重庆市江津区四校联考八年级(上)期中数学试卷

2016-2017学年重庆市江津区四校联考八年级（上）期中数学试

卷

一、选择题：（本大题有12小题，每小题4分，共48分）

1．（4分）若一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长可能是（ ） A．1

B．2

C．7

D．8

2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A．

B．

C．

D．

3．（4分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ） A．6

B．7

C．8

D．9

4．（4分）如图，△ABE≌△ACF．若AB=5，AE=2，BE=4，则CF的长度是（ ）

A．4 B．3 C．5 D．6

5．（4分）如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）

A．0 B．1 C．2 D．3

6．（4分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．

A．①

B．② C．③

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D．①和②

7．（4分）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80°

B．80°或20°

C．80°或50°

D．20°

8．（4分）如图，将含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）

A．90° B．80° C．75° D．70°

9．（4分）如图：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AC=6cm，则DE+BD等于（ ）

A．5cm B．4cm C．6cm D．7cm

10．（4分）如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60°，∠BDC=95°，则∠BED的度数是（ ）

A．35° B．70° C．110° D．130°

11．（4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7

B．7或11

C．11

D．7或10

12．（4分）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）

第2页（共26页）

A．m+n＞b+c

B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定

二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

13．（4分）如图，正六边形ABCDEF的每一个外角的度数是 度．

14．（4分）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为 ． 15．（4分）已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为 ． 16．（4分）如图，AB=AC，若使△ABE≌△ACF，则还需要添加的条件是 ．（只要写出一个答案）．

17．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3= ．

18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 度．

第3页（共26页）

三、解答题（19、20、21每小题8分，22-24每小题8分，共分） 19．（8分）如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠ABC=∠ADC．

20．（8分）如图，在△ABF与△CDE中，AB=CD，BF=DE，点A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，求证：AB∥CD．

21．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的横、纵坐标都是整数，直线m上各点的横坐标都为﹣1．

（1）作出△ABC关于直线m的对称图形△A1B1C1； （2）作出△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2； （3）写出△A2B2C2的各顶点的坐标．

第4页（共26页）

22．（10分）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

23．（10分）已知，如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD=CB，DE=BF，求证：AB∥DC．

24．（10分）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：△ABE≌△DCE；

（2）当∠AEB=70°时，求∠EBC的度数．

四、解答题（本大题有2小题，每小题12分，共24分）

25．（12分）如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、

第5页（共26页）

AM上．

（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．

（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

26．（12分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

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2016-2017学年重庆市江津区四校联考八年级（上）期中

数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（本大题有12小题，每小题4分，共48分）

1．（4分）若一个三角形的两边长分别是3和4，则第三边的长可能是（ ） A．1

B．2 C．7 D．8

【分析】根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围解答即可． 【解答】解：设第三边长x．

根据三角形的三边关系，得1＜x＜7． 故选：B．

【点评】本题主要考查三角形三边关系的知识点，此题比较简单，注意三角形的三边关系．

2．（4分）下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）

A．

B．

C．

D．

【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项正确； B、是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项错误； D、是轴对称图形，故此选项错误； 故选：A．

【点评】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称的定义．

3．（4分）一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）

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A．6

B．7 C．8 D．9

【分析】设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数． 【解答】解：

设这个多边形的边数为n，

由题意可得：（n﹣2）×180°=1260°， 解得n=9，

∴这个多边形的边数为9， 故选：D．

【点评】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键，即多边形的内角和=（n﹣2）180°．

4．（4分）如图，△ABE≌△ACF．若AB=5，AE=2，BE=4，则CF的长度是（ ）

A．4

B．3 C．5 D．6

【分析】根据△ABE≌△ACF，可得三角形对应边相等，即可求得答案． 【解答】解：∵△ABE≌△ACF，AB=5，AE=2，BE=4， ∴AB=AC=5，AE=AF=2，BE=CF=4， ∴CF=4， 故选：A．

【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．

5．（4分）如图，王师傅用4根木条钉成一个四边形木架，要使这个木架不变形，他至少要再钉上木条的根数是（ ）

第8页（共26页）

A．0

B．1 C．2 D．3

【分析】根据三角形具有稳定性可得：沿对角线钉上1根木条即可． 【解答】解：根据三角形的稳定性可得他至少要再钉上1根木条， 故选：B．

【点评】此题主要考查了三角形具有稳定性，题目比较简单．

6．（4分）如图所示，某同学把一块三角形的玻璃不小心打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的办法是带（ ）去．

A．①

B．② C．③ D．①和②

【分析】此题可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．

【解答】解：第一块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法；

第二块，仅保留了原三角形的一部分边，所以该块不行；

第三块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应该拿这块去． 故选：C．

【点评】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．

第9页（共26页）

7．（4分）等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（ ） A．80°

B．80°或20° C．80°或50° D．20°

【分析】分80°角是顶角与底角两种情况讨论求解． 【解答】解：①80°角是顶角时，三角形的顶角为80°， ②80°角是底角时，顶角为180°﹣80°×2=20°， 综上所述，该等腰三角形顶角的度数为80°或20°． 故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，难点在于要分情况讨论求解．

8．（4分）如图，将含30°角的三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）

A．90°

B．80° C．75° D．70°

【分析】根据平行线的性质求出∠3=∠1=40°，根据三角形的外角性质求出∠2=∠3+∠A，代入求出即可．

【解答】解：

∵EF∥MN，∠1=40°， ∴∠1=∠3=40°， ∵∠A=30°，

∴∠2=∠A+∠3=70°， 故选：D．

第10页（共26页）

【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能求出∠3的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．

9．（4分）如图：△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AC=6cm，则DE+BD等于（ ）

A．5cm

B．4cm C．6cm D．7cm

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，然后求出DE+BD=AC．

【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB， ∴CD=DE，

∴DE+BD=CD+BD=BC， ∵AC=BC，

∴DE+BD=AC=6cm． 故选：C．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质并求出DE+BD=AC是解题的关键．

10．（4分）如图，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于E，∠A=60°，∠BDC=95°，则∠BED的度数是（ ）

A．35°

B．70° C．110°

第11页（共26页）

D．130°

【分析】由三角形的外角性质得出∠ABD=35°，由角平分线的定义求出∠ABC=2∠ABD=70°，再由平行线的性质得出同旁内角互补∠BED+∠ABC=180°，即可得出结果．

【解答】解：∵∠BDC=∠A+∠ABD， ∴∠ABD=95°﹣60°=35°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABC=2∠ABD=70°， ∵DE∥BC，

∴∠BED+∠ABC=180°， ∴∠BED=180°﹣70°=110°． 故选：C．

【点评】本题考查了平行线的性质、三角形的外角性质；熟练掌握平行线的性质，运用三角形的外角性质求出∠ABD的度数是解决问题的关键．

11．（4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，一边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则这个等腰三角形的底边长为（ ） A．7

B．7或11 C．11 D．7或10

【分析】分两种情况讨论，列出方程即可解决问题． 【解答】解：根据题意， ①当AC+AC=15，解得AC=10， 所以底边长=12﹣×10=7； ②当AC+AC=12，解得AC=8， 所以底边长=15﹣×8=11． 所以底边长等于7或11． 故选：B．

第12页（共26页）

【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确给出哪一部分长要一定要想到两种情况，此题要采用分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形，这点非常重要，也是解题的关键．这也是学生容易忽视的地方，应注意向学生特别强调．

12．（4分）如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（ ）

A．m+n＞b+c

B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定

【分析】在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP，证明△ACP和△AEP全等，推出PE=PC，根据三角形任意两边之和大于第三边即可得到m+n＞b+c． 【解答】解：在BA的延长线上取点E，使AE=AC，连接EP， ∵AD是∠A的外角平分线， ∴∠CAD=∠EAD， 在△ACP和△AEP中，∴△ACP≌△AEP（SAS）， ∴PE=PC，

在△PBE中，PB+PE＞AB+AE， ∵PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，

第13页（共26页）

，

∴m+n＞b+c． 故选：A．

【点评】本题主要考查三角形全等的证明，全等三角形的性质，三角形的三边关系，作辅助线构造以m、n、b、c的长度为边的三角形是解题的关键，也是解本题的难点．

二、填空题：（本大题有6小题，每小题4分，共24分）

13．（4分）如图，正六边形ABCDEF的每一个外角的度数是 60 度．

【分析】根据正六边形的外角和为360°，即可解答． 【解答】解：∵正六边形的外角和为360°，

∴正六边形ABCDEF的每一个外角的度数是360°÷6=60°， 故答案为：60°．

【点评】本题考查了多边形的外角，解决本题的关键是熟记多边形的外角和为360°．

14．（4分）已知等腰三角形的两条边长分别为2和5，则它的周长为 12 ．

【分析】根据2和5可分别作等腰三角形的腰，结合三边关系定理，分别讨论求

第14页（共26页）

解．

【解答】解：当2为腰时，三边为2，2，5，由三角形三边关系定理可知，不能构成三角形，

当5为腰时，三边为5，5，2，符合三角形三边关系定理，周长为：5+5+2=12． 故答案为：12．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理．关键是根据2，5，分别作为腰，由三边关系定理，分类讨论．

15．（4分）已知M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称，则a+b的值为 ﹣1 ．

【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后相加计算即可得解．

【解答】解：∵M（a，3）和N（4，b）关于y轴对称， ∴a=﹣4，b=3， ∴a+b=﹣4+3=﹣1． 故答案为：﹣1．

【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．

16．（4分）如图，AB=AC，若使△ABE≌△ACF，则还需要添加的条件是 ∠B=∠C ．（只要写出一个答案）．

【分析】可添加条件：∠B=∠C，再有条件AB=AC，∠A=∠A可利用ASA证明△ACD≌△ABE．

第15页（共26页）

【解答】解：可添加条件：∠B=∠C， 理由：∵在△ABE和△ACD中∴△ACD≌△ABE（ASA）． 故答案为：∠B=∠C．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

17．（4分）如图，五边形ABCDE中，AB∥CD，∠1，∠2，∠3分别是∠BAE，∠AED，∠EDC的外角，则∠1+∠2+∠3= 180° ．

，

【分析】根据两直线平行，同旁内角互补求出∠B+∠C=180°，从而得到以点B、点C为顶点的五边形的两个外角的度数之和等于180°，再根据多边形的外角和定理列式计算即可得解． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C=180°， ∴∠4+∠5=180°，

根据多边形的外角和定理，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°， ∴∠1+∠2+∠3=360°﹣180°=180°． 故答案为：180°．

第16页（共26页）

【点评】本题考查了平行线的性质，多边形的外角和定理，是基础题，理清求解思路是解题的关键．

18．（4分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 128 度．

【分析】先作辅助线，然后根据等腰三角形的性质和翻折变化的相关知识，可以求得∠OEC的度数，本题得以解决． 【解答】解：连接OB、OC，

∵AB=AC，∠BAC=°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O， ∴点O是△ABC的外心，∠BAO=∠CAO=32°，∠ABC=∠ACB=58°， ∴OA=OB=OC， ∴∠OAB=∠OBA=32°， ∴∠OBC=∠OCB=26°，

∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴EC=EO，

∴∠EOC=∠ECO=26°，

∴∠OEC=180°﹣26°﹣26°=128°， 故答案为：128．

第17页（共26页）

【点评】本题考查翻折变化、等腰三角形的性质、线段的垂直平分线，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

三、解答题（19、20、21每小题8分，22-24每小题8分，共分） 19．（8分）如图，AB=AD，BC=DC，求证：∠ABC=∠ADC．

【分析】连接AC，根据SSS证明△ABC与△ADC全等，再利用全等三角形的性质证明即可．

【解答】证明：连接AC， 在△ABC与△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠ABC=∠ADC．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的灵活应用，根据SSS证明△ABC与△ADC全等是解答本题的关键

20．（8分）如图，在△ABF与△CDE中，AB=CD，BF=DE，点A、E、F、C在同一条直线上，AE=CF，求证：AB∥CD．

第18页（共26页）

【分析】由条件可先证明△ABF≌△CDE，可证得∠A=∠C，可证得AB∥CD． 【解答】证明： ∵AE=CF， ∴AF=CE，

在△ABF和△CDE中

∴△ABF≌△CDE（SSS）， ∴∠A=∠C， ∴AB∥CD．

【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．

21．（8分）如图，在直角坐标系中，△ABC各顶点的横、纵坐标都是整数，直线m上各点的横坐标都为﹣1．

（1）作出△ABC关于直线m的对称图形△A1B1C1； （2）作出△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2； （3）写出△A2B2C2的各顶点的坐标．

第19页（共26页）

【分析】（1）作出△ABC关于直线m的对称图形△A1B1C1即可； （2）作出△ABC关于x轴对称的图形△A2B2C2即可；

（3）根据各点在坐标系中的位置写出△A2B2C2的各顶点的坐标． 【解答】解：（1）、（2）如图所示：

（3）由图可知，A2（﹣4，1），B2（﹣5，5），C2（﹣2，5）．

【点评】本题考查的是作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．

22．（10分）如图，已知在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

第20页（共26页）

【分析】根据三角形的内角和定理与∠C=∠ABC=2∠A，即可求得△ABC三个内角的度数，再根据直角三角形的两个锐角互余求得∠DBC的度数． 【解答】解：∵∠C=∠ABC=2∠A， ∴∠C+∠ABC+∠A=5∠A=180°， ∴∠A=36°．

则∠C=∠ABC=2∠A=72°． 又BD是AC边上的高， 则∠DBC=90°﹣∠C=18°．

【点评】此题主要是三角形内角和定理的运用． 三角形的内角和是180°．

23．（10分）已知，如图，DE⊥AC，BF⊥AC，AD=CB，DE=BF，求证：AB∥DC．

【分析】利用HL定理证明△ADE≌△CBF，则AF=CE，然后利用SAS证明△CDE≌△ABF，则∠A=∠C，从而证明结论． 【解答】证明：∵DE⊥AC，BF⊥AC， 在直角△ADE和直角△CBF中，

，

∴△ADE≌△CBF（HL），

第21页（共26页）

∴AF=CE，

在△CDE和△ABF中，

，

∴△CDE≌△ABF（SAS）． ∴∠A=∠C， ∴AB∥DC．

【点评】本题考查三角形的全等的判定与性质，证明△CDE≌△ABF是关键．

24．（10分）如图，在△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A=∠D，AB=DC． （1）求证：△ABE≌△DCE；

（2）当∠AEB=70°时，求∠EBC的度数．

【分析】（1）利用“角角边”证明△ABE和△DCE全等即可；

（2）根据全等三角形对应边相等可得BE=CE，再根据邻补角的定义求出∠BEC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（AAS）；

（2）∵△ABE≌△DCE， ∴BE=CE， 又∵∠AEB=70°，

∴∠BEC=180°﹣∠AEB=180°﹣70°=110°，

∴∠EBC=（180°﹣∠BEC）=（180°﹣110°）=35°．

第22页（共26页）

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形两底角相等的性质，是基础题，熟练掌握三角形全等的判断方法是解题的关键．

四、解答题（本大题有2小题，每小题12分，共24分）

25．（12分）如图，已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN．B、D分别在射线AN、AM上．

（1）在图（1）中，当∠ABC=∠ADC=90°时，求证：AD+AB=AC．

（2）若把（1）中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，如图（2）所示．则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【分析】（1）由题中条件可得，∠DCA=∠BCA=30°，在直角三角形中可得AC=2AD，AC=2AB，所以AD+AB=AC．

（2）在AN上截取AE=AC，连接CE，可得△CAE为等边三角形，进而可得△ADC≌△EBC，即DC=BC，DA=BE，进而结论得证． 【解答】（1）证明：∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN， ∴∠DAC=∠BAC=60° ∵∠ABC=∠ADC=90°， ∴∠DCA=∠BCA=30°，

在Rt△ACD中，∠DCA=30°，Rt△ACB中，∠BCA=30° ∴AC=2AD，AC=2AB， ∴AD+AB=AC；

（2）解：结论AD+AB=AC成立．

第23页（共26页）

理由如下：在AN上截取AE=AC，连接CE， ∵∠BAC=60°，

∴△CAE为等边三角形， ∴AC=CE，∠AEC=60°， ∵∠DAC=60°， ∴∠DAC=∠AEC，

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ABC+∠EBC=180°， ∴∠ADC=∠EBC， ∴△ADC≌△EBC， ∴DC=BC，DA=BE， ∴AD+AB=AB+BE=AE， ∴AD+AB=AC．

【点评】本题主要考查了30°的直角三角形的边角关系以及全等三角形的判定和性质问题，能够利用其性质求解一些简单的计算、证明问题．

26．（12分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE． （2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．

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【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA=∠CEA=90°，而∠BAC=90°，根据等角的余角相等得∠CAE=∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA， 则AE=BD，AD=CE，于是DE=AE+AD=BD+CE； （2）与（1）的证明方法一样；

（3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD=AE，∠DBA=∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF=∠CAF=60°，则∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，则∠DBF=∠FAE，

利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF=EF，∠BFD=∠AFE，于是∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．

【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA=∠CEA=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°， ∵∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE；

（2）成立．

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∵∠BDA=∠BAC=α，

∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°﹣α， ∴∠CAE=∠ABD， ∵在△ADB和△CEA中

，

∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴DE=AE+AD=BD+CE；

（3）△DEF是等边三角形． 由（2）知，△ADB≌△CEA， BD=AE，∠DBA=∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形， ∴∠ABF=∠CAF=60°，

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF， ∴∠DBF=∠FAE， ∵BF=AF

在△DBF和△EAF中

，

∴△DBF≌△EAF（SAS）， ∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60°， ∴△DEF为等边三角形．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．

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