高中数学必修1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 基本初等函数（I） 2.2 对数函数一、学习任务1. 理解对数的概念及其运算性质；了解对数换底公式，知道一般对数可以转化成自然对数或常用对数．2. 了解对数函数模型的实际案例；了解对数函数的概念；理解对数函数的性质，会画对数函数的图象．二、知识清单对数的概念与运算 对数函数及其性质三、知识讲解1.对数的概念与运算描述：对数一般地，如果 ax=N(a>0,a≠1) ，那么数 x 叫作以 a 为底 N 的对数，记作 x=logaN，其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数．也即 ax=N⇔x=logaN ，其中 a>0,a≠1．对数的性质根据对数的定义，有（ a>0,a≠1 ）：① 负数与零没有对数；② 1 的对数等于 0 ，即 loga1=0 ；③ 底数的对数等于 1 ，即 logaa=1 ；④ logaax=x ；⑤ alogaN=N(N>0) ．常用对数以 10 为底的对数叫做常用对数，常用“ lg ”表示（即“ log10 ”）．自然对数以 e 为底的对数叫做自然对数（ e 是无理数， e=2.71828⋯ ），常用“ ln ”表示（即“ loge ”）．对数的运算性质① 积的对数等于对数的和： loga(M⋅N)=logaM+logaN（a>0且a≠1） ；② 商的对数等于对数的差： logaM=logaM−logaN（a>0且a≠1） ；N③ 幂的对数等于幂指数与幂的对数的积： logaMn=nlogaM（a>0且a≠1） ．换底公式 logaN=logbN（a>0且a≠1,b>0且b≠1,N>0） ．logba例题：将下列对数式化成指数式，并求 x 的值：（1）logx27=311；（2）lnx=；（3）x=lg；（4）log5(log2x)=0．2210323解：（1）由 logx27=，得 x2=27，所以 x=273=32=9．2111（2）由 lnx=，得 e2=x，所以 x=e2=√e．211（3）由 x=lg，得 10x=，得 x=−1．1010（4）由 log5(log2x)=0，得 log2x=1，所以 x=21=2．计算下列各式的值．（1）lg52+2lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2；3−−−−−−−−−−−−−−（2）2(lg√2)2+lg√2×lg5+√(lg√2)2−lg2+1；（3）log23×log35×log516；解：（1）原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.（2）−−−−−−−−−−原式=lg√2×(2lg√2+lg5)+√(lg√2−1)2=lg√2×(lg2+lg5)+(1−lg√2)=lg√2+1−lg√2=1.（3）lg3lg5lg16lg16lg24原式=××===4.lg2lg3lg5lg2lg2（1）已知 a>b>1，logab+logba=（2）设 3a=4b=36，求 21+ 的值；abb（3）已知 log189=a，18=5，用 a,b 表示 log3645 的值．1解：（1）令 logab=x，则 logba=，则x21(logba−logab)=(−x)x210，求 logba−logab 值；321=(+x)−4x10=()−4364=.982又因为 a>b>1，0
1．所以 logba−logab>0，所以 8．3（2）（方法一）对 3a=4b=36 取以 e 为底的对数，得 ln3a=ln4b=ln36，即 aln3=bln4=ln36，所以logba−logab=1ln31ln4=,=aln36bln36于是01logba−logab>0212ln3ln4+=+abln36ln362ln3+ln4=ln36ln36=ln36=1.（方法二）由 3a=36，得 a=log336，所以 11=log363．同理 =log364，所以ab21+=ab===2log363+log364log369+log364log36361.（3）因为 log189=a，18b=5，所以 log185=b，于是log3645=log1845log18(9×5)=log1836log18(18×2)log189+log185=1+log182log189+log185=181+log189log189+log185a+b==.2−log1892−a2.对数函数及其性质描述：一般地，形如 y=logax (a>0且a≠1) 的函数叫做对数函数（logarithmic function），其中 x 是自变量．图象定义域(0,+∞)值域R性质① 过定点 (1,0) ；② 当 01 时，在 (0,+∞)上是增函数．例题：求下列函数的定义域（1）f(x)=1−−−−−2； +√4−x2；（2）f(x)=4x−1ln(x+1)−−−−−−−−−−（3）f(x)=√loga(4x−3)(a>0且a≠1)．⎧x+1>0,解：（1）由⎨ln(x+1)≠0, 得 −10,⎧⎪⎪x>0,⎧⎪⎪1x≤, 所以 01 时，34x−3≥1，解得 x≥1；当 01时，函数的定义域为 [1,+∞)；当 0b>1>c>d B．b>a>1>d>c C．1>a>b>c>d D．a>b>1>d>c解：B在图中画出直线 y=1，可发现与曲线 ①②③④ 交于 A(a,1)，B(b,1)，C(c,1)，D(d,1)，由图可知 b>a>1>d>c 1设 a=log12，b=log23，c=()，则（ ）23A．alog22=1，c=()∈(0,1)，所以 233a1 时，函数 y=logax 在 (0,+∞) 上是增函数，所以 0<2xx+1>0，解得 x>1．综上所述，当 a>1 时，不等式的解集为 (0,1)；当 00，其中 Δ<0，得函数定义域是 R，令 u(x)=2x2+x+6，即函数 11u(x) 的单调增区间为 (−,+∞)，单调减区间为 (−∞,−)．44又因为 y=log1u 在 (0,+∞) 上是减函数，由复合函数的单调性可知，函数 y=log1(2x2+x+6) 的单调增区间为 (−∞,−22211)，单调减区间 (−,+∞)．44已知函数 f(x)=lg(ax2+2x+1)．（1）若函数 f(x) 的定义域为 R，求实数 a 的取值范围．（2）若函数f(x) 的值域为 R，求实数 a 的取值范围．解：（1）的定义域为 R，即关于 x 的不等式 ax2+2x+1>0 的解集为 R．当 a=0 时，此不等式变为 2x+1>0，其解集不是 R；当 a≠0 时，有 {a>0,Δ=4−4a<0,所以 a 的取值范围是 (1,+∞)． 所以 a>1．(1,+∞)（2）f(x) 的值域是 R，即 u=ax2+2x+1 能取遍一切正数．所以 a=0 或 {a>0, 解得 0b>1D．b>a>12. 若 loga211+a1+a1⎧⎪⎧2a>1⎪a>122②当⎨，即时，
