我的高考数学错题本：我的高考数学错题本——第2章 命题与简易逻辑易错题

第2章 命题与简易逻辑易错题

易错点1 四种命题的结构不明致误

【例1】 命题甲：x2或y3；命题乙：xy5，则（ ）

A．甲是乙的充分非必要条件 B．甲是乙的必要非充分条件

C． 甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 【错解】盲目的无法判断选D

【错因】不知道四个命题之间的转换关系

【正解】为了进行判断，首先需要构造两个命题：甲乙、乙甲． 但是，这两个命题都是否定性的命题，正面入手较为困难．考虑到原命题与逆否命题的等价性，可以转化为判断其逆否命题是否正确． “甲乙”，即“x2或y3”“xy5”，其逆否命题为：“xy5”“x2且y3” 显然不正确． 同理，可判断命题“乙甲”为真命题．选B．

【纠错训练】【2015高考山东，文5】设mR，命题“若m0，则方程xxm0有实根”的逆否命题是( )

A．若方程xxm0有实根，则m0 B．若方程xxm0有实根，则m0 C．若方程xxm0没有实根，则m0 D．若方程xxm0没有实根，则m0 【解析】一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论加以否定，并且加以互换，故选D. 易错点2充分必要条件颠倒致误

对于两个条件A，B，如果A=>B成立，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；如果B=>A成立，则A是B的必要条件，B是A的充分条件；如果A<=>B，则A，B互为充分必要条件。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时一定要根据充要条件的概念作出准确的判断。

2【例2】命题“对任意实数x[1,2]，关于x的不等式xa0恒成立”为真命题的一个必要不充分条

22222件是（ ）

A．a4 B．a4 C．a3 D．a3 【错解】A

2【错因】充分条件和必要条件颠倒致错，设“对任意实数x[1,2]，关于x的不等式xa0恒成立”

为真命题对应的a的取值为集合A，选项中a的取值范围为集合B，则B是A的必要不充分条件，因此AB，但BA

2【解析】即由“对任意实数x[1,2]，关于x的不等式xa0恒成立”可推出选项，但由选项推不出

“对任意实数x[1,2]，关于x的不等式x2a0恒成立”．因为x[1,2]，所以x2[1,4]，x2a0恒成立，即x2a， 因此a4；反之亦然．故选C．

【纠错训练】【2015高考安徽，理3】设p:1x2,q:2x1，则p是q成立的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】由q:2x20，解得x0，易知，p能推出q，但q不能推出p，故p是q成立的充分不必要

条件，选A．

易错点3 命题的否定和否命题弄混淆

【例3】【2015高考湖北，文3】命题“x0(0,)，lnx0x01”的否定是（ ）

A．x0(0,)，lnx0x01 C．x(0,)，lnxx1 【错解】B

【错因】误认为命题的否定就是否命题

【正解】由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为x(0,)，lnxx1，故应选C． 【纠错训练】【2015高考浙江，理4】命题“nN*,f(n)N*且f(n)n的否定形式是（ ）

****A．nN,f(n)N且f(n)n B．nN,f(n)N或f(n)n

B．x0(0,)，lnx0x01 D．x(0,)，lnxx1

C．n0N*,f(n0)N*且f(n0)n0 D．n0N*,f(n0)N*或f(n0)n0 【解析】根据全称命题的否定是特称命题，可知选D．

易错点4 逻辑联结词理解不准致误

x【例4】已知命题p:xR，x2lgx，命题q:xR，e1，则（ ）

A．命题pq是假命题 B．命题pq是真命题 C．命题pq是真命题 D．命题pq是假命题 【错解】B

【错因】认为pq中，只要有一个为真，则pq为真．

111110002lg1，故命题p为真，命题q为假，由复合命题的真【正解】取x，则，e100010001000值表可知命题pq是真命题，选C．

x1【纠错训练】【2015北京西城区二模】设命题p：函数f(x)e在R上为增函数；命题q：函数

f(x)cos(x)为奇函数．则下列命题中真命题是（ ）

A．pq B．(p)q C．(p)(q) D．p(q)

【解析】由题意可知，命题p是真命题，f(x)cos(x)cosx为偶函数，∴q是假命题，从而可 知p(q)是真命题，故选D．

易错点5 错把“命题否定”等同于“取补集” 【例5】写出命题“对任意一个实数x，都有【错解】对任意一个实数x，都有

10”的否定是 ． 2x51≤0 2x5111没有意义，而不是简单地把“≤0或0”2x52x52x5【错因】原命题的反面是：存在一个实数x，使得的范围取补集变成“

1≤0”. 2x5【解析】原命题的否定是：“存在一个实数x，使得2x50”．

10或2x50”，或“存在一个实数x，使得2x5【纠错训练】命题p:实数x满足不等式【解析】

x20，且命题x1p是假命题，求实数x取值范围

x20等价于(x1)(x2)0且x1，即x2或x1，则p:x2或x1；p:2x1． x1

命题P是假命题，命题

p是真命题，实数x取值范围2x1.

【错题巩固训练】 1．条件“0ab1”是“a11或a”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要条bb1；(ii)当a0,b0且b件”“既不充分也不必要条件”）

【解析】0ab1说明a,b同号，（i）当 a0,b0且0ab1时，a111.故条件“0ab1”可以推出“a或a”. bbb1111当a1,b1时，满足a或a，但不满足0ab1，故条件 “a或a”不可以推

bbbb出“0ab1”.

11因此条件“0ab1”是“a或a”的充分不必要条件.

bb0ab1时，a2．条件“acb2”是“a,b,c成等比数列”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充

分也不必要”）

【解析】acb2成立，有可能是 abc0，不是等比数列，故答案是必要不充分

3．“a3”是“直线ax2y20和直线3x(a1)y20平行”的 条件（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

【解析】直线的法向量满足(a,2)//(3,a1)，a(a1)60，即a2a60，解得a3或2，其中a3时，直线重合,故答案:既不充分也不必要条件

4．若a,b,cR，写出命题“若ac0，则ax2bxc0有两个不相等的实数根”的逆否命题是 【解析】若ax2bxc0没有两个不相等的实数根，则ac0

5．已知命题p:xR,x21m，命题q:指数函数y(3m)x是增函数．若命题\"pq\"为真，命题\"pq\"为假，则实数m的取值范围是

【解析】命题p为真时，即(x21)minm，解得m1.命题q为真时，即3m1，解得m2. 命题q为假时，即03m1，解得2m3.命题\"pq\"为真，命题\"pq\"为假，则p真q假或p假q真，即m≥1m1或，解得1≤m2.

2m3m26．已知命题p:函数ylog0.5(x22xa)的值域是R，命题q:指数函数y(52a)x是增函数．若命题\"pq\"为真，命题\"pq\"为假，则实数a的取值范围是

2【解析】p真：函数ylog0.5(x22xa)的值域是R，即tx2xa中的t能取到(0,)的

每一个数，则只要保证44a≥0，解得a≤1.q真：52a1，解得a2.q假：052a1，

a≤1a15解得2a.由题意，“p真q假”或“p假q真”，即.解得实数a的取值范围是5或2a22a21a2.