高中数学必修1文科知识点总结

2015届高中数学文科必修+选修知识点归纳

引言

1.课程内容：

必修课程由5个模块组成：

必修1：集合、函数概念与基本初等函数（指、

对、幂函数）

必修2：立体几何初步、平面解析几何初步。 必修3：算法初步、统计、概率。 必修4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、

三角恒等变换。

必修5：解三角形、数列、不等式。

以上是每一个高中学生所必须学习的。

上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做过高的要求。

此外，基础内容还增加了向量、算法、概率、统计等内容。

选修课程：

系列1：由2个模块组成。

选修1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与

方程、导数及其应用。

选修1—2：统计案例、推理与证明、数

系的扩充与复数、框图

2．重难点及考点：

重点：函数，数列，三角函数，平面

向量，圆锥曲线，立体几何，导数

难点：函数、圆锥曲线 高考相关考点：

⑴集合与简易逻辑:集合的概念与运算、

简易逻辑、充要条件

- 1 -

⑵函数：映射与函数、函数解析式与定

义域、值域与最值、反函数、三大性质、函数图象、指数与指数函数、对数与对数函数、函数的应用

⑶数列：数列的有关概念、等差数列、

等比数列、数列求和、数列的应用

⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱

导公式、和、差、倍、半公式、求值、化简、证明、三角函数的图象与性质、三角函数的应用

⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐

标运算、数量积及其应用

⑹不等式：概念与性质、均值不等式、

不等式的证明、不等式的解法、绝对值不等式、不等式的应用

⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直

线的位置关系、线性规划、圆、直线与圆的位置关系

⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物

线、直线与圆锥曲线的位置关系、轨迹问题、圆锥曲线的应用

⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、

直线与平面、平面与平面、棱柱、棱锥、球

⑽概率与统计：概率、方差、抽样、 ⑾导数：导数的概念、求导、导数的应用

⑿复数：复数的概念与运算

必修1数学知识点 第一章：集合与函数概念 §1.1.1、集合

1、 把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总

体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无序性。

2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。 3、 常见集合：正整数集合：N*或N，整数集合：3．定义集合A#Bx|xA且xB,

1,3,5,7，则A#B的子集个数 若A2,3,5,B为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4 4．已知集合A{xR||x|2}，

B{xR|x2x20}，则下列结论正确的

是（ ）

A．AUBR B．AB C．ACRB D．ACRB §1.2.1、函数的概念

1、 设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应

关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有惟一确定的数fx和它对应，那么就称f:AB为集合A到集合B的一个函数，记作：yfx,xA.

2、 一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数相等. 【经典例题】

Z，有理数集合：Q，实数集合：R.

4、集合的表示方法：列举法、描述法. §1.1.2、集合间的基本关系

1、 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意

一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集。记作AB.

2、 如果集合AB，但存在元素xB，且xA，则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.

3、 把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规

定：空集合是任何集合的子集. 4、 如果集合A中含有n个元素，则集合A有2个子

n集，21个真子集.（注意：非空子集和非空真

n子集)

§1.1.3、集合间的基本运算

1、 一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成

的集合，称为集合A与B的并集.记作：AB. 2、 一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素

组成的集合，称为A与B的交集.记作：AB. 3、全集、补集：CUAxxU且xA 【经典例题】

1．集合A0,2,a,B1,a2,

若AB0,1,2,4,16,则a的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．已知集合合Mx|2x3，

1，1、若f(x)的定义域为2，则f(2x1)的定义域为为

1，2、若f(2x-1)的定义域为2，则f(x)的定义域

3，3、若f(x)的图像恒过定点为1，则f(2x1)的图像恒过定点

§1.2.2、函数的表示法

1、 函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法. §1.3.1、单调性与最大（小）值 1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设x1、x2[a,b],x1x2那么

f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是增函数； f(x1)f(x2)0f(x)在[a,b]上是减函数.

形式变形：

Nx|2A．

x11，则MCRN（ ）

fx1fx20或0 x1x23, B．2,1

- 2 -

或x1x2fx1fx20(或0)

步骤：取值—作差—变形—定号—判断

C．1,3 D．1,3

格式：解：设x1,x2a,b且x1x2，则：

fx1fx2=…

★ 此方法多用于证明数列中不等式恒成立问题 【经典例题】

2．（本小题满分12分）已知数列{an}的前n项和

Snn22n，正项等比数列{bn}满足：b1a11，

且b42b2b3．

（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式； （Ⅱ）若数列{cn}满足：cnx1．（本小题满分12分）已知函数f(x)，数3x1列an满足a11,an1f(an)nN（1）求数列{an}的通项公式；

．

3证明：Tn5 an，其前n项和为Tn，bn（2）记Sna1a2a2a3nan，a14S1n3．

证明：

- 3 -

2

(2)导数法：设函数yf(x)在某个区间内可导，若f(x)0，则f(x)为增函数； 若f(x)0，则f(x)为减函数. §1.3.2、奇偶性

1、 一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个

2、几种常见函数的导数 '①C0；②(xn)'nxn1； ③

(sinx)'cosx； ④(cosx)'sinx；

⑤(ax)'axlna； ⑥(ex)'ex； ⑦

x，都有fxfx，那么就称函数fx为

偶函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、 一般地，如果对于函数fx的定义域内任意一个

(logax)'11'；⑧(lnx) xlnax

3、导数的运算法则 （1）(uv)'u'v'. （2）(uv)'u'vuv'.

x，都有fxfx，那么就称函数fx为

奇函数.奇函数图象关于原点对称. ★注：奇函数不一定有f(0)=0 【经典例题】

1．（本小题满分12分）已知函数fx是偶函数，当

u'u'vuv'(v0). （3）()vv2

4、复合函数求导法则 复合函数yf(g(x))的导数和函数

yf(u),ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.

解题步骤:分层—层层求导—作积还原.

5、函数的极值 (1)极值定义：

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极大值；

极值是在x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，则f(x0)是函数f(x)的极小值.

(2)判别方法：

①如果在x0附近的左侧f'(x)＞0，右侧f'(x)＜0，那么f(x0)是极大值；

②如果在x0附近的左侧f'(x)＜0，右侧f'(x)＞0，那么f(x0)是极小值.

6、求函数的最值 (1)求yf(x)在(a,b)内的极值（极大或者极小值） (2)将yf(x)的各极值点与f(a),f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质）；最值是在整体区间上对函数值进行比较(整体性质)。

- 4 -

x0时，fxx22x，则f3（ ） 15 C．3 D．3 A．15 B．

2．（本小题满分12分） 设定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)x4(x0)，则f(x2)0的解集 为( )

A．(4,0)(2,) B．(0,2)(4,) C．(,0)(4,) D．(4,4) 3．（本小题满分12分）函数y2象大致为（ ）

x2x2(xR)的图

知识链接：函数与导数 1、函数yf(x)在点x0处的导数的几何意义： 函数yf(x)在点x0处的导数是曲线yf(x)在相应的切线方P(x0,f(x0))处的切线的斜率f(x0)，程是yy0f(x0)(xx0).

【经典例题】

1．（本小题满分12分）

已知函数f(x)ax3x2ax(a,xR)． （1）当a1时，求函数f(x)的极值；

（2）若f(x)在区间[0,)上单调递增，试求a的取值或取值范围

- 5 -

2．（本小题满分12分）

已知函数f(x)a(x)2lnx（aR）． （Ⅰ）若a2，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

（Ⅱ）设函数g(x)1xa．若至少存在一个x01,e，x使得f(x0)g(x0)成立，求实数a的取值范围．

第二章：基本初等函数（Ⅰ）

§2.1.1、指数与指数幂的运算

1、 一般地，如果xa，那么x叫做a 的n次方根。

5、换底公式：logablogcb

logcan a0,a1,c0,c1,b0. 其中n1,nN. 2、 当n为奇数时，nana；

当n为偶数时，nana.

3、 我们规定： n ⑴ammana0,m,nN*,m1；

⑵an1ann0； 4、 运算性质： ⑴arasarsa0,r,sQ；

⑵arsarsa0,r,sQ；

⑶abrarbra0,b0,rQ.

§2.1.2、指数函数及其性质 1、记住图象：yaxa0,a1

yy=ax

01

1

ox§2.2.1、对数与对数运算

1、指数与对数互化式：axNxlogaN；2、对数恒等式：alogaNN.

3、基本性质：loga10，logaa1. 4、运算性质：当a0,a1,M0,N0时：⑴logaMNlogaMlogaN；

⑵logMaNlogaMlogaN；

⑶lognaMnlogaM.

6、重要公式：logmmanbnlogab 7、倒数关系：logab1loga0,a1,b0,b1.

ba§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：ylogaxa0,a1

y y=logax

0o1x

a>1§2.3、幂函数 1、几种幂函数的图象：

【经典例题】 1．函数f(x)1log3x2x4的定义域为（ ）

A．(13,)B．[1,2)(2,)

3 C．(13,2)(2,)D．[1,) 31x2．当0＜x2时，1x4＜loga，则a的取值范围

是（ ）

A．(0,14) B．(14,1)

C．(1,4) D．(2,4)

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1，则（ ） 3A．bca B．bac C．abc D．cab 3．若a20.5，blog3，cln4．函数f(x)x22(a1)x2在(,4)上是增函数，则实数a的范围是

A．a≥5 B．a≥3 C．a≤3 D．a≤5

x12e,x25．若函数f(x)，则f[f(2)]= 2log3(x1),x255) B．(，1)55 33，1) D．(0，) C．(33

A．(0，1x1,x(,2)2．设函数f(x)，则函数1f(x2),x[2,)2F(x)xf(x)1的零点的个数为( )

A. 4 B.7 C. 6 D.无穷多个

_________．

2xa,x1,6．已知实数a0，函数f(x) ，若

x2a,x≥1.1x1,x1f(x)6．已知，则方程f(x)ax恰4lnx,x1有两个不同实数根时，实数a的取值范围是（ ）

f(1a)f(1a)，则a=

第三章：函数的应用

§3.1.1、方程的根与函数的零点

1、方程fx0有实根 函数yfx有零点 函数yfx的图象与x轴有交点

2、 零点存在性定理： 如果函数yfx在区间a,b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb0，那么函数

A．(0,) B．[,) 1e114e14 C．(0,) D．[,e)

14yfx在区间a,b内有零点，即存在ca,b，

使得fc0，这个c也就是方程fx0的根.

§3.1.2、用二分法求方程的近似解

1、掌握二分法（例如2015届高三第一次诊断考试三

角函数大题）. 【经典例题】

x0，sin(x)1，1．已知函数f(x)的2logax(a0，且a1)，x0图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取值范围是（ ）

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