辽宁省葫芦岛市普通高中2020_2021学年高一数学下学期期末学业质量监测试题

须知事项：

1．答题前，考生务必将自己的某某、考号、考场号、座位号用2B铅笔涂在答题卡上．

2．回答选择题时，选出每一小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效． 3．考试完毕，将本试卷和答题卡一并交回．

第1卷〔选择题，共60分〕

一、单项选择题〔此题共8小题，每一小题5分，共40分．在每一小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．〕 1．角

4的终边一样角是〔 〕 710112532 B． C． D． 7777A．2．复数z(2i)i，如此z〔 〕 A．12iB．12iC．2i D．12i

133．向量a,,b2,ab1，如此a与b的夹角为〔 〕

22A．30 B．45 C．60 D．90 4．角的终边经过点P(4,m)且sin3，如此m等于〔 〕 5A．3 B．3 C．

16 D．3 35．公元5世纪，古希腊哲学家特奥多鲁斯给出了奇妙的特奥多鲁斯螺旋如左图，螺旋的结构是由一系列直角三角形组成．右图称为特奥多鲁斯螺旋的加强图，第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形都以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角边在公共顶点处的角依次记为

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word

a1,a2,a3,，如此与a1a2a3a4最接近的角是〔 〕

参考值：tan551.428,tan601.732,tan652.145,21.414

A．120 B．130 C．135 D．140 6．tan2，如此

sin4cos〔 〕

5sin2cosA． B．79711 C． D． 9667．鹳雀楼是我国著名古迹，位于今某某省永济市，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．更有唐朝诗人王之涣在作品《登鹳雀楼》中写下千古名句“欲穷千里目，更上一层楼〞．如图是复建的鹳雀楼的示意图，某位游客〔身高忽略不计〕从地面D点看楼的项点C的仰角为30E点，此时看点A的仰角为60，假如点B，E，D在一条直线上，BC2AC，如此楼高AB约为〔31.73〕〔 〕

A．30米 B．60米 C．90米 D．103米

8．ABC的三边垂直平分线交于点O，且AB3，AC5，如此AOBC的值为〔 〕 A．6 B．

15 C．8 D．10 2二、多项选择题〔此题共4小题，每一小题5分，共20分．在每一小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，局部选对的得2分，有选错的得0分．〕 9．1aiai为实数，如此实数a的值可以是〔 〕

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word A．1 B．1 C．2 D．2 10．以下四个命题为真命题的是〔 〕

A．两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内 B．过空间中任意三点有且仅有一个平面

C．假如空间两条直线不相交，如此这两条直线平行 D．假如直线l平面，直线m平面，如此ml 11．在ABC中，D在线段AB上，且AD8,BD4，假如33CBCD,cosCDB，如此〔 〕 24A．sinCBD5 B．ABC的面积为339 8C．ABC的周长为26 D．ABC为钝角三角形 12．函数f(x)cosx1，如此如下表示正确的答案是〔 〕 cosxA．fx的图像关于y轴对称 B．fx的图像关于原点对称 C．fx的图像关于直线x对称 D．fx的最小值为2

第2卷〔非选择题，共90分〕

三、填空题〔本大题共4小题，每一小题5分，共20分．〕 13．sin33，如此cos________． 3214．函数y2sin2x的单调递增区间为________． 315．阿基米德和高斯、牛顿井列为世界三大数学家．阿基米德曾说过：“拾我一个支点，我就能撬起整个地球．〞史料明确阿基米德在研究半正多面体方面做出过突出贡献，因此半正多面体也称“阿基米德多面体〞．阿基米德多面体是由边数不全一样的正多边形围成的多面体，它表现了数学的对称美．将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥，得到一个半多面体．该多面体有_______个面；假如正方

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word

体的棱长为2，如此该半正多面体的体积为________．〔本小题第一空2分，第二空3分〕

16．函数f(x)4cosx,(x[0,])的图像与函数g(x)15tanx的图像交于A，B两点，如此OAB〔O为坐标原点〕的面积为_______．

四、解答题〔本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步〕 17．〔本小题总分为10分〕

,为锐角，sin3105,cos()． 105〔1〕求cos2的值； 〔2〕求sin2的值． 18．〔本小题总分为12分〕

如图，在三棱锥PABC中，D，E，F分别为棱PC,AC,AB的中点，PAAB，PA6，BC8，DF 5．

求证：〔1〕直线PA∥平面DEF； 〔2〕平面BDE平面ABC． 19．〔本小题总分为12分〕 在

ABC中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且ABC的外接圆半径

23．再从①3abacma,ca,n(ab,c),mnb2；②cosC；③

cb2bABC的面积为S满足

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a2c243Sb2这三个条件中任选一个补充在问题中，并解答． 3注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 〔1〕求角B；

〔2〕求ABC周长的最大值． 20．〔本小题总分为12分〕

海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨时驶进航道，靠近船坞；卸货后落潮时返回海洋，下面是某港口在某季节每天的时间与水深值〔单位：m〕记录表．

0:0时刻〔t〕 0 水深值〔s〕 0 0 0 0 0 0 0 0 3:06:09:012:015:018:021:024:0据分析，这个港口的水深值与时间的关系可近似地用三角函数来描述． 〔1〕根据表中数据，做出函数简图：

〔2〕结合数据、图像等因素，选用你认为恰当的三角函数，求出解析式；并估计11:00时的水深值； 〔3〕一条货船的吃水深度〔船底与水面的距离〕为5m，安全条例规定至少要有1.25m的安全间隙〔船底与海底的距离〕，该船何时能进入港口？在港口能停多久？

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word

21．〔本小题总分为12分〕

如图，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，AA13,AB2,BAD60．

〔1〕求二面角C1BDA的大小；

〔2〕求直线DD1与平面C1DB所成角的大小． 22．〔本小题总分为12分〕 函数f(x)4sinxsinx13． 6,上有解，某某数m的取值X围； 32〔1〕假如关于x的方程f(x)m30在x〔2〕记ABC的内角B满足f21B1,AC边上的高为2，求的最大值； BD2BCAB2个单位长度，再3〔3〕函数fx的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的4倍，再把整个图象向左平移

将函数图像向下平移1个单位得到gx的图象．假如M2,3，N2,6，问在ygx的图象上是否存在一点P，使得MPNP．假如存在，求出P点坐标；假如不存在，说明理由．

2021年某某市普通高中期末学业质量监测考试

高一数学 参考答案与评分标准

一、单项选择题

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word AACB CDCC 二、多项选择题

9．AB10．AD 11．BCD 12．AC 三、填空题 13．

315520 kk 15．14； 16． 14．1232312四、解答题

17．〔本小题总分为10分〕 〔1〕由sin31042，得cos212sin； 4 105〔2〕由,为锐角，得(0,),2(0,)， 6 又cos()525，∴sin()， 55由sin31010且为锐角，得cos． 8 1010如此sin(2)sin[()]sincos()cossin()

310510252． 10 1051051018．〔本小题总分为12分〕

〔1〕证明：因为D，E分别为棱PC,AC的中点， 所以DE//PA． 2

又因为PA平面DEF，DE平面DEF， 以直线PA//平面DEF． 4

〔2〕因为D，E，F分别为棱PC,AC,AB的中点，PA6,BC8， 所以DE//PA,DE11PA3,EFBC4． 6 227 / 13

word 又因为DF5，故DF2DE2EF2，

所以DEF90，即DEEF． 8 又PAAB,DE//PA，所以DE因为ABAB． 10

EFF，所以AC平面ABC,EF平面ABC，

所以DE平面ABC．

又DE平面BDE，所以平面BDE平面ABC． 19．〔本小题总分为12分〕

〔1〕选①：由mnb2得a(ab)caab2ccb 整理：a2c2acb2，

a2c2b2112ac2∴cosB2 B3 6

选②：由cosCabca2b2c22b得2ab2ac2b 整理得：a2c2b2ac，即

a2c2b212ac12，∴cosB2B3 6

选③：a2c2b243312acsinB，cosB33sinB tanB3 4

B3 6

〔2〕由

bsinB2R外，得b2， 8 8 / 13

12 2 2

2 4 word

ac由余弦定理得：acbac，即(ac)23ac3 10

2222222∴2ac4，当且仅当ac2时取等号， 从而周长labc6，

∴ABC周长的最大值为6． 12 20．〔本小题总分为12分〕

〔1〕

〔2〕根据图象可考虑用函数yAsin(x)h(A0,0) 刻画水深与时间的关系，从数据和图象可得：

Ah7.5∴A2.5,h5 5 Ah2.5易知T12,0，所以T212，∴w． 6 w6∴y2.5sin6x5(0x24)

当x11时，y3.75〔米〕 8 〔3〕货船的安全水深为51.256.25〔米〕 当y6.25时可以进港，于是有2.5sin6x56.25，整理得sin6x1 2解得：12k1x12k5,kz 10 又∵x[0,24]

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word ∴当k0时，x[1,5]；当k1时，x[13,17]

所以，货船可以在1时进港，5时出港或中午13时进港，17时出港，每次可以在港口停留4小时 12

21．〔本小题总分为12分〕 〔1〕连AC交BD于M，连MC1．

∵四边形ABCD为菱形，AC,BD分别为对角线， ∴BDAC——① 1

由直四棱柱可知，CC1平面ABCD，且BD平面ABCD ∴CC1BD——② 2 又∵ACCC1C

∴BD平面ACC1

又∵MC平面ACC1 3

∴BDMC1，于是C1MA是二面角C1BDA的平面角，而C1MC是二面角C1BDA的补角． 4 ∵ABAD2，DAB60，∴BD2，AMCM3 在RtC1CM中，tanC1CM33，∴C1CM． 5

332 6 3所以，二面角C1BDA的大小为

〔2〕过C作CNC1M交C1M于N． ∵DD1//CC1

∴DD1与平面C1BD所成角等于CC1与平面C1BD所成的角 8 由〔1〕知，BD平面ACC1

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word 又∵BD平面C1BD ∴平面C1BD平面ACC1 又∵面C1BD面ACC1CM，∴CN面ACC1

∴CN面C1BD

∴CC1N就是所求的线面角 10 在RtC1CM中，tanCC1N3 3∴DD1与平面C1DB所成角为22．〔本小题总分为12分〕

 12 6〔1〕由f(x)m30在x,上有解可得； 32m4sinxsinx231在x,上有解． 2

632设t(x)4sinxsinx231 62cos2x31

6因为x573,，所以2x,，从而∴1cos 2x3266662即33t(x)1，所以33m1 〔2〕由fBcosB1得0 62∵0B，∴B62，∴B3

在RtABD中，AB22；在RtBCD中BC 6 sinAsinC11 / 13

word 12111sinAsinCsinAsin(AB) ABBC242sinA373cosAsin(A),tan 222当sin(A)1时，即A3712arctan时，有最大值 8 222ABBC另解：设ABD0 3在RtABD中

11cos AB22cos 6 BC3在RtBCD中

∴

2171coscossin() BCAB322321,sin 772其中cos所以，当sin()1 即2arcsin27时 7721取大值 8

2BCAB〔3〕存在，理由如下： 由〔1〕知f(x)2sin2x1，将g(x)的图象〔纵坐标不变〕横坐标伸长为原来的4倍可得函数32211y2sinx1再把整个图象向左平移个单位长度得到y2sinx333221化简得：311y2sinx1，再将图像向下平移1个单位得g(x)2sinx． 10

22假设存在一点P，使得MPNP，设点Px0,2sin1x0,M(2,3),N(2,6)， 212 / 13

word 11MPx02,2sinx03，NPx02,2sinx06．

229912又MPNP，所以MPNP0，x02x0244sinx00．

22442整理得：254x24190sin2x04．

2592易知，44sin11692x044 又因为

254x22504， 所以当且仅当x192250时，4sin2x04和

4x2250同时等于4， 即x0时，符合题意，故g(x)上存在一点P，此时P点坐标为(,2) 13 / 13

12