天柱县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

一、选择题

1． 已知等差数列an的前项和为Sn，且a120，在区间3,5内任取一个实数作为数列an 的公差，则Sn的最小值仅为S6的概率为（ ） A．

1131 B． C． D． 56143

2． （2015秋新乡校级期中）已知x+x﹣1=3，则x2+x﹣2等于（ ）

A．7 B．9 C．11 D．13

3． 过抛物线y2=﹣4x的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），若x1+x2=﹣6，则|AB|为（ ） A．8

B．10

C．6

D．4

4． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）

A．34种 B．35种 C．120种 D．140种

5． 高考临近，学校为丰富学生生活，缓解高考压力，特举办一场高三学生队与学校校队的男子篮球比赛．由于爱好者众多，高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．首发要求每个班至少1人，至多2人，则首发方案数为（ ） A．720 B．270 C．390 D．300

6． 有30袋长富牛奶，编号为1至30，若从中抽取6袋进行检验，则用系统抽样确定所抽的编号为（ ） A．3，6，9，12，15，18 B．4，8，12，16，20，24 C．2，7，12，17，22，27 D．6，10，14，18，22，26

7． 已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（ ）

A． B．C．

D．

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8． 已知函数F(x)ex满足F(x)g(x)h(x)，且g(x)，h(x)分别是R上的偶函数和奇函数， 若x(0,2]使得不等式g(2x)ah(x)0恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A．(,22) B．(,22] C．(0,22] D．(22,) 9． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA1=角的正切值为（ ） A．

B．

C．

，M为A1B1的中点，则AM与平面AA1C1C所成

D．

10．设a=sin145°，b=cos52°，c=tan47°，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．a＜c＜b

11．已知集合A{2,1,1,2,4}，B{y|ylog2|x|1,xA}，则AB（ ） A．{2,1,1} B．{1,1,2} C．{1,1} D．{2,1} 【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 12．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）=A．

B．

C．

D．

；当x＜4时f（x）=f（x+1），则f（2+log23）=（ ）

二、填空题

13．已知函数f(x)2tanx，则f()的值是_______，f(x)的最小正周期是______. 21tanx3的解集为 ．

【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力． 14．不等式

15．已知平面上两点M（﹣5，0）和N（5，0），若直线上存在点P使|PM|﹣|PN|=6，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中：

①y=x+1 ②y=2 ③y=x ④y=2x+1 是“单曲型直线”的是 ．

16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线； ③CN与BM成60角；④DM与BN是异面直线．

以上四个命题中，正确命题的序号是 （写出所有你认为正确的命题）．

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217．【2017-2018第一学期东台安丰中学高三第一次月考】函数fxlnxx的单调递增区间为__________． 18．已知向量a,b满足a4，|b|2，(ab)(3ab)4，则a与b的夹角为 .

【命题意图】本题考查向量的数量积、模及夹角知识，突出对向量的基础运算及化归能力的考查，属于容易题.

2三、解答题

19．已知函数

（1）求实数a，b的值； （2）求函数f（x）的值域．

20．在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为：A（0，4）；B（﹣3，0），C（1，1） （1）求点C到直线AB的距离； （2）求AB边的高所在直线的方程．

21．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD的两条对角线相交于点M2,0,AB边所在直线的方

（a≠0）是奇函数，并且函数f（x）的图象经过点（1，3），

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程为x3y60点T1,1在AD边所在直线上. （1）求AD边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD外接圆的方程.

22．已知函数f（x）=

（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．

（1）求函数f（x）的单调递增区间； （2）若函数f（x）的极大值为

23．在平面直角坐标系xOy中，经过点P和Q．

且斜率为k的直线l与椭圆

有两个不同的交点

，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．

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（Ⅰ）求k的取值范围；

与

共线？

（Ⅱ）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数k，使得向量如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由．

24．定义在R上的增函数y=f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），则 （1）求f（0）； （2）证明：f（x）为奇函数；

xxx

（3）若f（k•3）+f（3﹣9﹣2）＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

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天柱县第一中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题

1． 【答案】D 【解析】

考

点：等差数列．

2． 【答案】A

1

【解析】解：∵x+x﹣=3，

22122

则x+x﹣=（x+x﹣）﹣2=3﹣2=7．

故选：A．

【点评】本题考查了乘法公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

3． 【答案】A

【解析】解：由题意，p=2，故抛物线的准线方程是x=1，

2

∵抛物线y=﹣4x 的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1）B（x2，y2）两点

∴|AB|=2﹣（x1+x2）， 又x1+x2=﹣6

∴∴|AB|=2﹣（x1+x2）=8 故选A

4． 【答案】A

【解析】解：从7个人中选4人共=34种． 故选：A．

种选法，只有男生的选法有

种，所以既有男生又有女生的选法有

﹣

【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题

5． 【答案】C

各个班的人数有5班的3人、16班的4人、33班的5人，

解析：高三学生队队员指定由5班的6人、16班的8人、33班的10人按分层抽样构成一个12人的篮球队．

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首发共有1、2、2；2、1、2；2、2、1类型； 所求方案有：故选：C． 6． 【答案】C

【解析】解：从30件产品中随机抽取6件进行检验， 采用系统抽样的间隔为30÷6=5， 只有选项C中编号间隔为5，

故选：C．

7． 【答案】B

x

【解析】解：先做出y=2的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象， 再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象． 故选B

+

+

=390．

【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．

8． 【答案】B 【解析】

x试题分析：因为函数Fxe满足Fxgxhx,且gx,hx分别是R上的偶函数和奇函数,egxhx,exxexexexexgxhx,gx,hx,x0,2 使得不等式

22ee22x2xg2xahx0恒成立, 即

exexeea2xx0恒成立, aeeexex2x2xexex22exex

2xxxx22, 设tee，则函数tee在0,2上单调递增,0tee, 此时不等xxee22式t22,当且仅当t,即t2时, 取等号,a22,故选B.

tt考点：1、函数奇偶性的性质；2、不等式恒成立问题及函数的最值.

【方法点晴】本题主要考查函数奇偶性的性质、不等式恒成立问题及函数的最值，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数af(x)恒成立（af(x)min即可）或af(x)恒成立（af(x)max即可）；②数形结合；③讨论最值f(x)min0或f(x)max0恒成立；④讨论参数 .本题是利用方法①求得的最大值的.

9． 【答案】D

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【解析】解：双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x

联立方程组，解得A（，），B（，﹣），

设直线x=与x轴交于点D

∵F为双曲线的右焦点，∴F（C，0）

∵△ABF为钝角三角形，且AF=BF，∴∠AFB＞90°，∴∠AFD＞45°，即DF＜DA ∴c﹣

＜

222222

，b＜a，c﹣a＜a∴c＜2a，e＜2，e＜

又∵e＞1

∴离心率的取值范围是1＜e＜故选D

【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．

10．【答案】A

【解析】解：∵a=sin145°=sin35°，b=cos52°=sin38°，c=tan47°＞tan45°=1， ∴y=sinx在（0，90°）单调递增， ∴sin35°＜sin38°＜sin90°=1， ∴a＜b＜c 故选：A

【点评】本题考查了三角函数的诱导公式的运用，正弦函数的单调性，难度不大，属于基础题．

11．【答案】C

【解析】当x{2,1,1,2,4}时，ylog2|x|1{1,1,0}，所以AB{1,1}，故选C． 12．【答案】A

【解析】解：∵3＜2+log23＜4，所以f（2+log23）=f（3+log23） 且3+log23＞4

∴f（2+log23）=f（3+log23） =故选A．

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二、填空题

13．【答案】3，.

xk2tanx2tan2xf()tan3【解析】∵f(x)，∴，又∵，∴f(x)的定义域为21tan2x331tan2x0k)(k,k)，kZ，将f(x)的图象如下图画出，从而

244442可知其最小正周期为，故填：3，. (k,k)(k,

14．【答案】 （0，1] ．

【解析】解：不等式故答案为：（0，1]．

【点评】本题主要考查分式不等式、一元二次不等式的解法，属于基础题．

15．【答案】 ①② ．

【解析】解：∵|PM|﹣|PN|=6∴点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即

，（x＞0）．

，即

，求得0＜x≤1，

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对于①，联立，消y得7x﹣18x﹣153=0，

2

2

∵△=（﹣18）﹣4×7×（﹣153）＞0，∴y=x+1是“单曲型直线”．

对于②，联立2

，消y得x=

，∴y=2是“单曲型直线”．

对于③，联立，整理得144=0，不成立．∴不是“单曲型直线”．

对于④，联立2

，消y得20x+36x+153=0，

2

∵△=36﹣4×20×153＜0∴y=2x+1不是“单曲型直线”．

故符合题意的有①②． 故答案为：①②．

【点评】本题考查“单曲型直线”的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线定义的合理运用．

16．【答案】③④ 【解析】

试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接AN,AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC为等边三角形，所以AN,AC所成的角为60，所以是正确的；④DM与BN是异面直线，所以是正确的．

考点：空间中直线与直线的位置关系． 17．【答案】0,2 2第 10 页，共 14 页

【解析】18．【答案】【

2 3解

析

】

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：（1）∵函数∴

，

是奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x）

∵a≠0，∴﹣x+b=﹣x﹣b，∴b=0（3分） 又函数f（x）的图象经过点（1，3）， ∴f（1）=3，∴∴a=2（6分）

（2）由（1）知当x＞0时，即

时取等号（10分）

，∴

，即

时取等号（13分）

（12分）

，当且仅当

（7分） ，

，∵b=0，

当x＜0时，当且仅当

综上可知函数f（x）的值域为

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【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性的应用，转化函数研究性质是问题的关键．

20．【答案】 【解析】解（1）∵

∴根据直线的斜截式方程，直线AB：

，

，化成一般式为：4x﹣3y+12=0，

； ，

∴根据点到直线的距离公式，点C到直线AB的距离为

（2）由（1）得直线AB的斜率为，∴AB边的高所在直线的斜率为由直线的点斜式方程为：

∴AB边的高所在直线的方程为3x+4y﹣7=0．

221．【答案】（1）3xy20；（2）x2y8．

2，化成一般式方程为：3x+4y﹣7=0，

【解析】

试题分析：（1）由已知中AB边所在直线方程为x3y60，且AD与AB垂直，结合点T1,1在直线矩形ABCD外接圆圆心纪委两条直线的交点M2,0，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD外接圆的方程.

AD上，可得到AD边所在直线的点斜式方程，即可求得AD边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得

（2）由因为矩形ABCD两条对角线的交点为M2,0,

x3y60解得点A的坐标为0,2,

3xy20

所以M为距形ABCD外接圆的圆心, 又AM2200222, 222从而距形ABCD外接圆的方程为x2y8.1

考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.

【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，

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圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB边所在的直线方程以及AD与AB垂直，求出直线AD的斜率；（2）中的关键是求出A点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力. 22．【答案】

【解析】解：f′（x）=

2

令g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c

2

函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c的零点 2

即：﹣ax+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3

则解得：b=c=﹣a，

令f′（x）＞0得0＜x＜3

所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3）， （2）由（1）得：

函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减， ∴∴a=2， ∴

；

，

，

∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）由已知条件，直线l的方程为代入椭圆方程得整理得

． ①

，

直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，等价于①的判别式△= 解得

或

．即k的取值范围为

．

，

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（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则由方程①，又而所以

与

共线等价于

． ，

将②③代入上式，解得由（Ⅰ）知

或

． ② ． ③

．

，

，

故没有符合题意的常数k．

【点评】本题主要考查直线和椭圆相交的性质，2个向量共线的条件，体现了转化的数学而思想，属于中档题．24．【答案】

【解析】解：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中， 令x=y=0可得，f（0）=f（0）+f（0）， 则f（0）=0，

（2）令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）， 又f（0）=0，则有0=f（x）+f（﹣x）， 即可证得f（x）为奇函数；

（3）因为f（x）在R上是增函数，又由（2）知f（x）是奇函数， f（k•3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣2）=f（﹣3x+9x+2），

xxx

即有k•3＜﹣3+9+2，得

，

，即

有最小值2

﹣1，

即可，

又有

x

x

所以要使f（k•3）+f（3﹣9﹣2）＜0恒成立，只要使

x

故k的取值范围是（﹣∞，2

﹣1）．

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