第３９卷第１期 ２００９年１月 东南大学学报（自然科学版） ＪＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＳＯＵＴＨＥＡＳＴ ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ（Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ） Ｖｏ１．３９ Ｎｏ．１ Ｊａｎ．２００９ 悬索桥空间主缆分析 周 勇 张 峰 叶见曙 李术才 （ 长安大学公路学院，西安７１００６４） （ 山东大学土建与水利学院，济南２５００６１） （ 东南大学交通学院，南京２１００９６） 摘要：为了确定悬索桥空间主缆恒载线形，根据已有的二维模型，提出了一个三维主缆线形计算 方法．直接从三维索的几何方程和平衡方程出发推导了索形迭代计算方法，该方法将三维主缆投 影到２个平面上分别考虑几何边界条件和力的平衡条件，考虑了倾斜吊杆的影响，引入梯度迭代 法，推导了三维主缆的迭代方程，给出了具体计算分析的迭代流程；采用ｃ＋＋语言编制了主缆三 维恒载线形分析程序ＣＦ３Ｄ．基于该方法和程序对一座悬索桥的主缆进行了恒载线形的迭代计 算分析．研究结果表明：该方法精度完全能满足工程计算要求，迭代计算出的主缆线形平顺。该 方法具有使用方便、精度高等优点，适用于多跨空间缆索悬索桥． 关键词：悬索桥；空间主缆；主缆线形；梯度法 中图分类号：Ｕ４３３．３８ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—０５０５（２００９）０１－－０１０１－０５ Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ｃａｂｌｅ ｏｆ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ Ｚｈｏｕ Ｙｏｎｇ Ｚｈａｎｇ Ｆｅｎｇ Ｙｅ Ｊｉａｎｓｈｕ Ｌｉ Ｓｈｕｃａｉ （’Ｃｏｌｌｅｇｅ ｏｆＨｉｇｈｗａｙ，Ｃｈａｎｇ’ａｌｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｘｉａｎ ７１００６４，Ｃｈｉｎａ） （ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ ａｎｄ Ｈｙｄｒａｕｌｉｃ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｈａｎｄｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｊｉｎａｎ ２５００６１，Ｃｈｉｎａ） （ Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ，Ｓｏｕｔｈｅａｓｔ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｎａｎｊｉｎｇ ２１００９６，Ｃｈｉｎａ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｆｏｒ ｄｅｔｅｒｍｉｎｉｎｇ ｔｈｅ ｃａｂｌｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ ｗｉｔｈ ｓｐａｔｉａｌ ｃａｂｌｅｓ ａｔ ｄｅａｄ ｌｏａｄ．Ａ ｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ａｎａｌｙｓｉｓ ｍｏｄｅｌ ｉｓ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｅｘｉｓｔｉｎｇ ｔｗｏ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｍｅｔｈｏｄ．Ｄｉｒｅｃｔｌｙ ｆｒｏｍ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ａｎｄ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｃａｂｌｅ ａ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ ｔｏ ｃｏｍｐｕｔｅ ｃａｂｌｅ ｓｈａｐｅ ｈａｓ ｂｅｅｎ ｄｅｄｕｃｅｄ．Ｉｎ ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｏｆ ｍａｉｎ ｃａｂｌｅ ｉｓ ｐｒｏ— ｊｅｃｔｅｄ ｏｎｔｏ ｔｗｏ ｐｌａｎｅｓ ｔｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒ ｔｈｅ ｇｅｏｍｅｔｒｙ ｂｏｕｎｄａｒｙ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎｓ ａｎｄ ｆｏｒｃｅ ｅｑｕｉｌｉｂｒｉｕｍ ｒｅｓｐｅｃ— ｔｉｖｅｌｙ ａｎｄ ｔｈｅ ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｉｎｃｌｉｎｅｄ ｈａｎｇｅｒ ｉｓ ａｌｓｏ ｃｏｎｓｉｄｅｒｅｄ．Ｔｈｅ ｇｒａｄｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｕｓｅｄ ｔｏ ｄｅｄｕｃｅ ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｍａｉｎ ｃａｂｌｅｓ．Ａ ｐｒｏｇｒａｍ ＣＦ３Ｄ ｔｏ ａｎａｌｙｚｅ ｔｈｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ｔｈｒｅｅ ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌ ｍａｉｎ ｃａｂｌｅｓ ａｔ ｄｅａｄ ｌｏａｄ ｉｓ ｃｏｍｐｉｌｅｄ ｕｓｉｎｇ Ｃ＋＋ｌａｎｇｕａｇｅ．Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｐｒｅｓｅｎｔｅｄ ｍｅｔｈｏｄ ａｎｄ ｐｒｏｇｒａｍ ａ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ’Ｓ ｍａｉｎ ｃａｂｌｅ ｓｈａｐｅ ａｔ ｄｅａｄ ｌｏａｄ ｗａｓ ｃｏｍｐｕｔｅｄ ｂｙ ｉｔｅｒａｔｉｖｅ ｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔｓ ｓｈｏｗ ｔｈａｔ ｔｈｅ ａｃｃｕｒａｃｙ ｏｆ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｃａｎ ｍｅｅｔ ｔｈｅ ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ ｏｆ ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｓ ｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙ；ｔｈｅ ｉｔｅｒａｔｉｖｅｌｙ ｃａｌｃｕｌａｔｅｄ ｃａｂｌｅ ｓｈａｐｅ ｉｓ ｓｍｏｏｔｈ．Ｔｈｅ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ａｃｃｕｒａｔｅ ａｎｄ ｃｏｎｖｅｎｉｅｎｔ ａｎｄ ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ｔｏ ｍｕｌｔｉ－ｓｐａｎ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ ｗｉｔｈ ｓｐａｔｉａｌ ｃａｂｌｅｓ． Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ；ｓｐａｔｉａｌ ｃａｂｌｅ；ｃａｂｌｅ ｓｈａｐｅ；ｇｒａｄｉｅｎｔ ｍｅｔｈｏｄ 采用空间主缆体系的悬索桥通过空间主缆和 缆索结构计算已有文献进行介绍 ．相比二维主 吊杆形成一个三维缆索体系，被认为可以提高悬索 桥的横向刚度和抗扭性能．对缆索结构线形计算国 内外已有一些研究 ．悬索桥成桥状态由外荷载 和结构等效内力平衡确定．国内关于二维的悬索桥 缆找形计算分析，三维主缆线形分析研究相对较 少．文献［６］假设成桥时主缆在一个斜面上且为抛 物线，事实上，对空间缆索来说，在自重作用下，主 缆不可能在一个斜面上．文献［７］以永宗大桥为背 收稿日期：２００８－０４－１５． 作者简介：周勇（１９６２一），男，博士，研究员，ｓｄｇｓｑｚｙ＠１２６．ｃｏｒｎ． 基金项目：国家自然科学基金重点资助项目（５０５３９０８０）、山东省博士后创新资助项目（２００７０３０７２）． 引文格式：周勇，张峰，叶见曙，等．悬索桥空问主缆分析［Ｊ］．东南大学学报：自然科学版．２００９，３９（１）：１０１～１０５ ｌ０２ 东南大学学报（自然科学版） 第３９卷 景，采用２种计算模型分析空间缆索自锚式悬索桥 恒载内力和线形：①纯索体系，由此求得主缆的 线形、主缆和吊索的无应力长度；②全桥模型，由 此求得加劲梁和索塔在恒载状态下的内力．对纯索 体系，首先采用“节线法” 得出主缆的初始线形， 然后用弹性悬索的解析式求ｍ各段主缆和吊索的 无应力长度，再代人非线性有限元分析程序求出其 平衡位置，如果各节点的位移小于允许误差则认为 当前状态就是主缆的平衡状态，主缆线形和无应力 长度就是理想数值，否则根据变形后的节点位置重 新计算各段主缆和吊索的无应力长度，再代人非线 性有限元分析程序进行迭代计算．文献［８］采用同 样的方法对天津富民海河大桥进行了分析．文献 ［９］将三维主缆在吊杆间的索段简化成二维问题 进行分析，对于一根主缆会出现较多局部坐标系转 换问题．文献［９］忽略了倾斜吊杆横桥向作用力对 悬索桥空问主缆的受力性能的影响．本文直接从 维索的几何方程和平衡方程出发，将ｊ维主缆投影 到２个平面上分别考虑几何边界条件和力的平衡 条件以及倾斜吊杆的影响，引入梯度迭代法，推导 了三维主缆的迭代方程．对一座悬索桥的主缆进行 了恒载线形迭代计算分析，给出了具体计算分析的 迭代流程． １ 空间主缆成桥线形分析方法 １．１主缆的变形协调方程和平衡方程 为了计算成桥状态下主缆在吊索力作用下的线 形，可以将主缆按主、散索鞍的理论交点分为几个独 立的部分，分别计算各部分的线形及索端的水平、竖 向力．每段主缆满足以下基本假定：①索材料在弹 性阶段工作，满足虎克定律；②满足小应变似设，即 索材料的应变是微小的，这样就无需考虑截面变化 的影响；③索是理想柔性的，只能承受拉力，不能承 受压力和弯曲；④主缆张力沿顺桥向分量在全跨相 同．成桥状态下的主缆力学模型见图１． ｉ 舂 ｙ １图１索的平衡状态 图１中，Ｆ 为该段索的ｉ节点受到的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ 坐标Ｘ方向的作用力；Ｆ 为该段索的ｆ节点受到的 Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标Ｙ方向的作用力；Ｆ 为该段索的ｉ节 点受到的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标Ｚ方向的作用力． 文中所涉及变量的正方向见图１．对于索形计 算，索的初始状态是有应力状态，其变形已经完成， 因此主缆在计算过程中不伸长．通过推导，可得到 索中Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ坐标Ｓ处的相对于ｉ节点的 Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标（ （ ），），（ ），ｚ（ ）） ，即 （ ）＝ ｛ｌｎ［一 ＋ ＋（ ＋ ＋（一 ＋ ｗ ） ） ］｝一 Ｗ ｛１ｎ［一，，＋（Ｆ ＋ ＋ Ｆ；） ］｝ （１） ），（ ）＝ ｛ｌｎ［一 ＋ｗ ＋（ ＋ ＋（一 ＋ ｗｓ） ） ］｝一 Ｗ ｛ｌｎ Ｅ—Ｆ，＋（ ‘ ＋ Ｆ；＋Ｆ ２） ］｝ （２） ｚ（ ） ｛（Ｆ ＋ ＋ ） 以｝一 古｛（ 十Ｆ；＋（一Ｆ３＋ＷＳ） ） 以｝ （３） 式中，Ｗ为主缆恒载集度．式（１）、（２）和（３）中代 人 节点的Ｌａｇｒａｎｇｉａｎ坐标Ｌ。，可以求得 节点相 对于ｉ节点的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标（Ｘ（Ｌ０），Ｙ（Ｌ０）， Ｚ（Ｌ。）），即罔１中的（ｆ ，ｆ ，ｚ ）． 悬索桥索形力学模型见图２． Ｆ （ｂ）主缆在 ｙ平面上的投影 图２ 三维索形力学模型 图２中， 为鞍座处受到的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标 方 向的作用力； 为鞍座处受到的ｉ节点受到的 Ｃａｒｔｅｓｉａｎ 标Ｙ方向的作用力； 为鞍座处受到的 第１期 周勇，等：悬索桥空间主缆分析 １．２ 索形求解的迭代方法 １０３ ｉ节点受到的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标Ｚ方向的作用力． 为 第ｉ段索的ｉ节点受到的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标Ｘ方向的作 计算分析过程中，主缆恒载集度Ｗ、吊杆间距 ｆ…跨中 ．Ｚ平面内的设计变量Ａ，曰以及Ｘ—Ｙ平面内 的设计变量Ｃ已知．根据索的初形可以得到鞍座点 用力；Ｆｙ为第ｉ段索的ｉ节点受到的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标 Ｙ方向的作用力； 为第ｉ段索的ｉ节点受到的 Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标Ｚ方向的作用力；ｐｙ为第ｉ根吊杆的 张力在Ｙ轴的投影；Ｐ 为第 根吊杆的张力在Ｚ轴的 投影；／，／为吊杆数量． 索形计算时需初拟一个索形，得到鞍座点处的 Ｆ一 Ｆ一２和 数值．根据图２可以得到主缆的平衡方 程，即 Ｆ ＝Ｆ１ ｉ＝０，，２ （４） ＝ ｆ＝０ １ Ｆ ＋ ＝Ｆ —Ｐ ＝１， ｝ （５） Ｊ ＋ｌ＝Ｆ 一ＷＳ ｉ＝０ １ ， ＋ ＝Ｆ 一Ｐ 一ＷＳ ｉ＝１， ｝ （６） ：Ｆ３ Ｊ 式中，ｓ 为第ｉ段索的索长． 计算过程中需要确定吊索张力在Ｙ轴的投影 和Ｚ轴的投影Ｐ ，实际计算时根据索的初形可以 定出主缆每个节点的空间坐标．ｙ－ｚ平面上的平衡 见图３． 图３ ｙ－ｚ平面上的平衡 图３中，（夕 ，之 ）为主缆第ｉ段索ｉ节点坐标，该 值根据初拟索形可得到；（夕 乏 ）为第ｉ根吊杆在 加劲梁上的锚固点坐标，该值由桥梁设计资料提 供；ｈ 为第ｉ根吊杆长度．根据图３，可以得到下列 平衡方程： Ｐ （ ），Ｐ （ ） ｉ＝１，ｎ （７） 式中，Ｐ 为吊杆力．根据设计已知条件，计算时应 该满足以下３个几何边界条件： ∑ｆｆ＝Ｉ ： ：Ｃ，∑ ：ｆ：１ ＝Ａ，∑ｌｆ＝ｌ ｙ ＝Ｂ（８） 式中，ｍ为索鞍到设计变量Ｃ位置处的吊杆数． 处的Ｆ１，Ｆ２和 ． 实际计算时，由式（８）组成下列方程组： ∑ｌ： 一Ｃ＝０ ｆ＝ｌ 厂’：∑，。 一Ａ：０ （９） ∑０ —Ｂ＝０ 为了求解非线性方程组（９），本文选取梯度法 求解． 设鞍座点处的作用力为Ｆ。， 和Ｆ ．设目标函 数为 （Ｆ。，Ｆ２，Ｆ３）＝∑ （１０） 则梯度法的计算过程如下： １）根据初定的鞍座点处的Ｆ。，Ｆ一２和Ｖ，数值确 定初值Ｆ ，Ｆ 和Ｆ ，即 Ｆ１＝Ｆ１， Ｆ２＝Ｆ２， Ｆ３＝Ｆ３ （１ １） ２）计算目标函数值 （ ，Ｆ２，Ｆ３）＝∑ ３）令向量Ｆ＝｛Ｆ。，Ｆ２，Ｆ，｝。，设求解误差限 值为 ．若 ＜ ，则，即为方程组的一组解，求解 结束；否则求解继续． ４）计算目标函数在（Ｆ ，Ｆ ，Ｆ，）处的偏导数 ３ｏ２ ３ 参 １＇２，３（１２） 由于式（１２）中的偏导数的显式过于复杂，本 文求解时采用数值计算方法， ｏＬ的求解可令Ｆ Ｆ。＋１，而Ｆ 和Ｆ。保持不变，求得 变化值为ｉＯＪｉ０，． 其余偏导数的求解与此类似． 再计算 Ｄ （ ）‘ （１３） ５）引入目标函数 的梯度 ［署 】 计算迭代后的求解向量 Ｆ＝Ｆ— ７ （１４） 式中，Ａ＝ ／Ｄ． １０４ 东南大学学报（自然科学版） 第３９卷 重复步骤２）～５），直到满足精度要求为止． 计算过程中需要确定索长Ｓ ．由于吊杆间距 已知，根据式（１）可得到，即 ｅＩ毒［一 ＋（（ ） ４－（Ｆ ） ４－（Ｆ ） ） ］： Ｆ ４－ＷＳ ＋（（ ） ＋（Ｆ ） ＋（一Ｆ ４－ＷＳ，） ） （１５） 令 ＝ｅ ． ［一Ｆ ４－（（Ｆ ）！＋（Ｆ ） ＋（Ｆ ） ） ］（１６） 将式（１６）代入式（１５）亓丁得到 ＯＬ ４－２ （Ｆ 一ＷＳ ）＝（ ） ４－（ ） （１７） 求解式（１７），可得到 Ｓ ＝（Ｆ；＋ ）／Ｗ （１８） 式中， ＝［Ｏｔ 一（ ） 一（Ｆ ）！ｊ／（２ ）． ６）根据求得的鞍座点处的真实力向量Ｆ，基 于式（１）～（３），可得到各段主缆＿／节点相对于ｉ节 点的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标（ｚ ｆ ： ）．则三维主缆恒载作 用下各节点的Ｃａｒｔｅｓｉａｎ坐标叮表示为 ∑ｌｋ＝０ ，Ｙ ＝∑ｌ女＝０ ，ｚ ：∑！ｋ＝（） ： ｉ＝１，，２ （１９） ２程序简介 基于本文提出的分析方法，采用Ｃ＋＋语言编 制了索的三维恒载线形分析程序ＣＦ３Ｄ．｝｝１ ３个类 组成：矩阵计算类ＣＭａｔｒｉｘ、索计算类ＣＳｈａｐｅＦｉｎｄ— ｉｎｇ和非线性方程组求解类ＣＥｑｕａｔｉｏｎ．程序除了支 持梯度法求解方程组外，还支持牛顿迭代法和修正 牛顿迭代法计算． ３ 算例分析 某桥为主跨２６０ ｍ的四跨连续独塔自锚式恳 索桥，跨径布置为８０ ｍ＋１９０ ｍ＋２６０ ｍ＋８０ ｍ，主 跨及边跨为悬吊结构．计算参数见表１，计算模型 参见罔４． 表１计算参数 实际计算时，可将主缆与吊杆相交的各个节点 同结，对吊杆设置一个较大的刚度，根据主缆的初 形得到各个吊杆的张力．然后采用程序ＣＦ３Ｄ计算 即可得到各个主缆在恒载作用下的线彤． ，， 图４计算模型 算例４根主缆．由于对称，计算时取每一 跨的一根主缆计算．第２跨主缆的设计变量Ａ＝ １０３．９７９ １ＴＩ，Ｂ＝４．５２０ ｍ，Ｃ＝６２．７７３ ｍ．第３跨主 缆的设计变量Ａ＝１０４．６５２ ｍ，Ｂ＝４．５２０ ｍ．ｃ＝ ７３．３２６ ＩＩ１． 采用梯度法迭代计算，第２跨主缆经过２ ７６２ 次迭代收敛，第３跨主缆经过２ ２８５次迭代收敛． 计算时设置误差限值 ＝１×１０一 ，可见本文方法 Ｅ＼硪￥１ 精度完全能满足工程计算要求．图５为迭代误差的 变化，１ ０００次迭代后误差很小，接近于０．图５只 姗姗 啪 啪瑚铷 姗 啪 显示１ ０００次迭代次数内的数据，可以看出误差整 体呈下降趋势，但是存在数据振荡的现象． ０ ２００ ４００ ６００ ８０ｏ 迭代次数 图５误差变化图 将坐标原点设置在索鞍点处，实际计算得到的 第２跨主缆线形数据见表２，括号内数据为设计数 据，Ｘ坐标指桥梁纵向，Ｙ坐标指桥梁横向，Ｚ坐标 指桥梁竖向．根据表２的数据可得图６． 由表２和图６可以看出：经过迭代计算后主缆 坐标值与设计值吻合．迭代后的主缆线形平顺．表 明本文计算方法无误． 实际计算时本文算例为双跨悬索桥，因此本文 计算时首先通过计算第１跨的三向作用力，然后以 第１跨的三向作用力作为初始值，进行第２跨的索 形迭代计算．通过计算得到第１跨索的顺桥向索力 为１５．０２ ＭＮ，按照该初始值计算第２跨索力，最终 迭代出顺桥向的索力为１５．２７ ＭＮ．通过比较发现 两值之间相差０．１７％，由此可见本文方法能够满 足不同跨之间的索力平衡． 第１期 周勇，等：悬索桥空间主缆分析 １０５ 表２计算得到的空间主缆坐标 ｍ ｌ２Ｏ １００ ８０ 吕 童６０ ４０ ２０ ０ ／ｍ （ａ）第２跨 ｘ／ｍ （ｂ）第３跨 图６主缆坐标 ４ 结语 直接从三维索的几何方程和平衡方程出发，将 三维主缆投影到２个平面上分别考虑几何边界条 件和力的平衡条件以及倾斜吊杆的影响，引入梯度 迭代法，推导了三维主缆的迭代方程，给出了具体 计算分析的迭代流程．采用Ｃ＋＋语言编制了主缆 三维恒载线形分析程序ＣＦ３Ｄ．基于本文方法和程 序对一座悬索桥的主缆进行了恒载线形的迭代计 算分析．结果表明：本文方法精度完全能满足工程 计算要求，迭代计算出的主缆线形平顺．该方法具 有使用方便、计算速度快、精度高等优点，适用于多 跨空间缆索悬索桥． 参考文献（Ｒｅｆｅｒｅｎｃｅｓ） ［１］Ｈａｎａｏｒ Ａ．Ｐｒｅｓｔｒｅｓｓｅｄ ｐｉｎ－ｊｏｉｎｔｅｄ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ—ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｐｒｅｓｔｒｅｓｓ ｄｅｓｉｇｎ［Ｊ］．Ｃｏｍｐｕｔ Ｓｔｒｕｃｔ，１９８８， ２８（６６）：７５７—７６９． ［２］Ｍｕｒａｋａｍｉ Ｈ．Ｓｔａｔｉｃ ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃ ａｎａｌｙｓｅｓ ｏｆ ｔｅｎｓｅｇｒｉｔｙ ｓｔｕｒｃｔｕｒｅｓ：ｐａｒｔⅡ．ｑｕａｓｉ—ｓｔａｔｉｃ ａｎａｌｙｓｉｓ［Ｊ］．１ｎｔ Ｊ Ｓｏｌｉｄｓ Ｓｔｒｕｃｔ。２００１，３８（２Ｏ）：３６１５—２９． ［３］Ｍｏｔｒｏ Ｒ．Ｔｅｎｓｅｇｒｉｔｙ ｓｙｓｔｅｍｓ ａｎｄ ｇｅｏｄｅｓｉｃ ｄｏｍｅｓ［Ｊ］． ／ｎｔ Ｊ Ｓｐａｃｅ Ｓｔｅｅｌ Ｂｒｉｄｇｅｓ，１９９０，５（３）：３４１—３５１． ［４］狄谨，武隽．自锚式悬索桥主缆线形计算方法［Ｊ］．交 通运输工程学报，２００４，４（３）：３８—４３． Ｄｉ Ｊｉｎ，Ｗｕ Ｊｕｎ．Ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｓ ｆｏｒ ｃａｂｌｅ ｃｕｒｖｅ ｏｆ ｓｅｌｆ－ａｎｃｈｏｒｅｄ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｒａｉｆｃ ａｎｄ Ｔｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００４，４（３）：３８—４３． （ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［５］肖海波，俞亚南，高．自锚式悬索桥主缆成桥线形 分析［Ｊ］．浙江大学学报，２００４，３８（１１）：１４６９—１４７３． Ｘｉａｏ Ｈａｉｂｏ，Ｙｕ Ｙａｎａｎ，Ｇａｏ Ｑｉｎｇｆｅｎｇ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｉｆｎ— ｉｓｈｅｄ ｍａｉｎ ｃａｂｌｅ ｓｈａｐｅ ｏｆ ｓｅｌｆ－ａｎｃｈｏｒｅｄ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅｓ［Ｊ］．Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｚｈｅｊｉａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００４，３８ （１１）：１４６９—１４７３．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｓｅ） ［６］干坚定．悬索桥主缆索夹位置计算及放样［Ｊ］．桥梁建 设，１９９９（２）：３３—３５． Ｇａｎ Ｊｉａｎｄｉｎｇ．Ｃｏｍｐｕｔｉｎｇ ａｎｄ ｌａｙｉｎｇ ｏｕｔ ｔｈｅ ｌｏｃａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｍａｉｎ ｃａｂｌｅ ｃｌａｍｐ ｆｏｒ ｔｈｅ ｓｕｓｅｐｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］． Ｂｒｉｄｇｅ Ｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎ，１９９９（２）：３３—３５．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［７］Ｋｉｍ Ｈ Ｋ，Ｌｅｅ Ｍ Ｊ，Ｃｈａｎｇ Ｓ Ｐ．Ｎｏｎ—ｌｉｎｅａｒ ｓｈａｐｅ—ｉｆｎｄ— ｉｎｇ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ａ ｓｅｌｆ－ｎａｃｈｏｒｅｄ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］． Ｅｎｇ Ｓｔｒｕｃｔ，２００２，２４：１５４７—１５５９． ［８］周泳涛，鲍卫刚，韩国杰．自锚式悬索桥空间缆索分析 与计算［Ｊ］．公路交通科技，２００７，２４（３）：５０—５５． Ｚｈｏｕ Ｙｏｎｇｔａｏ，Ｂａｏ Ｗｅｉｇａｎｇ，Ｈａｎ Ｇｕｏｊｉｅ．Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ ｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆ ｓｐｅｃｉａｌ ｃａｂｌｅ ｏｆ ｓｅｌｆ ａｎｃｈｏｒｅｄ ｓｕｓｐｅｎ— ｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＨｉｇｈｗａｙ＇ａｎｄＴｒａｎｓｐｏｒｔａｔｉｏｎ Ｒｅｓｅａｒｃｈ ａｎｄ Ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ，２００７，２４（３）：５０—５５．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［９］罗喜恒，肖汝诚，项海帆．空间缆索悬索桥的主缆线形 分析［Ｊ］．同济大学学报，２００４，３２（１０）：１３４８—１３５４． Ｌｕｏ Ｘｉｈｅｎｇ，Ｘｉａｏ Ｒｕｃｈｅｎｇ，Ｘｉａｎｇ Ｈａｉｆａｎ．Ｃａｂｌｅ ｓｈａｐｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｕｓｐｅｎｓｉｏｎ ｂｒｉｄｇｅ ｗｉｔｈ ｓｐａｔｉａｌ ｃａｂｌｅｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｔｏｎｇｊｉ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｙｔ，２００４，３２（１０）：１３４８— １３５４．（ｉｎ Ｃｈｉｎｅｓｅ） ［１０］Ａｈｎ Ｓ．Ｓｔａｔｉｃ ａｎｄ ｄｙｎａｍｉｃ ｎｏｎｌｉｎｅａｒ ｎａａｌｙｓｉｓ ｏｆ ｓｐａｔｉａｌ ｃａｂｌｅ ｎｅｔｗｏｒｋｓ ｕｓｉｎｇ ｅｌａｓｔｉｃ ｃａｔｅｎａｒｙ ｃａｂｌｅ ｅｌｅｍｅｎｔ ［Ｄ］．Ｋｏｒｅａ：Ｄｅｐｔ ｏｆ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｎｅｅｒｉｎｇ，Ｓｅｏｕｌ Ｎａｔｉｏｎ· ａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，１９９１．
