2021-2022学年浙江省绍兴市某校八年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1. 在以下节水、节能、回收、绿色食品四个标志中，是轴对称图形的是( )
A.
B. C. D.
2. 下列语句是命题的是（ ） A.作直线𝐴𝐵的垂线 C.同旁内角互补
3. 在下列条件中，不能说明△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴′𝐵′𝐶的是（ ） A.∠𝐴＝∠𝐴′，∠𝐶＝∠𝐶′，𝐴𝐶＝𝐴′𝐶′ B.∠𝐴＝∠𝐴′，𝐴𝐵＝𝐴′𝐵′，𝐵𝐶＝𝐵′𝐶′ C.∠𝐵＝∠𝐵′，∠𝐶＝∠𝐶′，𝐴𝐵＝𝐴′𝐵′ D.𝐴𝐵＝𝐴′𝐵′，𝐵𝐶＝𝐵′𝐶，𝐴𝐶＝𝐴′𝐶′
4. 已知𝑎<𝑏，下列不等式中正确的是（ ）
B.在线段𝐴𝐵上取点𝐶 D.垂线段最短吗？
A. B.𝑎−3<𝑏−3
C.𝑎+3>𝑏+3
D.−3𝑎<−3𝑏
5. 若等腰三角形的两边长分别为4和9，则它的周长为（ ） A.22
6. 在直角三角形𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴:∠𝐵:∠𝐶＝2:𝑚:4，则𝑚的值是（ ） A.3
7. 如图，已知直线𝑙交直线𝑎，𝑏于𝐴，𝐵两点，且𝑎 // 𝑏，𝐸是𝑎上的点，𝐹是𝑏上的点，
B.4
C.2或6
D.2或4
B.17
C.13
D.17或22
满足∠𝐷𝐴𝐸＝∠𝐵𝐴𝐸，∠𝐷𝐵𝐹＝∠𝐴𝐵𝐹，则∠𝐴𝐷𝐵的度数是（ ）
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A.45∘
B.50∘ C.60∘
D.无法确定
8. 已知𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐷，则∠1与∠2的关系是（ ）A.∠1=2∠2
C.∠1+3∠2=180∘
9. 如图，以𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶的三条边作三个正三角形，则𝑆1、𝑆2、𝑆3、𝑆4的关系为（ ）
B.2∠1+∠2=180∘ D.3∠1−∠2=180∘
A.𝑆1+𝑆2+𝑆3＝𝑆4 C.𝑆1+𝑆3＝𝑆2+𝑆4
B.𝑆1+𝑆2＝𝑆3+𝑆4 D.不能确定
10. 如图，∠𝐴𝑂𝐵＝45∘，∠𝐴𝑂𝐵内有一定点𝑃，且𝑂𝑃＝8．在𝑂𝐴上有一动点𝑄，𝑂𝐵上有一动点𝑅．若△𝑃𝑄𝑅周长最小，则最小周长是（ ）
A.8
B.
C.16
D.
二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分）
根据数量关系列不等式：𝑥的2倍与𝑦的差大于3________．
命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是________．
𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中∠𝐴𝐵𝐶=90∘，斜边𝐴𝐶=10𝑐𝑚，𝐷为斜边上的中点，斜边上的中线𝐵𝐷=________．
已知等腰三角形一腰上高与另一腰夹角30∘，则顶角的度数为________．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷是𝐵𝐶的中点，作射线𝐴𝐷，在线段𝐴𝐷及其延长线上分别取点𝐸，𝐹，连接𝐶𝐸，𝐵𝐹．添加一个条件，使得△𝐵𝐷𝐹≅△𝐶𝐷𝐸.你添加的条件是
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________．（不添加辅助线）
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是𝐵𝐶上的高，𝐴𝐸平分∠𝐵𝐴𝐶，∠𝐵＝65∘，∠𝐶＝45∘，则∠𝐷𝐴𝐸＝________度．
如图，点𝑃是∠𝐵𝐴𝐶的平分线上一点，𝑃𝐵⊥𝐴𝐵于𝐵，且𝑃𝐵=5𝑐𝑚，𝐴𝐶=12𝑐𝑚，则△𝐴𝑃𝐶的面积是________𝑐𝑚2．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，已知点𝐷为𝐵𝐶上一点，𝐸，𝐹分别为𝐴𝐷，𝐵𝐸的中点，且𝑆△𝐴𝐵𝐶＝13，则图中阴影部分△𝐶𝐸𝐹的面积是________．
如图，𝑂是正△𝐴𝐵𝐶内一点，𝑂𝐴=3，𝑂𝐵=4，𝑂𝐶=5，将线段𝐵𝑂以点𝐵为旋转中心逆时针旋转60∘得到线段𝐵𝑂′，下列结论：①△𝐵𝑂′𝐴可以由△𝐵𝑂𝐶绕点𝐵逆时针旋转60∘
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得到；②点𝑂与𝑂′的距离为4；③∠𝐴𝑂𝐵=150∘；④𝑆四边形𝐴𝑂𝐵𝑂′=6+3√3．其中正确
的结论是________．
三.解答题（共6小题，满分40分）
已知：如图，∠𝐶＝∠𝐷＝90∘，𝐴𝐷＝𝐵𝐶．求证∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐵𝐴𝐷．
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐶＝90∘，边𝐴𝐵的垂直平分线交𝐴𝐵，𝐴𝐶边分别为点𝐷，点𝐸，连结𝐵𝐸．
（1）若∠𝐴＝35∘，求∠𝐶𝐵𝐸的度数；
（2）若𝐴𝐵＝10，𝐵𝐶＝6，求△𝐵𝐶𝐸的周长．
如图，△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝐸𝐶𝐷＝90∘．𝐷为𝐴𝐵边上一点．
（1）△𝐴𝐶𝐸≅△𝐵𝐶𝐷；
（2）𝐴𝐷2+𝐷𝐵2＝𝐷𝐸2．
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我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点．
（1）特例感知
①等腰直角三角形________勾股高三角形（请填写“是”或者“不是”）；
②如图1，已知△𝐴𝐵𝐶为勾股高三角形，其中𝐶为勾股顶点，𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的高．若𝐵𝐷＝2，𝐴𝐷＝1，试求线段𝐶𝐷的长度．
（2）深入探究
如图2，已知△𝐴𝐵𝐶为勾股高三角形，其中𝐶为勾股顶点且𝐶𝐴>𝐶𝐵，𝐶𝐷是𝐴𝐵边上的高．试探究线段𝐴𝐷与𝐶𝐵的数量关系，并给予证明．
如图，在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵＝8，𝐵𝐶＝6，点𝐷从𝐵点出发，沿射线𝐶𝐵方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线𝑀𝑃⊥射线𝐶𝐵且𝐵𝑀＝10，点𝑄从𝑀点出发，沿射线𝑀𝑃方向以每秒𝑎个单位长度的速度运动，已知𝐷、𝑄两点同时出发，运动时间为𝑡秒．
（1）当𝑡＝2时，△𝐷𝑀𝑄是等腰三角形，求𝑎的值．
（2）求𝑡为何值时，△𝐷𝐶𝐴为等腰三角形．
（3）是否存在𝑎，使得△𝐷𝑀𝑄与△𝐴𝐵𝐶全等，若存在，请直接写出𝑎的值，若不存在，请说明由．
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如图1，等边△𝐴𝐵𝐶边长为8，𝐴𝐷是△𝐴𝐵𝐶的中线，𝑃为线段𝐴𝐷（不包括端点𝐴、𝐷）上一动点，以𝐶𝑃为一边且在𝐶𝑃下方作如图所示的等边△𝐶𝑃𝐸，连结𝐵𝐸．
（1）点𝑃在运动过程中，线段𝐵𝐸与𝐴𝑃始终相等吗？说说你的理由；
（2）若延长𝐵𝐸至𝐹，使得𝐶𝐹＝𝐶𝐸＝5，如图2， ①求出此时𝐴𝑃的长；
②当点𝑃在线段𝐴𝐷的延长线上，点𝐹在射线𝐵𝐸上时，判断𝐸𝐹的长是否为定值，若是请直接写出𝐸𝐹的长；若不是请简单说明理由．
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参考答案与试题解析
2021-2022学年浙江省绍兴市某校八年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 【答案】 D
【考点】 轴对称图形 【解析】
根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【解答】
解：𝐴、不是轴对称图形，故此选项错误； 𝐵、不是轴对称图形，故此选项错误； 𝐶、不是轴对称图形，故此选项错误； 𝐷、是轴对称图形，故此选项正确． 故选𝐷． 2. 【答案】 C
【考点】 命题与定理 【解析】
根据命题的定义作答． 【解答】
解：𝐴、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题； 𝐵、是作图语言，不符合命题的定义，不是命题； 𝐶、符合命题的定义，是命题；
𝐷、是一个问句，不符合命题的定义，不是命题． 故选𝐶． 3. 【答案】 B
【考点】
全等三角形的判定 【解析】
根据题意，对选项一一分析，选择正确答案． 【解答】
𝐵、∠𝐴＝∠𝐴′，𝐴𝐵＝𝐴′𝐵′，𝐵𝐶＝𝐵′𝐶′，𝑆𝑆𝐴不能判定两个三角形全等，故选项错误（1）𝐶、∠𝐵＝∠𝐵′，∠𝐶＝∠𝐶′，𝐴𝐵＝𝐴′𝐵′，可用𝐴𝐴𝑆判定△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴′𝐵′𝐶，故选项正确（2）𝐷、𝐴𝐵＝𝐴′𝐵′，𝐵𝐶＝𝐵′𝐶，𝐴𝐶＝𝐴′𝐶′，可用𝑆𝑆𝑆判定△𝐴𝐵𝐶≅△𝐴′𝐵′𝐶，故选项正确． 故选：𝐵． 4.
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【答案】 B
【考点】 不等式的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 5. 【答案】 A
【考点】
三角形三边关系 等腰三角形的性质 【解析】
根据题意，要分情况讨论：①4是腰；②4是底．必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边． 【解答】
①若4是腰，则另一腰也是4，底是9，但是4+4<9， 故不能构成三角形，舍去． ②若4是底，则腰是9，9． 4+9>9，符合条件，成立． 故周长为：4+9+9＝22． 6. 【答案】 C
【考点】
直角三角形的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 7. 【答案】 A
【考点】 平行线的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 8. 【答案】 D
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【考点】
等腰三角形的性质 【解析】
根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠1和∠𝐶之间的关系，再根据三角形外角的性质可得∠1和∠2之间的关系． 【解答】
解：∵ 𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐵𝐷， ∴ ∠𝐵=∠𝐶=180◦−2∠1， ∴ ∠1−∠2=180◦−2∠1， ∴ 3∠1−∠2=180◦． 故选D． 9. 【答案】 C 【考点】 勾股定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 10. 【答案】 B
【考点】
轴对称——最短路线问题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
二.填空题（共10小题，满分30分，每小题3分） 【答案】 2𝑥−𝑦>3
【考点】
由实际问题抽象出一元一次不等式 【解析】
𝑥的2倍即2𝑥，与𝑦的差大于3即2𝑥−𝑦>3，据此列不等式即可． 【解答】
根据题意，得2𝑥−𝑦>3． 【答案】
两个角相等的三角形是等腰三角形 【考点】 命题与定理 【解析】
先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题．
试卷第9页，总18页
【解答】
解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”．
故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形. 【答案】 5𝑐𝑚
【考点】
直角三角形斜边上的中线 【解析】
根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【解答】
解：𝐵𝐷=𝐴𝐶=×10=5(𝑐𝑚)．
2
2
1
1
故答案是：5𝑐𝑚． 【答案】 120∘或60∘ 【考点】
等腰三角形的性质 【解析】
分顶角为钝角和顶角为锐角两种情况：当顶角为钝角时，则可求得其邻补角为60∘；当顶角为锐角时，可求得顶角为60∘；可得出答案． 【解答】
当顶角为钝角时，如图1，可求得其顶角的邻补角为60∘，则顶角为120∘；
当顶角为锐角时，如图2，可求得其顶角为60∘；
综上可知该等腰三角形的顶角为120∘或60∘． 【答案】 𝐷𝐹=𝐷𝐸 【考点】
全等三角形的判定 【解析】
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由已知可证𝐵𝐷=𝐶𝐷，又∠𝐸𝐷𝐶﹦∠𝐹𝐷𝐵，因为三角形全等条件中必须是三个元素．故添加的条件是：𝐷𝐸=𝐷𝐹（或𝐶𝐸 // 𝐵𝐹或∠𝐸𝐶𝐷=∠𝐷𝐵𝐹或∠𝐷𝐸𝐶=∠𝐷𝐹𝐵等）； 【解答】
解：添加的条件是：𝐷𝐹=𝐷𝐸， 理由如下：
∵ 点𝐷是𝐵𝐶的中点， ∴ 𝐵𝐷=𝐶𝐷．
在△𝐵𝐷𝐹和△𝐶𝐷𝐸中， 𝐵𝐷=𝐶𝐷，∵ {∠𝐵𝐷𝐹=∠𝐶𝐷𝐸，
𝐷𝐹=𝐷𝐸，∴ △𝐵𝐷𝐹≅△𝐶𝐷𝐸(𝑆𝐴𝑆)．
故答案为：𝐷𝐹=𝐷𝐸．（答案不唯一） 【答案】 10
【考点】
角平分线的定义 三角形内角和定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】 30
【考点】
角平分线的性质 【解析】
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得点𝑃到𝐴𝐶的距离等于5，从而求得△𝐴𝑃𝐶的面积． 【解答】
解：∵ 𝐴𝑃平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于点𝑃， ∠𝐴𝐵𝐶=90∘，𝑃𝐵=5𝑐𝑚， ∴ 点𝑃到𝐴𝐶的距离等于5𝑐𝑚， ∵ 𝐴𝐶=12𝑐𝑚，
∴ △𝐴𝑃𝐶的面积=12×5÷2=30𝑐𝑚2， 故答案为：30． 【答案】
【考点】 三角形的面积 【解析】 此题暂无解析 【解答】
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此题暂无解答 【答案】 ①②③
【考点】 旋转的性质
等边三角形的判定方法 【解析】
连接𝑂𝑂′，如图，先利用旋转的性质得𝐵𝑂′=𝐵𝑂=4，∠𝑂𝐵𝑂′=60∘，再利用△𝐴𝐵𝐶为等边三角形得到𝐵𝐴=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=60∘，则根据旋转的定义可判断△𝐵𝑂′𝐴可以由△𝐵𝑂𝐶绕点𝐵逆时针旋转60∘得到；接着证明△𝐵𝑂𝑂′为等边三角形得到∠𝐵𝑂𝑂′=60∘，𝑂𝑂′=𝑂𝐵=4；根据旋转的性质得到𝐴𝑂′=𝑂𝐶=5，利用勾股定理的逆定理证明△𝐴𝑂𝑂′为直角三角形，∠𝐴𝑂𝑂′=90∘，于是得到∠𝐴𝑂𝐵=150∘；最后利用𝑆四边形𝐴𝑂𝐵𝑂′=𝑆△𝐴𝑂𝑂′+𝑆△𝐵𝑂𝑂′可计算出𝑆四边形𝐴𝑂𝐵𝑂′=6+4√3． 【解答】
解：连接𝑂𝑂′，如图
∵ 线段𝐵𝑂以点𝐵为旋转中心逆时针旋转60∘得到线段𝐵𝑂′， ∴ 𝐵𝑂′=𝐵𝑂=4，∠𝑂𝐵𝑂′=60∘， ∵ △𝐴𝐵𝐶为等边三角形， ∴ 𝐵𝐴=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=60∘，
∴ △𝐵𝑂′𝐴可以由△𝐵𝑂𝐶绕点𝐵逆时针旋转60∘得到，则①正确； ∵ 𝐵𝑂′=𝐵𝑂=4，∠𝑂𝐵𝑂′=60∘， ∴ △𝐵𝑂𝑂′为等边三角形，
∴ ∠𝐵𝑂𝑂′=60∘，𝑂𝑂′=𝑂𝐵=4，所以②正确； ∵ △𝐵𝑂′𝐴可以由△𝐵𝑂𝐶绕点𝐵逆时针旋转60∘得到， ∴ 𝐴𝑂′=𝑂𝐶=5，
在△𝐴𝑂𝑂′中，∵ 𝑂𝐴=3，𝑂𝑂′=4，𝐴𝑂′=5， ∴ 𝑂𝐴2+𝑂𝑂′2=𝐴𝑂′2，
∴ △𝐴𝑂𝑂′为直角三角形，∠𝐴𝑂𝑂′=90∘，
∴ ∠𝐴𝑂𝐵=∠𝐴𝑂𝑂′+∠𝐵𝑂𝑂′=90∘+60∘=150∘，所以③正确； 𝑆四边形𝐴𝑂𝐵𝑂′=𝑆△𝐴𝑂𝑂′+𝑆△𝐵𝑂𝑂′=2×3×4+
1
√34
×42=6+4√3，所以④错误．
故答案为①②③．
三.解答题（共6小题，满分40分） 【答案】
证明：∵ ∠𝐶＝∠𝐷＝90∘，𝐴𝐷＝𝐵𝐶， ∵ ∠𝐴𝐸𝐷＝∠𝐵𝐸𝐶，
在𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸与𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸中，
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，
∴ 𝑅𝑡△𝐴𝐷𝐸≅𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐸(𝐴𝐴𝑆)， ∴ ∠𝐷𝐴𝐸＝∠𝐶𝐵𝐸，𝐴𝐸＝𝐵𝐸， ∴ ∠𝐸𝐴𝐵＝∠𝐸𝐵𝐴，
∴ ∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐸𝐴𝐵＝∠𝐸𝐵𝐴+∠𝐸𝐴𝐵， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶＝∠𝐵𝐴𝐷． 【考点】
全等三角形的性质与判定 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
∵ ∠𝐶＝90∘，∠𝐴＝35∘， ∴ ∠𝐴𝐵𝐶＝55∘，
∵ 𝐷𝐸是边𝐴𝐵的垂直平分线， ∴ 𝐸𝐵＝𝐸𝐴，
∴ ∠𝐸𝐵𝐴＝∠𝐴＝35∘，
∴ ∠𝐶𝐵𝐸＝∠𝐶𝐵𝐴−∠𝐸𝐵𝐴＝20∘； ∵ 𝐴𝐵＝10，𝐵𝐶＝6， 由勾股定理得，𝐴𝐶＝【考点】
线段垂直平分线的性质 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
∵ ∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝐸𝐶𝐷＝90∘，
∴ ∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐵𝐶𝐷＝∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐸， 即∠𝐵𝐶𝐷＝∠𝐴𝐶𝐸．
∵ 𝐵𝐶＝𝐴𝐶，𝐷𝐶＝𝐸𝐶， ∴ △𝐴𝐶𝐸≅△𝐵𝐶𝐷．
∵ △𝐴𝐶𝐵是等腰直角三角形， ∴ ∠𝐵＝∠𝐵𝐴𝐶＝45∘． ∵ △𝐴𝐶𝐸≅△𝐵𝐶𝐷， ∴ ∠𝐵＝∠𝐶𝐴𝐸＝45∘
∴ ∠𝐷𝐴𝐸＝∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐶＝45∘+45∘＝90∘， ∴ 𝐴𝐷2+𝐴𝐸2＝𝐷𝐸2．
＝
，
∴ △𝐵𝐶𝐸的周长＝𝐵𝐶+𝐶𝐸+𝐸𝐵＝𝐵𝐶+𝐶𝐸+𝐸𝐴＝𝐵𝐶+𝐴𝐶＝14．
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由（1）知𝐴𝐸＝𝐷𝐵， ∴ 𝐴𝐷2+𝐷𝐵2＝𝐷𝐸2． 【考点】
等腰直角三角形
全等三角形的性质与判定 【解析】
（1）本题要判定△𝐴𝐶𝐸≅△𝐵𝐶𝐷，已知△𝐴𝐶𝐵和△𝐸𝐶𝐷都是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝐸𝐶𝐷＝90∘，则𝐷𝐶＝𝐸𝐴，𝐴𝐶＝𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝐸𝐶𝐷，又因为两角有一个公共的角∠𝐴𝐶𝐷，所以∠𝐵𝐶𝐷＝∠𝐴𝐶𝐸，根据𝑆𝐴𝑆得出△𝐴𝐶𝐸≅△𝐵𝐶𝐷．
（2）由（1）的论证结果得出∠𝐷𝐴𝐸＝90∘，𝐴𝐸＝𝐷𝐵，从而求出𝐴𝐷2+𝐷𝐵2＝𝐷𝐸2． 【解答】
∵ ∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝐸𝐶𝐷＝90∘，
∴ ∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐵𝐶𝐷＝∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴𝐶𝐸， 即∠𝐵𝐶𝐷＝∠𝐴𝐶𝐸．
∵ 𝐵𝐶＝𝐴𝐶，𝐷𝐶＝𝐸𝐶， ∴ △𝐴𝐶𝐸≅△𝐵𝐶𝐷．
∵ △𝐴𝐶𝐵是等腰直角三角形， ∴ ∠𝐵＝∠𝐵𝐴𝐶＝45∘． ∵ △𝐴𝐶𝐸≅△𝐵𝐶𝐷， ∴ ∠𝐵＝∠𝐶𝐴𝐸＝45∘
∴ ∠𝐷𝐴𝐸＝∠𝐶𝐴𝐸+∠𝐵𝐴𝐶＝45∘+45∘＝90∘， ∴ 𝐴𝐷2+𝐴𝐸2＝𝐷𝐸2． 由（1）知𝐴𝐸＝𝐷𝐵， ∴ 𝐴𝐷2+𝐷𝐵2＝𝐷𝐸2． 【答案】 是 ，
解得，𝐶𝐷＝；
【考点】 三角形综合题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
当𝑡＝2时，𝐷𝐵＝6， ∵ 𝐵𝑀＝10， ∴ 𝐷𝑀＝6，
∵ △𝐷𝑀𝑄是等腰三角形，∠𝐷𝑀𝑄＝90∘， ∴ 𝐷𝑀＝𝑀𝑄，即4＝2𝑎， 解得，𝑎＝4；
①当𝐴𝐶＝𝐴𝐷时，△𝐷𝐶𝐴为等腰三角形， ∵ 𝐴𝐵⊥𝐶𝐷， ∴ 𝐵𝐷＝𝐵𝐶＝6，
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∴ 𝑡＝2；
②由勾股定理得，𝐴𝐶＝
，
当𝐴𝐶＝𝐶𝐷＝10时，△𝐷𝐶𝐴为等腰三角形， ∵ 𝐵𝐶＝6， ∴ 𝐵𝐷＝6，
∴ 𝑡＝；
③当𝐴𝐷＝𝐶𝐷＝4+3𝑡时，△𝐷𝐶𝐴为等腰三角形， ∵ ∠𝐴𝐵𝐷＝90∘，
∴ 𝐴𝐵2+𝐵𝐷2＝𝐴𝐷2，即88+(3𝑡)2＝(2+3𝑡)2，
解得，𝑡＝，
综上所述：𝑡＝2或或时，△𝐷𝐶𝐴为等腰三角形；
当△𝐷𝑀𝑄与△𝐴𝐵𝐶全等， ①△𝐷𝑀𝑄≅△𝐴𝐵𝐶，
∴ 𝑀𝑄＝𝐵𝐶＝6，𝐷𝑀＝𝐴𝐵＝8， ∵ 𝐵𝑀＝10，
∴ 𝐵𝐷＝6或𝐵𝐷＝18，
∴ 𝑡＝或𝑡＝3，
∴ 𝑎＝9或𝑎＝1； ②△𝐷𝑀𝑄≅△𝐶𝐵𝐴，
∴ 𝐷𝑀＝𝐵𝐶＝5，𝑀𝑄＝𝐴𝐵＝8， ∴ 𝐵𝐷＝4或16，
∴ 𝑡＝或，
∴ 𝑎＝5或，
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综上所述：当△𝐷𝑀𝑄与△𝐴𝐵𝐶全等时，𝑎＝4或1或6或．
【考点】 三角形综合题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答 【答案】
𝐵𝐸＝𝐴𝑃，
理由如下：∵ △𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝑃𝐸均为等边三角形， ∴ ∠𝐴𝐶𝐵＝∠𝑃𝐶𝐸＝60∘，𝐴𝐶＝𝐵𝐶，
∵ ∠𝐴𝐶𝑃+∠𝐷𝐶𝑃＝∠𝐷𝐶𝐸+∠𝑃𝐶𝐷＝60∘， ∴ ∠𝐴𝐶𝑃＝∠𝐵𝐶𝐸，
∵ 在△𝐴𝐶𝑃和△𝐵𝐶𝐸中，
，
∴ △𝐴𝐶𝑃≅△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)， ∴ 𝐵𝐸＝𝐴𝑃；
①如图2，过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐵𝐸， ∵ 𝐴𝐵＝𝐴𝐶，𝐴𝐷是𝐵𝐶的中点，
∴ ∠𝐶𝐴𝐷＝∠𝐵𝐴𝐷＝
∠𝐵𝐴𝐶＝30∘，
由（1）可知，△𝐴𝐶𝑃≅△𝐵𝐶𝐸， ∴ ∠𝐶𝐵𝐸＝∠𝐶𝐴𝐷＝30∘，𝐴𝑃＝𝐵𝐸， 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐻中，∠𝐻𝐵𝐶＝30∘，
∴ 𝐻𝐶＝𝐵𝐶＝2，
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由勾股定理得，𝐵𝐻＝∵ 在𝑅𝑡△𝐶𝐸𝐻中，𝐸𝐶＝5， ∴ 𝐸𝐻＝
∴ 𝐵𝐸＝𝐻𝐵−𝐸𝐻＝4∴ 𝐴𝑃＝4
−4；
＝4， −4，
，
②𝐸𝐹的长为定值6，
理由如下：如图2，过点𝐶作𝐶𝐻⊥𝐵𝐸， ∵ △𝐴𝐵𝐶和△𝐶𝐸𝑃均为等边三角形， ∴ 𝐴𝐶＝𝐵𝐶，𝐶𝐸＝𝑃𝐶．
∴ ∠𝐴𝐶𝐵+∠𝐵𝐶𝑃＝∠𝐸𝐶𝑃+𝐵𝐶𝑃，即∠𝐵𝐶𝐸＝∠𝐴𝐶𝑃， ∵ 在△𝐴𝐶𝑃和△𝐵𝐶𝐸中，
，
∴ △𝐴𝐶𝑃≅△𝐵𝐶𝐸(𝑆𝐴𝑆)，
∴ ∠𝐶𝐵𝐻＝∠𝐶𝐴𝑃＝30∘，𝐴𝑃＝𝐵𝐸， ∵ 在𝑅𝑡△𝐵𝐶𝐻中，∠𝐶𝐵𝐻＝30∘，
∴ 𝐻𝐶＝𝐵𝐶＝5，
，
由勾股定理得，𝐹𝐻＝∵ 𝐶𝐹＝𝐶𝐸，𝐶𝐻⊥𝐹𝐸， ∴ 𝐹𝐻＝𝐸𝐻＝2， ∴ 𝐸𝐹＝6．
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【考点】 三角形综合题 【解析】 此题暂无解析 【解答】 此题暂无解答
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