《双曲线》
大题50题
第1页（共74页）高中数学《双曲线》大题50题及答案解析1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．3．设双曲线Γ的方程为：x﹣2
＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．第2页（共74页）（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使坐标，若不存在说明理由．+2＝成立，若存在，求出所有M、N的5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为为，求双曲线C的标准方程；2
2
，，且渐近线方程（Ⅱ）在圆x+y＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在第3页（共74页）直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；．（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．9．已知F1，F2为双曲线的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，第4页（共74页）在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．10．已知双曲线2
的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．高中数学资料共享群734924357每天都有更新！11．已知椭圆＝1（a＞b＞0}），点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出定值；（2）试对双曲线＝1写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．12．如图，若F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．第5页（共74页）13．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x+9y＝36有相同的焦点．（1）求双曲线标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，求△MF1F2的面积．22
14．设双曲线＝1，其虚轴长为2，且离心率为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB上取点M使得＝，证明：点M落在某一定直线上；（3）在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围．第6页（共74页）15．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点．每天都有更新！Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为（1）求动点P的轨迹方程；高中数学资料共享群734924357（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x+y＝2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．2
2
16．已知双曲线＝1（b＞a＞0）渐近线方程为y＝±x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．17．设双曲线﹣＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（1）若A、B分别为此双曲线的渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）过点N（1，0）能否作出直线l，使l交双曲线于P、Q两点，且在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．•＝0，若存第7页（共74页）18．已知双曲线，（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．19．已知双曲线C：点P（3，﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为（﹣2，0）和（2，0），）在双曲线C上．每天都有更新！（Ⅰ）求双曲线C的方程；高中数学资料共享群734924357（Ⅱ）过点A（0，2）的直线与双曲线C交于不同的两点E、F，若坐标原点O与E、F构成的三角形面积为220．已知双曲线，求直线l的方程．的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足21．已知圆M：（x+1）+y＝圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y＝①求双曲线C的方程；②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2＝﹣时，求Q点的坐标．2
2
，求实数λ的取值范围．2
，圆N：（x﹣1）+y＝2
，动圆D与圆M外切并与圆N内切，x为C的一条渐近线．22．已知双曲线且e≥的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，k．每天都有更新！（1）求m的取值范围；高中数学资料共享群734924357（2）设条件p：e≥2
k；条件q：m﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充第8页（共74页）分条件，求a的取值范围．23．已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，且||PF1|﹣|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？24．若抛物线的顶点是双曲线x﹣y＝1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．25．已知双曲线过点A（1，1），它的焦点F在其渐近线上的射2
2
影记为M，且△OFM（O为原点）的面积为（Ⅰ）求双曲线的方程；．（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦AB，AC，设直线AB，直线AC的斜率分别为k1，k2，且（k1+1）（k2+1）＝﹣1恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．26．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝交于点M，双曲线C的离心率e＝，F是其右焦点，且|MF|＝1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若＝λ且，求直线l斜率k的取值范围．27．已知双曲线C：﹣＝1的离心率是，其一条准线方程为x＝．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若＝λ，求实数λ的取值范围．第9页（共74页）28．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（a，0），B（0，﹣b）．（1）求双曲线的方程；高中数学资料共享群734924357每天都有更新！（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．29．已知椭圆C与双曲线﹣＝1有公共焦点，且离心率e＝，（1）求椭圆的标准方程；（2）已知点P是椭圆C上的一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？30．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．31．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于（1）求双曲线S的方程；（2）设经过点（﹣2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．32．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线C：y＝2px（p＞0）的2
，直线x﹣3y+5＝0上的点．第10页（共74页）准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为（1）求抛物线C的方程；（2）过点D（﹣1，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，若在x轴上存在一点P（x0，0）使得△PEF是等边三角形，求x0的值．33．在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线﹣y＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x0，2
y0），Q（x0，﹣y0）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A，B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C，连AC交轨迹E于点D，求证：AB⊥BD．34．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x+y＝2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．35．已知曲线Γ上的点到F（1，0）的距离比它到直线x＝﹣3的距离小2，过F的直线交曲线Γ于A，B两点．（1）求曲线Γ的方程；（2）若，求直线AB的斜率；2
2
（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．36．已知点线的方程是在双曲线．（1）求双曲线C的方程；上，且双曲线的一条渐近（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点，求实数k的值．37．已知点是椭圆C：的一个顶点，椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；第11页（共74页）（Ⅱ）已知点P（x0，y0）是定点，直线交椭圆C于不同的两点A、B，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求点P的坐标，使得k1+k2＝0恒成立．38．已知双曲线C：（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且直线l与双曲线C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．39．已知命题P“双曲线﹣＝1上任意一点Q到直线l1：bx+ay＝0，l2：bx﹣ay＝0的离心率为，点（4，2）在C上．的距离分别记作d1，d2则d1，d2为定值”是真命题（1）求出d1•d2的值（2）已知直线l1，l2关于y轴对称且使得椭圆C：+＝1上任意点到l1，l2的距离d1，d2满足为定值，求l1，l2的方程（3）已知直线m与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆C交于M，N两点，求|OM|+|ON|的最大值．40．椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆+＝1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆+＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM•kAB＝﹣，为定值．那么对于双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）则有命题：AB是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．，过点P（0，﹣1）的直线l分别交双曲线C的左、点，则kOM•kAB＝定值41．如图，已知双曲线右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（点D在y轴的左侧）．（1）若，求直线l的方程；第12页（共74页）（2）求的取值范围．42．已知双曲线C1：x﹣2
2
＝1（b＞0），A（xA，b）是C1上位于第二象限内的一点，曲线2
2
2
C2是以点C（0，b+1）为圆心过点A的圆上满足y＞b的部分．曲线Γ由C1上满足y≤b的部分和C2组成．记F1，F2为C1的左、右焦点．（1）若△CF1F2为等边三角形，求xA；（2）若直线AC与Γ恰有两个公共点，求b的最小值；（3）设b＝1，过A的直线l与Γ相交于另外两点P、Q，求l的倾斜角的取值范围．43．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左．顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为（1）求双曲线E的方程；（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．44．已知曲线是P1和P2．（1）当Q运动到，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别时，求的值；第13页（共74页）（2）设直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y轴交于S点，若45．设双曲线，，且λ+μ＝1，求证T为定点．2
2
2
的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）+y＝r（r＞0）与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．46．设双曲线Γ的方程为：x﹣2
＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．47．已知双曲线C的一个焦点为，且过点．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（﹣点．（Ⅰ）求C的标准方程；（Ⅱ）求△F2DE的面积最大值．＜m＜）、N，设过点F1，N的直线l与C交于D，E两第14页（共74页）48．直线离的3倍．（1）求点P的坐标；（2）设双曲线的方程；上的动点P到点T1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线（3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由．49．已知双曲线C1：的渐近线方程为y＝±x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且．＝12．（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．50．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高第15页（共74页）（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标准方程是，（用a，b，h表示）m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是3.14159，保留到个位即可）m（计算时π取3
（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）第16页（共74页）第17页（共74页）高中数学《双曲线》大题50题答案解析1．在①m＞0，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为3+，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线C：﹣＝1，_____，求C的方程．2
2
2
【解析】选①．因为m＞0，所以a＝m，b＝2m，c＝3m，所以a＝因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为a+c，所以a+c＝+＝3+2
，c＝，，解得m＝3，故C的方程为2
2
﹣，c＝＝1；，﹣＝1；选②．若m＞0，则a＝m，b＝2m，c＝3m，所以a＝所以C的焦距为2c＝22
2
＝6，解得m＝3，则故C的方程为2
若m＜0，则a＝﹣2m，b＝﹣m，c＝﹣3m，所以c＝＝1；选③．若m＞0，则a＝m，所以a＝2
，所以C的焦距为2c＝2＝6，解得m＝﹣3，则C的方程为﹣，因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2则C的方程为2
＝4，解得m＝4，﹣＝1；，若m＜0，则a＝﹣2m，所以a＝因为C上一点到两个焦点的距离之差的绝对值为4，所以2a＝2则C的方程为＝4，解得m＝﹣2，﹣＝1．第18页（共74页）2．已知双曲线C的右焦点F，半焦距c＝2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N．（1）求双曲线C的标准方程；（2）证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标．【解析】（1）由题意可得c＝2，c﹣所以双曲线的方程为：﹣y＝1；2
＝，b＝c﹣a，解得：a＝3，b＝1，22222
（2）证明：设F（2，0）设过F的弦AB所在的直线方程为：x＝ky+2，A（x1，y1），B（x2，y2），则有中点M（+2，），联立直线AB与双曲线的方程：整理可得：（k﹣3）y+4ky+1＝0，22
因为弦AB与双曲线有两个交点，所以k﹣3≠0，2
y1+y2＝所以M（，所以x1+x2＝k（y1+y2）+4＝，）；，（i）当k＝0时，M点即是F，此时直线MN为x轴；（ii）当k≠0时，将M的坐标中的k换成﹣，同理可得N的坐标（，﹣），①当直线MN不垂直于x轴时，直线MN的斜率kMN＝＝，将M代入方程可得直线MN：y﹣＝（x﹣），第19页（共74页）化简可得y＝（x﹣3），所以直线MN恒过定点P（3，0）；②当直线MN垂直于x轴时，＝可得k＝±1，直线也过定点P（3，0）；综上所述直线MN恒过定点P（3，0）．3．设双曲线Γ的方程为：x﹣2
＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．【解析】（1）①当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个交点，符合题意，②当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k+1联立方程，消去y得：（4﹣k）x﹣2k（1﹣k）x﹣[（1﹣k）+4]＝0，222
∵直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，∴△＝4k（1﹣k）+4（4﹣k）[（1﹣k）+4]＝0，化简得：80﹣32k＝0，∴∴直线l的方程为：y＝，，即5x﹣2y﹣3＝0，2
2
2
2
③当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，∵双曲线Γ的渐近线方程为：y＝±2x，∴直线l的斜率为±2，∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1）或y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0，综上所述，直线l的方程为：x＝1或5x﹣2y﹣3＝0或2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0；（2）假设点R在双曲线Γ上，第20页（共74页）不妨设直线l1方程为：y＝2x，设点A（x1，2x1），B（x2，2x2），点P（x0，y0），∵P关于点A的对称点记为Q，∴点Q（2x1﹣x0，4x1﹣y0），∵Q关于点B的对称点记为R．∴点R（2x2﹣2x1+x0，4x2﹣4x1+y0），∵点R在双曲线Γ上，∴，∴﹣＝1，∴，又∵点P（x0，y0）在双曲线Γ：x﹣2
＝1上，∴x0﹣2
＝1，∴上式化为：4（x2﹣x1）•x0﹣2（x2﹣x1）•y0＝0，又∵x1≠x2，∴4x0＝2y0，∴y0＝2x0，又∵x0﹣2
＝1，∴，∴0＝1，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R不可能在双曲线Γ上．4．在平面直角坐标系中，已知双曲线I：，A，B分别为I的左，右顶点．（1）以A为圆心的圆与I恰有三个不同的公共点，写出此圆的方程；（2）直线L过点A，与I在第一象限有公共点P，线段AP的垂直平分线过点B，求直线L的方程；（3）I上是否存在异于A、B点M、N，使坐标，若不存在说明理由．【解析】（1）双曲线I：由题意可得以A为圆心的圆经过B，则圆的半径r＝4，圆的方程为（x+2）+y＝16；2
2
+2＝成立，若存在，求出所有M、N的，A（﹣2，0），B（2，0），第21页（共74页）（2）直线L过点A（﹣2，0），且直线的斜率存在，设直线L的方程为y＝k（x+2），（k＞0），联立双曲线方程消去y，可得（5﹣4k）x﹣16kx﹣16k﹣20＝0，可得xA+xP＝，可得xP＝，yP＝k（x+2）＝，2
2
2
2
可得AP的中点T坐标为（，），由题意可得kTB＝﹣，即为＝﹣，解得k＝（负的舍去），则直线L的方程为y＝（x+2）；+2，＝成立．（3）假设I上存在异于A、B点M、N，使设M（x1，y1），N（x2，y2），由可得x2＝2﹣2x1，y2＝﹣2y1，将M，N的坐标代入双曲线的方程可得+2＝﹣＝1，即﹣＝1，又﹣＝1，解得x1＝2，y1＝0，与B重合，故不存在．5．（Ⅰ）已知中心在原点的双曲线C的焦点坐标为为，求双曲线C的标准方程；2
2
，，且渐近线方程（Ⅱ）在圆x+y＝3上任取一点P，过点P作y轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在该圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程．【解析】（Ⅰ）依题可知双曲线的焦点在y轴上，设其方程为：，且①，双曲线的渐近线方程为2
2
2
，即②．．又∵a+b＝c…③，由①②③可得第22页（共74页）得双曲线方程为：；（Ⅱ）设轨迹上任一点M的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则依题意可知D点坐标为（0，y0），∵PD的中点为M，∴，即，∵点P在圆x+y＝3上运动，经检验所求方程符合题意，∴点M的轨迹方程为．22
，得4x+y＝3，22
6．设离心率为3，实轴长为1的双曲线E：（a＞b＞0）的左焦点为F，顶点在原点的抛物线C的准线经过点F，且抛物线C的焦点在x轴上．（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）若直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，且满足OM⊥ON，求|MN|的最小值．【解析】（I）离心率为3，实轴长为1，即e＝可得c＝，F（﹣，0），2
＝3，a＝，可设抛物线的方程为y＝2px，p＞0，可得＝，即p＝3，2
可得抛物线的方程为y＝6x；（Ⅱ）设直线l的方程为x＝my+t，设点M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1＝，x2＝，将直线l的方程与抛物线C的方程联立由韦达定理得y1+y2＝6m，y1y2＝﹣6t，∵OM⊥ON，∴kOM•kON＝•＝﹣，得y﹣6my﹣6t＝0，2
＝﹣1，即t＝6，第23页（共74页）由△＝36m+24×6＞0恒成立，则|MN|＝＝6≥12，＝•2
当且仅当m＝0时，|MN|取得最小值12．7．2018年世界人工智能大会已于2018年9月在上海徐汇西岸举行，某高校的志愿者服务小组受大会展示项目的启发，会后决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图：A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号晚秒（注：信号每秒传播v0米）．在时刻t0时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时刻t0时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”的风险．如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？【解析】（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得即|PA|﹣|PB|＝8＜10，﹣＝，可得P的轨迹为双曲线的右支，且2c＝10，2a＝8，即有c＝5，a＝4，b＝3，则P的轨迹方程为﹣＝1（x≥4），时刻t0时，|OP|＝4，即P（4，0），可得机器鼠所在位置的坐标为（4，0）；（2）设直线l的平行线l1的方程为y＝x+m，第24页（共74页）联立双曲线方程2
﹣＝1（x≥4），可得7x+32mx+16m+144＝0，2
22
即有△＝（32m）﹣28（16m+144）＝0，且x1+x2＝﹣即l1：y＝x﹣与双曲线的右支相切，＞0，可得m＝﹣，切点即为双曲线右支上距离l最近的点，此时l与l1的距离为d＝＝，即机器鼠距离l最小的距离为＞1.5，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．8．已知离心率为2的双曲线C的一个焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为（1）求双曲线C的方程；（2）设A1，A2分别为C的左右顶点，P为C异于A1，A2一点，直线A1P与A2P分别交y轴于M，N两点，求证：以线段MN为直径的圆D经过两个定点．【解析】（1）设C：，因为离心率为2，所以c＝2a，．．所以C的渐近线为，由，得c＝2．于是a＝1，，故C的方程为．（2）方法一、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），可得直线A1P与A2P方程为，．由题设，所以，，，MN中点坐标，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，，因此D经过两个定点和．方法二、设P（x0，y0）（x0≠±1），因为A1（﹣1，0），A2（1，0），第25页（共74页）可得直线A1P与A2P方程为，，由题设，所以，．设P（x，y）是圆D上点，则，即，于是圆D的方程为．因为，所以圆D的方程可化为．当y＝0时，9．已知F1，F2为双曲线，因此D经过两个定点和．的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的垂线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2＝30°．（1）求双曲线C的两条渐近线的夹角θ；（2）过点F2的直线l和双曲线C的右支交于A，B两点，求△AF1B的面积最小值；（3）过双曲线C上任意一点Q分别作该双曲线两条渐近线的平行线，它们分别交两条渐近线于Q1，Q2两点，求平行四边形OQ1QQ2的面积．【解析】（1）双曲线2
的a＝1，c＝2
，可令x＝c，解得y＝b2
＝b，设M（c，b），，由∠MF1F2＝30°，可得b＝2ctan30°＝解得b＝，2
则双曲线的方程为x﹣＝1，可得双曲线的方程为y＝±即有tanθ＝|可得夹角θ＝arctan2x，|＝2，；第26页（共74页）（2）当直线AB的斜率不存在，可得A（可得△AF1B的面积为×2×4＝4；，2），B（，﹣2），直线AB的斜率存在，设过点F2的直线l设为y＝k（x﹣＝2，可得（2﹣k）x+2又x1+x2＝﹣2
2
），联立双曲线方程2x﹣y22
kx﹣3k﹣2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），＞0，x1x2＝﹣＞0，可得k＞2，2
22
可得△AF1B的面积为S＝•2c•|y1﹣y2|＝•|k（x1﹣x2）|＝•|k|•＝|k|•，设t＝k﹣2（t＞0），可得S＝42
•＝4•＞4，综上可得△AF1B的面积的最小值为4（3）设Q（m，n），可得2m﹣n＝2，双曲线的渐近线方程为y＝±2
2
；x，，（x﹣m）+n，），Q到直线y＝x的距离为d＝x的直线y＝﹣，由平行于直线y＝﹣联立直线y＝|OQ2|＝|n+x，可得Q2（m|，即有行四边形OQ1QQ2的面积为d•|OQ2|＝＝•|2m﹣n|＝2
2
|n+m|••2＝．10．已知双曲线2
的一条渐近线方程为，点在双曲线上，抛物线y＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线的右焦点重合．（Ⅰ）求双曲线和抛物线的标准方程；（Ⅱ）过点F做互相垂直的直线l1，l2，设l1与抛物线的交点为A，B，l2与抛物线的交点为D，E，求|AB|+|DE|的最小值．第27页（共74页）【解析】（Ⅰ）由题意可得所以双曲线方程为x﹣3y＝3b，将点（22
2
2
，即，，1）代入双曲线方程，可得b＝3，，，．，l1，l2与坐标轴不平行，，，2
所以双曲线的标准方程为c＝a+b＝12，所以所以抛物线的方程为（Ⅱ）由题意知设直线l1的方程为，整理可得222
△＞0恒成立，∴，因为直线l1，l2互相垂直，可设直线l2的方程为同理可得，，＝．．当且仅当k＝±1时取等号，所以|AB|+|DE|的最小值为11．（文）已知椭圆＝1（a＞b＞0}），点A、点B分别是椭圆上关于原点对称的两点，点P是椭圆上不同于点A和点B的任意一点．（1）求证：直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为定值，并求出定值；（2）试对双曲线＝1写出具有类似特点的正确结论，并加以证明．【解析】（1）证明：设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），第28页（共74页）且+＝1①，+＝1②，两式相减得：＝﹣，kPA•kPB＝•＝﹣，即kPA•kPB＝﹣，是与点P位置无关的定值．（2）双曲线类似的性质为：若A，B是双曲线＝1上关于原点对称的两点，点P是双曲线上的任意一点，若直线PA和PB的斜率都存在，并分别记为kPA，kPB，那么kPA与kPB之积是与点P位置无关的定值证明：设P（x0，y0），A（x1，y1），则B（﹣x1，﹣y1），且﹣＝1①，﹣＝1②，．两式相减得：＝，kPA•kPB＝•＝，即kPA•kPB＝，是与点P位置无关的定值．12．如图，若F1，F2是双曲线﹣＝1的两个焦点．（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1|•|PF2|＝32，试求△F1PF2的面积．第29页（共74页）【解析】（1）由题意，设M到两个焦点的距离分别为m，16，则|16﹣n|＝2×3，解得n＝10或22；（2）根据双曲线的方程可知，a＝3，b＝4，c＝5则|F1F2|＝2c＝10，|PF1|﹣|PF2|＝2a＝2×3＝6∴|PF1|+|PF2|﹣2|PF1||PF2|＝36，∴|PF1|+|PF2|＝100＝|F1F2|，∴∠F1PF2＝90°，∴△F1PF2的面积为|PF1|•|PF2|＝32×2
2
2
2
2
2
＝16．2
13．已知双曲线过点（3，﹣2）且与椭圆4x+9y＝36有相同的焦点．（1）求双曲线标准方程；（2）若点M在双曲线上，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|MF1|＝2|MF2|，求△MF1F2的面积．【解析】（1）椭圆方程可化为+＝1，焦点在x轴上，且，故设双曲线方程为，（a，b＞0），则有，解得a＝3，b＝2，22
所以双曲线的标准方程为；（2）因为点M点在双曲线上，又|MF1|＝2|MF2|，所以点M在双曲线的右支上，则有，解得，，又，第30页（共74页）因此在△MF1F2中，所，以.．14．设双曲线＝1，其虚轴长为2，且离心率为．（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（3，1）的动直线与双曲线的左右两只曲线分别交于点A、B，在线段AB上取点M使得＝，证明：点M落在某一定直线上；（3）在（2）的条件下，且点M不在直线OP上，求△OPM面积的取值范围．【解析】（1）设双曲线＝1，其虚轴长为2，且离心率为，∴22
＝2b，e＝2
2
＝，∵c＝a﹣b，∴b＝2，a＝2
2
，∴双曲线C的方程为2x﹣2
＝1，（2）设点M，A，B的坐标分别为（x，y），（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2＜3，∵＝，∴＝﹣，即＝﹣，即[6﹣（x1+x2）]x＝3（x1+x2）﹣2x1x2，①设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣3），②将②代入2x﹣2
＝1中整理，得（4﹣k）x﹣（16k﹣1）x﹣3（3k﹣1）﹣2＝0，2222
∴x1+x2＝，x1x2＝，代入①，第31页（共74页）整理可得，得12x﹣3＝k（x﹣3），联立②消k得，12x﹣y﹣2＝0∴点M落在某一定直线12x﹣y﹣2＝0上．（3）由（2）可设点M的坐标为（x0，y0）且x0＜3，x0≠，令点M到直线OP的距离为h，则h＝＝，∵点M在线段AB上，当过点P动直线的斜率在（﹣2，2）之间时与双曲线两支有交点，当k＝﹣2，与12x﹣y﹣2＝0，解得x＝∴﹣＜x0＜，＜x0＜，）．，，当k＝2，与12x﹣y﹣2＝0，解得x＝﹣，∴S△OPM＝OP•h＝∴△OPM面积的取值范围为（0，15．在平面直角坐标系中，点F1、F2分别为双曲线C：的左、右焦点，双曲线C的离心率为2，点（1，）在双曲线C上．不在x轴上的动点P与动点．Q关于原点O对称，且四边形PF1QF2的周长为（1）求动点P的轨迹方程；（2）在动点P的轨迹上有两个不同的点M（x1，y1）、N（x2，y2），线段MN的中点为G，已知点（x1，x2）在圆x+y＝2上，求|OG|•|MN|的最大值，并判断此时△OMN的形状．【解析】（1）设F1，F2分别为（﹣c，0），（c，0）可得，b＝c﹣a＝3a，）在双曲线C上，∴，2
2
2
22
2
又点（1，解得，c＝1．连接PQ，∵OF1＝OF2，OP＝OQ，∴四边形PF1QF2的周长为平行四边形．∴四边形PF1+PF2＝2左右顶点），∴动点P的轨迹方程（y≠0）；＞2，∴动点P的轨迹是以点F1、F2分别为左右焦点的椭圆（除第32页（共74页）（2）∵x1+x2＝2，22
，∴y1+y2＝1．22
∴|OG|•|MN|＝•＝•＝∴当3﹣2x1x2﹣2y1y2＝3+2xx2+2y1y2⇒x1x2+y1y2＝0时取最值，此时OM⊥ON，△OMN为直角三角形．16．已知双曲线＝1（b＞a＞0）渐近线方程为y＝±1
．x，O为坐标原点，点在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求的值．【解析】（Ⅰ）∵∴设双曲线方程为（y+∵O为坐标原点，点∴（）﹣3（﹣2
2
2
＝1（b＞a＞0）渐近线方程为y＝±x，2
x）（y﹣x）＝λ，λ≠0，即y﹣3x＝λ，在双曲线上，2
）＝λ，解得λ＝﹣6，2
∴双曲线方程为y﹣3x＝﹣6，即…（4分）（Ⅱ）∵直线l与双曲线交于P、Q两点，以弦PQ为直径的圆经过原点O，∴OP⊥OQ，设直线OP的方程为y＝kx，（k≠0）代入中，得，第33页（共74页）∴|OP|＝x+y＝222
，同理，得|OQ|＝2
∴…（12分）17．设双曲线﹣＝1的两个焦点分别为F1、F2，离心率为2．（1）若A、B分别为此双曲线的渐近线l1、l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；（2）过点N（1，0）能否作出直线l，使l交双曲线于P、Q两点，且在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．【解析】（1）∵e＝2，∴c＝4a，∵c＝a+3，∴a＝1，c＝2，∴双曲线方程为y﹣2
2
2
2
2
•＝0，若存＝1，渐近线方程为y＝±x；设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（x，y），∵2|AB|＝5|F1F2|∴|AB|＝∴∵y1＝∴y1+y2＝∴∴3（2y）+2
|F1F2|＝10，＝10，x1，y2＝﹣x2，2x＝x1+x2，2y＝y1+y2
（x1+x2），＝10，（x1﹣x2），y1﹣y2＝（2x）＝100，2
即+＝1，则M的轨迹是中心在原点，第34页（共74页）焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆．（2）假设存在满足条件的直线l．设l：y＝k（x﹣1），l与双曲线交于P（x1，y1）、Q（x2，y2），∵•＝0，∴x1x2+y1y2＝0，∴x1x2+k（x1﹣1）（x2﹣1）＝0，∴x1x2+k[x1x2﹣（x1+x2）+1]＝0，∵，可得（3k﹣1）x﹣6kx+3k﹣3＝0，2
2
2
2
22
∴x1+x2＝∴k+3＝0，2
，x1x2＝，∴k不存在，即不存在满足条件的直线l．18．已知双曲线，（1）求以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点的椭圆E的方程．（2）点P在椭圆E上，点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）设椭圆E的方程为+＝1，a＞b＞0，∵双曲线，椭圆E以双曲线的顶点为焦点，焦点为顶点，∴，∴b＝8﹣6＝2，2
∴椭圆E的方程为．…（6分）（2）∵点C（2，1）关于坐标原点的对称点为D，∴依题意得D点的坐标为（﹣2，﹣1），且D点在椭圆E上，第35页（共74页）直线CP和DP的斜率KCP和KDP均存在，设P（x，y），则，，∴kCP•kDP＝＝2
，2
∵点P在椭圆上，∴x＝8﹣4y，∴kCP•kDP＝＝﹣．∴直线CP和DP的斜率之积为定值﹣．…（14分）19．已知双曲线C：点P（3，﹣＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为（﹣2，0）和（2，0），）在双曲线C上．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，2）的直线与双曲线C交于不同的两点E、F，若坐标原点O与E、F构成的三角形面积为2，求直线l的方程．2
2
【解析】（Ⅰ）依题意，c＝2，即a+b＝4，双曲线C：将点（3，2
﹣＝1（a＞0，b＞0），﹣2
）代入上式，得2
＝1．解得a＝18（舍去）或a＝2，b＝2，故所求双曲线方程为x﹣y＝2．（Ⅱ）依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，得（1﹣k）x﹣4kx﹣6＝0．∵直线I与双曲线C相交于不同的两点E、F，∴∴k∈（﹣，﹣1）∪（1，）．2
2
2
2
设E（x1，y1），F（x2，y2），则由①式得x1+x2＝，x1x2＝﹣，第36页（共74页）由S△OEF＝＝|OA|•|x1﹣x2|＝|x1﹣x2|＝＝2，即k＝2，可得k＝±则直线l的方程为y＝20．已知双曲线2
，x+2和y＝﹣x+2．的左右两个顶点是A1，A2，曲线C上的动点P，Q关于x轴对称，直线A1P与A2Q交于点M，（1）求动点M的轨迹D的方程；（2）点E（0，2），轨迹D上的点A，B满足，求实数λ的取值范围．【解析】（1）由已知A1（﹣2，0），A2（2，0），设则直线，直线，两式相乘得即动点M的轨迹D的方程为，化简得；，（2）过E（0，2）的直线若斜率不存在则设直线斜率k存在，A（x1，y1），B（x2，y2），，或3，则由（2）（4）解得x1，x2代入（3）式得，第37页（共74页）化简得由（1）△≥0解得解得，，代入上式右端得，，综上实数的取值范围是21．已知圆M：（x+1）+y＝圆心D的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；2
2
．，圆N：（x﹣1）+y＝2
2
，动圆D与圆M外切并与圆N内切，（2）若双曲线C的右焦点即为曲线E的右顶点，直线y＝①求双曲线C的方程；x为C的一条渐近线．②过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A，B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且λ1+λ2＝﹣时，求Q点的坐标．【解析】（1）∵圆P与圆M外切并且与圆N内切，∴|PM|+|PN|＝（R+r1）+（r2﹣R）＝r1+r2＝4，…（1分）由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为（3分）（求出a＝2，c＝1给（1分），求出则此方程为．…（4分）得1分）的椭圆，…（2）设双曲线方程为0），，由椭圆，求得两焦点为（﹣2，0），（2，∴对于双曲线C：c＝2，…（5分）又∴为双曲线C的一条渐近线，，解得a＝1，b＝3，…（6分）2
2
故双曲线C的方程．…（7分）（3）解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零．设l的方程：y＝kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则Q（﹣，0），第38页（共74页）∵，则（﹣，﹣4）＝λ1（x1+，y1），…（8分）∴，从而，∵A（x1，y1）在双曲线C上，∴（）﹣2
﹣1＝0，…（9分）16+32λ1+16同理有2
﹣k﹣kλ1＝0，．…（10分）2
222
若16﹣k＝0，则直线l过顶点，不合题意，∴16﹣k≠0，∴λ1，λ2是二次方程∴此时△＞0，∴k＝±2．∴所求Q的坐标为（±2，0）．…（12分）解法二：由题意知直线l的斜率k存在且不等于零设l的方程：y＝kx+4，A（x1，y1），B（x2，y2），则∴∴﹣4＝λ1y1＝λ2y2，∴，，…（8分）．．∵，，∴k＝4，…（11分）2
的两根．又，∴，即3（y1+y2）＝2y1y2，…（9分）将y＝kx+4代入2
，得（3﹣k）y﹣24y+48﹣3k＝0，…（10分）222
∵3﹣k≠0，否则l与渐近线平行．第39页（共74页）∴．…（11分）∴，∴k＝±2，∴Q（±2，0）．…（12分）22．已知双曲线且e≥的离心率为e，经过第一、三象限的渐近线的斜率为k，k．（1）求m的取值范围；（2）设条件p：e≥k；条件q：m﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0．若p是q的必要不充2
分条件，求a的取值范围．【解析】（1）由已知得：∵，∴，，，解得m≤3，∵m＞0，∴0＜m≤3，即m的取值范围（0，3]．（2）∵m﹣（2a+2）m+a（a+2）≤0，∴（m﹣a）（m﹣a﹣2）≤0，即a≤m≤a+2，∵p是q的必要不充分条件，∴解得0＜a≤1，即a的取值范围为（0，1]．23．已知F1，F2分别是双曲线的左右焦点，点P是双曲线上任一点，2
且||PF1|﹣|PF2||＝2，顶点在原点且以双曲线的右顶点为焦点的抛物线为L．（Ⅰ）求双曲线C的渐近线方程和抛物线L的标准方程；（Ⅱ）过抛物线L的准线与x轴的交点作直线，交抛物线于M、N两点，问直线的斜率等于多少时，以线段MN为直径的圆经过抛物线L的焦点？【解析】（Ⅰ）由双曲线的定义可知，2a＝2，即a＝1．∴双曲线的标准方程为．∴双曲线的渐近线方程y＝±3x．双曲线的右顶点坐标为A（1，0），即抛物线L的焦点坐标为A（1，0），第40页（共74页）∴抛物线L的标准方程为y＝4x，（Ⅱ）抛物线y＝4x的准线与对称轴的交点为（﹣1，0）．设直线MN的斜率为k，则其方程为y＝k（x+1）．由，得kx+2（k﹣2）x+k＝0．22
2
2
2
2
∵直线MN与抛物线交于M、N两点，∴△＝4（k﹣2）﹣4k＞0，解得﹣1＜k＜1．设M（x1，y1），N（x2，y2），抛物线焦点为F（1，0），∵以线段MN为直径的圆经过抛物线焦点，∴MF⊥NF．∴，即y1y2+x1x2﹣（x1+x2）+1＝0．2
2
4
又，x1x2＝1，且y1，y2同号，∴．解得，∴．即直线的斜率等于时，以线段MN为直径的圆经过抛物线的焦点．2
2
24．若抛物线的顶点是双曲线x﹣y＝1的中心，焦点是双曲线的右顶点（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l过点C（2，1）交抛物线于M，N两点，是否存在直线l，使得C恰为弦MN的中点？若存在，求出直线l方程；若不存在，请说明理由．【解析】（1）由x﹣y＝1，可得a＝b＝1，则双曲线的右顶点为（1，0），即抛物线的焦点坐标为（1，0），则∴抛物线方程为y＝4x；（2）假设存在直线l，使得C恰为弦MN的中点，设M（x1，y1），N（x2，y2），则两式作差得：，，22
2
2
2
，p＝2．第41页（共74页）即∴直线l的斜率为2．．此时l的方程为y﹣1＝2（x﹣2），即为2x﹣y﹣3＝0．联立直线方程与双曲线方程后判别式大于0，∴满足条件的直线方程为2x﹣y﹣3＝0．25．已知双曲线过点A（1，1），它的焦点F在其渐近线上的射影记为M，且△OFM（O为原点）的面积为（Ⅰ）求双曲线的方程；．（Ⅱ）过点A作双曲线的两条动弦AB，AC，设直线AB，直线AC的斜率分别为k1，k2，且（k1+1）（k2+1）＝﹣1恒成立，证明：直线BC的斜率为定值．【解答】（Ⅰ）解：双曲线渐近线方程为bx±ay＝0，焦点可设为F（c，0），其中，则，故△OFM的面积为．…（3分）由条件可知求得求得，故双曲线的方程为2x﹣y＝1．…（5分）（Ⅱ）证明：设BC的方程为y﹣1＝k（x﹣1）+m，双曲线方程可化为2[（x﹣1）+1]﹣[（y﹣1）+1]＝1，即2（x﹣1）﹣（y﹣1）+4（x﹣1）﹣2（y﹣1）＝0，因此2m（x﹣1）﹣m（y﹣1）+4（x﹣1）[（y﹣1）﹣k（x﹣1）]﹣2（y﹣1）[（y﹣1）﹣k（x﹣1）]＝0，（2m﹣4k）（x﹣1）﹣（m+2）（y﹣1）+（4+2k）（x﹣1）（y﹣1）＝0，．2
2
2
2
2
2
2
2
22
第42页（共74页）因此k1，k2是关于K的方程（m+2）K﹣（4+2k）K+4k﹣2m＝0的两个根．…（9分）．由条件可知故直线BC的斜率为定值．…（12分），2
26．已知双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x＝交于点M，双曲线C的离心率e＝，F是其右焦点，且|MF|＝1．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）过点A（0，1）的直线l与双曲线C的右支交于不同两点P、Q，且P在A、Q之间，若＝λ且，求直线l斜率k的取值范围．【解析】（I）设双曲线的一条渐近线方程为y＝令x＝即M（，可得y＝，，x，），F（c，0），由|MF|＝1，可得（﹣c）+（＝2
）＝1，，2
由离心率e＝且a+b＝c，解得a＝2
2
2
，b＝1，﹣y＝1；2
则双曲线的方程为（II）设直线l的斜率为k，则l的方程为y＝kx+1，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），由得：（1﹣2k）x﹣4kx﹣4＝0，2
2
由l与双曲线C的右支交于不同的两点P、Q，第43页（共74页）∴，∴若＜k＜1且k＜0＝λ且2
①，P在A、Q之间，则x1＝λx2，≤λ＜1，则，即有＝＝2+，设f（λ）＝＜0）则4＜f（λ）≤解得≤k＜1②2
＝λ++2在[，1）上为减函数，（可由f′（λ）＝1﹣，即4＜2+≤，由①②可得﹣1＜k≤﹣．]．则k的取值范围是（﹣1，﹣27．已知双曲线C：﹣＝1的离心率是，其一条准线方程为x＝．（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设双曲线C的左右焦点分别为A，B，点D为该双曲线右支上一点，直线AD与其左支交于点E，若＝λ，求实数λ的取值范围．第44页（共74页）【解析】（I）由题意可得，∴a＝，c＝2，b＝1，＝1（4分）∴双曲线的方程为（II）由（I）知A（﹣2，0），设D（x0，y0），E（x1，y1）则由＝λ，可得x1＝∵E在双曲线上∴（，y1＝，）﹣（2
）＝12
（﹣2+λx0）2﹣3（λy0）2＝3（1+λ）2∵D在双曲线∴可得x0＝∴λ≤，，∵D在双曲线的左支，点D在右支∴0＞λ≤（12分）28．双曲线＝1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为，其中A（a，0），B（0，﹣b）．（1）求双曲线的方程；（2）若B1是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过B作直线与双曲线交于M，N两点，求B1M⊥B1N时，直线MN的方程．【解析】（1）由题意可知：双曲线＝1（a＞0，b＞0）的焦点在x轴上，离心率为e＝＝2，即c＝2a，第45页（共74页）由A（a，0），B（0，﹣b），∴直线AB的方程为：bx﹣ay﹣ab＝0，由点到直线的距离公式可知：d＝2
2
2
＝，由a+b＝c，代入解得：a＝，b＝3，c＝2，；∴双曲线的标准方程为：（2）由（1）可知：B1（0，3），B（0，﹣3）．直线MN的斜率显然存在，设MN的方程为：y＝kx﹣3，M（x1，y1），N（x2，y2），由，整理得：（3﹣k）x+6kx﹣18＝0，22
△＝36k﹣4（﹣18）（3﹣k）＝﹣k+6＞0，解得：﹣＜k＜，，x1•x2＝﹣，222
由韦达定理可知：x1+x2＝﹣2
∴y1•y2＝kx1•x2﹣3k（x1+x2）+9，y1+y2＝k（x1+x2）﹣6，∵＝（x1，y1﹣3），＝（x2，y2﹣3）由B1M⊥B1N，∴•＝0，∴x1•x2+（y1﹣3）（y2﹣3）＝0，x1•x2+y1•y2﹣3（y1+y2）+9＝0，∴（1+k）x1•x2﹣6k（x1+x2）+36＝0，将x1+x2＝解得：k＝±，x1•x2＝﹣，满足﹣＜k＜，代入整理得：k＝5，，﹣3．，2
2
∴直线MN的方程为：y＝29．已知椭圆C与双曲线﹣x﹣3或y＝﹣＝1有公共焦点，且离心率e＝（1）求椭圆的标准方程；第46页（共74页）（2）已知点P是椭圆C上的一动点，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足，当点P在椭圆上运动时，线段PD的中点M的轨迹是什么？【解析】（1）由题意，c＝3，a＝5，∴b＝4，∴椭圆的标准方程＝1；（2）设PD中点M（x，y），P（x′，y′），依题意x＝x′，y＝∴x′＝x，y′＝2y又点P在＝1上，∴＝1，即＝1，∴线段PD的中点M轨迹方程为＝1．30．已知两点A（0，﹣1），B（0，1），P（x，y）是曲线C上一动点，直线PA、PB斜率的平方差为1．（1）求曲线C的方程；（2）E（x1，y1），F（x2，y2）是曲线C上不同的两点，Q（2，3）是线段EF的中点，线段EF的垂直平分线交曲线C于G，H两点，问E，F，G，H是否共圆？若共圆，求圆的标准方程；若不共圆，说明理由．【解析】（1）由题意可得kPA﹣kPB＝1，即有（2
2
2
）﹣（2
）＝1，2
化简可得x＝4y，即有曲线C的方程为x＝4y（x≠0）；（2）由题意可得x1＝4y1，x2＝4y2，两式相减可得，（x1﹣x2）（x1+x2）＝4（y1﹣y2），由x1+x2＝4，可得kEF＝＝1，2
2
2
可设直线EF的方程为y﹣3＝x﹣2，即y＝x+1，代入抛物线的方程，可得x﹣4x﹣4＝0，可得x1+x2＝4，x1x2＝﹣4，|EF|＝•＝•＝8，2
第47页（共74页）由线段EF的垂直平分线方程：y﹣3＝﹣（x﹣2），即y＝5﹣x，代入抛物线的方程，可得x+4x﹣20＝0，可得GH的中点为M（﹣2，7），|GH|＝由垂直平分线的性质可得|ME|＝|MF|，|MQ|＝＝4，可得|ME|＝，＝4，•＝8，2
且|MG|＝|MH|＝4即有四点E，F，G，H共圆，圆心为M（﹣2，7），半径为4，方程为（x+2）+（y﹣7）＝48．，直线2
2
31．双曲线S的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e＝与双曲线S的右焦点的距离的最小值等于（1）求双曲线S的方程；．x﹣3y+5＝0上的点（2）设经过点（﹣2，0），斜率等于k的直线与双曲线S交于A，B两点，且以A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形，求k的值．【解析】（1）e＝＝，又a+b＝c，＝，2
2
2
设右焦点为（c，0），由题意可得d＝解得c＝，b＝1，a＝，2
可得双曲线的方程为﹣y＝1；（2）设直线AB：y＝k（x+2），当k＝0时，可得A（﹣，0），B（，0），即有A，B，P（0，1）为顶点的三角形ABP是以AB为底的等腰三角形；当k≠0时，代入双曲线的方程可得（1﹣2k）x﹣8kx﹣8k﹣2＝0，判别式△＝64k+4（1﹣2k）（8k+2）＝8+16k＞0恒成立，4
2
2
2
2
2
2
2
x1+x2＝，则AB的中点M坐标为（，），由题意可得PM⊥AB，可得kPM＝﹣，第48页（共74页）即有＝﹣，解得k＝．综上可得k＝0，或k＝．2
32．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线C：y＝2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为（1）求抛物线C的方程；（2）过点D（﹣1，0）的直线l与抛物线C交于不同的两点E，F，若在x轴上存在一点P（x0，0）使得△PEF是等边三角形，求x0的值．【解析】（1）∵双曲线＝1（a＞0，b＞0），∴双曲线的渐近线方程是y＝±2
x，又抛物线y＝2px（p＞0）的准线方程是x＝﹣故A，B两点的纵坐标分别是y＝±又由双曲线的离心率为2，所以，＝，＝2，则＝±，A，B两点的纵坐标分别是y＝±又△AOB的面积为∴＝2
，x轴是角AOB的角平分线，得p＝2，∴抛物线C的方程y＝4x；（2）由题意知：直线l的斜率存在且不为0，设其方程为：y＝k（x+1），其中k≠0代入y＝4x，得kx+2（k﹣2）x+k＝0①设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个实数根，由韦达定理得x1+x2＝﹣，x1x2＝12
22
2
2
所以，线段EF的中点坐标为（，），线段EF的垂直平分线方程为y﹣＝﹣（x第49页（共74页）﹣），令y＝0，x0＝+1，所以，点P的坐标为（+1，0）．因为△PEF为正三角形，所以，点P（+1，0）到直线EF的距离等于|AB|，而|EF|＝．所以，解得k＝，所以x0＝．33．在平面直角坐标系xoy中，已知双曲线﹣y＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P（x0，2
y0），Q（x0，﹣y0）是双曲线上不同的两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）过坐标原点O作一条直线交轨迹E于A，B两点，过点B作x轴的垂线，垂足为点C，连AC交轨迹E于点D，求证：AB⊥BD．【解答】（1）解：由题设知|x0|＞∵直线A1P的斜率为k1＝，，A1（﹣，0），A2（，0），∴直线A1P的方程为y＝（x+），…①同理可得直线A2Q的方程为y＝（x﹣）．…②将①②两式相乘，得y＝2
（x﹣2）．…③2
∵点P（x1，y1）在双曲线∴可得y1＝2
2
﹣y＝1上，2
（x1﹣2），…④2
将④代入③，得y＝x﹣1，整理得2
+y＝1，即为轨迹E的方程．2
∵点P、Q不重合，且它们不与A1、A2重合，第50页（共74页）∴x≠±，轨迹E的方程为+y＝1（x≠±2
）；（2）设B（x1，y1），D（x2，y2），则A（﹣x1，﹣y1），则B，D代入∵kAD＝kAC＝+y＝1，相减整理可得kAD•kBD＝﹣2
，＝kAB，∴kAB•kBD＝﹣1，∴AB⊥BD．34．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，实轴长为2（Ⅰ）求双曲线C的方程；（Ⅱ）设直线l是圆O：x+y＝2上动点P（x0，y0）（x0y0≠0）处的切线，l与双曲线C交于不同的两点A，B，证明∠AOB的大小为定值．【解析】（Ⅰ）由题意，得2a＝2，即a＝1，由e＝解得：c＝2
2
2
2
2
＝，，∴b＝c﹣a＝2，∴求双曲线C的方程为x﹣2
＝1；2
2
（Ⅱ）证明：点P（x0，y0），x0•y0≠0在圆x+y＝2上，圆在点（x0，y0）处的切线方程为y﹣y0＝﹣（x﹣x0），化简得x0x+y0y＝2．第51页（共74页）由，及，得（3﹣4）x﹣4x0x+8﹣22
＝0，∵切线l与双曲线C交于不同的两点A、B，且0＜∴3﹣4≠0，且△＝16﹣4（3﹣4）（8﹣2＜2，）＞0，设A、B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2＝，x1•x2＝，∵cos∠AOB＝，且•＝x1•x2+（2﹣x0•x1）（2﹣x0•x2），＝x1•x2+[4﹣2x0（x1+x2）+x1•x2]，＝+[4﹣+]，＝﹣＝0．∴∠AOB的大小为90°．35．已知曲线Γ上的点到F（1，0）的距离比它到直线x＝﹣3的距离小2，过F的直线交曲线Γ于A，B两点．（1）求曲线Γ的方程；（2）若，求直线AB的斜率；（3）设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值．【解析】（1）由已知条件知，点M到F（1，0）的距离与它到直线l'：x＝﹣1的距离相等，∴点M的轨迹C是以F为焦点，l'为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y＝4x（4分）（2）依题意，设直线AB方程为x＝my+1．将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y﹣4my﹣4＝0．第52页（共74页）2
2
设A（x1，y1），B（x2，y2），所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4．①因为，②…（5分）．…（8分）所以y1＝﹣2y2．联立①和②，消去y1，y2，得m＝±所以直线AB的斜率是（4分）（3）由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2S△AOB．因为2S△AOB＝2×…（9分）…（12分）…（13分）|y1﹣y2|＝4所以m＝0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4．36．已知点线的方程是在双曲线．（1）求双曲线C的方程；上，且双曲线的一条渐近（2）过点（0，1）且斜率为k的直线l与双曲线C交于A、B两个不同点，若以线段AB为直径的圆恰好经过坐标原点，求实数k的值．【解析】（1）由题知，有，解得，因此，所求双曲线C的方程是．（2）∵直线l过点（0，1）且斜率为k，∴直线l：y＝kx+1，联立方程组，得（3﹣k）x﹣2kx﹣2＝0，①2
2
第53页（共74页）设交点为A（x1，y1）、B（x2，y2），由①可得x1+x2＝，x1x2＝，又以线段AB为直径的圆经过坐标原点，因此，OA⊥OB（O为坐标原点）．于是，2
＝0，即x1x2+y1y2＝0，，解得k＝±1．∴（1+k）x1x2+k（x1+x2）+1＝0，又k＝±1满足3﹣k≠0，且△＞0，所以，所求实数k＝±1．37．已知点是椭圆C：2
的一个顶点，椭圆C的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知点P（x0，y0）是定点，直线交椭圆C于不同的两点A、B，记直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求点P的坐标，使得k1+k2＝0恒成立．【解析】（Ⅰ）由题意，b＝∴c＝1，a＝2，∴椭圆C的方程为；代入椭圆C，，＝，a＝b+c，2
2
2
（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线整理得：x+mx+m﹣3＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣m，x1x2＝m﹣3，2
2
2
k1+k2＝+＝0．∴y1x2+y2x1+2x0y0﹣y0（x1+x2）﹣x0（y1+y2）＝0，代入整理可得m（y0﹣∴y0﹣x0）+2x0y0﹣3＝0x0＝0且2x0y0﹣3＝0或x0＝﹣1，y0＝﹣）．，∴x0＝1，y0＝∴P（1，）或P（﹣1，﹣第54页（共74页）38．已知双曲线C：（Ⅰ）求双曲线C的方程；的离心率为，点（4，2）在C上．（Ⅱ）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，且直线l与双曲线C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．【解答】（Ⅰ）解：由题意得，＝，﹣＝1，∴a＝2，b＝2，＝1；∴双曲线C的方程为（Ⅱ）证明：设直线l：y＝kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），把直线y＝kx+b代入＝1可得（1﹣2k）x﹣4kbx﹣2b﹣8＝0，2
2
2
故xM＝＝，yM＝kxM+b＝，于是在OM的斜率为：KOM＝，即KOM•k＝．∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．39．已知命题P“双曲线﹣＝1上任意一点Q到直线l1：bx+ay＝0，l2：bx﹣ay＝0的距离分别记作d1，d2则d1，d2为定值”是真命题（1）求出d1•d2的值（2）已知直线l1，l2关于y轴对称且使得椭圆C：+＝1上任意点到l1，l2的距离d1，d2满足为定值，求l1，l2的方程（3）已知直线m与（2）中某一条直线平行（或重合）且与椭圆C交于M，N两点，求|OM|+|ON|的最大值．【解析】（1）设“双曲线﹣＝1上任意一点Q（x0，y0）第55页（共74页）则点Q到直线l1：bx+ay＝0的距离为d1＝，点Q到直线l2：bx﹣ay＝0的距离为d2＝；∴d1•d2＝•＝＝为定值；（2）设椭圆C：+＝1上任意点P（x0，y0），为定值，则点P到l1，l2的距离d1，d2满足由（1）知，l1的方程为：bx﹣ay＝0，l2的方程为：bx+ay＝0；则d1＝，d2＝；∴+＝+＝＝为定值；∴直线l1的方程为bx﹣ay＝0，l2的方程为bx+ay＝0；（3）根据题意，设直线m的方程为bx﹣ay+k＝0，当k＝0时，直线bx﹣ay与椭圆C+＝1交于M，N两点，即，第56页（共74页）解得x＝，y＝或x＝﹣，y＝﹣；此时|OM|+|ON|取得最大值，是2＝．40．椭圆与双曲线有许多优美的对称性质．对于椭圆+＝1（a＞b＞0）有如下命题：AB是椭圆+＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM•kAB＝﹣，为定值．那么对于双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）则有命题：AB是双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为AB的中点，则kOM•kAB＝定值．（在横线上填上正确的结论）并证明你的结论．【解析】kOM•kAB为定值，且其值为kOM•kAB＝．证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），则有…（3分）kOM＝＝，kAB＝，即kOM•kAB＝，将A、B坐标代入双曲线方程﹣＝1可得：①②．…（5分）①﹣②得：第57页（共74页）即，…（9分），即kOM•kAB＝．…（12分）41．如图，已知双曲线，过点P（0，﹣1）的直线l分别交双曲线C的左、右两支于点A，B，交双曲线C的两条渐近线于点D，E（点D在y轴的左侧）．（1）若（2）求，求直线l的方程；的取值范围．【解析】（1）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l方程我：y＝kx﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线l与双曲线的方程，整理可得（2﹣k）x+2kx﹣3＝0，22
由题意可得，解得：﹣＜k，由＝﹣3，可得x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1﹣1）（kx2﹣1）＝（1+k）x1x2﹣k（x1+x2）2
2
+1＝（1+k）2
﹣k•+1＝﹣3，解得：k＝1＜2符合条件，所以k＝±1，第58页（共74页）即l的方程为y＝x﹣1或y＝﹣x﹣1；（2）由（1）知AB＝|x1﹣x2|＝•＝＝•；由双曲线的方程可得渐近线的方程为：y＝由，解得xD＝，x，同理可得xE＝，所以可得DE＝|xD﹣xE|＝|﹣|＝，所以＝，又因为﹣所以即≤＜1，，的取值范围为[2
，1）．2
42．已知双曲线C1：x﹣2
＝1（b＞0），A（xA，b）是C1上位于第二象限内的一点，曲线2
2
C2是以点C（0，b+1）为圆心过点A的圆上满足y＞b的部分．曲线Γ由C1上满足y≤b的部分和C2组成．记F1，F2为C1的左、右焦点．（1）若△CF1F2为等边三角形，求xA；（2）若直线AC与Γ恰有两个公共点，求b的最小值；（3）设b＝1，过A的直线l与Γ相交于另外两点P、Q，求l的倾斜角的取值范围．【解析】（1）因为△CF1F2为等边三角形，所以|OC|＝即b+1＝2
|F1F2|＝•c，，，解得b＝所以双曲线的方程为x﹣2
＝1，A（xA，2），第59页（共74页）令y＝2，可得xA＝﹣；2
2
（2）直线AC显然与满足y≥b的部分有两个交点，所以与C1上满足y＜b的部分无交点，kAC＝﹣，因为A（xA，b）在x﹣22
＝1上，所以xA﹣2
＝1，所以xA＝﹣±b，（xA＜0），于是kAC＝，双曲线x﹣2
＝1的渐近线的斜率为当kAC≤b时，直线AC与C1上满足y＜b的部分无交点，所以≤b，所以≤b，解得b≥2
2
2
，所以bmin＝；2
2
（3）当b＝1时，双曲线的方程为x﹣y＝1，A（﹣设l的倾斜角为α，首先α＝斜率为±1，所以＜α＜；，1），C（0，2），2
2
可以；当α为锐角时，因为双曲线x﹣y＝1渐近线的当α为钝角时，考虑直线l与圆C相切，设l：y﹣1＝k（x+由＝r＝|AC|＝，2
2
），即kx﹣y+1+k＝0，解得k＝﹣＜﹣1，说明l与双曲线x﹣y＝1在第四象限不相交，2
2
所以直线l与双曲线x﹣y＝1在第二、三象限相交，而A在第二象限，当k＝﹣1时，只有一个交点A．所以k＜﹣1且k≠﹣且α≠π﹣arctan，＜α＜π且α≠π﹣arctan，符合要求，所以＜α＜π综上可得，l的倾斜角的范围为43．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知等轴双曲线E：（a＞0，b＞0）的左．顶点A，过右焦点F且垂直于x轴的直线与E交于B，C两点，若△ABC的面积为（1）求双曲线E的方程；第60页（共74页）（2）若直线l：y＝kx﹣1与双曲线E的左，右两支分别交于M，N两点，与双曲线E的两条渐近线分别交于P，Q两点，求的取值范围．【解析】（1）因为双曲线E：（a＞0，b＞0）为等轴双曲线，可得a＝b，设双曲线的焦距为2c，c＞0，故c＝a+b＝2a，即c＝2
2
2
2
a，因为BC过右焦点F，且垂直于x轴，将xB＝c＝a代入双曲线的方程可得|yB|＝a，故|BC|＝2a，，即|BC|•|AF|＝×2a×（a+c）＝1+，又三角形的面积为1+解得a＝1，故双曲线的方程为x﹣y＝1；（2）由题意可得直线l：y＝kx﹣1与双曲线的左右两支交于M，N两点，联立2
22
，可得（1﹣k）x+2kx﹣2＝0，2
22
所以1﹣k≠0，△＝（2k）﹣4（1﹣k2）（﹣2）＞0，解得﹣1＜k＜1，且xM+xN＝﹣所以|MN|＝，xMxN＝，＝|xM﹣xN|＝•＝•＝，联立可得xP＝，同理可得xQ＝，第61页（共74页）所以|PQ|＝|xP﹣xQ|＝•|﹣|＝，所以＝＝，其中﹣1＜k＜1，所以∈（1，]，44．已知曲线是P1和P2．（1）当Q运动到，Q为曲线C上一动点，过Q作两条渐近线的垂线，垂足分别时，求的值；（2）设直线l（不与x轴垂直）与曲线C交于M、N两点，与x轴正半轴交于T点，与y轴交于S点，若，，且λ+μ＝1，求证T为定点．【解析】（1）曲线点Q（3，2则﹣2又可得m＝则可化简为••）（﹣），P1（m，＝（m﹣3，的渐近线方程为y＝±x，m），P2（n，﹣m﹣2n），n﹣2）＝（m﹣3）（n﹣3）+（）•（n﹣3，﹣mn﹣2＝﹣），，＝，（m﹣3）（n﹣3）＝＝；，，n＝＝（2）证明：由题意可得直线l的斜率存在，设T（m，0），直线方程为y＝k（x﹣m），设M（x1，y1），N（x2，y2），S（0，y3），联立y＝k（x﹣m）与2x﹣y＝6，消去y整理可得（2﹣k）x+2mkx﹣（mk+6）＝0，由题意k﹣2≠0，△＝8（m﹣3）k+48，x1+x2＝2
2
2
2
2
2
22
2
2
，x1x2＝，因为＝λ，所以（x1﹣0，y1﹣y3）＝λ（m﹣x1，0﹣y1），，即有第62页（共74页）又x1≠m，所以λ＝，同理可得μ＝，λ+μ＝+＝＝＝＝1，所以m＝9，又m＞0，所以m＝3，此时△＞0，所以直线经过定点T（3，0）．45．设双曲线的左顶点为D，且以点D为圆心的圆D：（x+2）+y＝r（r＞0）2
2
2
2
与双曲线C分别相交于点A，B，如图所示．（1）求双曲线C的方程；（2）求的最小值，并求出此时圆D的方程；（3）设点P为双曲线C上异于点A，B的任意一点，且直线PA，PB分别与x轴相交于点M，N，求证：|OM|•|ON|为定值（其中O为坐标原点）．【解析】（1）由题意可得双曲线的左顶点D（﹣2，0），所以a＝2，所以双曲线的方程：﹣y＝1；2
（2）易知点A，B关于x轴对称，设A（x1，y1），B（x1，﹣y1）（x1＜﹣2，y1＞0），由A在双曲线上可得y1＝因为2
﹣1，2
2
＝（x1+2，y1）•（x1+2，﹣y1）＝（x1+2）﹣y1＝x1+4x1+5＝（x1+）2
第63页（共74页）2
﹣，时，（，）min＝﹣2
2
因为x1＜﹣2，故x1＝﹣此时y1＝所以，即A（﹣，+2）+（2
），从而r＝|DA|＝（﹣2
2
）＝2
，最小时，圆D的方程（x+2）+y＝．（3）设P（x0，y0）（y0≠±y1），则＝（x0﹣x1，y0﹣y1），直线AP的方程为：（y0﹣y1）（x﹣x0）﹣（x0﹣x1）（y﹣y0）＝0，令y＝0，得xM＝x0﹣＝，同理可得xN＝，2
2
2
2
因为A，M在双曲线上，故x1＝4（y1+1），x0＝4（y0+1），所以xM•xN＝＝＝＝4，所以：|OM|•|ON|＝xM•xN＝4为定值．46．设双曲线Γ的方程为：x﹣2
＝1．（1）设1是经过点M（1，1）的直线，且和Γ有且仅有一个公共点，求l的方程；（2）设11是Γ的一条渐近线，A、B是11上相异的两点．若点P是Γ上的一点，P关于点A的对称点记为Q，Q关于点B的对称点记为R．试判断点R是否可能在Γ上，并说明理由．【解析】（1）①当直线l斜率不存在时，方程为x＝1，显然与双曲线Γ相切，只有一个第64页（共74页）交点，符合题意，②当直线l的斜率存在且与双曲线Γ相切时，设斜率为k，则直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣1），即y＝kx﹣k+1联立方程，消去y得：（4﹣k）x﹣2k（1﹣k）x﹣[（1﹣k）+4]＝0，222
∵直线l和双曲线Γ有且仅有一个公共点，∴△＝4k（1﹣k）+4（4﹣k）[（1﹣k）+4]＝0，化简得：80﹣32k＝0，∴∴直线l的方程为：y＝，，即5x﹣2y﹣3＝0，2
2
2
2
③当直线l与双曲线Γ的渐近线平行时，也与双曲线Γ有且仅有一个公共点，∵双曲线Γ的渐近线方程为：y＝±2x，∴直线l的斜率为±2，∴直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣1）或y﹣1＝﹣2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0，综上所述，直线l的方程为：x＝1或5x﹣2y﹣3＝0或2x﹣y﹣1＝0或2x+y﹣3＝0；（2）假设点R在双曲线Γ上，不妨设直线l1方程为：y＝2x，设点A（x1，2x1），B（x2，2x2），点P（x0，y0），∵P关于点A的对称点记为Q，∴点Q（2x1﹣x0，4x1﹣y0），∵Q关于点B的对称点记为R．∴点R（2x2﹣2x1+x0，4x2﹣4x1+y0），∵点R在双曲线Γ上，∴，∴﹣＝1，∴，又∵点P（x0，y0）在双曲线Γ：x﹣2
＝1上，∴x0﹣2
＝1，第65页（共74页）∴上式化为：4（x2﹣x1）•x0﹣2（x2﹣x1）•y0＝0，又∵x1≠x2，∴4x0＝2y0，∴y0＝2x0，又∵x0﹣2
＝1，∴，∴0＝1，此式显然不成立，故假设不成立，所以点R不可能在双曲线Γ上．47．已知双曲线C的一个焦点为，且过点．如图，F1，F2为双曲线的左、右焦点，动点P（x0，y0）（y0≥1）在C的右支上，且∠F1PF2的平分线与x轴、y轴分别交于点M（m，0）（﹣点．（Ⅰ）求C的标准方程；（Ⅱ）求△F2DE的面积最大值．＜m＜）、N，设过点F1，N的直线l与C交于D，E两【解析】（Ⅰ）知双曲线的左、右焦点分别为又∵双曲线过点∴解得a＝2，b＝＝1，；，0），F2（，，，，则双曲线C的标准方程为（Ⅱ）由F1、F2为C的左右焦点，F1（﹣直线PF1方程为y＝（x+，0），（x﹣），），直线PF2方程为y＝即直线PF1方程为y0x﹣（x0+直线PF2方程为y0x﹣（x0﹣）y+）y﹣y0＝0，y0＝0，第66页（共74页）由点M（m，0）在∠F1PF2的平分线上，得＝，由﹣2
＜m＜，y0＞1，以及y0＝）＝2
2
x0﹣1，解得x0≥2x0+2），，即M（，0），2
2
，∴y0+（x0+∴x0+22
x0+4＝（＝，解得m＝直线PM的方程为：y﹣（x﹣），令x＝0，得y＝﹣＝﹣，故点N（0，﹣），k＝＝﹣，由，消去x得（5y0﹣4）y+10y0y+1＝0，22
△＝100y0﹣4（5y0﹣4）＝80y0+16＞0，设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1+y2＝﹣，y1y2＝，222
|y1﹣y2|＝＝，由y0≥1，y1+y2＝﹣，y1y2＝＞0，∴y1＜0，y2＜0，△F2DE的面积S＝S﹣S＝|F1F2|×|y1﹣y2|＝×2×，设5y0﹣4＝5，t≥1，则△F2DE的面积S＝42
•＝4×＝4×，，1）时，△F2DE的面积最大值为4．∴t＝1时，即P为（2第67页（共74页）48．直线离的3倍．（1）求点P的坐标；（2）设双曲线的方程；上的动点P到点T1（9，0）的距离是它到点T（1，0）的距的右焦点是F，双曲线经过动点P，且，求双曲线（3）点T（1，0）关于直线x+y＝0的对称点为Q，试问能否找到一条斜率为k（k≠0）的直线L与（2）中的双曲线交于不同的两点M、N，且满足|QM|＝|QN|，若存在，求出斜率k的取值范围，若不存在，请说明理由．【解析】（1）设动点P（x，y），则，解得P（，）；（2）设F（c，0），由0，解得c＝，，可得（c﹣，﹣）•（8，0）＝8（c﹣）＝F（，0），，解得a＝b＝3，则双曲线的方程为22
﹣＝1；（3）设直线l的方程为y＝kx+m，联立双曲线的方程x﹣y＝3，可得（1﹣k）x﹣2kmx﹣m﹣3＝0，（k≠±1），△＝4km﹣4（1﹣k）（﹣m﹣3）＞0，即3+m﹣3k＞0（*），2
22
2
2
22
2
2
22
设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P0（x0，y0），则，可得P0（，），易得Q（0，﹣1），设过Q垂直于l的直线l1为y＝﹣x﹣1，2
则l1过P0，即2
＝﹣•﹣1，可得m＝代入（*）可得（）+3（1﹣k）＞0，解得|k|＞或|k|＜1，第68页（共74页）则k的范围是49．已知双曲线C1：．的渐近线方程为y＝±x，且过点，其离心率为e，抛物线C2的顶点为坐标原点，焦点为（I）求抛物线C2的方程；（II）O为坐标原点，设A，B是抛物线上分别位于x轴两侧的两个动点，且．＝12．（i）求证：直线AB必过定点，并求出该定点P的坐标；（ii）过点P作AB的垂线与抛物线交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．【解析】（I）由双曲线的渐近线方程y＝±将代入椭圆方程：x，则＝，即b＝a，，c＝2，，解得：a＝1，b＝∴双曲线的标准方程：双曲线的离心率e＝∴焦点为（1，0），∴抛物线C2的方程y＝4x；2
，＝2，（II）（i）证明：设直线AB的方程x＝my+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，整理得：y﹣4my﹣4t＝0，2
则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，由＝12．则+y1y2＝12，解得：y1y2＝﹣24或y1y2＝8（舍去），即﹣4t＝﹣24，解得：t＝6，∴直线AB过定点P（6，0）；（ii）设C（x3，y3），D（x4，y4），由（i）可知：丨AB丨＝＝，同理可得：丨CD丨＝，第69页（共74页）则四边形ACBD面积S＝丨AB丨•丨CD丨＝××＝8，令m+2
＝μ，（μ≥2），则S＝8，在μ∈[2，+∞）上是增函数，故Smin＝112，当且仅当m＝±1时取最小值为112．四边形ACBD面积的最小值为112．50．火电厂、核电站的循环水自然通风冷却塔是一种大型薄壳型建筑物．建在水源不十分充分的地区的电厂，为了节约用水，需建造一个循环冷却水系统，以使得冷却器中排出的热水在其中冷却后可重复使用，大型电厂采用的冷却构筑物多为双曲线型冷却塔．此类冷却塔多用于内陆缺水电站，其高度一般为75～150米，底边直径65～120米．双曲线型冷却塔比水池式冷却构筑物占地面积小，布置紧凑，水量损失小，且冷却效果不受风力影响；它比机力通风冷却塔维护简便，节约电能；但体形高大，施工复杂，造价较高（以上知识来自百度，下面题设条件只是为了适合高中知识水平，其中不符合实际处请忽略．图1）（1）图2为一座高100米的双曲线冷却塔外壳的简化三视图（忽略壁厚），其底面直径大于上底直径．已知其外壳主视图与左视图中的曲线均为双曲线，高度为100m，俯视图为三个同心圆，其半径分别为40m，单位米）．（2）试利用课本中推导球体积的方法，利用圆柱和一个倒放的圆锥，计算封闭曲线：，y＝0，y＝h，绕y轴旋转形成的旋转体的体积为πah+2
m，30m，试根据上述尺寸计算主视图中该双曲线的标准方程（m为长度（用a，b，h表示）（用积分计算不得分，图3、图4）现已知双曲线冷却塔是一个薄壳结构，为计算方便设其内壁所在曲线也为双曲线，其壁最厚为0.4m（底部），最薄处厚度为0.3m（喉部，即左右顶点处）．试计算该冷却塔内壳所在的双曲线标第70页（共74页）准方程是﹣＝1，并计算本题中的双曲线冷却塔的建筑体积（内外壳之间）大约是6728m3
（计算时π取3.14159，保留到个位即可）（3）冷却塔体型巨大，造价相应高昂，本题只考虑地面以上部分的施工费用（建筑人工和辅助机械）的计算，钢筋土石等建筑材料费用和和其它设备等施工费用不在本题计算范围内．超高建筑的施工（含人工辅助机械等）费用随着高度的增加而增加．现已知：距离地面高度30米（含30米）内的建筑，每立方米的施工费用平均为：400元/立方米；30米到40米（含40米）每立方米的施工费用为800元/立方米；40米以上，平均高度每增加1米，每立方米的施工费用增加100元．试计算建造本题中冷却塔的施工费用（精确到万元）【解析】（1）建立平面直角坐标系，如图所示，设双曲线方程为﹣＝1，则a＝30，设B（，n），C（40，n﹣100），代入双曲线方程可得：第71页（共74页）﹣＝1…①﹣＝1…②由①②解得b＝30，n＝30．；∴该双曲线的标准方程为（2）把y＝h代入双曲线方程可得x﹣＝1，解得x＝（a+22
），令圆柱的底面半径为a，高为h，倒置圆锥的底面半径为，高为h，则对任意的0≤h′≤h，双曲线旋转体的截面面积为π（a+2
），圆柱的截面面积为πa，设圆锥的截面半径为r，则2
，解得r＝，∴圆锥的截面面积为π，∴双曲线旋转体的截面面积等于圆柱的截面面积与圆锥截面面积的和，∴双曲线旋转体的体积＝圆柱的体积+圆锥的体积．∴V＝πah+2
．设冷却塔的内壳双曲线方程为﹣＝1，则a′＝30﹣0.3＝29.7，且点（39.6，﹣70）在双曲线上，把（39.6，﹣70）代入﹣＝1可得b′＝6300．2
故冷却塔内壳所在双曲线方程为：．冷却塔的建筑体积为V＝π•30•30+2
+π•30•70+2
第72页（共74页）﹣π•29.7•30﹣2
﹣π•29.7•70﹣2
＝π•30•100﹣π•29.7•100+22
﹣＝100π•（30﹣29.7）+2
2
22
＝π•（30﹣29.7）（100+＝6728立方米．故答案为：πah+2
），，6728．（3）冷却塔在地面以上30米以内的建筑体积为：π•30•70+2
﹣π•30•40﹣2
﹣（π•29.7•2
70+﹣π•29.7•40﹣2
）＝π•30•30+2
﹣π•29.7•30﹣2
＝π•30•（30﹣29.7）+2
2
22
＝π•（30﹣29.7）（30+＝2518.6立方米，）冷却塔在地面30米以上和40米以下的部分体积为：π•30•40+2
﹣π•30•30﹣2
﹣（π•29.7•40+2
﹣π•29.7•30﹣2
）2
2
＝π•（30﹣29.7）（10+＝672.8立方米，）第73页（共74页）冷却塔在地面40米以上的部分体积为2（π•30•30+2
﹣π•29.7•30﹣2
）2
2
＝2π•（30﹣29.7）（30+＝3536.7立方米，）∴建造本题中的冷却塔的费用为2518.6×400+672.8×800+3536.7×（800+100×60）≈1516万元（相差±2万之内都算正确）．第74页（共74页）
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