
(2)当颖颖到达杭州火车东站时, 乐乐距离游乐园还有多少千米？ (3)若乐乐要提前18 min到达游乐园, 问私家车的速度必须达到多少？ 解: (1)v＝
240
＝240(km/h), 2－1
答: 高铁的平均速度为240 km/h;
(2)设乐乐离开衢州的距离y与时间t的函数关系为y＝kt, 则1.5k＝120, k＝80, ∴函数表达式为y＝80t,
当t＝2时, y＝160, 216－160＝56(km)． 答: 乐乐距离游乐园还有56 km; (3)把y＝216代入y＝80t, 得t＝2.7, 18216
2．7－60＝2.4(h), 2.4＝90(km/h)．
答: 乐乐要提前18 min到达游乐园, 私家车的速度必须达到90 km/h. 2．[2017·宿迁]小强与小刚都住在安康小区, 在同一所学校读书, 某天早上, 小强7: 30从安康小区站乘坐校车去学校, 途中需停靠两个站点才能到达学校站点, 且每个站点停留2 min, 校车行驶途中始终保持匀速, 当天早上, 小刚7: 39从安康小区站乘坐出租车沿相同路线出发, 出租车匀速行驶, 比小强乘坐的校车早1 min到学校站点, 他们乘坐的车辆从安康小区站出发所行驶路程y(km)与行驶时间x(min)之间的函数图象如图Z5－3所示．
图Z5－3
(1)求点A的纵坐标m的值;
(2)小刚乘坐出租车出发后经过多少分钟追到小强所乘坐的校车？并求此时他们距学校站点的路程．
解: (1)校车的速度为3÷4＝0.75(km/min), 点A的纵坐标m的值为3＋0.75×(8－6)＝4.5.
答: 点A的纵坐标m的值为4.5;
(2)校车到达学校站点所需时间为9÷0.75＋4＝16(min), 出租车到达学校站点所需时间为16－9－1＝6(min), 出租车的速度为9÷6＝1.5(km/min),
两车相遇时出租车出发时间为0.75×(9－4)÷(1.5－0.75)＝5(min), 相遇地点离学校站点的路程为9－1.5×5＝1.5(km)．
答: 小刚乘坐出租车出发后经过5 min追到小强所乘坐的校车, 此时他们距学校站点的路程为1.5 km.
3．方成同学看到一则材料: 甲开汽车, 乙骑自行车从M地出发沿一条公路匀速前往N地．设乙行驶的时间为t(h), 甲乙两人之间的距离为y(km), y与t的函数关系如图Z5－4①所示．方成思考后发现了图①的部分信息: 乙先出发1 h; 甲出发0.5 h与乙相遇…
请你帮助方成同学解决以下问题:
(1)分别求出线段BC, CD所在直线的函数表达式; (2)当20＜y＜30时, 求t的取值范围;
(3)分别求出甲, 乙行驶的路程s甲, s乙与时间t的函数表达式, 并在图②所给的直角坐标系中分别画出它们的图象;
4(4)丙骑摩托车与乙同时出发, 从N地沿同一公路匀速前往M地, 若丙经过3 h与乙相遇, 问丙出发后多少时间与甲相遇？
图Z5－4
解: (1)设直线BC的函数表达式为y＝kt＋b,
30＝k＋b，237100
把2，0, 3，3分别代入, 得 1007
3＝3k＋b，k＝40，
解得
b＝－60，
∴直线BC的表达式为y＝40t－60. 设直线CD的函数表达式为y1＝k1t＋b1, 1007＝3k1＋b1，71003把3，3, (4, 0)分别代入, 得
0＝4k1＋b1，
k1＝－20，解得∴直线CD的函数表达式为y1＝－20t＋80;
b1＝80，(2)设甲的速度为a km/h, 乙的速度为b km/h, 根据题意, 得 0.5a＝1.5b，a＝60，7 100解得7
b＝20，a－1＝3b＋3，3
∴甲的速度为60 km/h, 乙的速度为20 km/h, ∴OA的函数表达式为y＝20t(0≤t≤1),
∴点A的纵坐标为20, OA段, AB段没有符合条件的t值;
9
当20＜y＜30时, 即20＜40t－60＜30或20＜－20t＋80＜30, 解得2＜t＜4或5
2＜t＜3;
7
(3)根据题意, 得s甲＝60t－601≤t≤3,
s乙＝20t(0≤t≤4), 所画图象如答图所示;
中考变形3答图
480
(4)当t＝3时, s乙＝3, 此时丙距M地的路程s丙与时间t的函数表达式为s丙＝－40t＋80(0≤t≤2),
7
当－40t＋80＝60t－60时, 解得t＝5, 7
答: 丙出发5 h与甲相遇． 【中考预测】
[2017·义乌模拟]甲、乙两组同时加工某种零件, 乙组工作中有一次停产更换设备, 更换设备后, 乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)的函数图象如图Z5－5所示．
图Z5－5
(1)直接写出甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式__y＝60x(0＜x≤6)__;
(2)求乙组加工零件总量a的值;
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱, 每满300件装一箱, 零件装箱的时间忽略不计, 求经过多长时间恰好装满第1箱？ 解: (1)∵图象经过原点及(6, 360),
∴设表达式为y＝kx, ∴6k＝360, 解得k＝60, ∴y＝60x(0＜x≤6); (2)乙2 h加工100件,
∴乙的加工速度是每小时50件,
∴更换设备后, 乙组的工作速度是每小时加工100件, a＝100＋100×(4.8－2.8)＝300;
(3)乙组更换设备后, 乙组加工的零件的个数y与时间x的函数关系式为y＝100＋100(x－2.8)＝100x－180,
当0＜x≤2时, 60x＋50x＝300, 30
解得x＝11(不合题意, 舍去); 当2＜x≤2.8时, 100＋60x＝300, 10
解得x＝3(不合题意, 舍去);
当2.8＜x≤4.8时, 60x＋100x－180＝300, 解得x＝3, 符合题意． 答: 经过3 h恰好装满第1箱． 类型之二 一次函数的性质的应用 【经典母题】
某商场要印制商品宣传材料, 甲印刷厂的收费标准是: 每份材料收1元印制费, 另收1 500元制版费; 乙印刷厂的收费标准是: 每份材料收2.5元印制费, 不收制版费．
(1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的关系式; (2)在同一直角坐标系中画出它们的图象;
(3)根据图象回答下列问题: 印制800份宣传材料时, 选择哪一家印刷厂比较合算？商场计划花费3 000元用于印刷上述宣传材料, 找哪一家印刷厂印制宣传材料多一些？
解: (1)甲厂的收费函数表达式为y甲＝x＋1 500, 乙厂的收费函数表达式为y乙＝2.5x; (2)图略; (3)当x＝800时,
y甲＝x＋1 500＝800＋1 500＝2 300(元), y乙＝2.5x＝2.5×800＝2 000(元); 当y＝3 000时,
y甲＝x＋1 500＝3 000, 解得x＝1 500, y乙＝2.5x＝3 000, 解得x＝1 200,
答: 印制800份材料时, 选择乙厂合算; 花费3 000元时, 甲厂印制的宣传材料多一些．
【思想方法】 解此类一次函数在实际生活中的应用的问题, 需综合运用方
程等知识, 体现了数形结合思想． 【中考变形】
1．某商场销售甲、乙两种品牌的智能手机, 这两种手机的进价和售价如下表所示:
进价(元/部) 售价(元/部) 甲 4 000 4 300 乙 2 500 3 000 该商场计划购进两种手机若干部, 共需15.5万元, 预计全部销售后可获毛利润共2.1万元[毛利润＝(售价－进价)×销售量]． (1)该商场计划购进甲、乙两种手机各多少部？
(2)通过市场调研, 该商场决定在原计划的基础上, 减少甲种手机的购进数量, 增加乙种手机的购进数量．已知乙种手机增加的数量是甲种手机减少的数量的2倍, 而且用于购进这两种手机的总资金不超过16万元, 该商场怎样进货, 才能使全部销售后获得的毛利润最大？求出最大毛利润． 解: (1)设商场计划购进甲种手机x部, 乙种手机y部, 0.4x＋0.25y＝15.5，x＝20，由题意, 得解得 0.03x＋0.05y＝2.1，y＝30.答: 商场计划购进甲种手机20部, 乙种手机30部;
(2)设甲种手机的购进数量减少a部, 则乙种手机的购进数量增加2a部, 由题意, 得0.4×(20－a)＋0.25×(30＋2a)≤16, 解得a≤5. 设全部销售后获得的毛利润为W万元, 由题意, 得 W＝0.03×(20－a)＋0.05×(30＋2a)＝0.07a＋2.1. ∵k＝0.07＞0, ∴W随a的增大而增大, ∴当a＝5时, W最大＝2.45万元．
答: 该商场购进甲种手机15部, 乙种手机40部可使获得的毛利润最大, 最大毛利润为2.45万元．
2．[2017·绵阳]江南农场收割小麦, 已知1台大型收割机和3台小型收割机1 h可以收割小麦1.4公顷, 2台大型收割机和5台小型收割机1 h可以收割小麦2.5公顷．
(1)每台大型收割机和每台小型收割机1 h收割小麦各多少公顷？
(2)大型收割机每小时费用为300元, 小型收割机每小时费用为200元．两种型号的收割机一共有10台, 要求2 h完成8公顷小麦的收割任务, 且总费用不超过5 400元．有几种方案？请指出费用最低的一种, 并求出相应的费用． 解: (1)设1台大型收割机每小时收割小麦a公顷, 1台小型收割机每小时收割小麦b公顷,
a＋3b＝1.4，a＝0.5，
根据题意, 得解得
2a＋5b＝2.5，b＝0.3.
答: 1台大型收割机每小时收割小麦0.5公顷, 1台小型收割机每小时收割小麦0.3公顷．
(2)设需要大型收割机x台, 则需要小型收割机(10－x)台, 根据题意, 600x＋400（10－x）≤5 400，
得解得5≤x≤7, x＋0.6（10－x）≥8，又∵x取整数, ∴x＝5, 6, 7, 一共有3种方案．
设费用为W元, 则W＝600x＋400(10－x)＝200x＋4 000.由一次函数性质知, W随x增大而增大．∴当x＝5时, W值最小, 即大型收割机5台, 小型收割机5台时, 费用最低,
此时, 所有费用W＝600×5＋400×5＝5 000(元)．
答: 采用大型、小型收割机各5台时费用最低, 最低费用为5 000元．
【中考预测】
某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4 000元, 销售20台A型和10台B型电脑的利润为3 500元．
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台, 其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍, 设购进A型电脑x台, 这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型, B型电脑各多少台, 才能使销售总利润最大？
解: (1)设每台A型电脑销售利润为m元, 每台B型电脑的销售利润为n元, 10m＋20n＝4 000，m＝100，
根据题意, 得解得
20m＋10n＝3 500，n＝150.
答: 每台A型电脑的销售利润为100元, 每台B型电脑的销售利润为150元; (2)①根据题意, 得y＝100x＋150×(100－x), 即y＝－50x＋15 000.
1
②根据题意, 得100－x≤2x, 解得x≥33,
3∵y＝－50x＋15 000, ∴y随x的增大而减小, ∵x为正整数,
∴当x＝34时, y有最大值, 则100－x＝66.
答: 商店购进34台A型电脑和66台B型电脑时, 销售利润最大．
专题提升(六) 一次函数与反比例函数的综合
【经典母题】
如图Z6－1是一个光学仪器上用的曲面横截面示意图, 图中的曲线是一段反比例函数的图象, 端点A的纵坐标为80, 另一端点B的坐标为B(80, 10)．求这段图象的函数表达式和自变量的取值范围．
【解析】 利用待定系数法设出反比例函数的表
图Z6－1
达式后, 代入点B的坐标即可求得反比例函数的表达式．
k
解: 设反比例函数的表达式为y＝x, ∵一个端点B的坐标为(80, 10), ∴k＝80×10＝800,
800
∴反比例函数的表达式为y＝x. ∵端点A的纵坐标为80, 800
∴80＝x, x＝10, ∴点A的横坐标为10,
∴自变量的取值范围为10≤x≤80.
k
【思想方法】求反比例函数的表达式宜用待定系数法, 设y＝x, 把已知一点代入函数表达式求出k的值即可． 【中考变形】
b
1．已知正比例函数y＝ax与反比例函数y＝x的图象有一个公共点A(1, 2)． (1)求这两个函数的表达式;
(2)在图Z6－2中画出草图, 根据图象写出正比例函数值大于反比例函数值时x的取值范围．
图Z6－2
解: (1)把A(1, 2)代入y＝ax, 得2＝a, 即y＝2x;
b2
把A(1, 2)代入y＝x, 得b＝2, 即y＝x; (2)画草图如答图所示．
中考变形1答图
由图象可知, 当x＞1或－1＜x＜0时, 正比例函数值大于反比例函数值． k2
2．如图Z6－3, 已知一次函数y＝k1x＋b与反比例函数y＝x的图象交于第一象
1
限内P2，8, Q(4, m)两点, 与x轴交于A点．
(1)分别求出这两个函数的表达式; (2)写出点P关于原点的对称点P′的坐标; (3)求∠P′AO的正弦值．
图Z6－3
【解析】①将P点坐标代入反比例函数关系式, 即可求出反比例函数表达式; 将Q点代入反比例函数关系式, 即可求出m的值; 将P, Q两个点的坐标分别代入一次函数关系式, 即可求出一次函数的表达式．
②根据平面直角坐标系中, 两点关于原点对称, 则横、纵坐标互为相反数, 可以直接写出点P′的坐标;
③过点P′作P′D⊥x轴, 垂足为D, 可构造出′AD, 又∵点A在一次函数的图象上, ∴可求出点A坐标, 得到OA长度, 利用P′ 点坐标, 可以求出P′D, P′A, 即可得到∠P′AO的正弦值． 解: (1)∵点P在反比例函数的图象上,
k21
∴把点P2，8代入y＝x, 得k2＝4,
4
∴反比例函数的表达式为y＝x, ∴Q 点坐标为(4, 1)．
1
把P2，8, Q(4, 1)分别代入y＝k1x＋b中,
18＝k1＋b，k1＝－2，2得解得
b＝9.1＝4k1＋b，∴一次函数的表达式为y＝－2x＋9; 1
(2)P′－2，－8;
(3)如答图, 过点P′作P′D⊥x轴, 垂足为D.
1
∵P′－2，－8,
中考变形2答图
1
∴OD＝2, P′D＝8.
∵点A在y＝－2x＋9的图象上, 99
∴点A坐标为2，0, 即OA＝2,
∴DA＝5, ∴P′A＝P′D2＋DA2＝. ∴sin∠P′AD＝
P′D88
＝＝. P′A
8
∴sin∠P′AO＝.
1
3．[2017·成都]如图Z6－4, 在平面直角坐标系xOy中, 已知正比例函数y＝2x与
k
反比例函数y＝x的图象交于A(a, －2), B两点． (1)求反比例函数表达式和点B的坐标;
(2)P是第一象限内反比例函数图象上一点, 过点P作y轴的平行线, 交直线AB于点C, 连结PO, 若△POC的面积为3, 求点P的坐标．
图Z6－4 中考变形3答图
1
解: (1)∵点A(a, －2)在正比例函数y＝2x图象上, 1
∴－2＝2a, ∴a＝－4, ∴点A坐标为(－4, －2)．
k
又∵点A在反比例函数y＝x的图象上, ∴k＝xy＝－4×(－2)＝8, 8
∴反比例函数的表达式为y＝x.
∵A, B既在正比例函数图象上, 又在反比例函数图象上, ∴A, B两点关于原点O中心对称, ∴点B的坐标为(4, 2);
81
(2)如答图, 设点P坐标为a，a(a＞0), ∵PC∥y轴, 点C在直线y＝2x上,
1a，∴点C的坐标为, 2a8a2－161
, ∴PC＝2a－a＝
2a11a2－16a2－16
·a＝＝3, ∴S△POC＝2PC·a＝2
2a4
a2－16
当4＝3时, 解得a＝28＝27,
47
. ∴P27，
7
a2－16
当4＝－3时, 解得a＝2, ∴P(2, 4)．
47
, (2, 4)． 综上所述, 符合条件的点P的坐标为27，
7
m
4．如图Z6－5, 一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝x的图象交于A(1, 4), B(4, n)两点．
(1)求反比例函数的表达式; (2)求一次函数的表达式;
(3)P是x轴上的一个动点, 试确定点P并求出它的坐标, 使得PA＋PB最小．
图Z6－5
m
解: (1)∵点A(1, 4)在函数y＝x上,
4
∴m＝xy＝4, ∴反比例函数的表达式为y＝x; 4
(2)把B(4, n)代入y＝x, 4＝xy＝4n, 得n＝1, ∴B(4, 1),
∵直线y＝kx＋b经过A, B, 4＝k＋b，k＝－1，∴解得 1＝4k＋b，b＝5，∴一次函数的表达式为y＝－x＋5; (3)点B关于x轴的对称点为B′(4, －1), 设直线AB′的表达式为y＝ax＋q, 5
a＝－3，4＝a＋q，
∴解得
17－1＝4a＋q，
q＝3，517
∴直线AB′的表达式为y＝－3x＋3, 17
令y＝0, 解得x＝5,
17
∴当点P的坐标为5，0时, PA＋PB最小．
m
5．[2017·广安]如图Z6－6, 一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝x的图象在第一象限交于点A(4, 2), 与y轴的负半轴交于点B,
图Z6－6
且OB＝6.
m
(1)求函数y＝x和y＝kx＋b的表达式．
m
(2)已知直线AB与x轴相交于点C.在第一象限内, 求反比例函数y＝x的图象上一点P, 使得S△POC＝9.
m
解: (1)∵点A(4, 2)在反比例函数y＝x的图象上, ∴m＝4×2＝8,
8
∴反比例函数的表达式为y＝x. ∵点B在y轴的负半轴上, 且OB＝6, ∴点B的坐标为(0, －6),
把点A(4, 2)和点B(0, －6)代入y＝kx＋b中, 4k＋b＝2，k＝2，得解得 b＝－6，b＝－6.∴一次函数的表达式为y＝2x－6; 8
(2)设点P的坐标为n，n(n＞0)．
在直线y＝2x－6上, 当y＝0时, x＝3, ∴点C的坐标为(3, 0), 即OC＝3, 184
∴S△POC＝2×3×n＝9, 解得n＝3. 4
∴点P的坐标为3，6.
k
6．[2017·黄冈]如图Z6－7, 一次函数y＝－2x＋1与反比例函数y＝x的图象有两个交点A(－1, m)和B, 过点A作AE⊥x轴, 垂足为E; 过点B作BD⊥y轴, 垂足为D, 且点D的坐标为(0, －2), 连结DE. (1)求k的值;
(2)求四边形AEDB的面积．
图Z6－7 中考变形6答图
解: (1)将点A(－1, m)代入一次函数y＝－2x＋1, 得－2×(－1)＋1＝m, 解得m＝3. ∴A点的坐标为(－1, 3)．
k
将A(－1, 3)代入y＝x, 得k＝(－1)×3＝－3;
(2)如答图, 设直线AB与y轴相交于点M, 则点M的坐标为(0, 1), 3
∵D(0, －2), 则点B的纵坐标为－2, 代入反比例函数, 得DB＝2, ∴MD＝3.
又∵A(－1, 3), AE∥y轴, ∴E(－1, 0), AE＝3. ∴AE∥MD, AE＝MD.
∴四边形AEDM为平行四边形． ∴S四边形AEDB＝S▱AEDM＋S△MDB 1321
＝3×1＋2×2×3＝4.
3
7．[2016·金华]如图Z6－8, 直线y＝3x－3与x, y轴分别交于点A, B, 与反比
k
例函数y＝x(k＞0)的图象交于点C, D, 过点A作x轴的垂线交该反比例函数图象于点E. (1)求点A的坐标;
(2)若AE＝AC, ①求k的值;
②试判断点E与点D是否关于原点O成中心对称？并说明理由．
图Z6－8
中考变形7答图
3
解: (1)当y＝0时, 得0＝3x－3, 解得x＝3. ∴点A的坐标为(3, 0);
(2)①如答图, 过点C作CF⊥x轴于点F.设AE＝AC＝t, 点E的坐标是(3, t), k3t则反比例函数y＝x可表示为y＝x. 3
∵直线y＝3x－3交y轴于点B,
∴B(0, －3)．
OB3
在Rt△AOB中, tan∠OAB＝OA＝3, ∴∠OAB＝30°.
在Rt△ACF中, ∠CAF＝30°, 13
∴CF＝2t, AF＝AC·cos30°＝2t,
31
∴点C的坐标是3＋t，t.
22
31
∴3＋t×t＝3t,
22解得t1＝0(舍去), t2＝23. ∴k＝3t＝63.
②点E的坐标为(3，23),
3
设点D的坐标是x，x－3,
3
3
∴xx－3＝63, 解得x1＝6(舍去), x2＝－3, 3∴点D的坐标是(－3，－23), ∴点E与点D关于原点O成中心对称． 【中考预测】
如图Z6－9, 一次函数y＝kx＋b(k, b为常数, k≠0)的图象与x轴, y轴分别交于n
A, B两点, 且与反比例函数y＝x(n为常数且n≠0)的图象在第二象限交于点C, CD⊥x轴, 垂足为D, 若OB＝2OA＝3OD＝6. (1)求一次函数与反比例函数的表达式; (2)求两函数图象的另一个交点的坐标; n
(3)直接写出不等式kx＋b≤x的解集．
图Z6－9
解: (1)∵OB＝2OA＝3OD＝6, ∴OB＝6, OA＝3, OD＝2, ∵CD⊥DA, ∴DC∥OB, OBAO63∴DC＝AD, ∴DC＝5, ∴DC＝10,
∴C(－2, 10), B(0, 6), A(3, 0), 代入一次函数y＝kx＋b, b＝6，k＝－2，得解得 3k＋b＝0，b＝6，∴一次函数的表达式为y＝－2x＋6. n
∵反比例函数y＝x经过点C(－2, 10), ∴n＝－20,
20
∴反比例函数的表达式为y＝－x;
y＝－2x＋6，x＝－2，x＝5，(2)由解得或 20
y＝10y＝－4，y＝－，x∴另一个交点坐标为(5, －4);
n
(3)由图象可知kx＋b≤x的解集为－2≤x＜0或x≥5.
专题提升(七) 二次函数的图象和性质的综合运用
【经典母题】
用两种不同的图解法求方程x2－2x－5＝0的解(精确到0.1)． 解: 略．
【思想方法】 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点的横坐标x1, x2就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根, 因此我们可以通过解方程ax2＋bx＋c＝0来求抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的坐标; 反过来, 也可以由y＝ax2＋bx＋c的图象来求一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解． 【中考变形】
1．[2016·烟台]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图Z7－1所示, 下列结论: ①4ac＜b2; ②a＋c＞b; ③2a＋b＞0.其中正确的有
( B )
图Z7－1
A．①② C．②③
B．①③ D．①②③
【解析】 ∵抛物线与x轴有两个交点, ∴Δ＞0, ∴b2－4ac＞0, ∴4ac＜b2, 故①正确; ∵x＝－1时, y＜0, ∴a－b＋c＜0, ∴a＋c＜b, 故②错误; ∵对称b
轴直线x＞1, ∴－2a＞1, 又∵a＜0, ∴－b＜2a, ∴2a＋b＞0, 故③正确．故选B.
2．[2016·绍兴]抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b, c是常数)过点A(2, 6), 且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点, 则c的值不可能是 A．4 C．8
B．6 D．10
( A )
【解析】 ∵抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b, c是常数)过点A(2, 6), 且抛物线4＋2b＋c＝6，
的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点, ∴解得6≤c≤14.故b
1≤－≤3，2×1选A.
3．[2017·株洲]如图Z7－2, 二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧, 其图象与x轴交于点A(－1, 0)与点C(x2, 0), 且与y轴交于点B(0, －2), 小强得到以下结论: ①0＜a＜2; ②－1＜b＜0; ③c＝－1; ④当|a|＝|b|时x2＞5－1, 以上结论中正确结论的序号为__①④__.
【解析】 由A(－1, 0), B(0, －2), 得b＝a－2, ∵开口向上, ∴a＞0.∵对a－2b
称轴在y轴右侧, ∴－2a＞0, ∴－2a＞0, a＜2, ∴0＜a＜2, ①正确; ∵抛物线与y轴交于点B(0, －2), ∴c＝－2, ③错误; ∵抛物线图象与x轴
交于点A(－1, 0), ∴a－b－2＝0, b＝a－2, ∵0＜a＜2, ∴－2＜b＜0, ②错误; ∵|a|＝|b|, 二次函数y＝ax2＋bx＋c的对称轴在y轴的右侧, ∴二次函1
数y＝ax2＋bx＋c的对称轴为x＝2, ∴x2＝2＞5－1, ④正确．故答案为①④.
图Z7－2 图Z7－3
4．[2017·天水]如图Z7－3是抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)的一部分图象, 抛物线的顶点坐标是A(1, 3), 与x轴的一个交点是B(4, 0), 直线y2＝mx＋n(m≠0)与抛物线交于A, B两点, 下列结论:
①abc＞0; ②方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根; ③抛物线与x轴的另一个交点是(－1, 0); ④当1＜x＜4时, 有y2＞y1; ⑤x(ax＋b)≤a＋b, 其中正确的结论是__②⑤__.(只填写序号)
【解析】 由图象可知: a＜0, b＞0, c＞0, 故abc＜0, ①错误; 观察图象可知, 抛物线与直线y＝3只有一个交点, 故方程ax2＋bx＋c＝3有两个相等的实数根, ②正确; 根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点是(－2, 0), ③错误; 观察图象可知, 当1＜x＜4时, 有y2＜y1, ④错误; ∵x＝1时, y1有最大值, ∴ax2＋bx＋c≤a＋b＋c, 即x(ax＋b)≤a＋b, ⑤正确．综上所述, ②⑤正确．
5．如图Z7－4, 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1, 0), 点B(3, 0), 且过点C(0, －3)．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标;
(2)请你写出一种平移的方法, 使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上, 并写出平移后抛物线的函数表达式．
图Z7－4
解: (1)∵抛物线与x轴交于点A(1, 0), 点B(3, 0), ∴可设抛物线表达式为y＝a(x－1)(x－3),
把C(0, －3)的坐标代入, 得3a＝－3, 解得a＝－1, 故抛物线表达式为y＝－(x－1)(x－3), 即y＝－x2＋4x－3.
∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1, ∴抛物线的顶点坐标为(2, 1);
(2)答案不唯一, 如: 先向左平移2个单位, 再向下平移1个单位, 得到的抛物线的解析式为y＝－x2, 平移后抛物线的顶点为(0, 0), 落在直线y＝－x上．
6．[2017·江西]已知抛物线C1: y＝ax2－4ax－5(a＞0)． (1)当a＝1时, 求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴;
(2)①试说明无论a为何值, 抛物线C1一定经过两个定点, 并求出这两个定点的坐标;
②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折, 得到抛物线C2, 直接写出C2的表达式;
(3)若(2)中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2, 求a的值． 解: (1)当a＝1时, 抛物线表达式为y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9, ∴对称轴为x＝2,
∴当y＝0时, x－2＝3或－3, 即x＝－1或5, ∴抛物线与x轴的交点坐标为(－1, 0)或(5, 0); (2)①抛物线C1表达式为y＝ax2－4ax－5, 整理, 得y＝ax(x－4)－5.
∵当ax(x－4)＝0时, y恒定为－5,
∴抛物线C1一定经过两个定点(0, －5), (4, －5)． ②这两个点连线为y＝－5,
将抛物线C1沿y＝－5翻折, 得到抛物线C2, 开口方向变了, 但是对称轴没变,
∴抛物线C2的表达式为y＝－ax2＋4ax－5; (3)抛物线C2的顶点到x轴的距离为2, 则x＝2时, y＝2或－2.
7
当y＝2时, 2＝－4a＋8a－5, 解得a＝4; 3
当y＝－2时, －2＝－4a＋8a－5, 解得a＝4. 73∴a＝4或4.
7．[2017·北京]在平面直角坐标系xOy中, 抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A, B(点A在点B的左侧), 与y轴交于点C. (1)求直线BC的表达式;
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1, y1), Q(x2, y2), 与直线BC交于点N(x3, y3), 若x1＜x2＜x3, 结合函数的图象, 求x1＋x2＋x3的取值范围． 解: (1)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－3)(x－1), C(0, 3), ∴A(1, 0), B(3, 0)．
设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0), b＝3，k＝－1，则解得 3k＋b＝0，b＝3，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3;
中考变形7答图
(2)由y＝x2－4x＋3得到y＝(x－2)2－1,
∴抛物线y＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2, 顶点坐标是(2, －1)． ∵y1＝y2, ∴x1＋x2＝4.
令y＝－1, 代入y＝－x＋3, 得x＝4. ∵x1＜x2＜x3(如答图),
∴3＜x3＜4, 即7＜x1＋x2＋x3＜8.
8．[2016·益阳]如图Z7－5, 顶点为A(3, 1)的抛物线经过坐标原点O, 与x轴交
于点B.
(1)求抛物线对应的二次函数的表达式;
(2)过点B作OA的平行线交y轴于点C, 交抛物线于点D, 求证: △OCD≌△OAB;
(3)在x轴上找一点P, 使得△PCD的周长最小, 求出P点的坐标．
图Z7－5 中考变形8答图
解: (1)∵抛物线顶点为A(3, 1), ∴设抛物线对应的二次函数的表达式为 y＝a(x－3)2＋1.
1
将原点坐标(0, 0)代入, 得a＝－,
3
123
∴抛物线对应的二次函数的表达式为y＝－3x2＋3x; 123
(2)证明: 将y＝0代入y＝－3x2＋3x中, 得B(23, 0)．
设直线OA对应的一次函数的表达式为y＝kx, 3
将A(3, 1)代入, 得k＝3, 3
∴直线OA对应的一次函数的表达式为y＝3x.
3
∵BD∥AO, 设直线BD对应的一次函数的表达式为y＝3x＋b, 将B(23, 0)代入, 得b＝－2,
3
∴直线BD对应的一次函数的表达式为y＝3x－2.
3y＝3x－2，由
1223
y＝－3x＋3x，
得交点D的坐标为(－3, －3),
3
将x＝0代入y＝3x－2中, 得C点的坐标为(0, －2), ∴OA＝2＝OC, AB＝2＝CD, OB＝23＝OD,
OC＝OA，
在△OCD与△OAB中, CD＝AB，
OD＝OB，
∴△OCD≌△OAB(SSS);
(3)如答图, 点C关于x轴的对称点C′的坐标为(0, 2), 连结C′D, 则C′D与x轴的交点即为点P, 此时△PCD的周长最小． 过点D作DQ⊥y轴, 垂足为Q, 则PO∥DQ. ∴△C′PO∽△C′DQ,
POC′OPO223∴DQ＝, 即＝5, 解得PO＝5, C′Q323
. ∴ 点P的坐标为－，05
【中考预测】
设抛物线y＝mx2－2mx＋3(m≠0)与x轴交于点A(a, 0)和B(b, 0)． (1)若a＝－1, 求m, b的值;
(2)若2m＋n＝3, 求证: 抛物线的顶点在直线y＝mx＋n上;
(3)抛物线上有两点P(x1, p)和Q(x2, q), 若x1＜1＜x2, 且x1＋x2＞2, 试比较p与q的大小．
解: (1)当a＝－1时, 把(－1, 0)代入y＝mx2－2mx＋3, 解得m＝－1, ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3. 令y＝0, 则由y＝－x2＋2x＋3, 得 x＝－1或3, ∴b＝3;
(2)抛物线的对称轴为x＝1,
把x＝1代入y＝mx2－2mx＋3, 得y＝3－m, ∴抛物线的顶点坐标为(1, 3－m)． 把x＝1代入y＝mx＋n, 得y＝m＋n＝m＋3－2m＝3－m, ∴顶点坐标在直线y＝mx＋n上; (3)∵x1＋x2＞2, ∴x2－1＞1－x1, ∵x1＜1＜x2, ∴|x2－1|＞|x1－1|, ∴P离对称轴较近,
当m＞0时, p＜q, 当m＜0时, p＞q.
专题提升(八) 二次函数在实际生活中的应用
【经典母题】
某超市销售一种饮料, 每瓶进价为9元, 经市场调查表明, 当售价在10元到14元之间(含10元, 14元)浮动时, 每瓶售价每增加0.5元, 日均销量减少40瓶; 当售价为每瓶12元时, 日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时, 所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
解: 设售价为每瓶x元时, 日均毛利润为y元, 由题意, 得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x, y＝(x－9)(1 360－80x)
＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)． b
－2a＝－2 080
＝13,
2×（－80）
∵10≤13≤14, ∴当x＝13时, y取最大值, y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．
答: 售价定为每瓶13元时, 所得日均毛利润最大, 最大日均毛利润为1 280元．
【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题, 在建立函数关系式时, 应注意自变量的取值范围, 在这个取值范围内, 需了解函数的性质(最大最小值,
变化情况, 对称性, 特殊点等)和图象, 然后依据这些性质作出结论． 【中考变形】
1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品, 第一个月, 按进价提高50%的价格出售, 售出400件, 第二个月, 商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售, 根据销售经验, 提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示． (1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时, 销售量为300件__; 销售单价每提高1元时, 销售量相应减少__20__件;
(2)请直接写出y与x之间的函数表达式: __y＝20x＋1_000__; 自变量x的取值范围为__30≤x≤50__;
(3)第二个月的销售单价定为多少元时, 可获得最大利润？最大利润是多少？ 解: (1)图中点P所表示的实际意义是: 当售价定为35元/件时, 销售量为300件;
第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元), 销售单价每提高1元时, 销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．
(2)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b, 将点(30, 400), (35, 300)代入, 得400＝30k＋b，k＝－20，解得 300＝35k＋b，b＝1 000，
∴y与x之间的函数表达式为y＝－20x＋1 000. 当y＝0时, x＝50,
∴自变量x的取值范围为30≤x≤50. (3)设第二个月的利润为W元,
由已知得W＝(x－20)y＝(x－20)(－20x＋1 000)＝－20x2＋1 400x－20 000 ＝－20(x－35)2＋4 500,
∵－20＜0, ∴当x＝35时, W取最大值4 500.
答: 第二个月的销售单价定为35元时, 可获得最大利润, 最大利润是4 500元．
2．[2016·宁波一模]大学生自主创业, 集资5万元开品牌专卖店, 已知该品牌商品成本为每件a元, 市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在
图Z8－1
一次函数关系, 如下表所示:
销售价x(元/件) 销售量y(件) … … 110 50 115 45 120 40 125 130 35 30 … … 若该店某天的销售价定为110元/件, 雇有3名员工, 则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元, 每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)． (1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式;
(2)该店现有2名员工, 试求每件服装的销售价定为多少元时, 该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用);
(3)在(2)的条件下, 若每天毛利润全部积累用于一次性还款, 而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息, 则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？
解: (1)由表可知, y是关于x的一次函数, 设y＝kx＋b, 将x＝110, y＝50; x＝115, y＝45分别代入, 110k＋b＝50，k＝－1，得解得 115k＋b＝45，b＝160，∴y＝－x＋160(0＜x≤160);
(2)由已知可得50×110＝50a＋3×100＋200, 解得a＝100.设每天的毛利润为W元, 则W＝(x－100)(－x＋160)－2×100－200 ＝－x2＋260x－16 400 ＝－(x－130)2＋500,
∴当x＝130时, W取最大值500.
答: 每件服装的销售价定为130元时, 该服装店每天的毛利润最大, 最大毛利润为500元;
(3)设需t天才能还清集资款, 则500t≥50 000＋0.000 2×50 000t, 2解得t≥10249.
∵t为整数, ∴t的最小值为103天． 答: 该店最少需要103天才能还清集资款．
3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准, 旺季每间1
价格比淡季上涨3.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录:
未入住房间数 日总收入(元) 淡季 10 24 000 旺季 0 40 000 (1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
(2)今年旺季来临, 豪华间的间数不变, 经市场调查发现, 如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格, 那么每天都客满; 如果价格继续上涨, 那么每增加25元, 每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素, 该酒店将豪华间的价格上涨多少元时, 豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注: 上涨价格需为25的倍数)
解: (1)设淡季每间的价格为x元, 依题意得 40 00024 000
1＝x＋10, 解得x＝600,
x1＋3
40 00040 000
∴酒店豪华间有＝
11＝50(间),
x1＋3600×1＋311
旺季每间价格为x＋3x＝600＋3×600＝800(元)． 答: 该酒店豪华间有50间, 旺季每间价格为800元; (2)设该酒店豪华间的价格上涨x元, 日总收入为y元, x1
y＝(800＋x)50－25＝－25(x－225)2＋42 025,
∴当x＝225时, y取最大值42 025.
答: 该酒店将豪华间的价格上涨225元时, 豪华间的日总收入最高, 最高日总收入是42 025元．
4．某公司经营杨梅业务, 以3万元/t的价格向农户收购杨梅后, 分拣成A, B两类, A类杨梅包装后直接销售, B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/t, 根据市场调查, 它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x≥2)(t)之间
的函数关系式如图Z8－2, B类杨梅深加工总费用s(单位: 万元)与加工数量t(单位: t)之间的函数关系是s＝12＋3t, 平均销售价格为9万元/t.
图Z8－2
(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式; (2)第一次该公司收购了20 t 杨梅, 其中A类杨梅x t, 经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)． ①求W关于x的函数关系式;
②若该公司获得了30万元毛利润, 问: 用于直接销售的A类杨梅有多少吨？ (3)第二次该公司准备投人132万元资金, 请设计一种经营方案, 使公司获得最大毛利润, 并求出最大毛利润． －x＋14（2≤x＜8），
解: (1)y＝
6（x≥8）；
(2)∵销售A类杨梅x t, 则销售B类杨梅(20－x)t. ①当2≤x＜8时,
W＝x(－x＋14)＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x2＋7x＋48, 当x≥8时, W＝6x＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x＋48, －x2＋7x＋48（2≤x＜8），
∴函数表达式为W＝
－x＋48（x≥8）；
②当2≤x＜8时, －x2＋7x＋48＝30, 解得x1＝9, x2＝－2, 均不合题意, 当x≥8时, －x＋48＝30, 解得x＝18.
答: 当毛利润达到30万元时, 直接销售的A类杨梅有18 t; (3)设该公司用132万元共购买m t杨梅, 其中A类 杨梅为x t, B类杨梅为(m－x)t, 购买费用为3m万元．
由题意, 得3m＋x＋[12＋3(m－x)]＝132, 化简, 得3m＝x＋60.
①当2≤x＜8时, W＝x(－x＋14)＋9(m－x)－132, 把3m＝x＋60代入, 得 W＝－(x－4)2＋,
当x＝4时, 有最大毛利润万元． 52
此时, m＝3, m－x＝3;
②当x≥8时, W＝6x＋9(m－x)－132, 由3m＝x＋60, 得W＝48, 当x≥8时, 毛利润总为48万元．
52答: 综上所述, 购买杨梅共3 t, 且其中直销A类杨梅4 t, B类杨梅3 t, 公司能获得最大毛利润万元． 【中考预测】
某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出, 平均每月能售出600件, 调查表明: 这种衬衣售价每上涨1元, 其销售量将减少10件． (1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式; (2)当销售价定为45元时, 计算月销售量和销售利润;
(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下, 使月销售利润达到10 000元, 销售价应定为多少？
(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 解: (1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为 y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000; (2)当x＝45时, 600－10(x－40)＝550(件), y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元); (3)令y＝10 000, 代入(1)中函数关系式, 得 10 000＝－10x2＋1 300x－30 000, 解得x1＝50, x2＝80.
当x＝80时, 600－10(80－40)＝200＜300(不合题意, 舍去), 故销售价应定为50元;
(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250, ∴x＝65时, y取最大值12 250.
答: 当销售价定为65元时会获得最大利润, 最大利润为12 250元．
专题提升(九) 以全等为背景的计算与证明
【经典母题】
如图Z9－1, 在△ABC中, AB＝AC, AD是BC边上的中线．求证: AD⊥BC(填空)． 证明: 在△ABD和△ACD中,
BD＝CD（ 中线的定义 ），
AB＝ AC （已知），
AD ＝ AD （公共边），
∴__△ABD__≌__△ACD__(SSS),
∴∠ADB＝__∠ADC__(全等三角形的对应角相等)． 1
∴∠ADB＝2∠BDC＝90°(平角的定义), ∴AD⊥BC(垂直的定义)．
图Z9－1
【思想方法】 (1)证明两角相等, 可证它们所在的两个三角形全等; (2)由平行线可得同位角或者内错角相等; (3)要完成一般三角形全等的证明, 必须以SAS, ASA, AAS, SSS作为依据． 【中考变形】
1．[2017·宜宾]如图Z9－2, 已知点B, E, C, F在同一条直线上,
图Z9－2
AB＝DE, ∠A＝∠D, AC∥DF.求证: BE＝CF.
证明: ∵AC∥DF, ∴∠ACB＝∠F.在△ABC和△DEF中,
∠A＝∠D，
∠ACB＝∠F，∴△ABC≌△DEF(AAS), AB＝DE，
∴BC＝EF, ∴BC－EC＝EF－EC, 即BE＝CF.
2．[2017·南充]如图Z9－3, DE⊥AB, CF⊥AB, 垂足分别是E, F, DE＝CF, AE＝BF.求证: AC∥BD.
图Z9－3
证明: ∵AE＝BF, ∴AE＋EF＝BF＋EF, 即AF＝BE. ∵DE⊥AB, CF⊥AB, ∴∠AFC＝∠BED＝90°. 在△AFC和△BED中,
AF＝BE，
∠AFC＝∠BED， CF＝DE，
∴△AFC≌△BED(SAS), ∴∠A＝∠B, ∴AC∥BD.
3．[2016·南充]已知△ABN和△ACM位置如图Z9－4所示, AB＝AC, AD＝AE, ∠1＝∠2.求证:
图Z9－4
(1)BD＝CE; (2)∠M＝∠N.
AB＝AC，证明: (1)在△ABD和△ACE中, ∠1＝∠2，
AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS), ∴BD＝CE;
(2)∵∠1＝∠2, ∴∠1＋∠DAE＝∠2＋∠DAE, 即∠BAN＝∠CAM,
由(1)得△ABD≌△ACE, ∴∠B＝∠C,
∠C＝∠B，
在△ACM和△ABN中, AC＝AB，
∠CAM＝∠BAN，
∴△ACM≌△ABN(ASA), ∴∠M＝∠N.
4．[2016·孝感]如图Z9－5, BD⊥AC于点D, CE⊥AB于点E, AD＝AE.求证: BE＝CD.
图Z9－5
证明: ∵BD⊥AC于点D, CE⊥AB于点E, ∴∠ADB＝∠AEC＝90°, 在△ADB和△AEC中,
∠ADB＝∠AEC，
AD＝AE，
∠A＝∠A，
∴△ADB≌△AEC(ASA), ∴AB＝AC, 又∵AD＝AE, ∴AB－AE＝AC－AD, ∴BE＝CD.
5．如图Z9－6, 在△ABC中, ∠C＝90°, AD平分∠CAB, 交CB于点D, 过点D作DE⊥AB于点E. (1)求证: △ACD≌△AED;
(2)若∠B＝30°, CD＝1, 求BD的长．
图Z9－6
解: (1)证明: ∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD＝∠EAD. ∵DE⊥AB, ∠C＝90°, ∴∠C＝∠AED＝90°.
又∵AD＝AD, ∴△ACD≌△AED(AAS); (2)∵△ACD≌△AED, ∴DE＝CD＝1. ∵∠B＝30°, ∠DEB＝90°, ∴BD＝2DE＝2.
6．如图Z9－7, 在△ABC与△DCB中, AC与BD交于点E, 且∠A＝∠D, AB＝DC.
(1)求证: △ABE≌△DCE;
(2)当∠AEB＝50°时, 求∠EBC的度数．
图Z9－7
∠A＝∠D，
解: (1)证明: ∵在△ABE和△DCE中, ∠AEB＝∠DEC，
AB＝DC，
∴△ABE≌△DCE(AAS);
(2)∵△ABE≌△DCE, ∴BE＝CE, ∴∠EBC＝∠ECB.
∵∠EBC＋∠ECB＝∠AEB＝50°, ∴∠EBC＝25°.
7．[2017·齐齐哈尔]如图Z9－8, 在△ABC中, AD⊥BC于D, BD＝AD, DG＝DC, E, F分别是BG, AC的中点．
图Z9－8
(1)求证: DE＝DF, DE⊥DF;
(2)连结EF, 若AC＝10, 求EF的长．
解: (1)证明: ∵AD⊥BC, ∴∠ADB＝∠ADC＝90°,
BD＝AD，
在△BDG和△ADC中, ∠BDG＝∠ADC，
DG＝DC，
∴△BDG≌△ADC(SAS), ∴BG＝AC, ∠BGD＝∠C, ∵∠ADB＝∠ADC＝90°, E, F分别是BG, AC的中点,
11
∴DE＝2BG＝EG, DF＝2AC＝AF,
∴DE＝DF, ∠EDG＝∠EGD, ∠FDA＝∠FAD, ∴∠EDG＋∠FDA＝90°, ∴DE⊥DF;
(2)∵AC＝10, ∴DE＝DF＝5, 由勾股定理, 得EF＝DE2＋DF2＝52.
8．我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”．如图Z9－9, 四边形ABCD是一个筝形, 其中AB＝CB, AD＝CD.对角线AC, BD相交于点O, OE⊥AB, OF⊥CB, 垂足分别是E, F.求证: OE＝OF.
图Z9－9
证明: ∵在△ABD和△CBD中,
AB＝CB，AD＝CD， BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SSS), ∴∠ABD＝∠CBD, ∴BD平分∠ABC.
又∵OE⊥AB, OF⊥CB, ∴OE＝OF. 【中考预测】
如图Z9－10, 在△ABC中, AB＝CB, ∠ABC＝90°, F为AB延长线上一点, 点E在BC上, 且AE＝CF.
图Z9－10
(1)求证: Rt△ABE≌Rt△CBF; (2)若∠CAE＝30°, 求∠ACF的度数． 解: (1)证明: ∵∠ABC＝90°, ∴∠CBF＝∠ABE＝90°. 在Rt△ABE和Rt△CBF中, AE＝CF， AB＝CB，
∴Rt△ABE≌Rt△CBF(HL); (2)∵AB＝BC, ∠ABC＝90°, ∴∠CAB＝∠ACB＝45°,
∴∠BAE＝∠CAB－∠CAE＝45°－30°＝15°. 由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF, ∴∠BCF＝∠BAE＝15°,
∴∠ACF＝∠BCF＋∠ACB＝15°＋45°＝60°.
专题提升(十) 以等腰或直角三角形为背景的计算与
证明
类型之一 以等腰三角形为背景的计算与证明 【经典母题】
把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀, 分成三张小纸片, 使每张小纸片都是等腰三角形．你能办到吗？请画示意图说明剪法． 解: 如答图, 作∠ABC的平分线, 交AC于点D.在BA上截取BE＝BD, 连结ED, 则沿虚线BD, DE剪两刀, 分成的3个三角形
经典母题答图
都是等腰三角形．
【思想方法】 等腰三角形的性质常与角平分线、线段的垂直平分线结合在一起证明线段相等, 或者与三角形内角和定理结合在一起求角度, 或者通过列方程或方程组解决等腰三角形中关于边长的计算． 【中考变形】
1．[2017·湖南]已知△ABC的三边长分别为4, 4, 6, 在△ABC所在平面内画一条直线, 将△ABC分割成两个三角形, 使其中的一个是等腰三角形, 则这样的直线最多可画 A．3条
( B )
B.4条 C.5条 D.6条
【解析】 如答图, 当AC＝CD, AB＝BG, AF＝CF, AE＝BE时, 都能得到符合题意的等腰三角形． 2．[2016·杭州]已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m＜n), 过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形, 若这两个三角形都为等腰三角形, 则 ( C ) A．m2＋2mn＋n2＝0 C．m2＋2mn－n2＝0
B.m2－2mn＋n2＝0 D.m2－2mn－n2＝0
中考变形1答图
【解析】 如答图, 根据题意, 得m2＋m2＝(n－m)2, 2m2＝n2－2mn＋m2, m2＋2mn－n2＝0.
3．[2017·绍兴]已知△ABC, AB＝AC, D为直线BC上一点, E为直线AC上一点, AD＝AE, 设∠BAD＝α, ∠CDE＝β.
(1)如图Z10－1, 若点D在线段BC上, 点E在线段AC上．
①如果∠ABC＝60°, ∠ADE＝70°, 那么α＝__20__°, β＝__10__°. ②求α, β之间的关系式;
(2)是否存在不同于以上②中的α, β之间的关系式？若存在, 求出这个关系式(求出一个即可); 若不存在, 请说明理由．
中考变形2答图
图Z10－1
解: (1)①∵AB＝AC, ∠B＝60°, ∴∠BAC＝60°,
∵AD＝AE, ∠ADE＝70°, ∴∠DAE＝180°－2∠ADE＝40°, ∴α＝∠BAD＝60°－40°＝20°,
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B＝60°＋20°＝80°, ∴β＝∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝10°.
②设∠B＝x, ∠ADE＝y, ∴∠C＝x, ∠AED＝y,
在△DEC中, y＝β＋x, 在△ABD中, α＋x＝y＋β＝β＋x＋β, ∴α＝2β;
(2)Ⅰ.当点E在CA的延长线上, 点D在线段BC上时, 如答图①, 设∠B＝x, ∠ADE＝y, ∴∠C＝x, ∠E＝y,
在△ABD中, x＋α＝β－y, 在△DEC中, x＋y＋β＝180°, ∴α＝2β－180°.
中考变形3答图① 中考变形3答图②
Ⅱ.当点E在CA的延长线上, 点D在CB的延长线上时, 如答图②, 同①的方法可得α＝180°－2β. 【中考预测】
[2016·菏泽]如图Z10－2, △ACB和△DCE均为等腰三角形, 点A, D, E在同一直线上, 连结BE.
(1)如图①, 若∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°, ①求证: AD＝BE. ②求∠AEB的度数;
(2)如图②, 若∠ACB＝∠DCE＝120°, CM为△DCE中DE边上的高线, BN为
23
△ABE中AE边上的高线, 求证: AE＝23CM＋3BN.
图Z10－2
解: (1)①证明: ∵∠CAB＝∠CBA＝∠CDE＝∠CED＝50°, ∴∠ACB＝∠DCE＝180°－2×50°＝80°.
∵∠ACB＝∠ACD＋∠DCB, ∠DCE＝∠DCB＋∠BCE, ∴∠ACD＝∠BCE.
∵△ACB和△DCE均为等腰三角形, ∴AC＝BC, DC＝EC.
AC＝BC，
在△ACD和△BCE中, ∠ACD＝∠BCE，
DC＝EC，
∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴AD＝BE; ②∵△ACD≌△BCE, ∴∠ADC＝∠BEC. ∵点A, D, E在同一直线上, 且∠CDE＝50°, ∴∠ADC＝180°－∠CDE＝130°, ∴∠BEC＝130°, ∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝130°－50°＝80°;
(2)证明: ∵△ACB和△DCE均为等腰三角形, 且∠ACB＝∠DCE＝120°, 1
∴∠CDM＝∠CEM＝2×(180°－120°)＝30°. ∵CM⊥DE, ∴∠CMD＝90°, DM＝EM. 在Rt△CMD中, ∠CDM＝30°, ∴DE＝2DM＝2×
CM
＝23CM.
tan∠CDM
∵∠ACB＝∠DCE＝120°,
∴∠ACB－∠DCB＝∠DCE－∠DCB, 即∠ACD＝∠BCE, 又∵AC＝BC, CD＝CE, ∴△ACD≌△BCE(SAS), ∴∠ADC＝∠BEC, AD＝BE.
∵∠BEC＝∠ADC＝180°－30°＝150°, ∠BEC＝∠CEM＋∠AEB,
∴∠AEB＝∠BEC－∠CEM＝150°－30°＝120°, ∴∠BEN＝180°－120°＝60°.
在Rt△BNE中, ∠N＝90°, ∠BEN＝60°, ∴BE＝
BN23
＝3BN.
sin∠BEN
∵AD＝BE, AE＝AD＋DE, 23
∴AE＝DE＋BE＝23CM＋3BN. 类型之二 以直角三角形为背景的计算与证明 【经典母题】
已知: 如图Z10－3, 在△ABC中, AD⊥BC于点D, E为AC上一点, 且BF＝AC, DF＝DC.求证: BE⊥AC.
证明: ∵AD⊥BC, ∴∠ADC＝∠BDF＝90°, 又∵BF＝AC, DF＝DC,
∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL), ∴∠DBF＝∠DAC, ∵∠BFD＝∠AFE,
∴∠AEF＝∠BDF＝90°, 即BE⊥AC.
图Z10－3
【思想方法】 直角三角形角之间的联系在几何计算与证明中应用广泛, 常与三角形全等知识结合使用． 【中考变形】
1．如图Z10－4, 将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°, 得到△A′B′C, 连结AA′, 若∠1＝20°, 则∠B的度数是 A．70° B．65° C．60° D．55°
【解析】 ∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到
△A′B′C, ∴AC＝A′C, ∴△ACA′是等腰直角三角形, ∴∠CAA′＝45°, ∴∠A′B′C＝∠1＋∠CAA′＝20°＋45°＝65°, 由旋转的性质, 得∠B＝
( B )
图Z10－4
∠A′B′C＝65°.
2．[2016·济宁]如图Z10－5, 在△ABC中, AD⊥BC, CE⊥AB, 垂足分别为D, E, AD, CE交于点H, 请你添加一个适当条件____AE＝CE(答案不唯一)__, 使△AEH≌△CEB.
【解析】 该题为开放型题, 根据垂直关系, 可以找出△AEH与△CEB的两对相等的对应角, 只需要找它们的一对对应边相等就可以了．
∵AD⊥BC, CE⊥AB, 垂足分别为D, E, ∴∠BEC＝∠AEC＝∠ADB＝90°, 在Rt△AEH中, ∠EAH＝90°－∠AHE, 在Rt△ABD中, ∠EAH＝90°－∠B, ∴∠B＝∠AHE.
∴根据AAS添加AH＝CB或AE＝CE, 根据ASA添加EH＝EB, 可证△AEH≌△CEB.
故填空答案: AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE(答案不唯一)． 3．如图Z10－6, 在△ABC中, AB＝CB, ∠ABC＝90°, D为AB延长线上一点, 点E在BC边上, 且BE＝BD, 连结AE, DE, DC.
(1)求证: △ABE≌△CBD;
(2)若∠CAE＝30°, 求∠BDC的度数． 解: (1)证明: ∵∠ABC＝90°,
∴∠DBE＝180°－∠ABC＝180°－90°＝90°, ∴∠ABE＝∠CBD.
图Z10－6 图Z10－5
AB＝CB，
在△ABE和△CBD中, ∠ABE＝∠CBD，
BE＝BD，
∴△ABE≌△CBD(SAS); (2)∵AB＝CB, ∠ABC＝90°,
∴△ABC是等腰直角三角形, ∴∠ECA＝45°. ∵∠CAE＝30°, ∠BEA＝∠ECA＋∠CAE,
∴∠BEA＝45°＋30°＝75°.
由(1)知∠BDC＝∠BEA, ∴∠BDC＝75°.
4．如图Z10－7, △ACB与△ECD都是等腰直角三角形, ∠ACB＝∠ECD＝90°, D为AB边上的一点．
图Z10－7
(1)求证: △ACE≌△BCD;
(2)若DE＝13, BD＝12, 求线段AB的长．
解: (1)证明: ∵△ACB与△ECD都是等腰直角三角形, ∴CE＝CD, AC＝BC, ∠ACB＝∠ECD＝90°, ∴∠ACE＝∠BCD＝90°－∠ACD,
CE＝CD，
在△ACE和△BCD中, ∠ACE＝∠BCD，
AC＝BC.
∴△ACE≌△BCD(SAS); (2)∵△ACE≌△BCD,
∴AE＝BD＝12, ∠EAC＝∠B＝45°,
∴∠EAD＝∠EAC＋∠CAD＝45°＋45°＝90°, 在Rt△EAD中, ∠EAD＝90°, DE＝13, AE＝12, 由勾股定理, 得AD＝DE2－AE2＝5, ∴AB＝BD＋AD＝12＋5＝17.
5．[2017·重庆B卷]如图Z10－8, △ABC中, ∠ACB＝90°, AC＝BC, 点E是AC上一点, 连结BE.
(1)如图①, 若AB＝42, BE＝5, 求AE的长;
(2)如图②, 点D是线段BE延长线上一点, 过点A作AF⊥BD于点F, 连结
CD, CF.当AF＝DF时, 求证: DC＝BC.
图Z10－8
【解析】 (1)根据勾股定理先求得AC＝BC＝4, 再利用勾股定理求CE的长即可;
(2)过C点作CM⊥CF交BD于点M, 构造△BCM≌△ACF得FC＝MC, 即△FCM为等腰直角三角形, ∴∠AFC＝∠DFC＝135°, 再证△DCF≌△ACF即可．
解: (1)∵∠ACB＝90°, AC＝BC, ∴∠BAC＝∠ABC＝45°. 2
∵AB＝42, ∴BC＝AC＝42×2＝4.
在Rt△BCE中, CE＝BE2－BC2＝52－42＝3, ∴AE＝AC－CE＝4－3＝1;
(2)证明: 如答图, 过C点作CM⊥CF交BD于点M. ∵∠ACB＝∠FCM＝90°, ∴∠ACF＝∠BCM, ∵∠ACB＝∠AFE＝90°, ∠BEC＝∠AEF, ∴∠FAC＝∠MBC, 在△ACF和△BCM中,
中考变形5答图
∠ACF＝∠BCM，
∴△ACF≌△BCM(ASA), AC＝BC，
∠FAC＝∠MBC，
∴FC＝MC,
∴∠MFC＝∠FMC＝45°,
∴∠DFC＝180°－45°＝135°, ∠AFC＝90°＋45°＝135°, ∴∠DFC＝∠AFC.在△ACF和△DCF中,
AF＝DF，
∠AFC＝∠DFC，∴△ACF≌△DCF(ASA), CF＝CF，
∴AC＝DC.∵AC＝BC, ∴DC＝BC. 【中考预测】
如图Z10－9, AB＝AC, AE＝AF, ∠BAC＝∠EAF＝90°, BE, CF交于M, 连结AM.
(1)求证: BE＝CF; (2)求证: BE⊥CF; (3)求∠AMC的度数．
图Z10－9 中考预测答图 解: (1)证明: ∵∠BAC＝∠EAF＝90°, ∴∠BAC＋∠CAE＝∠FAE＋∠CAE, ∴∠BAE＝∠CAF, 在△CAF和△BAE中,
AC＝AB，
∠CAF＝∠BAE，∴△CAF≌△BAE(SAS), AF＝AE，
∴BE＝CF;
(2)证明: 设AC与BE交点为O, 如答图, ∵△CAF≌△BAE, ∴∠ABE＝∠ACF, ∵∠BAC＝90°, ∴∠ABO＋∠BOA＝90°, ∵∠BOA＝∠COM, ∴∠COM＋∠ACF＝90°, ∴∠CMO＝180°－90°＝90°, ∴BE⊥CF;
(3)如答图, 过点A分别作AG⊥BE于G, AH⊥CF于H, 则∠AGB＝∠AHC＝90°, 在△AGB和△AHC中,
∠ABG＝∠ACH，∠AGB＝∠AHC， AB＝AC，
∴△AGB≌△AHC(AAS), ∴AG＝AH, ∵AG⊥BE, AH⊥FC, BE⊥CF, ∴∠AGM＝∠GMH＝∠AHM＝90°, ∴四边形AHMG是正方形,
1
∴∠GMH＝90°, ∠AMG＝2∠HMG＝45°, ∴∠AMC＝90°＋45°＝135°.
专题提升(十一) 以平行四边形为背景的计算与证明
类型之一 以平行四边形为背景的计算与证明 【经典母题】
已知: 如图Z11－1, 在▱ABCD中, AC是对角线, BE⊥AC, DF⊥AC, 垂足分别为E, F.求证: BE＝DF. 证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠BAE＝∠DCF.又∵BE⊥AC, DF⊥AC, ∴∠AEB＝∠CFD, ∵AB＝CD, ∴Rt△AEB≌Rt△CFD, ∴BE＝DF.
【思想方法】 (1)平行四边形是一种特殊的四边形, 它具有对边平行且相等, 对角线互相平分的性质, 根据平行四边形的性质可以解决一些有关的计算或证明问题;
(2)平行四边形的判定有四种方法: 两组对边平行; 两组对边分别相等; 一组对边平行且相等; 对角线互相平分． 【中考变形】
1．[2016·益阳]如图Z11－2, 在▱ABCD中, AE⊥BD于点E, CF⊥BD于点F, 连结AF, CE. 求证: AF＝CE.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD＝BC, ∠ADB＝∠CBD. 又∵AE⊥BD, CF⊥BD, ∴∠AED＝∠CFB, AE∥CF.
图Z11－1
图Z11－2
∴△AED≌△CFB(AAS)．∴AE＝CF. ∴四边形AECF是平行四边形．∴AF＝CE.
2．[2016·黄冈]如图Z11－3, 在▱ABCD中, E, F分别为边AD, BC的中点, 对角线AC分别交BE, DF于点G, H.求证: AG＝CH.
证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠ADF＝∠CFH, ∠EAG＝∠FCH, ∵E, F分别为AD, BC边的中点, 11
∴AE＝DE＝2AD, CF＝BF＝2BC, ∵AD＝BC, ∴AE＝CF＝DE＝BF.
∵DE∥BF, ∴四边形BFDE是平行四边形, ∴BE∥DF, ∴∠AEG＝∠ADF, ∴∠AEG＝∠CFH,
图Z11－3
∠EAG＝∠FCH，
在△AEG和△CFH中, AE＝CF，
∠AEG＝∠CFH，
∴△AEG≌△CFH(ASA), ∴AG＝CH. 【中考预测】
[2016·义乌模拟]如图Z11－4, 已知E, F分别是▱ABCD的边BC, AD上的点, 且BE＝DF. (1)求证: 四边形AECF是平行四边形;
(2)若四边形AECF是菱形, 且BC＝10, ∠BAC＝90°, 求BE的长．
解: (1)证明: ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, 且AD＝BC, ∵BE＝DF, ∴AF＝EC, ∴四边形AECF是平行四边形; (2)如答图, ∵四边形AECF是菱形, ∴AE＝EC,
图Z11－4
∴∠1＝∠2, ∵∠BAC＝90°,
∴∠3＝90°－∠2, ∠4＝90°－∠1, ∴∠3＝∠4, ∴AE＝BE, 1
∴BE＝AE＝CE＝2BC＝5.
中考预测答图
类型之二 以矩形、菱形或正方形为背景的计算与证明 【经典母题】
如图Z11－5, 在菱形ABCD中, E, F分别是BC, CD的中点, 且AE⊥BC, AF⊥CD.求菱形各个内角的度数．
图Z11－5 解: 如答图, 连结AC.
经典母题答图
∵四边形ABCD是菱形, AE⊥BC, AF⊥CD且E, F分别为BC, CD的中点, ∴AC＝AB＝AD＝BC＝CD, ∴△ABC, △ACD均为等边三角形,
∴菱形ABCD的四个内角度数分别为∠B＝∠D＝60°, ∠BAD＝∠BCD＝120°.
【思想方法】 要掌握矩形、菱形、正方形的性质和判定方法, 采用类比法, 比较它们的区别和联系．对于矩形的性质, 重点从“四对”入手, 即从对边、对角、对角线及对称轴入手; 判定菱形可以从一般四边形入手, 也可以从平行四边形入手; 正方形既具有矩形的性质又具有菱形的性质． 【中考变形】
1．[2017·日照]如图Z11－6, 已知BA＝AE＝DC, AD＝EC, CE⊥AE, 垂足为E. (1)求证: △DCA≌△EAC;
(2)只需添加一个条件, 即__AD＝BC__, 可使四边形ABCD为矩形．请加以证明． 解: (1)证明: 在△DCA和△EAC中,
图Z11－6
DC＝EA，
AD＝CE，∴△DCA≌△EAC(SSS); AC＝CA，
(2)添加AD＝BC, 可使四边形ABCD为矩形．理由如下: ∵AB＝DC, AD＝BC, ∴四边形ABCD是平行四边形,
∵CE⊥AE, ∴∠E＝90°,
由(1)得△DCA≌△EAC, ∴∠D＝∠E＝90°,
∴四边形ABCD为矩形．故答案为AD＝BC(答案不唯一)． 2．[2017·白银]如图Z11－7, 矩形ABCD中, AB＝6, BC＝4, 过对角线BD中点O的直线分别交AB, CD边于点E, F.
(1)求证: 四边形BEDF是平行四边形; (2)当四边形BEDF是菱形时, 求EF的长．
解: (1)证明: ∵四边形ABCD是矩形, O是BD的中点, ∴AB∥DC, OB＝OD,
∴∠OBE＝∠ODF, 在△BOE和△DOF中,
图Z11－7
∠OBE＝∠ODF， OB＝OD，∴△BOE≌△DOF(ASA), ∠BOE＝∠DOF，
∴EO＝FO, ∴四边形BEDF是平行四边形; (2)当四边形BEDF是菱形时, BD⊥EF, 设BE＝x, 则 DE＝x, AE＝6－x, 在Rt△ADE中, DE2＝AD2＋AE2, ∴x2＝42＋(6－x)2,
13
解得x＝3, ∵BD＝AD2＋AB2＝213, 1
∴OB＝2BD＝13, ∵BD⊥EF,
213413
∴OE＝BE2－OB2＝3, ∴EF＝2EO＝3. 3．[2017·盐城]如图Z11－8, 矩形ABCD中, ∠ABD, ∠CDB的平分线BE, DF分别交边AD, BC于点E, F. (1)求证: 四边形BEDF是平行四边形;
(2)当∠ABE为多少度时, 四边形BEDF是菱形？请说明理由．
解: (1)证明: ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB∥DC, AD∥BC, ∴∠ABD＝∠CDB,
图Z11－8
∵BE平分∠ABD, DF平分∠BDC, 11
∴∠EBD＝2∠ABD, ∠FDB＝2∠BDC, ∴∠EBD＝∠FDB, ∴BE∥DF,
又∵AD∥BC, ∴四边形BEDF是平行四边形; (2)当∠ABE＝30°时, 四边形BEDF是菱形, 理由: ∵BE平分∠ABD,
∴∠ABD＝2∠ABE＝60°, ∠EBD＝∠ABE＝30°, ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A＝90°, ∴∠EDB＝90°－∠ABD＝30°, ∴∠EDB＝∠EBD＝30°, ∴EB＝ED,
又∵四边形BEDF是平行四边形, ∴四边形BEDF是菱形． 4．[2016·株洲]如图Z11－9, 在正方形ABCD中, BC＝3, E, F分别是CB, CD延长线上的点, DF＝BE, 连结AE, AF, 过点A作AH⊥ED于H点． (1)求证: △ADF≌△ABE; (2)若BE＝1, 求tan∠AED的值． 解: (1)证明: 正方形ABCD中, ∵AD＝AB, ∠ADC＝∠ABC＝90°, ∴∠ADF＝∠ABE＝90°, 在△ADF与△ABE中,
AD＝AB, ∠ADF＝∠ABE, DF＝BE, ∴△ADF≌△ABE(SAS);
(2)在Rt△ABE中, ∵AB＝BC＝3, BE＝1, ∴AE＝10, ED＝CD2＋CE2＝5, 119∵S△AED＝2ED·AH＝2AD·BA＝2, 9
∴AH＝5, 12
在Rt△AHD中, DH＝AD2－AH2＝5, 图Z11－9
13AH9
∴EH＝ED－DH＝5, ∴tan∠AED＝EH＝13.
5．[2017·上海]已知: 如图Z11－10, 四边形ABCD中, AD∥BC, AD＝CD, E是对角线BD上一点, 且EA＝EC. (1)求证: 四边形ABCD是菱形;
(2)如果BE＝BC, 且∠CBE∶∠BCE＝2∶3, 求证: 四边形ABCD是正方形．
证明: (1)在△ADE与△CDE中,
图Z11－10
AD＝CD，
DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SSS), ∴∠ADE＝∠CDE, EA＝EC，
∵AD∥BC, ∴∠ADE＝∠CBD, ∴∠CDE＝∠CBD, ∴BC＝CD, ∵AD＝CD, ∴BC＝AD, ∴四边形ABCD为平行四边形, ∵AD＝CD, ∴四边形ABCD是菱形; (2)∵BE＝BC, ∴∠BCE＝∠BEC, ∵∠CBE∶∠BCE＝2∶3, ∴∠CBE＝180×
2
＝45°,
2＋3＋3
∵四边形ABCD是菱形,
∴∠ABE＝45°, ∴∠ABC＝90°, ∴四边形ABCD是正方形．
6．如图Z11－11, 正方形ABCD的边长为8 cm, E, F, G, H分别是AB, BC, CD, DA上的动点, 且AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证: 四边形EFGH是正方形;
(2)判断直线EG是否经过某一定点, 说明理由; (3)求四边形EFGH面积的最小值．
解: (1)证明: ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A＝∠B＝90°, AB＝DA,
∵AE＝DH＝BF, ∴BE＝AH, ∴△AEH≌△BFE(SAS), ∴EH＝FE, ∠AHE＝∠BEF, 同理, FE＝GF＝HG, ∴EH＝FE＝GF＝HG, ∴四边形EFGH是菱形,
图Z11－11 中考变形6答图
∵∠A＝90°, ∴∠AHE＋∠AEH＝90°, ∴∠BEF＋∠AEH＝90°, ∴∠FEH＝90°, ∴四边形EFGH是正方形; (2)直线EG经过正方形ABCD的中心． 理由: 如答图, 连结BD交EG于点O. ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB∥DC, AB＝DC, ∴∠EBD＝∠GDB, ∵AE＝CG, ∴BE＝DG,
∵∠EOB＝∠GOD, ∴△EOB≌△GOD(AAS), ∴BO＝DO, 即O为BD的中点, ∴直线EG经过正方形ABCD的中心; (3)设AE＝DH＝x, 则AH＝8－x,
在Rt△AEH中, EH2＝AE2＋AH2＝x2＋(8－x)2＝2x2－16x＋＝2(x－4)2＋32, ∵S四边形EFGH＝EH·EF＝EH2,
∴四边形EFGH面积的最小值为32 cm2. 【中考预测】
如图Z11－12, 在四边形ABCD中, AB＝AD, CB＝CD, E是CD上一点, BE交AC于点F, 连结DF.
图Z11－12
(1)求证: ∠BAC＝∠DAC, ∠AFD＝∠CFE; (2)若AB∥CD, 试证明四边形ABCD是菱形;
(3)在(2)的条件下, 试确定点E的位置, 使∠EFD＝∠BCD, 并说明理由． 解: (1)证明: ∵AB＝AD, CB＝CD, AC＝AC, ∴△ABC≌△ADC(SSS), ∴∠BAC＝∠DAC. ∵AB＝AD, ∠BAF＝∠DAF, AF＝AF, ∴△ABF≌△ADF(SAS), ∴∠AFB＝∠AFD. 又∵∠CFE＝∠AFB, ∴∠AFD＝∠CFE; (2)证明: ∵AB∥CD, ∴∠BAC＝∠ACD.
又∵∠BAC＝∠DAC, ∴∠DAC＝∠ACD, ∴AD＝CD. ∵AB＝AD, CB＝CD, ∴AB＝CB＝CD＝AD, ∴四边形ABCD是菱形;
(3)当BE⊥CD时, ∠EFD＝∠BCD.理由: ∵四边形ABCD为菱形, ∴BC＝CD, ∠BCF＝∠DCF. 又∵CF为公共边, ∴△BCF≌△DCF(SAS), ∴∠CBF＝∠CDF.
∵BE⊥CD, ∴∠BEC＝∠DEF＝90°, ∴∠CBF＋∠BCD＝∠CDF＋∠EFD, ∴∠EFD＝∠BCD.
专题提升(十二) 与圆的切线有关的计算与证明
类型之一 与切线的性质有关的计算或证明
【经典母题】
如图Z12－1, ⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点, 若∠P＝30°, ⊙O的半径为1, 则PB的长为__1__．
图Z12－1 经典母题答图
【解析】 如答图, 连结OC.
∵PC为⊙O的切线, ∴∠PCO＝90°, 在Rt△OCP中, ∵OC＝1, ∠P＝30°, ∴OP＝2OC＝2, ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1.
【思想方法】 (1)已知圆的切线, 可得切线垂直于过切点的半径; (2)已知圆的切线, 常作过切点的半径, 得到切线与半径垂直． 【中考变形】
[2017·天津]已知AB是⊙O的直径, AT是⊙O的切线, ∠ABT＝50°, BT交⊙O于点C, E是AB上一点, 延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①, 求∠T和∠CDB的大小; (2)如图②, 当BE＝BC时, 求∠CDO的大小．
图Z12－2
解: (1)如答图①, 连结AC,
∵AT是⊙O的切线, AB是⊙O的直径, ∴AT⊥AB, 即∠TAB＝90°,
∵∠ABT＝50°, ∴∠T＝90°－∠ABT＝40°,
由AB是⊙O的直径, 得∠ACB＝90°,
∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°, ∴∠CDB＝∠CAB＝40°;
中考变形答图① 中考变形答图②
(2)如答图②, 连结AD,
在△BCE中, BE＝BC, ∠EBC＝50°,
∴∠BCE＝∠BEC＝65°, ∴∠BAD＝∠BCD＝65°, ∵OA＝OD, ∴∠ODA＝∠OAD＝65°, ∵∠ADC＝∠ABC＝50°,
∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】
[2017·宿迁]如图Z12－3, AB与⊙O相切于点B, BC为⊙O的弦, OC⊥OA, OA与BC相交于点P. (1)求证: AP＝AB;
(2)若OB＝4, AB＝3, 求线段BP的长．
图Z12－3 中考预测答图
解: (1)证明: ∵OC＝OB, ∴∠OCB＝∠OBC, ∵AB是⊙O的切线, ∴OB⊥AB,
∴∠OBA＝90°, ∴∠ABP＋∠OBC＝90°, ∵OC⊥AO, ∴∠AOC＝90°,
∴∠OCB＋∠CPO＝90°, ∵∠APB＝∠CPO, ∴∠APB＝∠ABP, ∴AP＝AB;
(2)如答图, 作OH⊥BC于H.在Rt△OAB中, ∵OB＝4, AB＝3, ∴OA＝32＋42＝5, ∵AP＝AB＝3, ∴PO＝2.
在Rt△POC中, PC＝OC2＋OP2＝25, 11
∵2PC·OH＝2OC·OP, OP·OC45PC＝5,
85
∴CH＝ OC2－OH2＝,
5∴OH＝
165
∵OH⊥BC, ∴CH＝BH, ∴BC＝2CH＝5,
16565
∴BP＝BC－PC＝－25＝.
55类型之二 与切线的判定有关的计算或证明 【经典母题】
已知: 如图Z12－4, A是⊙O外一点, AO的延长线交⊙O于点C, 点B在圆上, 且AB＝BC, ∠A＝30°, 求证: 直线AB是⊙O的切线．
图Z12－4 经典母题答图
证明: 如答图, 连结OB,
∵OB＝OC, AB＝BC, ∠A＝30°, ∴∠OBC＝∠C＝∠A＝30°, ∴∠AOB＝∠C＋∠OBC＝60°.
∵∠ABO＝180°－(∠AOB＋∠A)＝180°－(60°＋30°)＝90°, ∴AB⊥OB, 又∵OB为⊙O半径, ∴AB是⊙O的切线．
【思想方法】 证明圆的切线常用两种方法“作半径, 证垂直”或者“作垂直, 证半径”． 【中考变形】
1．[2016·黄石]如图Z12－5, ⊙O的直径为AB, 点C在圆周上(异于A, B), AD⊥
CD.
(1)若BC＝3, AB＝5, 求AC的值;
(2)若AC是∠DAB的平分线, 求证: 直线CD是⊙O的切线．
图Z12－5 中考变形1答图
解: (1)∵AB是⊙O直径, C在⊙O上, ∴∠ACB＝90°, 又∵BC＝3, AB＝5, ∴由勾股定理, 得AC＝4; (2)证明: 如答图, 连结OC, ∵AC是∠DAB的平分线, ∴∠DAC＝∠BAC,
又∵AD⊥DC, ∴∠ADC＝∠ACB＝90°, ∴△ADC∽△ACB, ∴∠DCA＝∠CBA, 又∵OA＝OC, ∴∠OAC＝∠OCA,
∵∠OAC＋∠OBC＝90°, ∴∠OCA＋∠ACD＝∠OCD＝90°, ∴直线CD是⊙O的切线．
2．[2017·南充]如图Z12－6, 在Rt△ACB中, ∠ACB＝90°, 以AC为直径作⊙O交AB于点D, E为BC的中点, 连结DE并延长交AC的延长线点F. (1)求证: DE是⊙O的切线;
(2)若CF＝2, DF＝4, 求⊙O直径的长．
图Z12－6 中考变形2答图
【解析】 (1)连结OD, 欲证DE是⊙O的切线, 需证OD⊥DE, 即需证∠ODE
＝90°, 而∠ACB＝90°, 连结CD, 根据“等边对等角”可知∠ODE＝∠OCE＝90°, 从而得证;
(2)在Rt△ODF中, 利用勾股定理建立关于半径的方程求解． 解: (1)证明: 如答图, 连结OD, CD. ∵AC是⊙O的直径, ∴∠ADC＝90°. ∴∠BDC＝90°.又∵E为BC的中点, 1
∴DE＝2BC＝CE, ∴∠EDC＝∠ECD. ∵OD＝OC, ∴∠ODC＝∠OCD.
∴∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°. ∴∠ODE＝90°, ∴DE是⊙O的切线;
(2)设⊙O的半径为x.在Rt△ODF中, OD2＋DF2＝OF2, 即x2＋42＝(x＋2)2, 解得x＝3.∴⊙O的直径为6. 【中考预测】
如图Z12－7, AB是⊙O的直径, 点C, D在⊙O上, ∠A＝2∠BCD, 点E在AB的延长线上, ∠AED＝∠ABC. (1)求证: DE与⊙O相切;
(2)若BF＝2, DF＝10, 求⊙O的半径．
图Z12－7 中考预测答图
解: (1)证明: 如答图, 连结OD. ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB＝90°, ∴∠A＋∠ABC＝90°,
∵∠BOD＝2∠BCD, ∠A＝2∠BCD, ∴∠BOD＝∠A,
∵∠AED＝∠ABC, ∴∠BOD＋∠AED＝90°, ∴∠ODE＝90°, 即OD⊥DE, ∴DE与⊙O相切; (2)如答图, 连结BD, 过点D作DH⊥BF于点H.
∵DE与⊙O相切, ∴∠ACD＋∠BCD＝∠ODB＋∠BDE＝90°, ∵∠ACD＝∠OBD, ∠OBD＝∠ODB, ∴∠BDE＝∠BCD, ∵∠AED＝∠ABC, ∴∠AFC＝∠DBF,
∵∠AFC＝∠DFB, ∴△ACF与△FDB都是等腰三角形, 1
∴FH＝BH＝2BF＝1, ∴HD＝DF2－FH2＝3,
在Rt△ODH中, OH2＋DH2＝OD2, 即(OD－1)2＋32＝OD2, ∴OD＝5.即⊙O的半径是5.
专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与
证明
【经典母题】
如图Z13－1, DB为半圆的直径, A为BD延长线上的一点, AC切半圆于点E, BC⊥AC于点C, 交半圆于点F.已知AC＝12, BC＝9, 求AO的长．
图Z13－1 经典母题答图
解: 如答图, 连结OE, 设⊙O的半径是R, 则OE＝OB＝R. 在Rt△ACB中, 由勾股定理, 得 AB＝AC2＋BC2＝15.
∵AC切半圆O于点E, ∴OE⊥AC, ∴∠OEA＝90°＝∠C, ∴OE∥BC, ∴△AEO∽△ACB,
OEAOR15－R45∴BC＝AB, ∴9＝15, 解得R＝8, 75
∴AO＝AB－OB＝15－R＝8.
【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形, 从而得到相似三角形, 利用比例线段求AO的长． 【中考变形】
1．如图Z13－2, 在Rt△ACB中, ∠ACB＝90°, O是AC边上的一点, 以O为圆心, OC为半径的圆与AB相切于点D, 连结OD. (1)求证: △ADO∽△ACB;
(2)若⊙O的半径为1, 求证: AC＝AD·BC. 证明: (1)∵AB是⊙O的切线, ∴OD⊥AB, ∴∠C＝∠ADO＝90°, ∵∠A＝∠A, ∴△ADO∽△ACB;
ADOD(2)由(1)知, △ADO∽△ACB.∴AC＝BC, ∴AD·BC＝AC·OD, ∵OD＝1, ∴AC＝AD·BC.
2．[2017·德州]如图Z13－3, 已知Rt△ABC, ∠C＝90°, D为BC的中点, 以AC为直径的⊙O交AB于点E. (1)求证: DE是⊙O的切线;
(2)若AE∶EB＝1∶2, BC＝6, 求AE的长．
图Z13－2
图Z13－3 中考变形2答图
解: (1)证明: 如答图, 连结OE, EC, ∵AC是⊙O的直径, ∴∠AEC＝∠BEC＝90°, ∵D为BC的中点, ∴ED＝DC＝BD, ∴∠1＝∠2, ∵OE＝OC, ∴∠3＝∠4,
∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4, 即∠OED＝∠ACB,
∵∠ACB＝90°, ∴∠OED＝90°, ∴DE是⊙O的切线; (2)由(1)知∠BEC＝90°,
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中, ∠B＝∠B, ∠BEC＝∠BCA,
BEBC
∴△BEC∽△BCA, ∴BC＝BA, ∴BC2＝BE·BA, ∵AE∶EB＝1∶2, 设AE＝x, 则BE＝2x, BA＝3x,
∵BC＝6, ∴62＝2x·3x, 解得x＝ 6, 即AE＝ 6.
3．如图Z13－4, 已知AB是⊙O的直径, BC⊥AB, 连结OC, 弦AD∥OC, 直线CD交BA的延长线于点E. (1)求证: 直线CD是⊙O的切线; (2)若DE＝2BC, 求AD∶OC的值．
图Z13－4
解: (1)证明: 如答图, 连结DO. ∵AD∥OC,
∴∠DAO＝∠COB, ∠ADO＝∠COD. ∵OA＝OD, ∴∠DAO＝∠ADO, ∴∠COD＝∠COB.
又∵CO＝CO, OD＝OB, ∴△COD≌△COB(SAS), ∴∠CDO＝∠CBO＝90°, 即OD⊥CD. 又∵点D在⊙O上, ∴直线CD是⊙O的切线; (2)由(1)知, △COD≌△COB, ∴CD＝CB. ∵DE＝2BC, ∴DE＝2CD.∵AD∥OC, ADDE∴△EDA∽△ECO, ∴OC＝CE＝DE2
＝3. DE＋CD
中考变形3答图
4．[2016·广东]如图Z13－5, ⊙O是△ABC的外接圆, BC是⊙O的直径, ∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD, 与CA的延长线交于点D, 与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF, 与直径BC的延长线交于点F. (1)求证: △ACF∽△DAE; 3
(2)若S△AOC＝4, 求DE的长;
(3)连结EF, 求证: EF是⊙O的切线．
图Z13－5
解: (1)证明: ∵BC为⊙O的直径, ∴∠BAC＝90°, 又∵∠ABC＝30°, ∴∠ACB＝60°, 又∵OA＝OC,
∴△OAC为等边三角形, 即∠OAC＝∠AOC＝60°, ∵AF为⊙O的切线, ∴∠OAF＝90°, ∴∠CAF＝∠AFC＝30°,
∵DE为⊙O的切线, ∴∠DBC＝∠OBE＝90°,
中考变形4答图
∴∠D＝∠DEA＝30°, ∴∠D＝∠CAF, ∠DEA＝∠AFC, ∴△ACF∽△DAE;
33
(2)∵△AOC为等边三角形, ∴S△AOC＝4OA2＝4, ∴OA＝1, BC＝2, OB＝1, 又∵∠D＝∠BEO＝30°, ∴BD＝23, BE＝3, ∴DE＝33;
(3)证明: 如答图, 过点O作OM⊥EF于点M, ∵OA＝OB, ∠OAF＝∠OBE＝90°, ∠BOE＝∠AOF, ∴△OAF≌△OBE(SAS), ∴OE＝OF, ∵∠EOF＝120°, ∴∠OEM＝∠OFM＝30°, ∴∠OEB＝∠OEM＝30°, 即OE平分∠BEF, 又∵∠OBE＝∠OME＝90°, ∴OM＝OB, ∴EF为⊙O的切线．
5．[2017·株洲]如图Z13－6, AB为⊙O的一条弦, 点C为劣弧AB的中点, E为优弧AB上一点, 点F在AE的延长线上, 且BE＝EF, 线段CE交弦AB于点D.
(1)求证: CE∥BF;
(2)若BD＝2, 且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5, 求△BCD的面积．
图Z13－6
中考变形5答图
解: (1)证明: 如答图, 连结AC, BE, 作直线OC, ∵BE＝EF, ∴∠F＝∠EBF, ∵∠AEB＝∠EBF＋∠F, 1
∴∠F＝ 2∠AEB,
︵︵︵
∵C是AB的中点, ∴AC＝BC,
∴∠AEC＝∠BEC, ∵∠AEB＝∠AEC＋∠BEC, 1
∴∠AEC＝∠AEB, ∴∠AEC＝∠F, ∴CE∥BF;
2(2)∵∠DAE＝∠DCB, ∠AED＝∠CEB, ADAEAD3
∴△ADE∽△CBE, ∴CB＝CE, 即CB＝, 5∵∠CBD＝∠CEB, ∠BCD＝∠ECB, ∴△CBE∽△CDB, BDBE21 ∴CB＝CE, 即CB＝, 5∴CB＝25, ∴AD＝6, ∴AB＝8, ∵点C为劣弧AB的中点,
1
∴OC⊥AB, 设垂足为G, 则AG＝BG＝2AB＝4, ∴CG＝CB2－BG2＝2, 11
∴S△BCD＝2BD·CG＝2×2×2＝2.
6．如图Z13－7, AB是⊙O的直径, C为⊙O上一点, AE和过点C的切线互相垂
直, 垂足为E, AE交⊙O于点D, 直线EC交AB的延长线于点P, 连结AC, BC, PB∶PC＝1∶2.
(1)求证: AC平分∠BAD;
(2)探究线段PB, AB之间的数量关系, 并说明理由．
图Z13－7 中考变形6答图
解: (1)证明: 如答图, 连结OC. ∵PE是⊙O的切线, ∴OC⊥PE, ∵AE⊥PE, ∴OC∥AE, ∴∠DAC＝∠OCA,
∵OA＝OC, ∴∠OCA＝∠OAC, ∴∠DAC＝∠OAC, ∴AC平分∠BAD;
(2)线段PB, AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由: ∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB＝90°, ∴∠BAC＋∠ABC＝90°, ∵OB＝OC, ∴∠OCB＝∠ABC,
∵∠PCB＋∠OCB＝90°, ∴∠PCB＝∠PAC, ∵∠P是公共角, ∴△PCB∽△PAC, PCPB
∴PA＝PC, ∴PC2＝PB·PA, ∵PB∶PC＝1∶2, ∴PC＝2PB, ∴PA＝4PB, ∴AB＝3PB.
7．[2016·枣庄]如图Z13－8, AC是⊙O的直径, BC是⊙O的弦, P是⊙O外一点, 连结PA, PB, AB, 已知∠PBA＝∠C. (1)求证: PB是⊙O的切线;
(2)连结OP, 若OP∥BC, 且OP＝8, ⊙O的半径为22, 求BC的长．
图Z13－8 中考变形7答图
解: (1)证明: 如答图, 连结OB, ∵AC是⊙O的直径,
∴∠ABC＝90°, ∠C＋∠BAC＝90°. ∵OA＝OB, ∴∠BAC＝∠OBA, ∵∠PBA＝∠C,
∴∠PBA＋∠OBA＝90°, 即PB⊥OB. ∴PB是⊙O的切线;
(2)⊙O的半径为22, ∴OB＝22, AC＝42, ∵OP∥BC, ∴∠BOP＝∠OBC＝∠C,
又∵∠ABC＝∠PBO＝90°, ∴△ABC∽△PBO, BCACBC42 ∴BO＝PO, 即＝8, ∴BC＝2.
22
8．[2017·聊城]如图Z13－9, ⊙O是△ABC的外接圆, O点在BC边上, ∠BAC的平分线交⊙O于点D, 连结BD, CD, 过点D作BC的平行线, 与AB的延长线相交于点P.
(1)求证: PD是⊙O的切线; (2)求证: △PBD∽△DCA;
(3)当AB＝6, AC＝8时, 求线段PB的长．
解: (1)证明: ∵圆心O在BC上, ∴BC是⊙O的直径,
图Z13－9 中考变形8答图
∴∠BAC＝90°, 如答图, 连结OD, ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAC＝2∠DAC, ∵∠DOC＝2∠DAC,
∴∠DOC＝∠BAC＝90°, 即OD⊥BC, ∵PD∥BC, ∴OD⊥PD, ∵OD为⊙O的半径, ∴PD是⊙O的切线;
(2)证明: ∵PD∥BC, ∴∠P＝∠ABC, ∵∠ABC＝∠ADC, ∴∠P＝∠ADC,
∵∠PBD＋∠ABD＝180°, ∠ACD＋∠ABD＝180°, ∴∠PBD＝∠ACD, ∴△PBD∽△DCA; (3)∵△ABC为直角三角形,
∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100, ∴BC＝10, ∵OD垂直平分BC, ∴DB＝DC, ∵BC为⊙O的直径, ∴∠BDC＝90°,
在Rt△DBC中, DB2＋DC2＝BC2, 即2DC2＝BC2＝100, ∴DC＝DB＝52, ∵△PBD∽△DCA, DC·BD52×5225PBBD
∴DC＝AC, 即PB＝AC＝＝4.
8【中考预测】
[2017·黄冈模拟]如图Z13－10, AB为⊙O的直径, CD与⊙O相切于点C, 且OD⊥BC, 垂足为F, OD交⊙O于点E.证明: (1)∠D＝∠AEC; (2)OA2＝OD·OF.
图Z13－10 中考预测答图
证明: (1)如答图, 连结OC, ∵CD与⊙O相切于点C, ∴∠OCD＝90°. ∴∠OCB＋∠DCF＝90°.
∵∠D＋∠DCF＝90°, ∴∠OCB＝∠D, ∵OB＝OC, ∴∠OCB＝∠B, ∵∠B＝∠AEC, ∴∠D＝∠AEC; (2)∵∠B＝∠AEC, ∴∠D＝∠B, ∵OD⊥BC, ∴∠BFO＝∠OCD＝90°, OCODOAOD
∴△BOF∽△DOC, ∴OF＝OB, 即OF＝OA, ∴OA2＝OD·OF.
专题提升(十四) 利用解直角三角形测量物体高度
或宽度
【经典母题】
如图Z14－1, 测得两楼之间的距离为32.6 m, 从楼顶点A观测点D的俯角为35°12′, 点C的俯角为43°24′, 求这两幢楼的高度．(精确到0.1 m) 解: 略．
【思想方法】 利用解直角三角形测物高是常见的考题,
通过作垂线将实际问题转化为解直角三角形的问题, 然后利用解直角三角形的知识来解决, 这是解此类问题的常规思路． 【中考变形】
1．[2016·长沙]如图Z14－2, 热气球的探测器显示, 从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为30°, 看这栋楼底部C处的俯角为60°, 热气球A处与楼的水平距离为120 m, 则这栋楼的高度为
( A )
图Z14－1
图Z14－2
A．1603 m B．1203 m C．300 m D．1602 m
2．[2017·内江]如图Z14－3, 某人为了测量小山顶上的塔ED的高, 他在山下的点A处测得塔尖点D的仰角为45°, 再沿AC方向前进60 m到达山脚点B, 测得塔尖点D的仰角为60°, 塔底点E的仰角为30°, 求塔ED的高度． (结果保留根号)
【解析】 先求出∠DBE＝30°, ∠BDE＝30°,
图Z14－3
得出BE＝DE, 设EC＝x, 则BE＝2x, DE＝2x, DC＝3x, BC＝3x, 再根据∠DAC＝45°, 可得AC＝CD, 列出方程求出x的值, 即可求出塔ED的高度．
解: 由题意, 得∠DBC＝60°, ∠EBC＝30°, ∴∠DBE＝∠DBC－∠EBC＝60°－30°＝30°.
又∵∠BCD＝90°, ∴∠BDC＝90°－∠DBC＝90°－60°＝30°. ∴∠DBE＝∠BDE.∴BE＝DE.
设EC＝x, 则DE＝BE＝2EC＝2x, DC＝EC＋DE＝3x, BC＝BE2－EC2＝3x.
∵∠DAC＝45°, ∠DCA＝90°, AB＝60, ∴△ACD为等腰直角三角形, ∴AC＝DC.
∴3x＋60＝3x, 解得x＝30＋10 3.DE＝2x＝60＋20 3, 答: 塔高约为(60＋20 3) m.
3．[2017·菏泽]如图Z14－4, 某小区1号楼与11号楼隔河相望, 李明家住在1号楼, 他很想知道11号楼的高度, 于是他做了一些测量, 他先在B点测得C点的仰角为60°, 然后到42 m高的楼顶A处, 测得C点的仰角为30°, 请你帮李明计算11号楼的高度CD.
图Z14－4 中考变形3答图
【解析】 过点A作AE⊥CD于E, 分别在Rt△BCD和Rt△ACE中, 利用锐角三角函数用BD可以分别表示CE, CD的长, 然后根据CD－CE＝AB, 即可求得CD长．
解: 如答图, 过点A作AE⊥CD于E, CD
在Rt△BCD中, tan∠CBD＝BD, ∴CD＝BD·tan60°＝ 3BD, CE在Rt△ACE中, tan∠CAE＝BD,
3
∴CE＝BD·tan30°＝3BD,
323
∴AB＝CD－CE, 即3BD－BD＝42, BD＝42, 解得BD＝21 3,
33∴CD＝BD·tan60°＝ 3BD＝63 m. 答: 11号楼的高度CD为63 m.
4．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上, 显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时, 感觉最舒适(如图Z14－5①), 侧面示意图为图②, 使用时为了散热, 她在底板下垫入散热架ACO′后, 电脑转到AO′B′位置(如图③), 侧面示意图为图④.已知OA＝OB＝24 cm, O′C⊥OA于点C, O′C＝12 cm.
图Z14－5
(1)求∠CAO′的度数;
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少厘米？
(3)如图④, 垫入散热架后, 要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°, 则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？ 解: (1)∵O′C⊥AC, O′C＝12 cm, O′A＝OA＝24 cm, ∴sin∠CAO′＝
O′C121
＝＝, O′A242
∴∠CAO′＝30°,
(2)如答图, 过点B作BD⊥AC, 交AC的延长线于点D, ∵∠BOD＝180°－∠AOB＝60°, ∴BD＝24·sin60°＝123(cm), 又∵B′C＝BO＋O′C＝24＋12＝36(cm), ∴B′C－BD＝(36－123)cm;
∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36－123)cm; (3)120°－90°＝30°,
∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°. 5．[2017·岳阳]某太阳能热水器的横截面示意图如图Z14－6所示, 已知真空热水管AB与支架CD所在直线相交于点O, 且OB＝OD.支架CD与水平线AE垂直, ∠BAC＝∠CDE＝30°, DE＝80 cm, AC＝165 cm. (1)求支架CD的长;
(2)求真空热水管AB的长．(结果均保留根号)
CD3解: (1)在Rt△CDE中, ∠CDE＝30°, DE＝80 cm, ∴cos30°＝80 ＝2, 解得CD＝403 cm;
OC3
(2)在Rt△OAC中, ∠BAC＝30°, AC＝165 cm, ∴tan30°＝165＝3, 解得OC＝553 cm,
∴OA＝2OC＝1103(cm), OB＝OD＝OC－CD＝553－403＝153(cm), AB＝OA－OB＝1103－153＝953(cm)．
中考变形4答图
图Z14－6
6．[2016·泸州]如图Z14－7, 为了测量出楼房AC的高度, 从距离楼底C处603 m的点D(点D与楼底C在同一水平面上)出发, 沿斜面坡比为i＝1∶3的斜坡DB前进30 m到达点B, 在点B处测得楼顶A的仰角为53°, 求楼房AC4
的高度．(参考数据: sin53°≈0.8, cos53°≈0.6, tan53°≈3, 结果保留根号)
图Z14－7 中考变形6答图
解: 如答图, 过点B作BN⊥CD于点N, BM⊥AC于点M.
在Rt△BDN中, BD＝30 m, BN∶ND＝1∶3, ∴∠D＝30°. ∴BN＝15 m, DN＝153 m, ∵∠C＝∠CMB＝∠CNB＝90°, ∴四边形CMBN是矩形,
∴CM＝BN＝15 m, BM＝CN＝603－153＝453(m), AM4
在Rt△ABM中, tan∠ABM＝BM≈3, ∴AM＝603 m,
∴AC＝AM＋CM＝(15＋603) m.
7．[2016·海南]如图Z14－8, 在大楼AB的正前方有一斜坡CD, CD＝4 m, 坡角∠DCE＝30°, 小红在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为60°, 在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°, 其中点A, C, E在同一直线上． (1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大楼AB的高度．(结果保留根号)
图Z14－8 中考变形7答题
解: (1)在Rt△DCE中, CD＝4 m, ∠DCE＝30°, ∠DEC＝90°, 1
∴DE＝2CD＝2(m);
(2)如答图, 过点D作DF⊥AB, 交AB于点F. ∵∠BFD＝90°, ∠BDF＝45°,
∴∠FBD＝45°, 即△BFD为等腰直角三角形, 设BF＝DF＝x(m),
∵∠DEC＝∠EAF＝∠AFD＝90°, ∴四边形DEAF为矩形,
∴AF＝DE＝2 m, 即AB＝(x＋2)m, 在Rt△ABC中, ∠ABC＝30°,
x＋22x＋43（2x＋4）AB
m, ∴BC＝＝＝＝
cos30°333
2BD＝2BF＝2x m, DC＝4 m, ∵∠DCE＝30°, ∠ACB＝60°, ∴∠DCB＝90°,
（2x＋4）2
在Rt△BCD中, 根据勾股定理, 得2x＝＋16, 解得x＝4＋43或
3
2
4－43(舍去), ∴AB＝(6＋43)m. 【中考预测】
某课桌生产厂家研究发现, 倾斜12°～24°的桌面有利于学生保持躯体自然姿势．根据这一研究, 厂家决定将水平桌面做成可调节角度的桌面．新桌面的设计图如图Z14－9①, AB可绕点A旋转, 在点C处安装一根可旋转的支撑臂CD, AC＝30 cm.
(1)如图②, 当∠BAC＝24°时, CD⊥AB, 求支撑臂CD的长;
(2)如图③, 当∠BAC＝12°时, 求AD的长．(结果保留根号, 参考数据: sin24°≈0.40, cos24°≈0.91, tan24°≈0.46, sin12°≈0.20)
图Z14－9
解: (1)∵∠BAC＝24°, CD⊥AB, CD
∴sin24°＝ AC,
∴CD＝ACsin24°≈30×0.40＝12(cm); ∴支撑臂CD的长为12 cm;
(2)如答图, 过点C作CE⊥AB于点E, ECEC
当∠BAC＝12°时, sin12°＝ AC＝30, ∴CE≈30×0.20＝6, ∵CD＝12, ∴DE＝6 3, ∴AE＝302－62＝126 cm,
∴AD的长为(126＋63)cm或(126－63)cm.
中考预测答图
专题提升(十五) 巧用旋转进行证明与计算
【经典母题】
已知等边三角形ABC(如图Z15－1)．
(1)以点A为旋转中心, 将△ABC按逆时针方向旋转30°, 作出旋转后的图形; (2)经第(1)题旋转所得的图形与△ABC之间有没有互相垂直的边？证明你的判断．
图Z15－1 经典母题答图
解: (1)如答图所示;
(2)AD⊥BC, DE⊥AC, AB⊥AE.证明略．
【思想方法】 旋转前、后的图形全等, 所以借此可以在较复杂的图形中发现等量(或全等)关系, 或通过旋转(割补)图形, 把分散的已知量聚合起来, 便于打通解题思路, 找到解题突破口． 【中考变形】
1．如图Z15－2, 已知△ABC和△DCE均是等边三角形, 点B, C, E在同一条直线上, AE与BD交于点O, AE与CD交于点G, AC与BD交于点F, 连结OC, FG, 则下列结论: ①AE＝BD; ②AG＝BF; ③FG∥BE; ④∠BOC＝∠EOC, 其中正确结论的个数是
( D )
图Z15－2
A．1个 C．3个
B．2个 D．4个
2．如图Z15－3, P是等腰直角三角形ABC外一点, 把BP绕点B顺时针旋转90°到BP′, 已知∠AP′B＝135°, P′A∶P′C＝1∶3, 则P′A∶PB＝( B ) A．1∶2 C.3∶2
B．1∶2 D．1∶3
图Z15－3
中考变形2答图
【解析】 如答图, 连结AP, PP′, ∵BP绕点B顺时针旋转90°到BP′, ∴BP＝BP′, ∠ABP＋∠ABP′＝90°.∵△ABC是等腰直角三角形, ∴AB＝BC, ∠CBP′＋∠ABP′＝90°, ∴∠ABP＝∠CBP′.在△ABP和△CBP′中,
BP＝BP′，
∠ABP＝∠CBP′， AB＝CB，
∴△ABP≌△CBP′(SAS), ∴AP＝P′C.∵P′A∶P′C＝1∶3, ∴AP＝3P′A. ∵△PBP′是等腰直角三角形, ∴∠BP′P＝45°, PP′＝2PB.∵∠AP′B＝135°, ∴∠AP′P＝135°－45°＝90°, ∴△APP′是直角三角形．设P′A＝x, 则AP＝3x, 根据勾股定理, 得PP′＝AP2－P′A2＝（3x）2－x2＝22x, ∴P′B＝PB＝2x, ∴P′A∶PB＝x∶2x＝1∶2.
3．[2017·徐州]如图Z15－4, 已知AC⊥BC, 垂足为C, AC＝4, BC＝33, 将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°, 得到线段AD, 连结DC, DB. (1)线段DC＝__4__; (2)求线段DB的长度．
图Z15－4
解: (1)∵AC＝AD, ∠CAD＝60°, ∴△ACD是等边三角形, ∴DC＝AC＝4; (2)如答图, 作DE⊥BC于点E. ∵△ACD是等边三角形, ∴∠ACD＝60°, 又∵AC⊥BC,
∴∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°,
中考变形3答图
13在Rt△CDE中, DE＝2DC＝2, CE＝DC·cos30°＝4×2 ＝23, ∴BE＝BC－CE＝33－23＝3.
在Rt△BDE中, BD＝DE2＋BE2＝22＋（3）2＝7.
4．如图Z15－5①, 在△ABC中, AE⊥BC于点E, AE＝BE, D是AE上的一点, 且DE＝CE, 连结BD, CD.
(1)判断BD与AC的位置关系和数量关系, 并给出证明;
(2)如图②, 若将△DCE绕点E旋转一定的角度后, BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化？为什么？
(3)如图③, 将(2)中的等腰直角三角形都换成等边三角形, 其他条件不变, 求BD与AC夹角的度数．
图Z15－5
解: (1)BD与AC的位置关系是BD⊥AC, 数量关系是BD＝AC.证明:
如答图①, 延长BD交AC于点F. ∵AE⊥BC于点E, ∴∠BED＝∠AEC＝90°. ∵AE＝BE, DE＝CE, ∴△DBE≌△CAE(SAS),
∴BD＝AC, ∠DBE＝∠CAE, ∠BDE＝∠ACE. ∵∠BDE＝∠ADF, ∴∠ADF＝∠ACE.
∵∠ACE＋∠CAE＝90°, ∴∠ADF＋∠CAE＝90°, ∴BD⊥AC; (2)否．证明: 如答图②, AC与BD交于点F, ∵∠AEB＝∠DEC＝90°,
∴∠AEB＋∠AED＝∠DEC＋∠AED,
中考变形4答图②
即∠BED＝∠AEC. ∵AE＝BE, DE＝CE, ∴△BED≌△AEC(SAS),
∴BD＝AC, ∠BDE＝∠ACE, ∠DBE＝∠CAE.
∵∠BFC＝∠ACD＋∠CDE＋∠BDE＝∠ACD＋∠CDE＋∠ACE＝90°,
中考变形4答图①
∴BD⊥AC;
(3)如答图③, AC与BD交于点F. ∵△ABE和△DEC是等边三角形,
∴AE＝BE, DE＝EC, ∠EDC＝∠DCE＝60°, ∠BEA＝∠DEC＝60°,
∴∠BEA＋∠AED＝∠DEC＋∠AED, ∴∠BED＝∠AEC, 在△BED和△AEC中,
中考变形4答图③
BE＝AE，
∠BED＝∠AEC，∴△BED≌△AEC(SAS), ∴∠BDE＝∠ACE, DE＝CE，
∴∠DFC＝180°－(∠BDE＋∠EDC＋∠DCF)＝60°, ∴BD与AC的夹角度数为60°或120°. 5．阅读下面的材料:
小伟遇到这样一个问题: 如图Z15－6①, 在正三角形ABC内有一点P, 且PA＝3, PB＝4, PC＝5, 求∠APB的度数．小伟是这样思考的: 如图②, 利用旋转和全等的知识构造△AP′C, 连结PP′, 得到两个特殊的三角形, 从而将问题解决．
(1)请你回答: 图①中∠APB＝__150°__; 参考小伟同学思考问题的方法, 解决下列问题:
(2)如图③, 在正方形ABCD内有一点P, 且PA＝22, PB＝1, PD＝17, 求∠APB的度数和正方形的边长．
图Z15－6
解: (1)如答图①, 把△APB绕点A逆时针旋转60°得△AP′C, 由旋转的性质, 得P′A＝PA＝3, P′C＝PB＝4, ∠PAP′＝60°,
∴△APP′是等边三角形, ∴PP′＝PA＝3, ∠AP′P＝60°, ∵PP′2＋P′C2＝32＋42＝25, PC2＝52＝25, ∴PP′2＋P′C2＝PC2, ∴∠PP′C＝90°, ∴∠AP′C＝∠AP′P＋∠PP′C＝60°＋90° ＝150°,
∴∠APB＝∠AP′C＝150°;
(2)如答图②, 把△APB绕点A逆时针旋转90°得到△AP′D, 由旋转的性质, 得P′A＝PA＝22, P′D＝PB＝1, ∠PAP′＝90°,
∴△APP′是等腰直角三角形,
中考变形5答图②
∴PP′＝2PA＝2×22＝4, ∠AP′P＝45°,
∵PP′2＋P′D2＝42＋12＝17, PD2＝(17)2＝17, ∴PP′2＋P′D2＝PD2, ∴∠PP′D＝90°,
∴∠AP′D＝∠AP′P＋∠PP′D＝45°＋90°＝135°, ∴∠APB＝∠AP′D＝135°.
∵∠APB＋∠APP′＝135°＋45°＝180°, ∴P′, P, B三点共线．
1
过点A作AE⊥PP′于点E, 则AE＝PE＝2PP′＝2, ∴BE＝PE＋PB＝2＋1＝3,
在Rt△ABE中, AB＝AE2＋BE2＝22＋32＝13. 【中考预测】
(1)如图Z15－7①, 在正方形ABCD中, △AEF的顶点E, F分别在BC, CD边上, 高线AG与正方形的边长相等, 求∠EAF的度数;
(2)如图②, 在Rt△ABD中, ∠BAD＝90°, AB＝AD, M, N是BD边上的任意两
中考变形5答图①
点, 且∠MAN＝45°, 将△ABM绕点A逆时针旋转90°至△ADH位置, 连结NH, 试判断MN2, ND2, DH2之间的数量关系, 并说明理由; (3)在图①中, 若EG＝4, GF＝6, 求正方形ABCD的边长．
图Z15－7
解: (1)在正方形ABCD中, ∠B＝∠D＝90°, ∵AG⊥EF, ∴△ABE和△AGE是直角三角形． 在Rt△ABE和Rt△AGE中, AB＝AG，AE＝AE，
∴△ABE≌△AGE(HL), ∴∠BAE＝∠GAE. 同理, ∠GAF＝∠DAF.
∴∠EAF＝∠EAG＋∠FAG＝1
2∠BAD＝45°; (2)MN2＝ND2＋DH2.
由旋转可知, ∠BAM＝∠DAH, ∵∠BAM＋∠DAN＝45°, ∴∠HAN＝∠DAH＋∠DAN＝45°. ∴∠HAN＝∠MAN.
在△AMN与△AHN中, AM＝AH，
∠MAN＝∠HAN，
AN＝AN，
∴△AMN≌△AHN(SAS), ∴MN＝HN.
∵∠BAD＝90°, AB＝AD, ∴∠B＝∠ADB＝45°, ∴∠HDN＝∠HDA＋∠ADB＝90°, ∴NH2＝ND2＋DH2, ∴MN2＝ND2＋DH2; (3)由(1)知, BE＝EG＝4, DF＝FG＝6.
设正方形ABCD的边长为x, 则CE＝x－4, CF＝x－6. ∵CE2＋CF2＝EF2, ∴(x－4)2＋(x－6)2＝102, 解得x1＝12, x2＝－2(不合题意, 舍去)． ∴正方形ABCD的边长为12.
专题提升(十六) 统计与概率的综合运用
类型之一 统计图表在实际生活中的应用 【经典母题】
如图Z16－1①表示去年某地12个月中每月的平均气温, 图②表示该地一家庭在去年12个月的用电量．根据统计图, 你能说出该家庭用电量与气温间的关系吗？
图Z16－1
解: 1月份的气温最低, 8月份的气温最高; 由条形统计图可以看出: 1月份和8月份的用电量最多．∴可得到信息: 当气温最高或最低时, 用电量最多． 【点悟】 本题考查的是条形统计图和折线统计图的综合运用．读懂统计图, 从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
【思想方法】 能看懂统计图, 从统计图中获取信息是中考的基本考题, 常见的统计图有条形统计图、扇形统计图、折线统计图和频数分布直方图．要掌握统计图表的优缺点和他们在实际生活中的应用． 【中考变形】
1．[2017·苏州]七(1)班针对“你最喜爱的课外活动项目”对全班学生进行调查(每名学生分别选一个活动项目), 并根据调查结果如图Z16－2列出统计表, 绘制成扇形统计图．
男、女生所选项目人数统计表 项目 机器人 3D打印 航模 其他 男生(人数) 7 m 2 5
女生(人数) 9 4 2 n
图Z16－2
根据以上信息解决下列问题: (1)m＝__8__, n＝__3__;
(2)扇形统计图中机器人项目所对应扇形的圆心角度数为__144°__; (3)从选航模项目的4名学生中随机选取2名学生参加学校航模兴趣小组训练, 请用列举法(画树状图或列表)求所选取的2名学生中恰好有1名男生、1名女生的概率．
解: (3)将选航模项目的2名男生编上号码1, 2, 将2名女生编上号码3, 4, 用表格列出所有可能出现的结果:
第二个 第一个 1 2 3 4 1 (2, 1) (3, 1) (4, 1) 2 (1, 2) (3, 2) (4, 2) 3 (1, 3) (2, 3) (4, 3) 4 (1, 4) (2, 4) (3, 4) 由表格可知, 共有12种可能出现的结果, 并且它们都是等可能的, 其中“182名男生、1名女生”有8种可能．∴P(1名男生、1名女生)＝12＝3.
2．[2017·重庆B卷]电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高, 内容丰富, 某校八年级模拟开展“中国诗词大赛”, 对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、 “较差”四个等级, 并根据成绩绘制成如图Z16－3两幅不完整的统计图, 请结合如图中的信息, 回答下列问题: (1)扇形统计图中“优秀”所对应扇形的圆心角为__72__度, 并将条形统计图补充完整;
(2)此次比赛有四名同学获得满分, 分别是甲、乙、丙、丁．现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛, 请用列表法或画树状图法, 求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．
图Z16－3
解: (1)360°×(1－40%－25%－15%)＝72°;
全年级总人数为45÷15%＝300(人), “良好”的人数为300×40%＝120(人), 将条形统计图补全成如答图①所示:
①
中考变形2答图
②
(2)画树状图, 如答图②所示: 共有12种等可能的结果, 选中的两名同学恰好是甲、丁的结果有2种,
21∴P(选中的同学恰好是甲、丁)＝12＝6.
【中考预测】
作为宁波市民生实事之一的公共自行车建设工作基本完成, 某部门对4月份中的7天进行了公共自行车租车量的统计, 结果如图Z16－4所示．
图Z16－4
(1)求这7天日租车量的众数、中位数和平均数; (2)用(1)中平均数估计4月份(30天)共租车多少万车次;
(3)市在公共自行车建设项目投入9 600万元, 估计全年共租车3 200万车次, 每车次平均收入租车费0.1元, 求全年租车费收入占总投入的百分比(精确到0.1%)．
解: (1)众数为8万车次, 中位数为8万车次, 平均数为8.5万车次; (2)30×8.5＝255(万车次)． 答: 估计4月份共租车255万车次; (3)3 200×0.1÷9 600≈3.3%.
答: 全年租车费收入约占总投入的3.3%. 类型之二 统计预测 【经典母题】
某校元旦文艺演出中, 10位评委给某个节目打分如下(单位: 分): 7.20, 7.25, 7.00, 7.10, 9.50, 7.30, 7.20, 7.20, 6.10, 7.25. (1)求该节目得分的平均数、中位数和众数;
(2)在平均数、中位数、众数这三个统计量中, 你认为哪一个统计量比较恰当地反映了该节目的水平？请你设计一个能较好反映节目水平的统计方案． 1
解: (1)平均数为10×(7.20＋7.25＋7.00＋7.10＋9.50＋7.30＋7.20＋7.20＋6.10＋7.25)＝7.31(分)．
∵从小到大排序后位于中间的两数为7.20和7.20, ∴中位数为7.20 分;
数据7.20出现了3次, 出现次数最多, ∴众数为7.20 分;
(2)大多数数据都比较接近众数或中位数, 故众数或中位数反眏该节目的水平．
【思想方法】 常用的统计量有平均数、众数与中位数, 极差与方差等． 【中考变形】
[2017·南京]某公司共25名员工, 下表是他们月收入的资料． 月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 人数 1 1 1 3 4 800 6 3 400 1 3 000 11 2 200 1 (1)该公司员工月收入的中位数是__3__400__元, 众数是__3__000__元; (2)根据上表, 可以算得该公司员工月收入的平均数为6 276元, 你认为用平均数、中位数和众数中的哪一个反映该公司全体员工月收入水平较为合适？说明理由．
【解析】 共有25个员工, 中位数是第13个数, 则中位数是3 400元; 3 000出现了11次, 出现的次数最多, 则众数是3 000元; 解: (2)用中位数或众数来描述更为恰当．理由:
平均数受极端值45 000元的影响, 只有3个人的工资达到了6 276元, 不恰当． 【中考预测】
中国经济的快速发展让众多国家感到不安, 随着事件、南海危机、萨德入韩等一系列事件的发生, 一再受到威胁, 所谓“国家兴亡, 匹夫有责”, 某校积极开展国防知识教育, 九年级甲、乙两班分别选5名同学参加“国防知识”比赛, 其预赛成绩如图Z16－5所示: (1)根据上图填写下表:
图Z16－5
甲班 乙班
平均数 8.5 8.5 中位数 8.5 8 众数 8.5 10 方差 0.9 1.6 (2)根据上表数据, 分别从平均数、中位数、众数、方差的角度分析哪个班的成绩较好．
解: (1)甲班的众数为8.5,
1
方差为5×[(8.5－8.5)2＋(7.5－8.5)2＋(8－8.5)2＋(8.5－8.5)2＋(10－8.5)2]＝0.7,
乙班的中位数为8;
(2)从平均数看, 两班平均数相同, 则甲、乙两班的成绩一样好; 从中位数看, 甲班的中位数大, 所以甲班的成绩较好; 从众数看, 乙班的众数大, 所以乙班的成绩较好; 从方差看, 甲班的方差小, 所以甲班的成绩更稳定．
1
在一次踏青活动中，我认识了彩虹，一个皮肤很白的小美女。
她对自己的外形不太满意，一米六的身高，体重接近130斤。听说我是跑步爱好者，她马上加了我的微信，希望能跟我一起晨跑，锻炼出一个好身材。我满口答应，承诺每天电话催她起床，到约定地点同跑。
第一天见面，彩虹让我眼前一亮：崭新的运动服、高束的马尾辫、箍在大臂上的手机袋，浑身上下都透着一股踌躇满志的精气神。
我开始跟她讲路线和跑步要领，她却摆摆手示意我“等一下”，让我先给她拍照。跑步的时候，她顺手拿着相机自拍，时而嘟嘴，时而眯眼，有时也让我停下来帮她拍几张跳跃动作。
我以为她才开始跑步，有新鲜感，拍一次就会静心锻炼。殊不知，她竟然每天晨跑都要拍照，选不同的角度，拍各种各样的跑步姿势。 后来我才发现，她拍照是为了发朋友圈。她的朋友圈里，每天都有不同的跑步图片，配上激励的文字：“跑步者，加油”“跑向更远的地方，看更美的风景”等等。
我觉得，有拍照片磨蹭的时间，还不如甩开膀子多跑几里路。一边跑，一边拍照修图，走走停停的，我真不知道这样的锻炼效果能好到哪里去。果然，鸣锣开道般的跑步运动只坚持了半个月，她就以腿痛为由，再也不肯跑了。
她说自己真没出息。我心里暗笑：你不是没出息，你只是有点假努力。努力，不需要那么多仪式感。真正的努力，都是直接朝着目标前行，并不需要做给任何人看。 2
前不久，堂嫂拿到了会计证。
堂嫂读书不多，按毕业证算来才初中学历。她一直很想跟外地打工的堂哥结束两地分居的日子，但苦于自己文化不高，又没特长，在外地不好找工作，便想着考个会计证。
她拿到证书来报喜的时候，我很惊讶。因为她报考会计证的培训班就在我家附近，我居然一点消息都不知道！我问她为什么不告诉我们，至少来市里培训可以住宿在我家，学习资料之类的我们也可以支持啊！
堂嫂说，学习是她自己的事，没必要声张。再说，刚开始的时候也不知道能不能考过，别人太高的期待反而会造成压力。为期三个月的培训，堂嫂学了两期才考过。
但睿智如堂嫂，认准了目标便一直默默努力，没有让外界因素干扰自己。真正的努力，往往都悄无声息。 3
太多的人，把努力当成了一种“人设”。
想做一件事情，还没动工，就敲锣打鼓；想达成一个目标，八字还没一撇，就高谈阔论。好像他们的努力，不是为了追求结果，而是为了把努力的形式公布于众，像完成某种仪式。
如果喊着要努力的人，都可以扎扎实实下功夫，可能这世上的遗憾也会少很多。 很多时候，我们与牛人的差距，就是差那么一点脚踏实地的真努力。
真正的努力，是“富贵本无根，尽从勤里得”的踏实；是“读书破万卷，下笔如有神”的勤奋；是“欲穷千里目，更上一层楼”的精进。 真正的努力，都不喧嚣。只需要卷起袖子，行动起来。 1、《前世今生》
从前有个书生，和未婚妻约好在某年某月某日结婚。到那一天，未婚妻却嫁给了别人。书生受此打击， 一病不起。
这时，路过一游方僧人，从怀里摸出一面镜子叫书生看。书生看到茫茫大海，一名遇害的女子一丝不挂地躺在海滩上。路过一人， 看一眼，摇摇头，走了。又路过一人，将衣服脱下，给女尸盖上，走了。再路过一人，过去，挖个坑，小心翼翼把尸体掩埋了。
僧人解释道， 那具海滩上的女尸，就是你未婚妻的前世。你是第二个路过的人，曾给过他一件衣服。她今生和你相恋，只为还你一个情。但是她最终要报答一生一世的人，是最后那个把她掩埋的人，那人就是他现在的丈夫。书生大悟，病愈。 2、《小孩的心》
有一位单身女子刚搬了家，她发现隔壁住了一户穷人家，一个寡妇与两个小孩子。有天晚上，那一带忽然停了电，那位女子只好自己点起了蜡烛。
没一会儿，忽然听到有人敲门。原来是隔壁邻居的小孩子，只见他紧张地问：“阿姨，请问你家有蜡烛吗？”女子心想：他们家竟穷到连蜡烛都没有吗？千万别借他们，免得被他们依赖了！于是，对孩子吼了一声说：“没有！”
正当她准备关上门时，那穷小孩展开关爱的笑容说：“我就知道你家一定没有！”说完，竟从怀里拿出两根蜡烛，说：“妈妈和我怕你一个人住又没有蜡烛，所以我带两根来送你。”此刻女子自责、感动得热泪盈眶，将那小孩子紧紧地抱在怀里。 3、《纯真的心》
有一个小镇很久没有下雨了，令当地农作物损失惨重，于是牧师把大家集合起来，准备在教堂里开一个祈求降雨的祷告会。人群中有一个小女孩，因个子太小，几乎没有人看得到她，但她也来参加祈雨祷告会。
就在这时候，牧师注意到小女孩所带来的东西，激动地在台上指着她：“那位小妹妹很让我感动！”于是大家顺着他手指的方向看了过去。 牧师接着说：“我们今天来祷告祈求上帝降雨，可是整个会堂中，只有她一个人今天带着雨伞！”大家仔细一看，果然，她的座位旁挂了一把红色的小雨伞；这时大家沉静了一下，紧接而来的，是一阵掌声与泪水交织的美景。
有时我们不得不说：小孩子其实一点都不小，他们其实很大！他们的爱心很大！他们的信心很大！ 4、《我们只不方便三小时》
那天跟老公幸运地订到了票回婆家，上车后却发现有位女士坐在我们的位子上，老公示意我先坐在她旁边的位子，却没有请这位女士让位。我仔细一看，发现她右脚有一点不方便，才了解老公为何不请她让出位子。
他就这样从嘉义一直站到台北，从头到尾都没向这位女士表示这个位子是他的，下了车之后，心疼老公的我跟他说：“让位是善行，但从嘉义到台北这么久，大可中途请她把位子还给你，换你坐一下。”老公却说：“人家不方便一辈子，我们就不方便这三小时而已。” 听到老公这么说，我相当感动，有这么一位善良又为善不欲人知的好老公，让我觉得世界都变得温柔许多。
心念一转，世界可能从此不同，人生中，每一件事情，都有转向的能力，就看我们怎么想，怎么转。我们不会在三分钟内成功，但也许只要花一分钟，生命从此不同。
5、《年迈夫妻住旅馆》
一个初春的夜晚，大家已经熟睡，一对年迈的夫妻走进一家旅馆，可是旅馆已经客满。
前台侍者不忍心深夜让这对老人再去找旅馆，就将他们引到一个房间：“也许它不是最好的，但至少你们不用再奔波了。” 老人看到整洁干净的屋子，就愉快地住了下来。
第二天，当他们要结账时，侍者却说：“不用了，因为你们住的是我的房间。祝你们旅途愉快！”
原来，他自己在前台过了一个通宵。老人十分感动说：“孩子，你是我见到过最好的旅店经营人。你会得到报答的。”侍者笑了笑，送老人出门，转身就忘了这件事。
有一天，他接到一封信，里面有一张去纽约的单程机票，他按信中所示来到一座金碧辉煌的大楼。原来，那个深夜他接待的是一个亿万富翁和他的妻子。富翁为这个侍者买下了一座大酒店，并深信他会经营管理好这个大酒店。 这就是著名的希尔顿饭店和他首任经理的传奇故事。
因果其实就在自己手中！高手在还没有明确人生的宏伟目标时，都是用心做好了当下的事情！
人人都是服务员，伟大都是不断先从服务别人开始的，一个人服务别人的能力有多大，人生的成就就有多大！ 1、幸运，是另外一种实力
大家都说C是朋友中最幸运的女人——“幸运”是个感情复杂的词，一边带着赞叹和羡慕，另一边，多少有点实力不够意外胜出的腹诽。 尤其，C其貌不扬，惯性思维是：幸运是美女的专属。
但是，她的确发展平顺，从基础文员做到副总经理；嫁了被人羡慕的老公，高、帅，还富，曾经是C公司的客户，当年身边围绕众多女性，最终却选择了并不突出的C；她还有几个不错的朋友，提起名字就让人眼前一亮。
C的收获，看上去远远超越了她的实力和付出，所以，人们议论她幸运的同时，还有一点窥探和好奇：这么好的运气，凭什么是她？ 多年朋友，我特别明白C为什么幸运。
很多年前的一天，我去C办公室找她下班一起健身，赶上她老板也在等电梯，我远远地望着老板的背影，问她：要迟一点走，或者换走楼梯吗？和老板同梯是不是不太自在？
C说：为什么不和老板一趟电梯呢？
于是，我们俩拎着健身包和老板同时乘电梯到1楼。
C落落大方主动和老板攀谈，一点没有普通员工的拘谨和扭捏，甚至普及了几个健身知识，还顺便聊起附近几家味道不错的餐馆，透露其中一个是某重要客户的聚点。临别，老板亲切和我们道别。
只是，我没有想到，这个电梯里的老板后来成了C的贵人，给了她关键的提升机会。
很多人以为生命中的贵人是被隆重的仪式感安排好，站在聚光灯下深情等待，现实却是，ta或许就在某个不起眼的角落，在某个不经意的片段，成年累月地观察和打量你，考虑成熟才会向你伸出点石成金的金手指。 所以，所谓幸运的人，都特别擅长把握稍纵即逝的机会。 C结婚前，我陪她去买婚鞋。
我知道她嫁了个特别抢手的男人，开玩笑问她紧张不紧张。她没有流露出嫁给高帅富的亢奋，幸福但也平静地说：
爱他和对他好这件事，是我在把自己过得不错的同时，努力创造机会发生的，但是，我并不把和他结婚作为人生终极目标，嫁不上就不能活。 我有能力把自己安顿好，他也很清楚我们在一起会有更好的将来，是1＋1＞2，我们感情也合拍，生活也合拍，娶了我也是他的幸运啊。 什么是幸运？幸运的人都很清楚自己的底牌究竟在哪儿，只是别人看不见。 2、才华和见识，是被逼出来的
2000多年前有一个特别幸运的丑女，叫钟无盐。
她丑到什么程度？臼头深目，长指大结，肥项少发，皮肤如漆，声如夜枭，让人望而却步。年过四十，不仅嫁不出去，还流离失所。 40岁，古代当奶奶的年纪，史书的幽默或许在于，描绘一个丑得让人心惊胆战的女人，安慰其他女人，你看，她都能成，你凭什么成不了？ 奇丑的无盐，只能靠出类拔萃的聪明脱颖而出。
她鼓足勇气，跑到齐国首都临淄求见齐宣王，要为国效力，齐宣王哈哈大笑，问她有什么本事，她一本正经地说：大王，您太危险了。 然后，无盐搞了一套行为艺术，抬眼四顾、咬牙切齿、挥手抚膝。
大家愣住，问这是什么意思，无盐说：抬眼看烽火四周，秦兵不日必出函谷关；咬牙切齿是提醒大王不要阻断臣子劝谏的途径；挥手是劝说大王去除奸臣，抚膝是建议大王不要修建奢侈的建筑。不深谋远虑，齐国怎能强大。 男人最欣赏帮助他事业的女人。 女人最爱慕给了她爱情的男人。
齐宣王意识到无盐对他的辅佐，居然娶了著名的丑女，在她的建议下励精图治，任用田忌、孙膑等大将，齐国成为实力最强的国家，临淄成为战国时期文化中心。
于是，无盐成了史书里最幸运的女子。
可是，透过历史的烟尘，你或许可以看到无数其貌不扬的普通女孩，看似没有雄心，却最肯花时间和精力埋头做事。
别的女人花枝招展谈恋爱，她不着急，于是苦学；别的女人结婚生子油盐酱醋，她不焦虑，继续苦钻；别的女人琢磨怎么吸引和锁定男人，她不被干扰，把用在男人身上的时间用在自己身上，才华和见识与日俱增。 幸运，有时是攒出来的。 才华和见识，有时是逼出来的。
积累到了一定程度，这些普通女孩爆发了，她们不仅赢得想要的生活，还赢得了理想的婚姻、友情和事业，可大多数人只看到她们瞬间闪耀的幸运，想不起背后的努力与坚持。 3、她们不随便妥协，然后赢了
很多资深女神，都是在相当高龄的时候，才有了大众眼中的好归宿。40岁的舒淇嫁给了好朋友冯德伦，刘若英45岁当上妈妈，还有那个嫁给了默多克的59岁美国超模杰莉·霍尔。
黄佟佟曾说，为什么那些被人视为“剩女”的好姑娘，最后嫁的都是男神？甚至，生活里那些迟迟不嫁以至于让亲朋好友都觉得欠她们一个男朋友的女孩，有不少都嫁了青年才俊。
看上去是命好，其实是她们应得的，她们没有像很多人那样随便妥协，敢于和命运博弈，最后，她们赢了。
事业和爱情都一样，就像谁都想不到51岁的魔法教母J。K。罗琳在写完《哈利波特》系列之后能成为“有史以来最成功的儿童文学作家”，能从600英镑房租都付不起的租客，变成比英国女王还富有的女人。 所以，谁又是幸运的呢？
那些美好，原本就属于你，区别在于，你是否敢于披荆斩棘，遇见神龙也不怕；你是否愿意眼观四方，撞了南墙及时回头；你是否能够知己知彼，明白自己的底线和优势；你是否可以耐住寂寞，远离不适合自己的流俗。
我始终记得，陪C选婚鞋的那天，她穿上鞋子站起来，微笑着说：我不是幸运，我只是敢争取自己应得的。 我觉得，她说的是真话。
敢争取自己应得的姑娘，活得都不会差。
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