寿阳县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

寿阳县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若函数f（x）=﹣a（x﹣x3）的递减区间为（

，

），则a的取值范围是（ ）

A．a＞0 B．﹣1＜a＜0 C．a＞1 D．0＜a＜1

2． 四棱锥P﹣ABCD的底面是一个正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，E是棱PA的中点，则异面直线BE与AC所成角的余弦值是（ ）

A． B． C． D．

3． 已知向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），若与共线．则n等于（ ） A．1

B．

C．2

D．4

4． 若函数f+∞）=0，f （x）是奇函数，且在（0，上是增函数，又f（﹣3）则（x﹣2）（x）＜0的解集是（ ）A．（﹣3，0）∪（2，3） B．（﹣∞，﹣3）∪（0，3） C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞） D．（﹣3，0）∪（2，+∞）

5． 如图，程序框图的运算结果为（ ）

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精选高中模拟试卷

A．6

B．24 C．20 D．120

6． 直线3xy10的倾斜角为（ ）

A．150 B．120 C．60 D．30 7． 以下四个命题中，真命题的是（ ） A．x(0,)，sinxtanx

B．“对任意的xR，x2x10”的否定是“存在x0R，x20x010 C．R，函数f(x)sin(2x)都不是偶函数 D．ABC中，“sinAsinBcosAcosB”是“C2”的充要条件

【命题意图】本题考查量词、充要条件等基础知识，意在考查逻辑推理能力． 8． 函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（ ） A．（0，） B．（，1） C．（1，2） D．（2，3）

9． 在等差数列{an}中，a3=5，a4+a8=22，则{}的前20项和为（ ）

A．

B．

C．

D．

10．已知偶函数f（x）=loga|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（ A．f（a+1）≥f（b+2） B．f（a+1）＞f（b+2）

C．f（a+1）≤f（b+2） D．f（a+1）＜f（b+2）

11．已知f(x)ax2x,x0x0，若不等式f(x2)f(x)对一切xR恒成立，则2x, a的最大值为（ A．716 B．916 C．112 D．4

12．一个算法的程序框图如图所示，若运行该程序后输出的结果为，则判断框中应填入的条件是（ 第 2 页，共 18 页

））

）精选高中模拟试卷

A．i≤5？B．i≤4？ C．i≥4？ D．i≥5？

二、填空题

13．（x﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．

22

14．若实数x，y满足x+y﹣2x+4y=0，则x﹣2y的最大值为 ．

15．设p：f（x）=ex+lnx+2x2+mx+1在（0，+∞）上单调递增，q：m≥﹣5，则p是q的 条件．

16．函数y=sin2x﹣2sinx的值域是y∈ ． 17．（﹣）0+[（﹣2）3]

= ．

21的一条对称轴方程为x，则函数f(x)的最大值为（ ） 26A．1 B．±1 C．2 D．2 18．已知函数f(x)asinxcosxsinx【命题意图】本题考查三角变换、三角函数的对称性与最值，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、转化思想与方程思想．

三、解答题

19．已知P（m，n）是函授f（x）=ex﹣1图象上任一于点

（Ⅰ）若点P关于直线y=x﹣1的对称点为Q（x，y），求Q点坐标满足的函数关系式 （Ⅱ）已知点M（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距离d=y=h（x）图象上时，公式变为

=|s﹣ex﹣1﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）|，（s∈R，t＞0）的最小值．

，当点M在函数

，请参考该公式求出函数ω（s，t）

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x2y2220．已知椭圆C:221ab0的左右焦点分别为F1,F2，椭圆C过点P1,，直线PF1 ab2交y轴于Q，且PF22QO,O为坐标原点．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M是椭圆C上的顶点，过点M分别作出直线MA,MB交椭圆于A,B两点，设这两条直线的斜率 分别为k1,k2，且k1k22，证明：直线AB过定点．

21．（本小题满分12分）

如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，且ABC60，侧面PDC为等边三角形，

o且与底面ABCD垂直，M为PB的中点． （Ⅰ）求证：PADM；

（Ⅱ）求直线PC与平面DCM所成角的正弦值．

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22．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O为AC中点．

（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；

（Ⅱ）求直线A1C与平面A1AB所成角的正弦值；

（Ⅲ）在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB，若不存在，说明理由；若存在，确定点E的位置．

23．已知：函数f（x）=log2，g（x）=2ax+1﹣a，又h（x）=f（x）+g（x）．

（1）当a=1时，求证：h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增，并证明函数h（x）有两个零点； （2）若关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根，求a的取值范围．

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24．已知关x的一元二次函数f（x）=ax2﹣bx+1，设集合P={1，2，3}Q={﹣1，1，2，3，4}，分别从集合P和Q中随机取一个数a和b得到数对（a，b）．

（2）求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．

（1）列举出所有的数对（a，b）并求函数y=f（x）有零点的概率；

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寿阳县第二中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】A

3

，

）

【解析】解：∵函数f（x）=﹣a（x﹣x）的递减区间为（∴f′（x）≤0，x∈（

，

）恒成立

，

）恒成立

2

即：﹣a（1﹣3x）≤0，，x∈（2

∵1﹣3x≥0成立

∴a＞0 故选A

【点评】本题主要考查函数单调性的应用，一般来讲已知单调性，则往往转化为恒成立问题去解决．

2． 【答案】B

【解析】解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系， 则B（2，0，0），E（0，0，1），A（0，0，0），C（2，2，0）， =（﹣2，0，1），

=（2，2，0），

设异面直线BE与AC所成角为θ， 则cosθ=故选：B．

=

=

．

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3． 【答案】A

【解析】解：∵向量=（1，n），=（﹣1，n﹣2），且与共线． ∴1×（n﹣2）=﹣1×n，解之得n=1 故选：A

4． 【答案】A

【解析】解：∵f（x）是R上的奇函数，且在（0，+∞）内是增函数， ∴在（﹣∞，0）内f（x）也是增函数， 又∵f（﹣3）=0， ∴f（3）=0

∴当x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）时，f（x）＜0；当x∈（﹣3，0）∪（3，+∞）时，f（x）＞0； ∴（x﹣2）•f（x）＜0的解集是（﹣3，0）∪（2，3） 故选：A．

5． 【答案】 B

【解析】解：∵循环体中S=S×n可知程序的功能是： 计算并输出循环变量n的累乘值，

∵循环变量n的初值为1，终值为4，累乘器S的初值为1， 故输出S=1×2×3×4=24， 故选：B．

【点评】本题考查的知识点是程序框图，其中根据已知分析出程序的功能是解答的关键．

6． 【答案】C 【解析】

试题分析：由直线3xy10，可得直线的斜率为k3，即tan360，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 7． 【答案】D

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8． 【答案】C

【解析】解：∵f（1）=1＞0，f（2）=1﹣2ln2=ln＜0， ∴函数f（x）=1﹣xlnx的零点所在区间是（1，2）． 故选：C．

【点评】本题主要考查函数零点区间的判断，判断的主要方法是利用根的存在性定理，判断函数在给定区间端点处的符号是否相反．

9． 【答案】B

【解析】解：在等差数列{an}中，由a4+a8=22，得2a6=22，a6=11． 又a3=5，得d={=

故选：B．

10．【答案】B

【解析】解：∵y=loga|x﹣b|是偶函数 ∴loga|x﹣b|=loga|﹣x﹣b| ∴|x﹣b|=|﹣x﹣b|

2222∴x﹣2bx+b=x+2bx+b

，∴a1=a3﹣2d=5﹣4=1．

=

．

}的前20项和为：

整理得4bx=0，由于x不恒为0，故b=0 由此函数变为y=loga|x|

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当x∈（﹣∞，0）时，由于内层函数是一个减函数， 又偶函数y=loga|x﹣b|在区间（﹣∞，0）上递增 故外层函数是减函数，故可得0＜a＜1 综上得0＜a＜1，b=0

∴a+1＜b+2，而函数f（x）=loga|x﹣b|在（0，+∞）上单调递减 ∴f（a+1）＞f（b+2） 故选B．

11．【答案】C

【解析】解析：本题考查用图象法解决与函数有关的不等式恒成立问题．

当a0（如图1）、a0（如图2）时，不等式不可能恒成立；当a0时，如图3，直线y2(x2)与函数yax2x图象相切时，a观察图象可得a891，切点横坐标为，函数yax2x图象经过点(2,0)时，a，

32161，选C． 212．【答案】 B

【解析】解：模拟执行程序框图，可得 i=1，sum=0，s=0

满足条件，i=2，sum=1，s=满足条件，i=3，sum=2，s=满足条件，i=4，sum=3，s=满足条件，i=5，sum=4，s=

+++

++

+

=1﹣+﹣+﹣+﹣=．

由题意，此时不满足条件，退出循环，输出s的，则判断框中应填入的条件是i≤4． 故选：B．

【点评】算法是新课程中的新增加的内容，也必然是新高考中的一个热点，应高度重视．程序填空也是重要的考试题型，这种题考试的重点有：①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出．其中前两点考试的概率更大．此种题型的易忽略点是：不能准确理解流程图的含义而导致错误．

二、填空题

13．【答案】 ﹣160

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【解析】解：由于（x﹣）展开式的通项公式为 Tr+1=

6•（﹣2）r•x6﹣2r，

=﹣160，

6

令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）展开式的常数项为﹣8

故答案为：﹣160．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

14．【答案】10

【解析】

【分析】先配方为圆的标准方程再画出图形，设z=x﹣2y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线z=x﹣2y过图形上的点A的坐标，即可求解．

2222

【解答】解：方程x+y﹣2x+4y=0可化为（x﹣1）+（y+2）=5， 即圆心为（1，﹣2），半径为的圆，（如图）

设z=x﹣2y，将z看做斜率为的直线z=x﹣2y在y轴上的截距， 经平移直线知：当直线z=x﹣2y经过点A（2，﹣4）时，z最大， 最大值为：10． 故答案为：10．

15．【答案】 必要不充分

x

【解析】解：由题意得f′（x）=e++4x+m， x2

∵f（x）=e+lnx+2x+mx+1在（0，+∞）内单调递增， x

∴f′（x）≥0，即e++4x+m≥0在定义域内恒成立，

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由于+4x≥4，当且仅当=4x，即x=时等号成立，

x

故对任意的x∈（0，+∞），必有e++4x＞5 x

∴m≥﹣e﹣﹣4x不能得出m≥﹣5

x

但当m≥﹣5时，必有e++4x+m≥0成立，即f′（x）≥0在x∈（0，+∞）上成立

∴p不是q的充分条件，p是q的必要条件，即p是q的必要不充分条件 故答案为：必要不充分

16．【答案】 [﹣1，3] ．

22

【解析】解：∵函数y=sinx﹣2sinx=（sinx﹣1）﹣1，﹣1≤sinx≤1，

22

∴0≤（sinx﹣1）≤4，∴﹣1≤（sinx﹣1）﹣1≤3． 2

∴函数y=sinx﹣2sinx的值域是y∈[﹣1，3]．

故答案为[﹣1，3]．

【点评】熟练掌握正弦函数的单调性、二次函数的单调性是解题的关键．

17．【答案】

03

【解析】解：（﹣）+[（﹣2）]

．

=1+（﹣2）﹣2 =1+=． 故答案为：．

18．【答案】A 【

解

析

】

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三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）因为点P，Q关于直线y=x﹣1对称，所以

．

解得．又n=em﹣1

，所以x=1﹣e（y+1）﹣1，即y=ln（x﹣1）．

x1

（2）ω（s，t）=|s﹣e﹣﹣1|+|t﹣ln（t﹣1）﹣1|

=

，

令u（s）=．

则u（s），v（t）分别表示函数y=e由（1）知，umin（s）=vmin（t）． 而f′（x）=e故

x﹣1

，令

x﹣1

，y=ln（t﹣1）图象上点到直线

x﹣y﹣1=0的距离．

f′（s）=1得s=1，所以umin（s）=

．

．

【点评】本题一方面考查了点之间的轴对称问题，同时利用函数式的几何意义将问题转化为点到直线的距离，然后再利用函数的思想求解．体现了解析几何与函数思想的结合．

x2y21；（2）证明见解析. 20．【答案】（1）2【解析】

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试

题解析：

c1， （1）PF22QO，∴PF2F1F2，∴

11222221,abcb1， 22ab∴b21,a22，

x2y21； 即2（2）设AB方程为ykxb代入椭圆方程

2kb1222xx,xAxB，kx2kbxb10AB12k22y1y1y1yB1，∴kMAkMBAkMAA,kMBBxAxBxAxBb21，

12k2yAxBxAyBxAxB∴kb1代入ykxb得：ykxk1所以， 直线必过1,1．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．

xAxB2，

【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

21．【答案】

o【解析】由底面ABCD为菱形且ABC60，∴ABC，ADC是等边三角形，

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取DC中点O，有OADC,OPDC，

∴POA为二面角PCDA的平面角， ∴POA90．

o分别以OA,OC,OP所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图， 则A(3,0,0),P(0,0,3),D(0,1,0),B(3,2,0),C(0,1,0)． …… 3分

3333,1,),∴DM(,2,),2222 3),0),PADM0, PADCPADC(3,0,P∴ PADM …… 6分

（Ⅰ）由M为PB中点，M(（Ⅱ）由DC(0,2,0)，PADC0，∴PADC， ∴ 平面DCM的法向量可取PA(3,0,3), …… 9分 DPC(0,1,3)， 设直线PC与平面DCM所成角为， 则sin|cosPC,PA||zMyBOACPCPA36． |4|PC||PA|626 ．…… 12分 4x即直线PC与平面DCM所成角的正弦值为22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）证明：因为A1A=A1C，且O为AC的中点， 所以A1O⊥AC．

又由题意可知，平面AA1C1C⊥平面ABC， 交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C， 所以A1O⊥平面ABC．

（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系． 由题意可知，A1A=A1C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴所以得： 则有：

．

，

．

，

设平面AA1B的一个法向量为n=（x，y，z），则有令y=1，得

所以

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．

．

因为直线A1C与平面A1AB所成角θ和向量n与（Ⅲ）设即所以

令OE∥平面A1AB，得即﹣1+λ+2λ﹣λ=0，得

，

，得，

，

所成锐角互余，所以

，得

，

即存在这样的点E，E为BC1的中点．

【点评】本小题主要考查空间线面关系、直线与平面所成的角、三角函数等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力

23．【答案】 【解析】解：（1）证明：h（x）=f（x）+g（x）=log2=log2（1﹣∵y=1﹣

）+2x；

在（1，+∞）上是增函数，

+2x，

故y=log2（1﹣

）在（1，+∞）上是增函数；

又∵y=2x在（1，+∞）上是增函数； ∴h（x）在x∈（1，+∞）上单调递增；

同理可证，h（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增；

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而h（1.1）=﹣log221+2.2＜0， h（2）=﹣log23+4＞0；

故h（x）在（1，+∞）上有且仅有一个零点，

同理可证h（x）在（﹣∞，﹣1）上有且仅有一个零点， 故函数h（x）有两个零点；

（2）由题意，关于x的方程f（x）=log2g（x）有两个不相等实数根可化为 1﹣故a=结合函数a=

＜a＜0；

即﹣1＜a＜0．

=2ax+1﹣a在（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）上有两个不相等实数根；

；

的图象可得，

【点评】本题考查了复合函数的单调性的证明与函数零点的判断，属于中档题．

24．【答案】

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【解析】解：（1）（a，b）共有（1，﹣1），（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），15种情况

2

函数y=f（x）有零点，△=b﹣4a≥0，有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6种情况满足条件

，（1，﹣1），（1，1），（1，

所以函数y=f（x）有零点的概率为（2）函数y=f（x）的对称轴为（3，4），共13种情况满足条件

，在区间[1，+∞）上是增函数则有

2），（2，﹣1），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，﹣1），（3，1），（3，2），（3，3），所以函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率为的不会太难但是每年必考的内容要引起重视．

【点评】本题主要考查概率的列举法和二次函数的单调性问题．对于概率是从高等数学下放的内容，一般考查

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