(新教材)2022年高中数学人教B版必修第一册学案：2.2.4.2 均值不等式的应用 (含答案)

第2课时 均值不等式的应用

类型一 “常数代换法”求最值(数学运算)

11

1．已知a>0，b>0，a ＋b ＝4，则a＋b的最小值为( ) 1

A．4 B．2 C．1 D．4

111

【思路导引】把a＋b看成(a＋b)×4× 的形式，把“4”换成 ＋4ab ，整理后积为定值，然后用均值不等式求最小值．

1111

【解析】选C.因为a>0，b>0，且a ＋b ＝4，所以a＋b＝(a＋b)a＋b





ba11

2＋＋ × ≥2＋2×ab44 ＝

所以a＋b的最小值为1.

baba1

 × ＝1，等号成立的条件为a ＝b ，a·b4

11

2．若点A(1，1)在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则m ＋n 的最小值为________．

【思路导引】由已知条件得到m，n的关系，构造均值不等式求最值． 【解析】因为A(1，1)在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，

m＋n11m＋nnm

所以m＋n＝1，而m ＋n ＝m ＋n ＝2＋m ＋n ≥2＋2＝4，当111

且仅当m＝n＝2 时取“＝”，所以m ＋n 的最小值为4.

答案：4

11

3．已知a>0，b>0，且 ＋b ＝1，则a＋b的最小值为________．

a＋1

11

＋【思路导引】将a＋b变形为a＋1b (a＋1＋b)－1，展开，利用均值

不等式求解．

1111＋b (a＋1＋【解析】已知a>0，b>0， ＋b ＝1，则a＋b＝a＋1a＋1

a＋1b

b)－1＝2＋ ＋b －1≥1＋2

a＋1＝b时等号成立． 答案：3

ba＋1

·b ＝3，当且仅当a＋1a＋1

常数代换法求最值的方法步骤

常数代换法适用于求解条件最值问题．应用此种方法求解最值的基本步骤为：

(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数). (2)把确定的定值(常数)变形为1.

(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式．

(4)利用均值不等式求最值．

(1)已知正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是________． 12

【解析】由x＋2y－2xy＝0得y ＋x ＝2，

1215xy59

所以(2x＋y)＝(2x＋y)y＋x × ＝2 ＋y ＋x ≥2 ＋2＝2 ，当且仅当x

2

＝y时等号成立． 9

答案： 2

18

(2)已知x＞0，y＞0，且 ＋y ＝2，则2x＋y的最小值为________．

x＋118【解析】由 ＋y ＝2，可得2x＋y＝2x＋1 ＋y－2 x＋1

181＋＝2 2x＋1＋y y －2 x＋116y1x＋1＋＝2 10＋ －2≥ yx＋1



1

2 10＋2



16x＋1y· －2＝7， yx＋1



16y1x＋1

当且仅当 ＝ ，即x＝ ，y＝6时，取得最小值7. y2x＋1

答案： 7

【补偿训练】

若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是( ) 2428

A．5 B．5 C．5 D．6

13

【解析】选C.由x＋3y＝5xy可得5y ＋5x ＝1，

3194＋ ＝ ＋ ＋ 所以3x＋4y＝(3x＋4y)·555y5x3x12y13

5y ＋5x ≥5 ＋2

3x12y13121

当且仅当x＝1，y＝2 时5y·5x ＝5 ＋5 ＝5，

取等号，故3x＋4y的最小值是5.

类型二 利用均值不等式证明不等式(逻辑推理)

【典例】已知a，b，c均为正数．

112

(1)求证：a＋b＋a＋b ≥42 ；



2

2

941

(2)若a＋4b＋9c＝1，求证：a ＋b ＋c ≥100.

【思路导引】(1)将表达式各项拆分之后利用均值不等式求解； 941

(2)将a ＋b ＋c 与a＋4b＋9c相乘，化简后拆分，再利用均值不等式求解．

【解析】(1)a，b均为正数，

1124

得a＋b≥2ab，a＋b ≥ab ，



2

2

1124

所以a＋b＋a＋b ≥2ab＋ab ≥2



2

2

4

2ab·ab ＝42 .

当且仅当a＝b＝2 时，等号成立．

9419414aa36b

(2)a ＋b ＋c ＝(a＋4b＋9c)a＋b＋c ＝9＋b ＋c ＋a ＋16＋

4a36ba81c4b36c4b81c36c

＋a ＋c＋a ＋c＋b ≥34＋ c ＋a ＋b ＋9＝34＋b

4

24a36b

b·a ＋2a81cc·a ＋24b36c

c·b ＝34＋24＋18＋24＝100.

当且仅当a＝3b＝9c，且a＋4b＋9c＝1时，等号成立， 311

即当且仅当a＝10 ，b＝10 ，c＝30 时，原式取等号．

利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项

(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”． (2)注意事项：

①多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；

②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用； ③对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型，再使用．

已知a，b，c均大于0，且a＋b＋c＝1， 111

求证：a ＋b ＋c ≥9.

111a＋b＋c

【证明】因为a，b，c均大于0且a＋b＋c＝1，所以a ＋b ＋c ＝a a＋b＋ca＋b＋cbacacb

＋＋＋b ＋c ＝3＋ab ＋ac ＋b＋c ≥3＋2＋2＋2＝1

9.当且仅当a＝b＝c＝3 时，等号成立．

【拓展延伸】利用均值不等式证明问题的技巧

证明不等式时，要先观察题中要证明的不等式的特征，若不能直接利用均值不等式证明，则考虑对代数式进行拆项、配凑、变形等，

使之达到能利用均值不等式的条件；若题中还有已知条件，则先观察已知条件和所证不等式之间的联系，解题时要时刻注意等号能否取到． 【拓展训练】

11

已知正数x，y满足x＋y＝1，求证：x ＋y 的最小值为22 .

2

2

【证明】因为正数x，y满足x2＋y2＝1， 11

令z＝x ＋y >0，

x2＋y2x2＋y211222

可得z＝x2 ＋y2 ＋xy ＝x2 ＋y2 ＋xy y2x22

＝2＋x2 ＋y2 ＋xy ≥2＋2

x2y222· ＋ ＝4＋y2x2xyxy ，

y2x2

当且仅当x2 ＝y2 即x＝y时取等号，

1

而由题意可得1＝x2＋y2≥2xy，可得xy ≥2，当且仅当x＝y时取等号，所以z2≥4＋4＝8，

所以z≥22 ，当且仅当x＝y时取等号， 11

所以x ＋y 的最小值为22 .

类型三 均值不等式的实际应用(数学建模、数学运算) 应用均值不等式解决实际问题中的大小关系

【典例】某工厂过去的年产量为a，改革后，第一年的年产量增长率为p，第二年的年产量增长率为q，这两年的年产量平均增长率为x，则( )

p＋q

A．x＝2 B．x＝pq

p＋qp＋qC．x≥2 D．x≤2

【思路导引】利用已知条件，得到方程(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，然后利用均值不等式，即可求解，得到答案．

【解析】选D.由题意，可得a(1＋p)(1＋q)＝a(1＋x)2，即(1＋p)(1＋q)＝(1＋x)2，

1＋p＋1＋q2



又因为(1＋p)(1＋q)≤ ， 2

2＋p＋qp＋qp＋q所以1＋x≤2 ＝1＋2 ，所以x≤2 .

利用均值不等式解决实际问题中的最值问题

【典例】(2021·武汉高一检测)根据大数据统计，某条快递线路运行时，发车时间间隔t(单位：min)满足：4≤t≤15，t∈N，平均每趟快递车辆的载件个数p(t)(单位：个)与发车时间间隔t近似地满足p(t)＝

21 800－15（9－t），4≤t<9 ，其中t∈N. 1 800，9≤t≤15

(1)若平均每趟快递车辆的载件个数不超过1 500个，试求发车时间间隔t的值；

(2)若平均每趟快递车辆每分钟的净收益为q(t)＝

6p（t）－7 920

－t

80(单位：元)，问当发车时间间隔t为多少时，平均每趟快递车辆每分钟的净收益最大？并求出最大净收益．

【思路导引】(1)根据题意分9≤t≤15和4≤t<9时，分别解p(t)≤1 500，再结合t∈N即可得答案； (2)由题意可得q(t)＝

4 410

90t＋t＋1 540，4≤t<9，t∈N－2 880t－80，9≤t≤15，t∈N可得答案．

， 再结合基本不等式求最值即

【解析】(1)当9≤t≤15时，1 800≤1 500，不满足题意，舍去． 当4≤t<9时，1 800－15(9－t)2≤1 500， 即t2－18t＋61≥0.

解得t≥9＋25 (舍)或t≤9－25 ， 因为4≤t<9，t∈N.

所以t＝4.所以发车时间间隔为4 min. (2)由题意可得q(t)＝

4 41090t＋－t＋1 540，4≤t<9，t∈N2 880t－80，9≤t≤15，t∈N

，

当4≤t<9，t＝7时，q≤－290×4 410 ＋1 540＝280(元)， 2 880

当9≤t≤15，t＝9时，q≤9 －80＝240(元)， 所以发车时间间隔为7分钟时，净收益最大为280(元).

应用均值不等式解决实际问题时的思路和方法

(1)先理解题意，设出变量，一般把要求最值的量定为函数． (2)建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．

(3)在题目要求的范围内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．

1．某汽车运输公司刚买了一批豪华大客车投入营运，根据市场分析每辆客车的运营总利润y(单位：十万元)与营运年数x(x∈N＋)的关系为y＝－x2＋12x－25.若使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运________年．

25y25

 ≤12x＋【解析】由题意得年平均利润为x ＝－x－x ＋12＝12－x－225x·x ＝2，

25

当且仅当x＝x ，即x＝5时等号成立． y

故当x＝5时，x 有最大值2.

即要使营运的年平均利润最大，则每辆客车应营运5年． 答案：5

2．某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．若使每名同学游8次，每人最少应交多少元钱？

【解析】设买x张游泳卡，总开支为y元，则每批去x名同学，共需去48×848×8

总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用x x 批，×40.

48×8

所以y＝240x＋x ×40(0x＋所以y＝240x ≥240×2

64

x×x ＝3 840，

643 840

当且仅当x＝x ，即x＝8时取等号．故每人最少应交48 ＝80(元). 3．为了缓解市民吃肉难的生活问题，某生猪养殖公司欲将一批猪肉用冷藏汽车从甲地运往相距120 km的乙地，运费为每小时60元，装卸费为1 000元，猪肉在运输途中的损耗费(单位：元)是汽车速度(km/h)值的2倍．(说明：运输的总费用＝运费＋装卸费＋损耗费) (1)若汽车的速度为每小时50 km，试求运输的总费用． (2)为使运输的总费用不超过1 260元，求汽车行驶速度的范围． (3)若要使运输的总费用最小，汽车应以每小时多少千米的速度行驶？ 【解析】(1)当汽车的速度为每小时50 km时， 120

运输的总费用为：50 ×60＋1 000＋2×50＝1 244(元). (2)设汽车行驶的速度为x km/h，由题意可得：

1202

×60＋1 000＋2x≤1 260，化简得x－130x＋3 600≤0，解得40≤x≤90， x

故运输的总费用不超过1 260元/时，汽车行驶速度的范围为[40，90]. (3)设汽车行驶的速度为x km/h，则运输的总费用： 1207 200

60＋1 000＋2x＝2x＋x ＋1 000≥ x ×27 200

2x·x ＋1 000＝1 240，

7 200

当2x＝x ，即x＝60时取得等号，故若要使运输的总费用最小，

汽车应以每小时60 km的速度行驶．

备选类型 均值不等式在几何等方面的应用

【典例】如图，设矩形ABCD(AB＞AD)的周长为24，把它关于AC折起来，AB折过去后，交DC于P，设AB＝x. 求△ADP的最大面积及相应的x值．

【解析】由图知：因为AB＝x，所以AD＝12－x. 由DP＝PB′，得AP＝AB′－PB′＝AB－DP＝x－DP， 72

由勾股定理得DP＝12－x ， 因此△ADP的面积

7211

12－ S＝2 AD·DP＝2 (12－x)·x





432

6x＋＝108－x ， 432

因为x>0，所以6x＋x ≥2

432

6x·x ＝722 ，

432432

所以S＝108－6x＋x ≤108－722 ，当且仅当6x＝x 时，即x＝

62 时，S有最大值108－722 .

答：当x＝62 时，△ADP的面积有最大值108－722 .

关于几何中周长与面积问题的处理方法

关于几何中周长与面积问题的处理方法，关键是利用各边长之和代换出周长，边长之积代换出面积，再将边长和与积利用均值不等式得其关系，即得周长与面积的关系．

窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．图中的窗花是一张圆形纸片剪去一个正十字形剩下的部分，正十字形的顶点都在圆周上．已知正十字形的宽和长分别为x，y(单位：dm)且x＜y，若剪去的正十字形部分面积为4 dm2.

(1)求y关于x的关系，并根据其关系得出使x有意义的范围． (2)现为了节约纸张，需要所用圆形纸片面积最小．当x取何值时，所用到的圆形纸片面积最小，并求出其最小值．

【思路导引】(1)利用正十字形面积可构造关于x，y的等式，整理可得函数关系式；利用y>x且x>0可解不等式求得定义域；(2)设外接圆直

22x＋42222 ，利用均值不等式可求得d的最小值及径dd＝x＋y＝x＋

2x

取得最小值时x的取值，代入圆的面积公式即可求得面积的最小值． x2＋4【解析】(1)由题意可得2xy－x2＝4，则y＝2x ， x2＋4

因为y>x且x>0，即2x >x，

x2＋4

所以0(2)设正十字形的外接圆的直径为d，

x2＋42524所以d＝x＋y＝x＋ ＝4 x＋x2 ＋2≥22x

2

2

2

2

5x244·x2 ＋2＝25

5x244545222

＋2，当且仅当4 ＝x2 ，即x＝5 时取等号，即x＝5 时，dmin ＝25 ＋2，

d2π25＋1

所以正十字形外接圆面积S＝π2 ＝4 d≥2 π，



5＋1

即正十字形外接圆面积的最小值为2 π dm2，此时x＝

45

5 dm.

14

1．n>0，m ＋n ＝1，则m＋n( )

A．有最大值，最大值为6 B．有最大值，最大值为9 C．有最小值，最小值为6 D．有最小值，最小值为9

14n4m

【解析】选D.因为m＋n＝(m＋n)m＋n ＝5＋m ＋n ≥5＋



2n4mn4m

m×n ＝9，当且仅当m ＝n 时等号成立，所以m＋n的最小值

为9.

21

2．已知2a＋b＝2，a>0，b>0，则a ＋b 的最小值是( ) 35A．2 B．2 79C．2 D．2

ba212a＋b2a＋b5

【解析】选D.a ＋b ＝a ＋2b ＝2 ＋a＋b



59ba

≥2 ＋2＝2 ，当且仅当a ＝b ，且2a＋b＝2， 22

即a＝3 ，b＝3 时取等号．

3．(教材练习改编)若a>0，b>0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是( )

1111A．ab ≤4 B．a ＋b ≤1 C．ab ≥2 D．a2＋b2≥8

【解析】选D.4＝a＋b≥2ab (当且仅当a＝b时，等号成立)，即ab ≤2，1111a＋b4

ab≤4，ab ≥4 ，A，C不成立；a ＋b ＝ab ＝ab ≥1，B不成立；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2ab≥8.

4．(2021·淮安高一检测)某公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________t.

【解析】该公司一年购买某种货物400 t，每次都购买x t，则需要购买400

x 次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，一年的总运

4004001 6004＋4x 万元， ·费与总存储费用之和为x·当x ＝x4＋4x≥160，

4x，即x＝20 t时，一年的总运费与总存储费用之和最小． 答案：20