2021-2022年高考数学圆锥曲线的综合问题

2021-2022年高考数学圆锥曲线的综合问题

一、基本知识概要： 1知识精讲：

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题，主要沿着两条主线，即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合，灵活运用解析几何的常用方法，解决圆锥曲线的综合问题；通过问题的解决，进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.

2重点难点：正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题，从中进

一步体会分类讨论、等价转化等数学思想的运用.

3思维方式：数形结合的思想，等价转化，分类讨论，函数与方程思想等.

4特别注意：要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换，

并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整。

二、例题：

例1. A，B是抛物线上的两点，且OA（O为坐标原点）求证：

（1）A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别是定植； （2）直线AB经过一个定点 证明：（1）设

A(x1,y1),B(x2,y2),则y12px1,y22px2,22OAOB,x1x2y1y20实用文档

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两式相乘得

(2)y1y22p(x1x2),当x1x2,kAB所以直线AB的方程yy1222p,y1y22p2p(xx1).化简得y(x2p),y1y2y1y2

过定点（2p,0),当x1x2时，显然也过点（2p,0)所以直线AB过定点(2p,0)

例2、（xx年春季北京，18）如图，O为坐标原点，直线在轴和轴上的截距分别是和，且交抛物线y22px(p0)于M（x1,y1），N（x2,y2）两点。

（1） 写出直线的截距式方程 （2） 证明：

（3） 当时，求的大小。（图见教材P135页例1） 解：（1）直线的截距式方程为。 （1） （2）、由（1）及消去可得 （2） 点M，N的坐标为（2）的两个根。故y1y22payy111所以12b.

y1y2y1y22pab2pa,y1y22pa. b（3）、设直线OM、ON的斜率分别为k1,k2,则k1当时，由（2）知，

y1y,k22. x1x2(y1y2)2(4p2)22由y2px1,y2px2,相乘得(y1y2)4px1x2,x1x24p,224p4p212222y1y24p2因此k1k2。 1.所以OMON，即MON＝902x1x24p说明：本题主要考查直线、抛物线等基本知识，考查运用解析几何的

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方法分析问题和解决问题的能力。

例3、（xx年黄冈高三调研考题）已知椭圆C的方程为，双曲线的两条渐近线为，过椭圆C的右焦点F作直线，使，又与交于P点，设与椭圆C的两个交点由上而下依次为A、B。（图见教材P135页例2） （1） 当夹角为，双曲线的焦距为4时，求椭圆C的方程 （2） 当时，求的最大值。

解：（1）双曲线的渐近线为，两渐近线的夹角为，又，

b3POx30,即tan30a3b.又a2b24,a3 2xa23,b21.故椭圆C的方程为y21.3aba2abl:y(xc),与yx解得P（,）,（3） 由已知bacc

a2abcc,c)，将A点坐标代入椭圆方程得 由得A(11(c2a2)22a4(1)2a2c2,(e2)22e2(1)2

e4e222(2e2)3322.2 e22e2的最大值为2－1。说明：本题考查了椭圆、双曲线的基础知识，及向量、定比分点公式、重要不等式的应用。解决本题的难点是通过恒等变形，利用重要不等式解决问题的思想。本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题。

例4、A，F分别是椭圆的一个上顶点与上焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t,0）与F的连线交射线OA于Q，求：

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（1） 点A，F的坐标及直线TQ的方程;

（2） 三角形OTQ的面积S与t的函数关系式及该函数的最小值 （3） 写出该函数的单调递增区间,并证明. 解:(1)由题意得A(1,3),F(1,1)

直线TQ得方程为x+(t-1)y-t=0

(2)射线OA的方程y=3x(x0),代入TQ的方程，得xQt 3t223t13t2由xQ0,得t,则yQ,S(t)yQOT33t222(3t2) 132344,t,S(t)(当t时取等号）1213993332(2)4()2t3tt444所以S(t)的最小值为 (3)S(t)在上是增函数

224(t2t1)(t1)(t2)41339设t1t2,那么S(t1)S(t2)•

2232(t1)(t2)33t2.t142222,(t1),t2,,S(t2)S(t1) 33333所以该函数在 三、课堂小结：

1、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。

2、对于求曲线方程中参数范围问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解

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四.作业: 教材P136闯关训练。

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p 32848 8050 聐36698 8F5A 轚I>23387 5B5B 孛28299 6E8B 溋36251 8D9B 趛o29276 725C 牜40801

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