高考数学压轴专题(易错题)备战高考《复数》难题汇编及解析

一、选择题

1．复数A．第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】

利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，再利用共轭复数的概念求出复数【详解】

，

的共轭复数为

对应坐标是【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

，

的共轭复数，进一步求出对应点的坐标得结果 .

的共轭复数对应的点位于

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

在第三象限，故选C.

2．已知复数zi(2i)，其中i是虚数单位，则z的模z= ( ) A．3 【答案】B 【解析】

B．5 C．3

D．5

zi(2i)i2i22(1)25，故选B．

3．已知复数z满足1izA．1i 【答案】A 【解析】 因为zB．1i

3i，i为虚数单位，则z等于（ ）

C．

11i 22D．

11i 22|3+i|2(1i)1i，所以应选答案A． 1i(1i)(1i)

4．欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】

由题意得e2icos2isin2，得到复数在复平面内对应的点(cos2,sin2)，即可作出解答. 【详解】

由题意得，e2i＝cos 2＋isin 2，

∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈

，

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，

∴e2i表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】

本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.

5．复数z2i，i是虚数单位，则下列结论正确的是 1iB．z的共轭复数为

A．z5 C．z的实部与虚部之和为1 【答案】D 【解析】 【分析】

利用复数的四则运算，求得z得到结论． 【详解】 由题意z31+i 22D．z在复平面内的对应点位于第一象限

13i，在根据复数的模，复数与共轭复数的概念等即可222i2i1i13i13i， 21i1i1i1i22则z131310z，的共轭复数为zi， ()2()222222复数z的实部与虚部之和为2，z在复平面内对应点位于第一象限，故选D． 【点睛】

复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化，其次要熟悉复数相关基本概念，如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为

b、模为a2b2、对应点为(a,b)、共轭为abi．

6．已知复数z满足A．1 【答案】D 【解析】 【分析】

按照复数的运算法则先求出z，再写出z，进而求出z. 【详解】

1iz2i（其中z为z的共轭复数），则z的值为( ) 1iB．2

C．3 D．5 1i(1i)22iQi， 1i(1i)(1i)21i2iz2iiz2izi(2i)12i， 1iiz12i|z|(1)2225.

故选：D 【点睛】

本题考查复数的四则运算、共轭复数及复数的模，考查基本运算能力，属于基础题.

7．已知i是虚数单位，则A．2i 【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数的除法运算计算复数的值即可. 【详解】

由复数的运算法则有：

13i（ ） 1iC．2i

D．2i

B．2i

13i(13i)(1i)42i2i. 1i(1i)(1i)2故选B. 【点睛】

对于复数的乘法，类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可；对于复数的除法，关键是分子分母同乘以分母

的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.

8．已知i是虚数单位，则复数z（ ） A．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】

先将复数化为代数形式，再根据共轭复数的概念确定对应点，最后根据对应点坐标确定象限. 【详解】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

2i的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为42i2i42i2i32i， 解：∵z42i42i42i105∴z32i， 10532，），所在的象限为第一象限． 105∴复数z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（故选：A．

点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i,(a,b,c.dR). 其次要熟悉复数相关基本概念，

如复数abi(a,bR)的实部为a、虚部为b、模为a2b2、对应点为(a,b)、共轭为

abi.

9．已知复数z满足

112i12i（i为虚数单位），则z的虚部为（ ） zA．4 B．4i C．4 D．4i 【答案】C 【解析】z112i11420i34i ,所以z的虚部为4,选C. 12i5

10．若复数z的虚部小于0，|z|5，且zz4，则iz（ ） A．13i

B．2i

C．12i

D．12i

【答案】C 【解析】 【分析】

根据zz4可得z2mi(mR)，结合模长关系列方程，根据虚部小于0即可得解. 【详解】

由zz4，得z2mi(mR)，因为|z|m245，所以m1. 又z的虚部小于0，所以z2i，iz12i. 故选：C 【点睛】

此题考查复数的概念辨析和模长计算，根据复数的概念和运算法则求解.

i20203i11．若z，则z在复平面内对应点位于( )

1iA．第一象限 【答案】A 【解析】 【分析】

化简得到z2i，得到答案. 【详解】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

i20203i13i13i1i42iz2i，对应的点在第一象限.

1i1i21i1i故选：A. 【点睛】

本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.

12．若复数z34sinA．

 6212cosi为纯虚数，0,，则（ ）

 3C．

B．

2 3D．

2或 33【答案】B 【解析】

分析：由题意得到关于sin,cos的方程组，求解方程组结合题意即可求得三角函数值，由三角函数值即可确定角的大小.

详解：若复数z34sin12cosi为纯虚数，则：

232sin34sin04，即：， 112cos0cos223sin2，故. 结合0,，可知：3cos12本题选择B选项.

点睛：本题主要考查纯虚数的概率，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

13．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数，若A．6 【答案】C 【解析】 【分析】

计算z5i，再代入计算得到答案. 【详解】

B．50

z2i3，则z4i（ ） 1iD．34 C．52 z2i3，得z2i31i5i，则z4i5i4i55i52. 1i故选：C． 【点睛】

本题考查了复数运算，共轭复数，复数的模，意在考查学生对于复数知识的综合应用.

由

14．已知复数z满足zi2z1i，则z A．12i C．1i 【答案】C 【解析】 【分析】

设出复数z，根据复数相等求得结果. 【详解】

设zabia,bR，则zabi，

故zi2zabii2abib2aa2bi1i，

B．12i D．1i

b2a1a1. 故，解得a2b1b1所以z1i. 故选：C. 【点睛】

本题考查复数的运算，共轭复数的求解，属综合基础题.

15．欧拉公式eixcosxisinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，

eiei4表示的复数在复平面中位于（ ）

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】 根据欧拉公式计算【详解】

eiei4，再根据复数几何意义确定象限.

ei因为

e4icosisincos4isin4122i2222i22，在第（，）22，所以对应点

22二象限，选B. 【点睛】

本题考查复数除法以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基本题.

16．已知A．-1 【答案】B 【解析】 【分析】

利用复数除法运算法则化简原式可得2aibi，再利用复数相等列方程求出a,b的值，从而可得结果. 【详解】

a2ibi ，a,bR，其中i 为虚数单位，则a+b=（ ） iB．1

C．2

D．3

a2iai2i2因为2aibi ，a,bR， 2ii所以2bb2，则a+b1，故选B. a1a1【点睛】

复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.

17．若复数满足A． 【答案】B 【解析】

分析：先根据复数除法法则得复数，再根据复数虚部概念得结果. 详解：因为因此复数的虚部为

，所以，选B.

，

B．

，则复数的虚部为（ ）

C．

D．

点睛：本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如

. 其次要熟悉复数相关基本概念，

如复数

的实部为、虚部为、模为

、对应点为

、共轭为

18．在复平面内，复数z满足z1i12i，则z对应的点位于 （ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

12i12i1i1i2i2i213i13i，∵z1i12i，∴z1i1i22221i1i∴z13i，故对应的点在第二象限．故选B． 22

19．复数满足zz48i，则复数z在复平面内所对应的点在（ ） A．第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

aa2b24,即可设zabi(a,bR),则zzabiab48i,可得b822得到z,进而找到对应的点所在象限. 【详解】

设zabi(a,bR),则zzabia2b248i,

aa2b24a6,z68i, ,b8b8所以复数z在复平面内所对应的点为6,8,在第二象限. 故选:B 【点睛】

本题考查复数在复平面内对应的点所在象限,考查复数的模,考查运算能力.

20．若复数zm(m1)(m1)i是纯虚数，其中m是实数，则A．i 【答案】A 【解析】

因为复数zmm1m1i是纯虚数，所以则

B．i

C．2i

1=( ) zD．2i

mm10m10，则m=0，所以zi，

11i. zi