一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy0
称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p、q均为常数
如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC1y1C2y2就是它的通解
我们看看 能否适当选取r 使yerx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将yerx代入方程 ypyqy0得
(r 2prq)erx 0
由此可见 只要r满足代数方程r2prq0 函数yerx就是微分方程的解
特征方程 方程r2prq0叫做微分方程ypyqy0的特征方程 特征方程的两个根r1、r2可用公式 求出
特征方程的根与通解的关系
(1)特征方程有两个不相等的实根r1、r2时 函数、是方程的两个线性无关的解 这是因为
函数、是方程的解 又不是常数因此方程的通解为
(2)特征方程有两个相等的实根r1r2时 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 是方程的解 又
所以也是方程的解 且不是常数 因此方程的通解为
(3)特征方程有一对共轭复根r1, 2i时 函数ye(i)x、ye(i)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解 函数yexcosx、yexsinx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解
函数y1e(i)x和y2e(i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得 y1e(i)xex(cosxisinx) y2e(i)xex(cosxisinx) y1y22excosx y1y22iexsinx
故excosx、y2exsinx也是方程解
可以验证 y1excosx、y2exsinx是方程的线性无关解 因此方程的通解为 yex(C1cosxC2sinx )
求二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0的通解的步骤为第一步 写出微分方程的特征方程 r2prq0
第二步 求出特征方程的两个根r1、r2
第三步 根据特征方程的两个根的不同情况 写出微分方程的通解 例1 求微分方程y2y3y0的通解 解 所给微分方程的特征方程为 r22r30 即(r1)(r3)0
其根r11 r23是两个不相等的实根 因此所求通解为 yC1exC2e3x
例2 求方程y2yy0满足初始条件y|x04、y| x02的特解 解 所给方程的特征方程为 r22r10 即(r1)20
其根r1r21是两个相等的实根 因此所给微分方程的通解为 y(C1C2x)ex
将条件y|x04代入通解 得C14 从而 y(4C2x)ex
将上式对x求导 得 y(C24C2x)ex
再把条件y|x02代入上式 得C22 于是所求特解为 x(42x)ex
例 3 求微分方程y2y5y 0的通解 解 所给方程的特征方程为 r22r50
特征方程的根为r112i r212i 是一对共轭复根因此所求通解为
yex(C1cos2xC2sin2x)
n 阶常系数齐次线性微分方程 方程 y(n) p1y(n1)p2 y(n2) pn1ypny0
称为n 阶常系数齐次线性微分方程 其中 p1 p2 pn1 pn都是常数
二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式广到n 阶常系数齐次线性微分方程上去 引入微分算子D 及微分算子的n次多项式 L(D)=Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn
则n阶常系数齐次线性微分方程可记作 (Dn p1Dn1p2 Dn2 pn1Dpn)y0或L(D)y0
注 D叫做微分算子D0yy Dyy D2yy D3yy Dnyy(n) 分析 令yerx 则
L(D)yL(D)erx(rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn)erxL(r)erx
因此如果r是多项式L(r)的根 则yerx是微分方程L(D)y0的解 n 阶常系数齐次线性微分方程的特征方程 L(r)rn p1rn1p2 rn2 pn1rpn0
称为微分方程L(D)y0的特征方程 特征方程的根与通解中项的对应 单实根r 对应于一项 Cerx
一对单复根r1 2 i 对应于两项 ex(C1cosxC2sinx) k重实根r对应于k项 erx(C1C2x Ck xk1) 一对k 重复根r1 2 i 对应于2k项
ex[(C1C2x Ck xk1)cosx( D1D2x Dk xk1)sinx] 例4 求方程y(4)2y5y0 的通解 解 这里的特征方程为
可推 r42r35r20 即r2(r22r5)0它的根是r1r20和r3 412i
因此所给微分方程的通解为 yC1C2xex(C3cos2xC4sin2x) 例5 求方程y(4) 4y0的通解 其中0 解 这里的特征方程为 r4 40它的根为
因此所给微分方程的通解为
二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介
二阶常系数非齐次线性微分方程 方程 ypyqyf(x)
称为二阶常系数非齐次线性微分方程 其中p、q是常数
二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解yY(x)与非齐次方程本身的一个特解yy*(x)之和 yY(x) y*(x)
当f(x)为两种特殊形式时 方程的特解的求法 一、 f(x)Pm(x)ex 型
当f(x)Pm(x)ex时 可以猜想 方程的特解也应具有这种形式 因此 设特解形式为y*Q(x)ex 将其代入方程 得等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)
(1)如果不是特征方程r2prq0 的根 则2pq0 要使上式成立 Q(x)应设为m次多项式
Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*Qm(x)ex
(2)如果是特征方程 r2prq0 的单根 则2pq0 但2p0 要使等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)成立 Q(x)应设为m1 次多项式 Q(x)xQm(x)
Qm(x)b0xm b1xm1 bm1xbm
通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*xQm(x)ex
(3)如果是特征方程 r2prq0的二重根 则2pq0 2p0 要使等式 Q(x)(2p)Q(x)(2pq)Q(x)Pm(x)成立 Q(x)应设为m2次多项式 Q(x)x2Qm(x)
Qm(x)b0xmb1xm1 bm1xbm
通过比较等式两边同次项系数 可确定b0 b1 bm 并得所求特解 y*x2Qm(x)ex
综上所述 我们有如下结论 如果f(x)Pm(x)ex 则二阶常系数非齐次线性微分方程ypyqy f(x)有形如 y*xk Qm(x)ex
的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k 按不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2 例1 求微分方程y2y3y3x1的一个特解
解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程 且函数f(x)是Pm(x)ex型(其中Pm(x)3x1 0)
与所给方程对应的齐次方程为 y2y3y0
它的特征方程为 r22r30
由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为 y*b0xb1
把它代入所给方程 得 3b0x2b03b13x1
比较两端x同次幂的系数 得 3b03 2b03b11
由此求得b01 于是求得所给方程的一个特解为
例2 求微分方程y5y6yxe2x的通解
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)ex型(其
中Pm(x)x 2)
与所给方程对应的齐次方程为 y5y6y0
它的特征方程为 r25r 60
特征方程有两个实根r12 r23 于是所给方程对应的齐次方程的通解为 YC1e2xC2e3x
由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为 y*x(b0xb1)e2x
把它代入所给方程 得 2b0x2b0b1x
比较两端x同次幂的系数 得 2b01 2b0b10
由此求得 b11 于是求得所给方程的一个特解为
从而所给方程的通解为 提示
y*x(b0xb1)e2x(b0x2b1x)e2x
[(b0x2b1x)e2x][(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x
[(b0x2b1x)e2x][2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x
y*5y*6y*[(b0x2b1x)e2x]5[(b0x2b1x)e2x]6[(b0x2b1x)e2x]
[2b02(2b0xb1)2(b0x2b1x)22]e2x5[(2b0xb1)(b0x2b1x)2]e2x6(b0x2b1x)e2x[2b04(2b0xb1)5(2b0xb1)]e2x[2b0x2b0b1]e2x
方程ypyqyex[Pl (x)cosxPn(x)sinx]的特解形式 应用欧拉公式可得 ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]
其中 而mmax{l n}
设方程ypyqyP(x)e(i)x的特解为y1*xkQm(x)e(i)x则必是方程的特解
其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1 于是方程ypyqyex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]的特解为
xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx] 综上所述 我们有如下结论
如果f(x)ex [Pl(x)cosxPn(x)sinx] 则二阶常系数非齐次线性微分方程 ypyqyf(x)的特解可设为
y*xk ex[R(1)m(x)cosxR(2)m(x)sinx]
其中R(1)m(x)、R(2)m(x)是m次多项式 mmax{l n} 而k 按i (或i)不是特征方程的根或是特征方程的单根依次取0或1 例3 求微分方程yyxcos2x的一个特解
解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程
且f(x)属于ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型(其中0 2 Pl(x)x Pn(x)0） 与所给方程对应的齐次方程为 yy0
它的特征方程为 r210
由于这里i2i 不是特征方程的根 所以应设特解为 y*(axb)cos2x(cxd )sin2x把它代入所给方程 得
(3ax3b4c)cos2x(3cx3d4a)sin2xxcos2x比较两端同类项的系数 得 b0 c0于是求得一个特解为提示
y*(axb)cos2x(cxd)sin2x
y*acos2x2(axb)sin2xcsin2x2(cxd)cos2x (2cxa2d)cos2x(2ax2bc)sin2x
y*2ccos2x2(2cxa2d)sin2x2asin2x2(2ax2bc)cos2x
(4ax4b4c)cos2x(4cx4a4d)sin2xy* y*(3ax3b4c)cos2x(3cx4a3d)sin2x
由 得 b0 c0
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