高考数学压轴专题新备战高考《复数》易错题汇编附答案

一、选择题

1,若复数z的虚部小于0, |z|J5,且zZ4，则iz ()

A. 1 3i

B. 2 i C. 1 2i D. 1 2i

【答案】C 【解析】 【分析】

根据z z 4可得z 2 mi(m R),结合模长关系列方程，根据虚部小于 【详解】

由 z z 4,得 z 2 mi(m R),因为 |z| 而=4 J5,所以 m 1. 又z的虚部小于0,所以z 2 i , iz 1 2i. 故选：C 【点睛】

此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解

^

...... 4 ~ 一 ， 、

2.已知i是虚数单位，z ------------- 4 3i ,则z ( )

(1 i)

A. 10

B. ^/TQ

C. 5 D. V5

【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解. 【详解】

4

4

, --- z ------ r

Qz

(7Y 3i

左

3i 1 3i

，|z J( 1)2( 3)2 师

故选B. 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题.

3 .已知i是虚数单位，复数 zi 3 4i ,若在复平面内，复数 zi与z2所对应的点关于虚轴

对称，则zi z2

A. 25 B. 25 C. 7 D. 7

【答案】A 【解析】 【分析】

根据复数乙与z2所对应的点关于虚轴对称，

z1 3 4i ,求出z2,代入计算即可 0即可得解

【详解】

Q复数Zi与Z2所对应的点关于虚轴对称，

z2

3 4i

Zi 3 4i

4 Z2

故选A

3 4i 3 4i 25

【点睛】

本题主要考查了复数的运算法则及其几何意义，属于基础题

z

4 .若 Z 4 3i ,则一（）

z

A. 1

B. 1 【答案】D 【解析】 【详解】

由题意可得：z 。42

32

5,且：z 4 3i ,

z 4 3i 4 3.

据此有： 一7 7i .

z 5 5 5

本题选择D选项.

5.已知复数z x yi （x, y R）,且

A. 33

C. 2 \\ 6 【答案】C 【解析】 【分析】

根据模长公式，求出复数

z对应点的轨迹为圆,

值为过（0,1）点与圆相切的切线斜率，即可求解 【详解】

・••复数 z x yi （x, y R）,且 z 2

••• , x 2 2 y2

、、3 . x 2 2

y2

C. 4 3

i

3. 5 5

D.

—i 5

z 2 m ,则）二的最大值为（）

x

B. 66

D. 2 V6

工」表示（x,y）与（0,1）连线的斜率，其最 x

.

后

3.

、……八

.2k 1 广

设圆的切线1 ： y kx 1 ,则一j J3,

,k2 1

化为k 4k 2 0 ,解得k 2 76, ，上」的最大值为2 J6.

2

x

故选:C. 【点睛】

、

本题考查复数的几何意义、轨迹方程、斜率的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题

6,复数z满足z 1 i |1 A.第一象限 C.第三象限

【答案】D 【解析】 【分

i|,则复数z在复平面内的^•应点位于（）

B.第二象限 D.第四象限

析】

根据复数的运算法则，化简

,再结合复数的几何表示方法，即可求解

由题意，复数z满足z 1 i |1 i |,可得

2

|1 i | 、. 2 1 i ,2 、2.

z J ! ——i ,

1 i 1 i 1 i 2 2

则复数z

、2

在复平面内对应的点为 d 2_）位于第四象限. 2

2

故选：D. 【点睛】

本题主要考查了复数的几何表示方法，以及复数的除法运算，其中解答中熟记复数的运算 法则，准确化简复数为代数形式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力

.

1

7.已知复数z A.

1

旦，则z z

2 2

()

C. 1常

2

jji

2

2

B.。* 2 2

D. 1世

2

2 2

【答案】 C

【解析】

分析：首先根据题中所给的复数 求得z |z —i ,从而求得结果.

1

z,可以求得其共轲复数，并且可以求出复数的模，代入

2

详解：根据z

1

2

Y3i ,可得z 1版i

2 2 2 2

,且z j-

3 1 ,所以有

,, 4 4

— z z —

1 邪.人1 — i 2 2

曲.访洋「

1 — — i ,故选 C.

2 2

点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轲复数、复数的模、以 及复数的加法运算，属于

基础题目

8 .设i是虚数单位，则2i 3i2 4i3

2020i2019的值为()

A. 1010 1010i B. 1011 1010i C. 1011 1012i D. 1011 1010i

【答案】B 【解析】 【分析】

利用错位相减法、等比数列的求和公式及复数的周期性进行计算可得答案

【详可得：解】 S 23解：设 S 2i 3i 4i 可得：iS 则(1 i)S

2020i29,

01

3

1011 1010i ，

2019

2020

0 2i 3i

24i

42019i 2020i,

i2019 2020i2020,

2i i2

-

.2

-3 i i4

.2019、

.3 i i4

(1 i)S i

1 1

i2019 2020 i2020 i 也

可得：（1 i)S i

...... 2 i(1 .、

D 2020 i i-1~上 2020 1 i 2

i )

2020i

1 i

， i 2021

，

2020

2021 i ( 2021 i)(1 i) 1 i

故选：B.

2

本题主要考查等比数列的求和公式，错位相减法、及复数的乘除法运算，属于中档题

9 .若乙z2 1,则称4与z2互为 邻位复数”已知复数 乙 a J3i与z2 2 bi互为

2

2

邻位复数”，a,b R ,则a b的最大值为（）

A. 8 2币

【答案】B 【解析】 【分析】

B. 8 277 C. 1 77 D. 8

根据题意点（a,b）在圆（x 2）2 （y J3） 1, Ja b表示点（a,b）到原点的距离，计 算得到答案.

2

2

2

【详解】

|a 而 2 bi| 1,故（a 2）2 （8 b）2 1,点（a,b）在圆（x 2）2 （y 石）2 1 上，

而,a b表示点(a，b)到原点的距离，

2

______________ 2

故 a b 的最大值为 J2 (73)2 1

2

2

2(1 \")2 8 2\".

故选：B.

【点睛】

本题考查了复数的运算，点到圆距离的最值，意在考查学生的计算能力和转化能力

^

10,设复数z满足1 i z 3 i ,则z () A.应

【答案】D 【解析】

分析：先根据复数除法得 z,再根据复数的模求结果.

B. 2 C. 2& D. 75

3 i 1

详解：因为 1 iz 3 i ,所以 z U -(3 i)(1 i) 2 i , 1 i 2

因此z •、. 5, 选D.

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(a bi)(c di) (ac bd) (ad bc)i ,(a,b, c.d R).其次要熟悉复数相关基本概念， 如复数a bi(a,b R)的实

部为a、虚部为b、模为JO\"刀、对应点为(a,b)、共轲为 a bi.

11.复数z (1 ai)(a 2i)在复平面内对应的点在第一象限，其中

位，则实数a的取值范围是()

a R , i为虚数单

, V2)

D.(我,0)

A. (0,衣)

【答案】A 【解析】 【分析】

B.(笈 ) C. (

利用复数代数形式的乘除运算、化简，再由实部与虚部均大于 解. 【详解】

0,列出不等式组，即可求

由题意，复数z (1 ai)(a 2i) 3a (2 a)i在复平面内对应的点在第一象限，

2

3a 0 2 a 0

故选：A. 【点睛】

— —

所以 2 ，解得0 a 衣，即实数a的取值范围是(0, V2).

本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数的代数表示法及其几何意义的应用，着重考查 了推理与运算能力.

a i

12.若复数z ——，且zi3 0,则实数a的值等于()

1 i

A. 1

【答案】A 【解析】 【分析】

B. -1

C.

2

1

D. -

2

由z i-3 0可判定z卜3为实数，利用复数代数形式的乘除运算化简复数 且虚部不为0列式求解即可 【详解】

z,再由实部为0,

a i 1 i a 1 a 1 i 1 i 1 i

所以z i

3

2

a 1

因为z i 0,所以z卜为实数，—— 0

3

3

2

可得a 1, a 1时，z? 1 0,符合题意，故选 A.

3

【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理 解，掌握纯虚数、共辗复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通 过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题 出错，造成不必要的失分.

13.已知m为实数, A. i

【答案】A 【解析】

i为虚数单位，若m

B. 1

2

m 2i

m 4 i 0,则 -----------------

2 2i

C. i

-

D.

1

2

i是实数,且% 4 0

m 0

2

因为m (m 4)i

0,所以

m (m 4)

m 2i 2 2i

2(1 i) 2(1 i)

i ,应选答案A.

a 2i — ... 一 — .

14.若复数 --------- a R 为纯虚数，则 3 ai (

1 i

)

A. 713

【答案】A 【解析】 【分析】

B. 13 c. 10

D. .10

由题意首先求得实数 a的值，然后求解 3 ai即可. 【详解】

由复数的运算法则有：

a 2i (a 2i)(1 i) a 2 2 a. _ _ i, 1 i (1 i)(1 i) 2 2

a 2i

复数a―2L a R为纯虚数，则

a 2 0

,

1 i

即 a 2,|3 ai | . 3一a 本题选择A选项. 【点睛】

2

2

2 a 0

.13 .

复数中，求解参数(或范围)，在数量关系上表现为约束参数的方程 (或不等式).由于复数无大

小之分，所以问题中的参数必为实数，因此，确定参数范围的基本思想是复数问题实数化

5

3 4i 1 4 3i

2

15.设 z ------- , f x x x 1,则 f z () A. i

【答案】A

B. i C. 1 i D. 1 i

利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解. 【详解】 解：Q z

3 4i 4 3i

3 4i 3 4i 4 3i z ------- ----------------- i

4 3i 4 3i 4 3i

Q f x x2 x 1

2

f z i i 1 i

故选：A

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

16.已知复数z满足(1 i)z

2i ，.为虚数单位，则z等于

A. 1 i

【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得 【详解】

B. 1 i

C 1 1 i

, 2 21

D. 1 1i 2 2

，，…，一 _

—,根据复数的除法运算即可

2

1 i

2i ,可得z

2

故选B. 【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算，复数的模，属于中档题

2(1 i) 一 — 1 i ,

17. 若复数/满足|(1 A. 一

【答案】B 【解析】

=1

B

.

i,则复数片的虚部为()

D.

5

分析：先根据复数除法法则得复数详解：因为(l + 2i)z=1-i,所以比=

，，再根据复数虚部概念得结果

i-i

-20 m

因此复数，的虚部为

点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题 算，要切实掌握其.首先对于复数的四则运 运算技巧和常规思路，如

0 + bi)(c +出)=(at-M) + (ad + 悉复数相关基本概念,

e R).其次要熟

对应点为5j)、共轲为

如复数式+力叫口由w&j的实部为EI、虚部为b、模为 水产+ 1产、

18.在复平面内, 虚数 z对应的点为

x上，且都不与原点 y2 4x与y

A. -16 B. 0

【答案】B

【解析】

【分析】

A,其共轲复数z对应的点为B,若点A与B分别在

uuv uuv

O重合，则OA OB

C. 16

D. 32

uuu

先求出OA

uuu

(4, 4), OB (4, 4),再利用平面向量的数量积求解

【详解】 •••在复平面内，z与z对应的点关于x轴对称,

•1' z对应的点是y2 4x与

y x

的交点.

y2 4x

由

得(4, 4)或(0,0)(舍)，即 z 4 4i，

y x uuu uur

则 z 4 4i , OA (4,4) , OB (4, 4),

uuu uuur

OA OB 4 4 4 ( 4) 0.

故选B 【点睛】

本题主要考查共轲复数和数量积的坐标运算，考查直线和抛物线的交点的求法 生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力

^

19.若复数z满足z 1 i 2i( i为虚数单位)，则 z =() A. 1

B. 2 C. 72 【答案】C 【解析】

试题分析：因为z(1 i) 2i ,所以z -2i-

2i(1 i) 1 i,因此z 1 i

1 i 2

考点：复数的模

20.复数 z满足 |z i | |z 3i |,则 |z|() A.恒等于1

B.最大值为1,无最小值 C.最小值为1 ,无最大值

D.无最大值，也无最小值【答案】C 【解析】 【分析】

设复数z x yi ,其中x, y R,由题意求出y 1 ,再计算|z|的值. 【详解】 解：设复数z x yi ,其中x, y R,

由 |z i| |z 3i|,得 |x (y 1)i | |x (y 3)i |, 2

2

2

2

x (y 1) x (y 3),

解得y

1

；

| z| &~y2_ 4x~1T ,

即|z|有最小值为1,没有最大值. 故选：C . 【点睛】

本题考查了复数的概念与应用问题，是基础题.

1 + 21 ，意在考查学D. f

J2.