2020-2021学年辽宁省葫芦岛市普通高中高一下学期期末学业质量监测数学试题

测数学试题

注意事项：

1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号用2B铅笔涂在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效．

3．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．角

4的终边相同角是（ ） 710113225 B． C． D． 7777A．2．已知复数z(2i)i，则z（ ）

A．12i B．12i C．2i D．12i

133．已知向量a,,b2,ab1，则a与b的夹角为（ ）

22A．30 B．45 C．60 D．90 4．已知角的终边经过点P(4,m)且sin3，则m等于（ ） 5A．3 B．3 C．

16 D．3 35．公元5世纪，古希腊哲学家特奥多鲁斯给出了奇妙的特奥多鲁斯螺旋如左图，螺旋的结构是由一系列直角三角形组成．右图称为特奥多鲁斯螺旋的加强图，第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形都以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角边在公共顶点处的角依次记为

a1,a2,a3,，则与a1a2a3a4最接近的角是（ ）

参考值：tan551.428,tan601.732,tan652.145,21.414

A．120 B．130 C．135 D．140 6．已知tan2，则

sin4cos（ ）

5sin2cosA． B．79711 C． D． 9667．鹳雀楼是我国著名古迹，位于今山西省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．更有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼”．如图是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼的项点C的仰角为30，沿直线前进51.9米到达E点，此时看点A的仰角为60，若点B，E，D在一条直线上，BC2AC，则楼高AB约为（31.73）（ ）

A．30米 B．60米 C．90米 D．103米

8．已知ABC的三边垂直平分线交于点O，且AB3，AC5，则AOBC的值为（ ） A．6 B．

15 C．8 D．10 2二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）

9．已知1aiai为实数，则实数a的值可以是（ ） A．1 B．1 C．2 D．2 10．以下四个命题为真命题的是（ ）

A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面 C．若空间两条直线不相交，则这两条直线平行 D．若直线l平面，直线m平面，则ml 11．在ABC中，D在线段AB上，且AD8,BD4，若33CBCD,cosCDB，则（ ） 24A．sinCBD5 B．ABC的面积为339 8C．ABC的周长为26 D．ABC为钝角三角形 12．已知函数f(x)cosx1，则下列叙述正确的是（ ） cosxA．fx的图像关于y轴对称 B．fx的图像关于原点对称 C．fx的图像关于直线x对称 D．fx的最小值为2

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13．已知sin33，则cos________． 3214．函数y2sin2x的单调递增区间为________． 315．阿基米德和高斯、牛顿井列为世界三大数学家．阿基米德曾说过：“拾我一个支点，我就能撬起整个地球．”史料表明阿基米德在研究半正多面体方面做出过突出贡献，因此半正多面体也称“阿基米德多面体”．阿基米德多面体是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥，得到一个半多面体．该多面体有_______个面；若正方体的棱长为2，则该半正多面体的体积为________．（本小题第一空2分，第二空3分）

16．已知函数f(x)4cosx,(x[0,])的图像与函数g(x)15tanx的图像交于A，B两点，则OAB（O为坐标原点）的面积为_______．

四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步）

17．（本小题满分10分） 已知,为锐角，sin（1）求cos2的值； （2）求sin2的值． 18．（本小题满分12分）

如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC,AC,AB的中点，已知PAAB，PA6，BC8，

3105,cos()． 105DF5．

求证：（1）直线PA∥平面DEF； （2）平面BDE平面ABC． 19．（本小题满分12分） 在

ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且ABC的外接圆半径

23．再从①3abacma,ca,n(ab,c),mnb2；②cosC；③

cb2ba2c243Sb2这三个条件中任选一个补充在问题中，并解答． 3ABC的面积为S满足

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． （1）求角B；

（2）求ABC周长的最大值． 20．（本小题满分12分）

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深值（单位：m）记录表． 时刻（t） 水深值（s） 0:00 3:00 6:00 9:00 12:00 15:00 18:00 21:00 24:00 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述． （1）根据表中数据，做出函数简图：

（2）结合数据、图像等因素，选用你认为恰当的三角函数，求出解析式；并估计11:00时的水深值； （3）一条货船的吃水深度（船底与水面的距离）为5m，安全条例规定至少要有1.25m的安全间隙（船底与海底的距离），该船何时能进入港口？在港口能停多久？ 21．（本小题满分12分）

如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA13,AB2,BAD60．

（1）求二面角C1BDA的大小；

（2）求直线DD1与平面C1DB所成角的大小． 22．（本小题满分12分） 已知函数f(x)4sinxsinx13． 6,上有解，求实数m的取值范围； 32（1）若关于x的方程f(x)m30在x（2）记ABC的内角B满足f21B1,AC边上的高为2，求的最大值； BDBCAB22个单位长度，再3（3）函数fx的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平移

将函数图像向下平移1个单位得到gx的图象．若M2,3，N2,6，问在ygx的图象上是否存在一点P，使得MPNP．若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．

2021年葫芦岛市普通高中期末学业质量监测考试

高一数学 参考答案及评分标准

一、单项选择题

AACB CDCC

二、多项选择题

9．AB 10．AD 11．BCD 12．AC

三、填空题

13．531520kk 15．14； 16． 14．1232312四、解答题

17．（本小题满分10分） （1）由sin31042，得cos212sin； 4 105（2）由,为锐角，得(0,),2(0,)， 6

又cos()255，∴sin()，

55由sin31010且为锐角，得cos． 8 1010则sin(2)sin[()]sincos()cossin()

310510252． 10 1051051018．（本小题满分12分）

（1）证明：因为D，E分别为棱PC,AC的中点， 所以DE//PA． 2

又因为PA平面DEF，DE平面DEF， 以直线PA//平面DEF． 4

（2）因为D，E，F分别为棱PC,AC,AB的中点，PA6,BC8， 所以DE//PA,DE11PA3,EFBC4． 6 22又因为DF5，故DF2DE2EF2，

所以DEF90，即DEEF． 8 又PAAB,DE//PA，所以DE因为AB所以DE平面ABC．

又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC． 12

AB． 10

EFF，所以AC平面ABC,EF平面ABC，

19．（本小题满分12分）

（1）选①：由mnb得a(ab)ca2ab2cb 2 c2c2acb2，

a2c2b2整理：a2ac12∴cosB12 B3 6

选②：由cosCaca2b2b得b2c22ab2ac2b 2

22a2c2整理得：acb2ac，即

b212ac12，∴cosB2 B3 6

选③：a2c2b243312acsinB，cosB33sinB tanB3 4

B3 6

（2）由

bsinB2R外，得b2， 8 由余弦定理得：a2c2b2ac，即(ac)2223ac3ac22∴2ac4，当且仅当ac2时取等号， 从而周长labc6，

∴ABC周长的最大值为6． 12 20．（本小题满分12分）

4 2 10

（1）

（2）根据图象可考虑用函数yAsin(x)h(A0,0) 刻画水深与时间的关系，从数据和图象可得：

Ah7.5h2.5∴A2.5,h5 5 A易知T12,0，所以T2w12，∴w6． 6 ∴y2.5sin6x5(0x24)

当x11时，y3.75（米） 8 （3）货船的安全水深为51.256.25（米） 当y6.25时可以进港，于是有2.5sin6x56.25，整理得sin6x12 解得：12k1x12k5,kz 10 又∵x[0,24]

∴当k0时，x[1,5]；当k1时，x[13,17]

所以，货船可以在1时进港，5时出港或中午13时进港，17时出港，每次可以在港口停留4小时21．（本小题满分12分）

（1）连AC交BD于M，连MC1．

∵四边形ABCD为菱形，AC,BD分别为对角线， ∴BDAC——① 1

由直四棱柱可知，CC1平面ABCD，且BD平面ABCD ∴CC1BD——② 2 又∵ACCC1C

12 ∴BD平面ACC1

又∵MC平面ACC1 3

∴BDMC1，于是C1MA是二面角C1BDA的平面角，而C1MC是二面角C1BDA的补角． 4 ∵ABAD2，DAB60，∴BD2，AMCM3 在RtC1CM中，tanC1CM333，∴C1CM3． 所以，二面角C21BDA的大小为

3 6 （2）过C作CNC1M交C1M于N． ∵DD1//CC1

∴DD1与平面C1BD所成角等于CC1与平面C1BD所成的角 由（1）知，BD平面ACC1 又∵BD平面C1BD ∴平面C1BD平面ACC1 又∵面C1BD面ACC1CM，∴CN面ACC1

∴CN面C1BD

∴CC1N就是所求的线面角 10 在RtC1CM中，tanCC1N33 ∴DD1与平面C1DB所成角为6 12 22．（本小题满分12分）

（1）由f(x)m30在x3,2上有解可得； 5

8 m4sinx6sinx231在x3,2上有解． 2

设t(x)4sinx6sinx231 2cos2x631

因为x5733,2，所以2x66,6，从而∴1cos2x62即33t(x)1，所以33m1 （2）由fB21得cosB60 ∵0B，∴B62，∴B3

在RtABD中，AB2sinA；在RtBCD中BC2sinC 6 1AB2BC12sinA14sinC12sinAsin(AB) sinA32cosA72sin(A),tan32 当sin(A)1时，即A2arctan32时，1AB27BC有最大值2 另解：设ABD03 在RtABD中

1AB12cos 在RtBCD中

2BCcos3 6 ∴

217BCABcos312cos2sin() 8 其中cos321,sin 772所以，当sin()1

即2arcsin27时 7721取大值 8

2BCAB（3）存在，理由如下： 由（1）知f(x)2sin2x1，将g(x)的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的4倍可得函数32211y2sinx1再把整个图象向左平移个单位长度得到y2sinx333221化简得：311y2sinx1，再将图像向下平移1个单位得g(x)2sinx． 10

22假设存在一点P，使得MPNP，设点Px0,2sin1x0,M(2,3),N(2,6)， 211MPx02,2sinx03，NPx02,2sinx06．

22991又MPNP，所以MPNP0，x2x044sinx00．

442202225921整理得：x04sinx0．

4422591691易知， 4sinx04442又因为

2225252x0， 4422525291x0同时等于， 所以当且仅当x0时，4sinx0和

4442即x0时，符合题意，故g(x)上存在一点P，此时P点坐标为(,2) 12