一、选择题（每题3 分，共18 分）
1．第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年02月04日～2022年02月20日在中华人民共和国北京市和张家口市联合举行. 在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部份图形，其中不是轴对称图形的是（ ）
2．如图，过△ABC的顶点A，作BC边上的高，以下作法正确的是（ ）
3．若△ABC的边长都是整数，周长为12，且有一边长为4，则这个三角形的最大边长为（ ） A．7 B．6 C．5 D．8
4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
5．如图，△ABE、△ADC和△ABC分别是关于AB，AC边所在直线的轴对称图形，若∠1：∠2：∠则∠α的度数为（ ）
A．90° B．108° C．110° D．126°
第4题图 第5题图 第6题图
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交下面说法正确的是（ ）
① △ABE的面积等于△BCE的面积；② ∠AFG＝∠AGF；③ ∠FAG＝2∠ACF；④ BH＝CH A．①③④ B．①③ C．②④ D．①②③ 二、填空题（每空3 分，共18分）
3=7：2：1，BE于点H，7．点M(2,3)关于x轴对称的点的坐标是 ． 8．如图，BC⊥ED于点M，∠A=27°，∠D=20°，则∠ABC=______．
9．木工师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中那样钉上两条斜拉的木板条（即图中AB、CD两个木条），这样做根据的数学道理是 ．
第8题图 第9题图 第10题图 第11题图
10．如图△ABC中，AD是BC上的中线，BE是△ABD中AD边上的中线，若△ABC的面积是24，则△ABE的面积
是 ．
11．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC面积是45cm2，AB=16cm，AC=14cm，
则DE= ．
12．如右图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），
边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE
在AE同侧分别作等边△ABC和等与CD交于点Q，连接PQ．以下四
个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③ DE=DP；④AP=BQ恒成立的结论有______．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，13．在正方形网格图①、图②中各画一个等
个顶点为格点A，其余顶点从格点B、C、的两个三角形不全等．
14．如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长
点E在BC上，且AE=CF （1）求证：△ABE≌△CBF；
（2）若∠CAE=25°，求∠ACF的度数．
线上一点， 共30分）
腰三角形．每个等腰三角形的一
D、E、F、G、H中选取，并且所画
15．已知：如图，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA=OC，OB=OD．求证：AB=CD．
16．如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边
⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）若CD＝2，求DF的长．
BC，AC上，DE∥AB，过点E作EF
17．如图，在△ABC中，∠1＝100°，∠C＝80°，∠2＝∠3，BE平分∠ABC.求∠4的度数．
12四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得△DEF为等边三角形，求证：AD＝BE＝CF．
19．如图，在所给网络图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题：（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1； （2）在DE上画出点P，使PB+PC最小； （3）求△ABC的面积．
20．如图，CDECED90，EM平分CED，并与CD边交于点M．DN平分CDE，
并与EM交于点N．
（1）依题意补全图形，并猜想EDNNED的度数（2）证明以上结论．
证明：∵ DN平分CDE，EM平分CED， ∴ EDNCDE，
NED＝ ．
（理由： ） ∵ CDECED90，
12等于 ；
∴EDNNED＝ ×（∠ ＋∠ ）＝ ×90°＝ °． 五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．如图，△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，CE是（1）若∠A=40°，∠B=60°，求∠DCE的度数． （2）若∠A=m，∠B=n，求∠DCE．（用m、n表示）
22．在△ABC中，∠ACB＝2∠B，如图①，当∠C＝90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上截取AE＝AC，连
接DE，易证AB＝AC＋CD．
（1）如图②，当∠C≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？不需要证明，
请直接写出你的猜想：
AB边上的高，
（2）如图③，当AD为△ABC的外角平分线时，线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并
对你的猜想给予证明．
六、（本大题共12分）
23．如图，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知
点M的速度为1cm/s，点N的速度为2cm/s．当停止运动．
（1）点M、N运动几秒后，M、N两点重合？ （2）点M、N运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时
间．
点N第一次到达B点时，M、N同时
八年级数学期中试卷参考答案
一选择题
1、D 2、B 3、C 4二填空题
7、（-2，-3） 89、三角形具有稳定性 1011、3 12三解答题 13、
、B 5、B 6、43° 、6 ①②④ 、D
任选1个 14、证明：
（1）∵AE=CF，∠ABC=∠CBF=90°，AB=BC， ∴△ABE≌△CBF
（2）解：∵AB=BC，∠ABC=90°，∠CAE=25°， ∴∠EAB=45°﹣25°=20°． ∵△ABE≌△CBF， ∴∠EAB=∠FCB=20°∴∠ACF=45°+20°=65°．15、证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的平分线，
∴∠AOP=∠COP，∠BOP=∠DOP，
∴∠AOB=∠COD， 在△AOB和△COD中，
所以△AOB≌△COD，所以AB=CD。
16、（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠B=60°，
∵DE∥AB，∴∠EDC=∠B=60°，
∵EF⊥DE，∴∠DEF=90°，∴∠F=90°-∠EDC=30°；
（2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°，∴△EDC是等边三角形．∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°，∴DF=2DE=4．
17、∵∠1=∠3+∠C ∠1=100° ∠C=80° ∴∠3=20°
∴∠2=1/2∠3=10° ∴∠BAC=∠2+∠3=30° ∴∠CBA=180°-∠C-∠BAC=70° ∵BE平分∠CBA ∴∠EBA=1/2∠CBA=35° ∴∠4=∠EBA+∠2=45° 18、解：在等边三角形
中，
.
所以 因为 △因为 .
为等边三角形，所以
，
.
所以 .
所以 . 在△
和△
中，
所以 △△
. 同理可证：
. 19、（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）如图所示：点P即为所求； （3）△ABC的面积为：
×2×4=4． 所以 .
.
所以
20、证明：∵ DN平分
，EM平分，
∴
，
∵ ， ∴
21、解：（1）∵△ABC中，∠A=40°，∠B=60°， ∴∠ACB=80°，又∵CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高，
∴∠ACD=∠ACB=40°，∠ACE=90°﹣∠A=50°，
∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=50°﹣40°=10°； （2）∵△ABC中，∠A=m，∠B=n，
22、解：（∴∠ACB=180°﹣m﹣n，
又∵CD是∠ACB的角平分线，CE是AB边上的高， ∴∠ACD=
∠ACB=
，∠ACE=90°﹣∠A=90°﹣m，
∴∠DCE=∠ACE﹣∠ACD=（90°﹣m）﹣=
．
故答案为：
1）猜想：AB=AC+CD．
证明：如图②，在AB上截取AE=AC，连接DE， ∵AD为∠BAC的角平分线时，∴∠BAD=∠CAD，
∵AD=AD，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴∠AED=∠C，ED=CD，
∵∠ACB=2∠B，∴∠AED=2∠B，∴∠B=∠EDB， ∴EB=ED，∴EB=CD，∴AB=AE+DE=AC+CD． （2）猜想：AB+AC=CD．
证明：在BA的延长线上截取AE=AC，连接ED． ∵AD平分∠FAC，∴∠EAD=∠CAD．
在△EAD与△CAD中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD， ∴△EAD≌△CAD．∴ED=CD，∠AED=∠ACD． ∴∠FED=∠ACB．
又∠ACB=2∠B，∠FED=∠B+∠EDB，∠EDB=∠B． ∴EB=ED．∴EA+AB=EB=ED=CD．∴AC+AB=CD 23、（1）设点M、N运动x秒后，M、N两点重合，
x×1+12=2x， 解得：x=12；
（2）设点M、N运动t秒后，可得到等边三角形△AMN，如图
①，
AM=t×1=t，AN=AB-BN=12-2t，
∵三角形△AMN是等边三角形，∴t=12-2t， 解得t=4，
∴点M、N运动4秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点M、N在BC边上运动时，可以得到以MN为底边的等腰三角形，
由（1）知12秒时M、N两点重合，恰好在C处， 如图②，假设△AMN是等腰三角形， ∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB， ∵AB=BC=AC，∴△ACB是等边三角形，
∴∠C=∠B，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，
设当点M、N在BC边上运动时，M、N运动的时间y秒时，△AMN是等腰三角形，
∴CM=y-12，NB=36-2y，CM=NB，
y-12=36-2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点M、N在BC边上运动时，能得到以MN为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒．专项训练
二 概率初步
一、选择题
1．(徐州中考)下列事件中的不可能事件是( )
A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．抛掷2枚正方体骰子，都是6点朝上 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是360° 2．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是( ) A．25% B．50% C．75% D．85%
3．(2016·贵阳中考)2016年5月，为保证“中国大数据产业峰会及中国电子商务创新发展峰会”在贵阳顺利召开，组委会决定从“神州专车”中抽调200辆车作为服务用车，其中帕萨特60辆、狮跑40辆、君越80辆、迈腾20辆，现随机从这200辆车中抽取1辆作为开幕式用车，则抽中帕萨特的概率是( )
1132A. B. C. D. 105105
4．(金华中考)小明和小华参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )
1113A. B. C. D. 4324
5．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( )
1111A. B. C. D. 2346
6．现有两枚质地均匀的正方体骰子，每枚骰子的六个面上都分别标有数字1、2、3、4、5、6.同时投掷这两枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为9的概率是( )
1111A. B. C. D. 36912
7．分别转动图中两个转盘一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某个数所表示的区域，则两个数的和是2的倍数或3的倍数的概率等于( )
33513A. B. C. D. 168816
第7题图 第8题图
8．(2016·呼和浩特中考)如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB＝15，AC＝9，BC＝12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为( )
1πππA. B. C. D. 6685
二、填空题
1123
9．已知四个点的坐标分别是(－1，1)，(2，2)，，，－5，－，从中随机选取一个点，在反比例函数y＝图象上的
5x32概率是________．
10．(黄石中考)如图所示，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)．那么，蚂蚁从A出发到达E处的概率是________．
11．(贵阳中考)现有50张大小、质地及背面图案均相同的《西游记》任务卡片，正面朝下放置在桌面上，从中随机抽取一
张并记下卡片正面所绘人物的名字后原样放回，洗匀后再抽．通过多次试验后，发现抽到绘有孙悟空这个人物卡片的频率约为0.3.估计这些卡片中绘有孙悟空这个人物的卡片张数约为________．
12．(荆门中考)荆楚学校为了了解九年级学生“一分钟内跳绳次数”的情况，随机选取了3名女生和2名男生，则从这5名学生中，选取2名同时跳绳，恰好选中一男一女的概率是________．
13．(重庆中考)点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．
14．★从－1，1，2这三个数字中，随机抽取一个数记为a，那么，使关于x的一次函数y＝2x＋a的图象与x轴、y轴围x＋2≤a，1
成的三角形的面积为，且使关于x的不等式组有解的概率为________．
41－x≤2a三、解答题
15．(南昌中考)在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黑球6个．
(1)先从袋子中取出m(m＞1)个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，请完成下列表格：
事件A 必然事件 随机事件 m的值 ________ ________ 4
(2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的黑球并摇匀，随机摸出1个黑球的概率等于，求m的值．
5
16．(菏泽中考)锐锐参加我市电视台组织的“牡丹杯”智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关，第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题锐锐都不会，不过锐锐还有两个“求助”可以用(使用“求助”一次可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．
(1)如果锐锐两次“求助”都在第一道题中使用，那么锐锐通关的概率是________； (2)如果锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，那么锐锐通关的概率是________； (3)如果锐锐将每道题各用一次“求助”，请用树状图或者列表来分析他顺利通关的概率．
17．(丹东中考)甲、乙两人进行摸牌游戏．现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，3，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上．
(1)甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率；
(2)若两人抽取的数字之和为2的倍数，则甲获胜；若抽取的数字之和为5的倍数，则乙获胜．这个游戏公平吗？请用概率的知识加以解释．
18．一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3，3，5，x，甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个球上数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表：
摸球总 次数 “和为8”出 现的频数 “和为8”出 现的频率 10 20 30 60 90 120 180 240 330 450 2 10 13 24 30 37 58 82 110 150 0.20 0.50 0.43 0.40 0.33 0.31 0.32 0.34 0.33 0.33 (1)如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率稳定在它的概率附近，估计出现“和为8”的概率是________； 1
(2)如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x的值可以取4吗？请用列表法或画树状图法说明理由；如果
3
x的值不可以取4，请写出一个符合要求的x的值．
参考答案与解析
1．D 2.B 3.C 4.A 5.A 6.C 7.C
12＋9－15
8．B 解析：∵AB＝15，BC＝12，AC＝9，∴AB＝BC＋AC，∴△ABC为直角三角形，∴△ABC的内切圆半径为＝2
2
2
2
119ππ
3，∴S△ABC＝AC·BC＝×12×9＝54，S圆＝9π，∴小鸟落在花圃上的概率为＝.
22546
11311
9. 10. 11.15 12. 13. 14. 2255315．解：(1)4 2或3 (2)根据题意得
6＋m4
＝，解得m＝2，所以m的值为2. 105
111
16．解：(1) 解析：第一道肯定能对，第二道对的概率为，所以锐锐通关的概率为；
444
111
(2) 解析：锐锐两次“求助”都在第二道题中使用，则第一道题对的概率为，第二道题对的概率为，所以锐锐能通关632111
的概率为×＝；
236
(3)锐锐将每道题各用一次“求助”，分别用A，B表示剩下的第一道单选题的2个选项，a，b，c表示剩下的第二道单选题
1
的3个选项，树状图如图所示．共有6种等可能的结果，锐锐顺利通关的只有1种情况，∴锐锐顺利通关的概率为.
6
17．解：(1)所有可能出现的结果如下表，从表格可以看出，总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，其中两人抽取1
相同数字的结果有3种，所以两人抽取相同数字的概率为；
3
(2)不公平．从表格可以看出，两人抽取数字之和为2的倍数有5种，两人抽取数字之和为5的倍数有3种，所以甲获胜的5151
概率为，乙获胜的概率为.∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．
9393
2 3 5
18．解：(1)0.33
(2)图略，当x为4时，数字和为9的概率为
2 3 5 2 2 3 2 5 2 2 3 3 3 5 3 2 5 3 5 5 5 211
＝≠，所以x不能取4；当x＝6时，摸出的两个小球上数字之和为9的1263
1概率是.
3
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