三⾓函数周期的求法
⾼中数学涉及到函数周期的问题，学⽣往往感到⽐较困难。以下是有关三⾓函数周期的⼏种求法。1．定义法：
定义：⼀般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在⼀个不为零的常数，使得当取定义域内的每⼀个值时，ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）
都成⽴，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于⼀个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着⼀个最⼩的正数，就把这个最⼩的正数叫做最⼩的正周期。下⾯我们谈到三⾓函数的周期时，⼀般指的是三⾓函数折最⼩正周期。例1．求函数y=3sin （3
32π+x ）的周期 解：∵y=f （x ）=3sin （332π+x ）=3sin （332π+x +2π） =3sin （3232ππ++x ）=3sin[3)3(32ππ++x ]= f （x+3π）
这就是说，当⾃变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。∴函数y=3sin （332π
+x ）的周期是T=3π。 例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2π）= cos 6x +sin 6x= f （x ）
∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2π例3：求f （x ）=x
x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期 解：∵f （x+π）=)cos()cos()(3sin )sin(ππππ++++++x x x x=x
cox x x 3cos 3sin sin ---- =x x x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）∴求f （x ）=x
x x x 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π 2．公式法：
（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （?ω+x ）、y=Acos （?ω+x ）、ｙ＝tg （?ω+x ）形成（其中A 、ω、?为常数，且A ≠0、ω＞0、?∈R ），则可知道它们的周期分别是：ωπ2、ωπ
2、ωπ
。 例4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期解：∵y=1-2（21 sinx-23cosx ） =1-2（cos 3πsinx-sin 3π cosx ）=1-2sin （x-3π）
这⾥ω=1 ∴周期T=2π例5：求：y=2（
23sinx-21cos3x ）-1 解：∵y=2（23sinx-21cos3x ）-1 =2sin （3x-6π）-1这⾥ω=3 ∴周期为T=32π 例6：求y=tg （1+5
3x π）的周期 解：这⾥ω=53π，∴周期为：T=π/53π=35（2）如果f （x ）是⼆次或⾼次的形式的周期函数，可以把它化成sin ωx 、cos ωx 、tg ωx 的形式，再确定它的周期。例7：求f （x ）=sinx ·cosx 的周期解：∵f （x ）=sinx ·cosx=21sin2x
这⾥ω=3，∴f （x ）=sinx ·cosx 的周期为T=π例8：求f （x ）=sin 2x 的周期
解：∵f （x ）=sin 2x=22cos 1x - ⽽cos2x 的周期为π，∴f （x ）=sin 2x 的周期为T=π注：以上⼆题可以运⽤定义求出周期。例9：求y=sin 6ωx+ cos 6ωx 的周期
解：原函数次数较⾼，应先进降次变形，再求周期。∵y=sin 6ωx+ cos 6ωx
=（sin 2ωx+ cos 2ωx ）（sin 4ωx-sin 2ωx ·cos 2ωx+ cos 4ωx ）=( sin 2ωx+ cos 2ωx)2-3 sin 2ωx ·cos 2ωx=1-3 sin 2ωx ·cos 2ωx=1-43
sin 22ωx =85+83cos4ωx ⽽cos4ωx 的周期为T=ωπ42=ωπ2, ∴y= sin 6ωx+ cos 6ωx 的周期为T=ω
π2 例10：函数y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期。解：利⽤三⾓恒等式对函数进⾏恒等变形，再求周期。
∵y=3sin2x-23sinx ·cosx+5cos 2x =3-23sinx ·cosx+2cos 2x =3-3sin2x+cos2x+1
=4+2(2
1cos2x-23sin2x =4+2cos(2x+3π)
∴y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期为T=ππ=2
2 3．定理法： 如果f(x)是⼏个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f 1(x)+f 2(x)，⽽f 1(x)的周期为T 1, f 2(x)的周期为T 2，则f(x)
的周期为T=P 2T 1=P 1T 2，其中P 1、P 2∈N ，且（P 1、P 2）=1 事实上，由2
121P P T T =（既约分数），得T= P 2T 1=P 1T 2 ∵f （x+ P 1T 2）=f 1（x+ P 1T 2）+f 2（x+ P 1T 2）=f 1（x+ P 2T 1）+ f 2（x+ P 1T 2）= f 1（x ）+ f 2（x ）=f （x ）
∴P 1T 2是f （x ）的周期，同理P 2T 1也是函数f （x ）的周期。例11：求函数y=tg6x+ctg8x 的周期。
解：∵y=tg6x 的周期为T 1=6π，tg8x 的周期为T 2=8π
由P 1T 2= P 2T 1，得21T T =21P P =34，取P 1=4，P 2=3 ∴y=tg6x+ctg8x 的周期为T= P 1T 2=2π。 例12：求函数y=sin2x+sin3x 的周期解：∵sin2x 的周期为T 1=π，sin3x 的周期为T 2=3
2π ⽽21T T =23，即是T=2T 1=3T 2， ∴y=sin2x+sin3x 的周期为T=2T 1=2π例13：求函数y=cos 3x +sin 4
x 的周期 的恒等式，即对于⾃变量x 取定义域内的每个值时，上式都成⽴．2、根据公式求周期
对于函数B x A y ++=)sin(?ω或B x A y ++=)cos(?ω的周期公式是||2ωπ=T ， 对于函数B x A y ++=)tan(?ω或B x y ++=)cot(?ω的周期公式是||ωπ=T ． 例3 求函数)623sin(3π-=x y 的周期 解： 34232ππ==T ．
3、把三⾓函数表达式化为⼀⾓⼀函数的形式，再利⽤公式求周期
例4 求函数x x x y 2sin 2cos sin 32-=的周期 解：12cos 2sin 3sin 2cos sin 322-+=-=x x x x x y 1)62sin(21)2cos 212sin 23(2-+=-+=πx x x∴ ππ==22T ．
例5 已知函数),3
cos 3(sin 3sin )(x x x x f +=求周期 解：∵32sin 21)32cos 1(213cos 3sin 3sin )(2x x x x x x f +-=+= )432sin(2221)32cos 32(sin 2121π-+=-+=x x x ∴ ππ3322==T ．
4、遇到绝对值时，可利⽤公式2||a a =, 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 |cos |x y =的周期解：∵ 22cos 1cos |cos |2xx x y +===∴ ππ==22T ．
例7 求函数|cos ||sin |x x y +=的周期 解：∵()x x x x x x y 2s i 1|2s i |1|c o s||s i n ||c o s ||s i n |22+=+=+=+=
)4cos 1(21124cos 11x x -+=-+= ∴ 函数|c os ||s in |x x y +=的最⼩正周期 242ππ==T ．5、若函数)()()(21x f x f x f y k +++= ，且)(,),(),(21x f x f x f k ，都是周期函数，且最⼩正周期分别为k T T T ,,21，如果找到⼀个正常数T , 使k k T n T n T n T ==== 2211，(k
n n n ,,,21 均为正整数且互质)，则T 就是)()()(21x f x f x f y k
+++= 的最⼩正周期． 例8 求函数x x y 2
1cos sin +=的周期 解：∵ x sin 的最⼩正周期是π21=T ， x 21cos 的最⼩正周期是π42=T ．
∴ 函数y 的周期2211T n T n T == ，把21T T ，代⼊得21 4 2n n ππ=，即212n n =，因为2
1,n n 为正整数且互质， 所以1 ,22
1==n n ． 函数x x y 21cos sin +=的周期ππ42211=?==T n T ． 例9 求函数x x y 43cos 32sin +=的周期函数的周期性
--函数的周期性不仅存在于三⾓函数中，在其它函数或者数列中\"突然\"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习⼀般函数的周期性问题⼀.明确复习⽬标
1.理解函数周期性的概念，会⽤定义判定函数的周期；
2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运⽤函数的周期性处理⼀些简单问题。⼆、建构知识⽹络1.函数的周期性定义：
若T为⾮零常数，对于定义域内的任⼀x，使恒成⽴，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的⼀个周期。周期函数定义域必是⽆界的
2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最⼩的正数叫最⼩正周期。⼀般所说的周期是指函数的最⼩正周期。
周期函数并⾮所都有最⼩正周期。如常函数f(x)=C；3.若函数f(x)对定义域内的任意x满⾜：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期。
（若f(x)满⾜f(a+x)=f(a－x)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意⼆者的区别)
4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（a是f（x）的⼀个周期
5.若函数f(x)图象有两个对称中⼼（a，0），（b，0）（a则2（b-a）是f（x）的⼀个周期。(证⼀证)
6.若函数f（x）有⼀条对称轴x=a和⼀个对称中⼼（b，0）（a
举例:y=sinx,等.三.双基题⽬练练⼿
1.f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f(1)=0，则⽅程f(x)=0在区间（0，6）内解的个数的最⼩值是（）
A．5 B．4 C．3 D．2
2.若函数y=f(x)是周期为2的奇函数，且当x∈(0,1)时f(x)=x+1，则f(π)的值为（）
A．π-5 B.5-π C.4-π D. π-4
3. 是偶函数，且为奇函数，则f(1992)=
4.设存在常数p>0,使，则的⼀个周期是，f(px)的⼀个正周期是；5.数列中
简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中⼼，x=0是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为
6。
四.经典例题做⼀做
【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：（从解析式⼊⼿，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。）∵x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1),∴2-x∈(0,1), ∵T=2,是偶函数∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x∈(1,2).
解法2（从图象⼊⼿也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2) 如图：x∈(0,1), f(x)=x+1.∵是偶函数∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1.
⼜周期为2，x∈(1,2)时x-2∈（-1，0）∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.
提炼⽅法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;
2.⽤好数形结合,对解题很有帮助.
【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)[1-f(x)]=1+f(x),若f(0)=2008,求f(2008)的值。解：周期为8，
法⼆：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。⽅法提炼：
1.求周期只需要弄出⼀个常数;2.注意既得关系式的连续使⽤.
【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.①求的周期；
②证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中⼼对称;关于直线x=2k+1轴对称, (k∈Z );
③讨论f(x)在(1,2)上的单调性；
解: ①由已知f(x)=－f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.②设P(x,y)是图象上任意⼀点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).
∵f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,∴点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.
⼜f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)
∴f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, ∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.③设1
∵f(x)在(-1,0)上递增, ∴f(2-x1)
⼜f(x+2)=-f(x)=f(-x) ∴f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(*)为f(x2)
提炼⽅法：总结解周期性、单调性及图象对称性的⽅法。【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数.⼜知y=f(x)在[0,1]上是⼀次函数，在[1,4]上是⼆次函数，且在x=2时函数取得最⼩值-5.
①证明：；②求的解析式；③求在上的解析式.
解：∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，∴.
②当时，由题意可设，由得，∴，∴.
③∵是奇函数，∴，
⼜知在上是⼀次函数，∴可设，⽽，∴，∴当时，，从⽽时，，故时，.∴当时，有，∴.当时，，∴∴.
五．提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.⽤周期的定义求函数的周期;
3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习2．7 函数的周期性【选择题】
1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最⼩正周期为T，则f（－）的值为A.0B.C.TD.－
2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数⼜是周期函数.若f（x）的最⼩正周期是π，且当x∈［0，］时，f（x）=sinx，则f（）的值为A.－B.C.－D.【填空题】
3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间[2，3]上，= ,则=
4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4+x)＝f(4-x)，对⼀切实数x成⽴，写出f(x)的⼀个最⼩正周
5.对任意x∈R，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)=6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，⼜当x∈(0，3]时，f(x)=2x，则f(2007)= 。
答案提⽰：1、A；由f（）=f（－+T）=f（－）=－f（），知f（）=0.（或取特殊函数f（x）=sinx）2、D；f（）=f（－2π）=f（－）=f（）=sin = .3、;4、8；
5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),∴
f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)
∴f(x)= -f(x+3)=f(x+6) .周期是6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)=-6
6、，周期T=6，F(2007)=f(3)=6【解答题】
7.设函数f(x)的最⼩正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001－x)对⼀切x∈R均成⽴，试讨论f(x)的奇偶性.解: ∵周期是2002, ∴f(2002+x)=f(x),
⼜由f(1001+x)=f(1001－x)得f(2002-x)=f(x) ∴对任意的x都有f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x∈[2,3]时f(x)=x，求x∈[-2,0]时f(x)的解析式。分析：由T=2可得x∈[-2,-1]和x∈[0,1]时的解析式；再由奇偶性可得[-1，0]上的解析式。
解：因为函数f(x)是T=2的周期函数，所以f(x+2)=f(x).⼜由于f(x)为偶函数，故所以解析式为
9.设f(x)是定义在（-∞，+∞）上的函数，对⼀切x∈R均有f(x)+f(x+2)=0，当-1函数f(x)的解析式。
思路分析：∵f(x)+f(x+2)=0 ∴f(x)=-f(x+2)∵该式对⼀切x∈R成⽴，
∴以x-2代x得：f(x-2)=-f[(x-2)+2]=-f(x) 当1∴f(x)=-f(x-2)=-2x+5，∴f(x)=-2x+5（1
评注：在化归过程中，⼀⽅⾯要转化⾃变量到已知解析式的定义域，另⼀⽅⾯要保持对应的函数值有⼀定关系。在化归过程中还体现了整体思想。
10.（2005⼴东）设函数在上满⾜，f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间［0，7］上，只有f(1)=f(3)=0。（Ⅰ）试判断函数y=f(x)的奇偶性；
（Ⅱ）试求⽅程f(x)=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论．解：由得即
由已知易得，所以，⽽，从⽽且故函数是⾮奇⾮偶函数;(II)由
,从⽽知函数的周期为当时，，由已知，⼜，则∴当时，只有
∴⽅程=0在⼀个周期内只有两个解
⽽函数在闭区间［-2005，2005］共含有401个周期，所以⽅程=0在闭区间［-2005，2005］共含有802个解【探索题】对于k∈Z，⽤Ik表⽰区间(2k-1，2k+1］。已知x∈Ik时，f(x)＝(x-2k)2，
(1)当k∈N*时,求集合Mk＝｛a｜使⽅程f(x)＝ax在Ik上有两个不相等的实根的a的值｝(2)并讨论f(x)的周期性。
解：y＝f(x)图像就是将y＝x2(x∈（-1，1］）向右平移2k个单位所得，其中k∈N
设y1＝f(x),y2＝ax，由集合Mk可知，若a∈M，则函数y1＝f(x)与y2＝ax图像有两个交点，即当x＝2k+1时，0＜y2≤1∴0＜a≤
∴Mk＝｛a｜0＜a≤，k∈N｝，即Mk＝(0，］对任意，
所以f(x)是2为周期的周期函数。
思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你运⽤定义的意识和能⼒函数f(x)±ｇ(x)最⼩正周期的求法
若f(x)和ｇ(x)是三⾓函数，求f(x)±ｇ(x)的最⼩正周期没有统⼀的⽅法，往往因题⽽异，现介绍⼏种⽅法：⼀、定义法
例1求函数y＝｜sin x｜＋｜cos x｜的最⼩正周期.解:∵)(x f＝｜sin x｜＋｜cos x｜＝｜－sin x｜＋｜cos x｜π)｜＋｜sin(x＋＝｜cos(x＋2π)｜2
π)｜＋｜cos(x＋＝｜sin(x＋22π)｜ ＝)2
(π+x f 对定义域内的每⼀个x ，当x 增加到x ＋2π时，函数值重复出现，因此函数的最⼩正周期是2π. ⼆、公式法
这类题⽬是通过三⾓函数的恒等变形，转化为⼀个⾓的⼀种函数的形式，⽤公式去求，其中正余弦函数求最⼩正周期的公式为T ＝||2ωπ，正余切函数T ＝|
|ωπ． 例2求函数y ＝cot x －tan x 的最⼩正周期.解：y ＝
x x x x tan tan 1tan tan 12-=-＝2·x x x 2cot 2tan 2tan 12=-∴T ＝2
π 三、最⼩公倍数法
设f (x )与ｇ(x )是定义在公共集合上的两个三⾓周期函数，T 1、T 2分别是它们的周期，且T 1≠T 2，则f (x )±ｇ(x )的最⼩正周
期T 1、T 2的最⼩公倍数，分数的最⼩公倍数＝分母的最⼤公约数分⼦的最⼩公倍数2
121
,,T T T T 例3求函数y ＝sin3x ＋cos5x 的最⼩正周期.
例4求y ＝sin3x ＋tan 52x 的最⼩正周期.∴y ＝sin3x ＋tan 52x 的最⼩正周期是10π.
四、图象法
例5求y ＝｜
sin x ｜的最⼩正周期.解：由y ＝｜sin x ｜的图象：可知y ＝｜sin x ｜的周期T ＝π.第7招：函数的周期性⼀.周期函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为D ，若存在常数T ≠0，使得对⼀切x ∈D ，且x+T ∈D 时都有f(x+T)=f(x)，则称y=f(x)为D 上的周期函数，⾮零常数T 叫这个函数的周期。
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