A组
1．以下四个命题中，正确命题的个数是________．
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则A、B、C、D、E共面； ③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面； ④依次首尾相接的四条线段必共面．
解析：①正确，可以用反证法证明；②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确，共面不具有传递性；④不正确，因为此时所得的四边形四条边可以不在一个平面上．答案：1 2．给出下列四个命题：
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合； ②两条直线可以确定一个平面； ③若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈l；
④空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内． 其中真命题的个数为________．
解析：根据平面的基本性质知③正确．答案：1
3．(2009年高考湖南卷改编)平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为________．
解析：根据两条平行直线、两条相交直线确定一个平面，可得CD、BC、BB1、AA1、C1D1
符合条件．答案：5
4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是________．
解析：边长是正方体棱长的
2
倍的正六边形．答案：正六边形 2
5．(原创题)已知直线m、n及平面α，其中m∥n，那么平面α内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．
解析：如图1，当直线m或直线n在平面α内且m、n所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图2，直线m、n到已知平面α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点；如图3，直线m、n所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点为一条直线．
答案：(1)(2)(4)
6．如图，已知平面α、β，且α∩β＝l.设梯形ABCD且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点(相交于
证明：∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，ABCD的两腰，
∴AB，CD必定相交于一点． 如图，设AB∩CD=M. 又∵AB⊂α，CD⊂β， ∴M∈α，且M∈β， ∴M∈α∩β.
又∵α∩β=l，∴M∈l， 即AB，CD，l共点
B组
1．有以下三个命题：
①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点； ②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；
③若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交，其中所有正确命题的序号是______________．
解析：表示线与面的关系用“⊂”或“⊄”表示，故②错误．答案：①③ 2．(2010年黄冈调研)下列命题中正确的是________．
①若△ABC在平面α 外，它的三条边所在的直线分别交α于P、Q、R，则P、Q、R三点共线；②若三条直线a、b、c互相平行且分别交直线l于A、B、C三点，则这四条直线共面；③空间中不共面的五个点一定能确定10个平面．
解析：在①中，因为P、Q、R三点既在平面ABC上，又在平面α上，所以这三点必在平面ABC与α的交线上，即P、Q、R三点共线，故①正确；在②中，因为a∥b，所以a与b确定一个平面α，而l上有A、B两点在该平面上，所以l⊂α，即a、b、l三线共面于α；同理a、c、l三线也共面，不妨设为β，而α、β有两条公共的直线a、l，∴α与β重合，即这些直线共面，故②正确；在③中，不妨设其中有四点共面，则它们最多只能确定7个平面，故③错．答案：①②
中，AD∥BC，一点)． CD
是梯形
3．对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点②三条直线两两平行③三条直线共点 ④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交 其中使三条直线共面的充分条件有：________.
解析：易知①中的三条直线一定共面，④中两条直线平行可确定一个平面，第三条直线和这两条直线相交于两点，则第三条直线也在这个平面内，故三条直线共面．答案：①④ 4．(2008年高考浙江卷改编)对两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得________．
①a⊂α，b⊂α ②a⊂α，b∥α ③a⊥α，b⊥α ④a⊂α，b⊥α
解析：不相交的直线a、b的位置有两种：平行或异面．当a、b异面时，不存在平面α满足①、③；又只有当a⊥b时④才成立．答案：②
5．正方体AC1中，E、F分别是线段C1D、BC的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是________．
解析：直线AB与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．答案：相交
6．(2010年湖南郴州调研)设α，β，γ是三个不重合的平面，l是直线，给出下列四个命题：
①若α⊥β，l⊥β，则l∥α； ②若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
③若l上有两点到α的距离相等，则l∥α； ④若α⊥β，α∥γ，则γ⊥β. 其中正确命题的序号是________．
解析：①错误，l可能在平面α内；②正确，l∥β，l⊂γ，β∩γ＝n⇒l∥n⇒n⊥α，则α⊥β；③错误，直线可能与平面相交；④正确．故填②④.答案：②④ 7．(2009年高考广东卷改编)给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直． 其中，为真命题的是________．
解析：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．答案：②④
8．(2009年高考宁夏、海南卷改编)如图所示，
正方体
ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，线段B1D1上有两个动点E，F，且EF＝误的是________．
①AC⊥BE ②EF∥平面ABCD
③三棱锥A－BEF的体积为定值 ④异面直线AE，BF所成的角为定值
解析：∵AC⊥平面BB1D1D，又BE⊂平面BB1D1D， ∴AC⊥BE.故①正确．
∵B1D1∥平面ABCD，又E、F在直线D1B1∴EF∥平面ABCD.故②正确．
③中由于点B到直线B1D1的距离不变，故积为定值．又点A到平面BEF的距离为值．
当点E在D1处，F为D1B1的中点时，
2，故2
2，则下列结论中错2
上运动，
△BEF的面VA－BEF为定
11→，，1.∴AE＝建立空间直角坐标系，如图所示，可得A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(1,0,1)，F221→1
(0，－1,1)，BF＝(，－，1)，
22
3
263→→3→→→→∴AE·BF＝.又|AE|＝2，|BF|＝，∴cos〈AE，BF〉＝＝，
222·62
2∴AE与BF成30°角．当E为D1B1中点，F在B1处时，
1111→→，，1，F(0,1,1)，∴AE＝－，－，1，BF＝(0,0,1)， 此时E2222∴AE·BF＝1，|AE|＝ 答案：④
9.(2008年高考陕西卷改编)如图，α⊥β，α∩β=l，A∈β，A、B到l的距离分别是a和b，AB与α、β所成是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n.若a＞b，的大小关系为______，m与n的大小关系为______.
解析：AB与β成的角为∠ABC＝φ， AB与α成的角为∠BAD＝θ，
∈α，B的角分别则θ与φ
→→→3→→，∴cos〈AE，BF〉＝ 2263
＝≠.故④错． 332
a
sin φ＝sin∠ABC＝，
|AB|b
sinθ＝sin∠BAD＝.
|AB|∵a>b，∴sinφ>sinθ.∴θ<φ. AB在α内的射影AD＝AB2－b2， AB在β内的射影BC＝AB2－a2， ∴AD.BC，即m>n. 答案：θ＜φ m＞n
10．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、FD1C1、B1C1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，面DBFE于R点，试确定R点的位置．
解：在正方体AC1中，连结PQ，
∵Q∈A1C1，∴Q∈平面A1C1CA.又Q∈EF， ∴Q∈平面BDEF，即Q是平面A1C1CA与平面共点，
同理，P也是平面A1C1CA与平面BDEF的公∴平面A1C1CA∩平面BDEF＝PQ. 又A1C∩平面BDEF＝R， ∴R∈A1C， ∴R∈平面A1C1CA， R∈平面BDEF.
∴R是A1C与PQ的交点．如图．
11．如图，在棱长为1的正方体ABCD－M为AB的中点，N为BB1的中点，O为平面BCC1B1
(1)过O作一直线与AN交于P，与CM交于Q(只证明)；
(2)求PQ的长．
解：(1)连结ON，由ON∥AD知，AD与ON确定一个平面α.又O、C、M三点确定一个平面β(如图所示)．
∵三个平面α，β和ABCD两两相交，有三条CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面．
∴DA与CM必相交，记交点为Q，∴OQ是
α与β的交交线OP、A1B1C1D1中，的中心． 写作法，不必共点． BDEF的公分
别
为
若A1C交平
线．
连结OQ与AN交于P，与CM交于Q， 故直线OPQ即为所求作的直线．
(2)在Rt△APQ中，易知AQ＝1，又易知△APQ ∽△OPN， ∴
APAQ55＝＝2，AN＝，∴AP＝， PNNO23
14
. 3
ABCD，四1
90°，BC綊
2
∴PQ＝AQ2＋AP2＝
12．(2008年高考四川卷)如图，平面ABEF⊥平面边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝1
AD，BE綊FA，G、H分别为FA、FD的中点．
2
(1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ (3)设AB＝BE，证明：平面ADE⊥平面CDE. 解：(1)证明：由题设知，FG＝GA，FH＝HD，
11
所以GH綊AD.又BC綊AD，故GH綊BC.所以四边形BCHG是平行四边形．
22
(2)C、D、F、E四点共面．理由如下： 1
由BE綊AF，G是FA的中点知，BE綊GF，所
2由(1)知BG∥CH，所以EF∥CH，故EC、FH共又点D在直线FH上，所以C、D、F、E四点共(3)证明：连结EG.由AB＝BE，BE綊AG及∠BAGABEG是正方形，
故BG⊥EA.由题设知，FA、AD、AB两两垂直，面FABE，
因此EA是ED在平面FABE内的射影．根据三垂线定理，BG⊥ED. 又ED∩EA＝E，所以BG⊥平面ADE. 由(1)知，CH∥BG，所以CH⊥平面ADE.
由(2)知F∈平面CDE，故CH⊂平面CDE，得平面ADE⊥平面CDE.
以EF∥BG. 面． 面． ＝90°知
故AD⊥平
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