(常考题)人教版高中数学必修第一册第一单元《集合与常用逻辑用语》检测(答案解析)

一、选择题

1．已知命题p:2x1，命题q:(xa)(x3)0，若p是q的充分不必要条件，则实x1B．[1,3]

C．[1,)

D．[3,)

数a的取值范围是（ ） A．(,1]

2．设aR，则“a1”是“直线l1:ax2y0与直线l2：xa1y40平行”的（ ）

A．充分不必要条件 C．充分必要条件

3．已知非空集合A，B满足以下两个条件： （i）AB．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

B1,2,3,4,5，AB；

（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素， 则有序集合对A,B的个数为（ ） A．7

B．8

C．9

D．10

4．已知等比数列an的前n项和为Sn，则“a10”是“S20210”的（ ） A．充分不必要条件 C．充要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

5．设a,b为非零向量，则“abab”是“a与b共线”的（ ） A．充分而不必要条件 C．充要条件

B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件

226．已知集合A(x,y)xy1，B(x,y)yx，则A（ ） A．3

B．2

C．1

B中元素的个数为

D．0

1”成立的（ ） 27．设向量a(sin2,cos)，b(cos,1)，则“a//b”是“tanA．充分而不必要条件 C．充分必要条件 A．(－1，3)

C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

B．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件 B．[－1，3]

D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

8．若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )

x2y29．“k3”是“方程1表示双曲线”的（ ）

k3k3A．充分不必要条件 C．必要不充分条件

B．充要条件

D．既不充分也不必要条件

10．设a、b是实数，则“a0，b0”是“A．充分不必要条件 C．充要条件

11．命题“a，b>0，a＋A．a，b>0，a＋B．a，b>0，a＋C．a，b>0，a＋D．a，b>0，a＋

ba2”的（ ） abB．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

11≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为（ ）

ab11<2和b＋<2至少有一个成立

ab11≥2和b＋≥2都不成立

ab11<2和b＋<2至少有一个成立

ab11≥2和b＋≥2都不成立

ab12．已知函数f(x)x3ax2bxc(a,b,cR)，则“a23b0”是“f(x)在R上只有一个零点”的（ ） A．充分不必要条件 C．充分必要条件

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

二、填空题

13．已知p:x2(a1)xa0，q:1x3，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是______. 14．若“x0,使得tanx0m”是假命题，则实数m的取值范围为________. 6315．设p：|x﹣1|≤1，q：x2﹣（2m+1）x+（m﹣1）（m+2）≤0．若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_____．

16．设集合A{xx132x}，集合B{x17．命题“数列的前n项和Sn3nnnN211}，则AB________. x*”成立的充要条件是________.（填一组符

合题意的充要条件即可，所填答案中不得含有字母n）

18．已知命题q：xR,x2mx10.是真命题，则实数m的取值范围为__________

x2ax,x119．已知函数f(x)，若x1,x2R,x1x2，使得f(x1)f(x2)成

ax1,x1立，则实数a的取值范围是___________.

20．记集合Aa,b，当,时，函数f23sincos2cos2的值域为B，若“xA”是“xB”的必要条件，则ba的最小值是______.

三、解答题

21．已知集合Ax|a3x2a1,Bx|5x3，全集UR. （1）当a1时，求(UA)2B；

（2）若AB，求实数a的取值范围.

∣1mx1m. ∣x5x40，Sx22．已知集合Px（1）用区间表示集合P；

（2）是否存在实数m，使得xP是xS的______条件.若存在实数m，求出m的取值范围：若不存在，请说明理由.

请从如下三个条件选择一个条件补充到上面的横线上： ①充分不必要；②必要不充分；③充要.

23．已知命题p：0x1；q：a1x2aa0. （1）若a1，写出命题“若p则q”的逆否命题，并判断真假；

（2）若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 24．设集合A{x|a1xa1}，B{x|x1或x2}． （1）若AB，求实数a的取值范围； （2）若ABB，求实数a的取值范围． 25．已知函数fxx6lg3x的定义域为集合A，又集合Bxx216，

Cx3xm0.

（1）求AB，

RAB；

（2）若xC是xA的必要条件，求m的取值范围.

26．已知命题p:x2x10，命题q:xx1a或x1a，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.



【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．C 解析：C 【分析】

化简命题q，分类讨论a解不等式(xa)(x3)0，根据p是q的充分不必要条件列式可解得结果. 【详解】 因为

2xx12x0，所以(x1)(x1)0，所以1x1， 1，所以

x1x1当a3时，由(xa)(x3)0得xa或x3， 因为p是q的充分不必要条件，所以a1，所以1a3， 当a3时，由(xa)(x3)0得x3，满足题意， 当a3时，由(xa)(x3)0得x3或xa，满足题意， 综上所述：a1. 故选：C 【点睛】

关键点点睛：本题考查由充分不必要条件求参数的取值范围，一般可根据如下规则求解： （1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； （2）p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集； （3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；

（4）p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含．

2．A

解析：A 【分析】

计算直线平行等价于a1或a2，根据范围大小关系得到答案. 【详解】

直线l1:ax2y0与直线l2：xa1y40平行，则aa12，a1或

a2，

验证均不重合，满足.

故“a1”是“直线l1:ax2y0与直线l2：xa1y40平行”的充分不必要条件. 故选：A. 【点睛】

本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.

3．B

解析：B 【分析】

结合题意，按照集合中的元素个数分类，即可得解. 【详解】

由题意，符合要求的情况分为以下几类：

（1）当集合A只有一个元素时，集合B中有四个元素，1A且4B， 故A{4}，B{1,2,3,5}，共计1种；

（2）当集合A有两个元素时，集合B中有三个元素，2A且3B， 故可能结果为：①A{1,3}，B{2,4,5}；②A{3,4}，B1,2,5； ③A3,5，B{1,2,4}，共计3种；

（3）当集合A有三个元素时，集合B中有两个元素，3A且2B，

故可能结果为：①A{2,4,5}，B{1,3}；②A1,2,5，B{3,4}；

③A{1,2,4}，B3,5，共计3种；

（4）当集合A中有4个元素时，集合B中有1个元素，4A且1B， 故A{1,2,3,5}，B{4}，共计1种． 所以有序集合对A,B的个数为13318. 故选：B. 【点睛】

本题考查了根据集合的运算结果及集合中元素的性质确定集合，考查了运算求解能力，属于中档题.

4．C

解析：C 【分析】

结合等比数列的前n项和公式，以及充分、必要条件的判断方法，判断出正确选项. 【详解】

1qn1qn0，所以 由于数列an是等比数列，所以S2021a1，由于

1q1q1qnS2021a10a10，

1q所以“a10”是“S20210”的充要条件. 故选：C 【点睛】

本小题主要考查等比数列前n项和公式，考查充分、必要条件的判断，属于中档题.

5．A

解析：A 【分析】

根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】

若abab，则a与b共线，且方向相同，充分性； 当a与b共线，方向相反时，abab，故不必要. 故选：A. 【点睛】

本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.

6．B

解析：B 【解析】

试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A表示以0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B表示直线yx上所有的点组成的集合，又圆

2222yxxy1与直线相交于两点2,2，2,2，则AB中有2个元

22素.故选B.

【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.

7．B

解析：B 【分析】

先将a//b等价化简为cos0或tan【详解】

1，再判断解题即可. 21a//b(sin2,cos)//(cos,1)sin2cos2cos0或tan2，

所以“a//b”是“tan故选：B. 【点睛】

本题考查向量平行的坐标表示、判断p是q的什么条件、三角恒等变换化简，是中档题.

1”成立的必要不充分条件. 28．C

解析：C 【分析】

根据二次函数的图象与性质，得到关于a的不等式，即可求解. 【详解】

2由题意，x0R,x0(a1)x010，

则(a1)40，解得a3或a1， 所以实数a的取值范围是(,1)【点睛】

本题主要考查了存在性命题的真假判定及应用，其中熟记转化为二次函数，利用二次函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.

2(3,)，故选C.

9．A

解析：A 【分析】

根据充分条件、必要条件的定义，结合双曲线的方程即可判定. 【详解】

x2y2因为当k3时，k30，k30，方程1表示双曲线；

k3k3x2y2当方程1表示双曲线时，(k3)(k3)0，即k3或k3，不能推出

k3k3k3，

x2y2所以“k3”是“方程1表示双曲线”的充分不必要条件，

k3k3故选：A 【点睛】

本题主要考查了充分条件、必要条件，双曲线的标准方程，属于中档题.

10．A

解析：A 【分析】

ba2可推导出ab0，再利用充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. ab【详解】

由

222baabbaab2ab由2可得20，

abab2ab2abab20，则ab0，

ba2”的充分不必要条件. ab则“a0，b0”“ab0”，但“ab0”“a0，b0”. 所以，“a0，b0”是“故选：A. 【点睛】

本题考查充分不必要条件的判断，考查推理能力，属于中等题.

11．D

解析：D 【分析】

将“全称量词”改“存在量词”，“至少有一个成立”改为“都不成立”即可得到. 【详解】 “a，b>0，a＋

11≥2和b＋≥2至少有一个成立”的否定为：

ab11a，b>0，a＋≥2和b＋≥2都不成立.

ab故选：D 【点睛】

本题考查了全称命题的否定，属于基础题.

12．A

解析：A 【分析】

求出f(x)，由a23b0知f(x)0恒成立，即函数f(x)在R上单调递增，只有一个

零点，然后可举例说明在a23b0，即f(x)有两个极值点时，f(x)也可能只有一个零点，由此可得结论． 【详解】

因为f(x)xaxbxc，f(x)3x2axb，若a23b0， 则4a212b0，则f(x)0恒成立，所以f(x)在R上单调递增． 当x时，f(x)，当x时，f(x)， 所以f(x)在R上只有一个零点，即充分性成立． 令a32232332，b0，c1，则f(x)xx1，f(x)3x3x3x(x1)， 22则f(x)在(,1)，(0,)上单调递增，在(1,0)上单调递减，又f(1)10， 2f(1)30，则f(x)在R上只有一个零点，但不满足“a23b0”，即必要性不成立， 2所以“a23b0”是“f(x)在R上只有一个零点”的充分不必要条件， 故选：A． 【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判断、函数的零点的概念．注意区别A是B的充分不必要条件（AB且BA）与A的充分不必要条件是B（BA且AB）两者的不同．

二、填空题

13．【分析】根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进行求解即可【详解】x2﹣（a+1）x+a≤0即（x﹣1）（x﹣a）≤0p是q的必要不充分条件当a＝1时由（x﹣1）（x﹣1）≤0得x＝1此时不满足 解析：(3,)

【分析】

根据充分条件和必要条件的定义转化为对应关系进行求解即可． 【详解】

x2﹣（a+1）x+a≤0即（x﹣1）（x﹣a）≤0， p是q的必要不充分条件，

当a＝1时，由（x﹣1）（x﹣1）≤0得x＝1，此时不满足条件， 当a＜1时，由（x﹣1）（x﹣a）≤0得a≤x≤1，此时不满足条件． 当a＞1时，由（x﹣1）（x﹣a）≤0得1≤x≤a， 若p是q的必要不充分条件，则a＞3，

即实数a的取值范围是（3，+∞）， 故答案为（3，+∞） 【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据定义转化为不等式的包含关系是解决本题的关键.

14．【分析】根据题意写出原命题的否定则其是一个真命题再据此求范围即可【详解】因为使得是假命题所以其否定:是真命题又时所以故答案为:【点睛】本题考查命题的真假关系考查三角函数求最值属于简单题在解决命题真假 解析：

【分析】

根据题意,写出原命题的否定,则其是一个真命题,再据此求范围即可. 【详解】 因为“x03,

,使得tanx0m”是假命题, 63,,tanxm”是真命题, 63所以其否定:“x3x,,又时tanx[,3], 633所以m故答案为:【点睛】

本题考查命题的真假关系,考查三角函数求最值,属于简单题.在解决命题真假性相关问题时,若原命题不好求解,可以考虑与之相关的其他命题,比如命题的否定,逆否命题等.

3,

3,.

15．01【分析】分别求出的范围再根据是的充分不必要条件列出不等式组解不等式组【详解】由得得由得得若p是q的充分不必要条件则得得即实数的取值范围是故答案为：【点睛】本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解

解析：[0，1] 【分析】

分别求出p,q的范围，再根据p是q的充分不必要条件，列出不等式组，解不等式组 【详解】

由x11得1x11，得0x2.

由x(2m1)x(m1)(m2)0，得[x(m1)][x(m2)]0， 得m1xm2， 若p是q的充分不必要条件，

2m10m1则，得，得0m1，

m22m0

即实数m的取值范围是[0,1].

故答案为：[0,1] 【点睛】

本题主要考查绝对值不等式和二次不等式的解法，同时考查了充分不必要条件，属于中档题.

16．【分析】先解不等式再根据交集的定义求解即可【详解】由题因为则解得；又因为则即解得或则或即故答案为：【点睛】本题考查绝对值不等式分式不等式的解法考查交集考查运算能力

4解析：,01，

3【分析】

先解不等式,再根据交集的定义求解即可 【详解】

由题,因为x132x,则2x3x132x,解得x又因为

4； 311x0,即1xx0,解得x0或x1, 1,则xx则ABx|x0或1x44},即,01， 334,01， 故答案为：3【点睛】

本题考查绝对值不等式、分式不等式的解法,考查交集,考查运算能力

17．数列为等差数列且【分析】根据题意设该数列为由数列的前项和公式分析可得数列为等差数列且反之验证可得成立综合即可得答案【详解】根据题意设该数列为若数列的前项和则当时当时当时符合故有数列为等差数列且反之当

解析：数列为等差数列且a14，d6． 【分析】

根据题意，设该数列为{an}，由数列的前n项和公式分析可得数列为等差数列且a14，

2d6，反之验证可得Sn3nn成立，综合即可得答案．

【详解】

根据题意，设该数列为{an}，

2若数列的前n项和Sn3nn，则当n1时，a1S14，

当n2时，anSnSn16n2，

当n1时，a14符合an6n2， 故有数列为等差数列且a14，d6，

反之当数列为等差数列且a14，d6时，an6n2，Sn(a1an)23n2n； 2故数列的前n项和Sn3n2n(nN*)”成立的充要条件是数列为等差数列且a14，

d6，

故答案为：数列为等差数列且a14，d6． 【点睛】

本题考查充分必要条件的判定，关键是掌握充分必要条件的定义，属于基础题．

18．【解析】【分析】因为命题：是真命题可得即可求得答案【详解】命题：是真命题解得则实数的取值范围为故答案为【点睛】这是一道关于命题的真假判断与应用的题目关键是根据已知命题为真命题构造关于的不等式是解题的 解析：[2,2]

【解析】 【分析】

因为命题q：xR，x2mx10，是真命题，可得【详解】

命题q：xR，x2mx10，是真命题

m240即可求得答案

m240，解得2m2

2 则实数m的取值范围为2，2 故答案为2，【点睛】

这是一道关于命题的真假判断与应用的题目，关键是根据已知命题为真命题，构造关于m的不等式是解题的关键

19．【分析】若使得成立只要保证在R上不单调即可【详解】函数的对称轴为当即时在上不是单调函数则在R上也不是单调函数满足题意；当即时分段函数为R上的单调增函数不满足题意故答案为：【点睛】本题以命题的形式考查 解析：(,2)

【分析】

若x1,x2R,x1x2，使得f(x1)f(x2)成立，只要保证f(x)在R上不单调即可. 【详解】

函数yxax的对称轴为x=当

2a， 2a1即a2时，yx2ax在,1上不是单调函数， 2则f(x)在R上也不是单调函数，满足题意；

当

a1即a2时，分段函数为R上的单调增函数，不满足题意. 2故答案为：(,2) 【点睛】

本题以命题的形式考查了分段函数单调性，考查了转化的思想，属于中档题.

20．3【分析】利用倍角公式和差公式化简利用三角函数的单调性可得根据是的必要条件可得即可得出结论【详解】根据题意可得：∵∴即是的必要条件则∴∴即故答案为：3【点睛】本题考查了倍角公式和差公式三角函数的单调

解析：3 【分析】

利用倍角公式、和差公式化简f，利用三角函数的单调性可得B，根据“xA”是

“xB”的必要条件，可得BA，即可得出结论． 【详解】

根据题意可得：f23sincos2cos2sin221. 6∵∴f, 0,3，即B0,3

“xA”是“xB”的必要条件，则BA ∴a0 b3∴ba303，即bamin3. 故答案为：3. 【点睛】

本题考查了倍角公式、和差公式、三角函数的单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

三、解答题

21．（1）x|5x2；（2）a【分析】

（1）求出集合A从而求

U4或2a1.

A，再与集合B取交集即可；（2）分A和A两种情况

讨论根据AB列出不等式（组）求a的取值范围. 【详解】

（1）依题意，当a1时，Ax|2x3，则又Bx|5x3，

UA｛x|x2或x3}，

则(UA)B｛x|x2或x3}x|5x3x|5x2.

4；

（2）若AB，则有x|a3x2a1x|5x3，于是有： 当A时，AB显然成立，此时只需a32a1，即a当A时，若AB，则

a35a22a13a1，所以：2a1 a32a1a4综上所述，a的取值范围为：a【点睛】

易错点点睛：在利用集合的包含关系求参数时注意以下两点：

（1）已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论，做到不漏解；

（2）在解决两个数集关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解，另外，在解含有参数的不等式（或方程）时，要对参数进行讨论. 22．（1）1,4；（2）答案见解析. 【分析】

（1）解不等式后可得集合P.

（2）根据条件关系可得对应集合的包含关系，从而可得参数的取值范围. 【详解】

（1）因为x2-5x+4即x1x40，所以1x4，

4或2a1.

Px|x25x401,4.

（2）若选择①，即xP是xS的充分不必要条件，

1m1,则1m1m且（两个等号不同时成立），

1m4解得m3，故实数m的取值范围是[3,)． 若选择②，即xP是xS的必要不充分条件． 当S时，1m1m，解得m0． 当S时，1m1m且解得m0．

综上，实数m的取值范围是,0． 若选择③，即xP是xS的充要条件，

1m1,（两个等号不同时成立），

1m4,1m1,则PS，即此方程组无解，

1m4,则不存在实数m，使xP是xS的充要条件．

【点睛】

方法点睛：

（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； （2）p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集； （3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；

（4）p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含． 23．（1）逆否命题为“若x0或x2，则x0或x1”，真命题；（2）【分析】

（1）直接写出命题“若p则q”逆否命题并判断真假即可； （2）由题意得x|0x1答案. 【详解】

（1）若a1，则q：0x2，命题“若p则q”为“若0x1，则0x2”， 命题“若p则q”的逆否命题为“若x0或x2，则x0或x1”，是真命题； （2）若p是q的充分不必要条件，x|0x1则1≤a≤1. 2x|a1x2aa0，即2a1a10解不等式组可得

x|a1x2aa0

a101，解得≤a≤1，

22a11≤a≤1. 2实数a的取值范围为【点睛】

结论点睛：充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：

（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集； （2）p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集； （3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等； （4）p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含. 24．（1）0,1；（2）,23,. 【分析】

B，（1）若A∩B=∅，则a12，解不等式即可得到所求范围；（2）若A∪B=B，则A⊆则a+1≤﹣1或a﹣1≥2，解不等式即可得到所求范围． 【详解】

a111集合A{x|a1xa1}，B{x|x1或x2}，

若AB，则a12

a11即a1，解得：0a1， 实数a的取值范围时0,1；

a02若ABB，AB

则a11或a12， 解得：a2或a3，

则实数a的取值范围为,23,． 【点睛】

本题考查集合的运算，主要是交集、并集，同时考查集合的包含关系，注意运用定义法，考查计算能力，属于基础题．与集合元素有关问题的思路：（1）确定集合的元素是什么，即确定这个集合是数集还是点集;（2）看这些元素满足什么条件;（3）根据条件列式求参数的值或确定集合元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 25．（1）ABx4x3，【分析】

（1）由定义域的性质求出集合A，再由集合的基本运算求解即可； （2）由必要条件的性质得出AC，再由包含关系求出m的取值范围. 【详解】 解：（1）由 RABxx6或x4；（2）m9.

x60得Ax6x3，Bx4x4

3x0 RABx4x3，ABx6x4，

（2）由3xm0得，x∴CxxABxx6或x4.

m 3m. 3∵xC是xA的必要条件，∴AC ∴m3 3得m9. 【点睛】

本题主要考查了集合的基本运算以及利用必要条件求参数范围，属于中档题.

26．0a3

【分析】

根据题意，求出p表示的集合，利用p是q的充分不必要条件得到集合间的包含关系，进而得到关于a的不等式组，解不等式即可. 【详解】

由题意知，p:x2或x10，

因为p是q的充分不必要条件，

所以xx2或x10xx1a或x1a，

1a2所以1a100a3，

1a1a所以实数a的取值范围为0a3. 【点睛】

本题考查利用充分不必要条件和集合间的包含关系求参数的取值范围；考查逻辑推理能力和运算求解能力；根据题意，正确得出集合间的包含关系是求解本题的关键；属于中档题.