2016年全国高考新课标1卷文科数学试题及答案解析

第Ⅰ卷

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．设集合A={1,3,5,7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=( )

A．{1,3} B．{3,5} C．{5,7} D．{1,7} 2．设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等，其中a为实数，则a=( )

A．-3 B．-2 C．2 D． 3

3．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种

花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )

1512A． B． C． D．

362324．ΔABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a5,c2,cosA，

3则b=( )

A． 2 B．3 C．2 D．3

5．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的

1，则该椭圆的离心率为( ) 41123A． B． C． D．

323416．若将函数y=2sin (2x+)的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为

( )

A．y=2sin(2x+) B．y=2sin(2x+) C．y=2sin(2x–) D．y=2sin(2x–)

43437．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个

28圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，

3则它的表面积是( )

A．17π B．18π C．20π D．28π 8．若a>b>0，0A．logaccb 9．函数y=2x2–e|x|在[–2,2]的图像大致为( ) y y y y

1 1 1 1

O O O O 2 x -2 2 x -2 2 x -2 2 x -2

10．执行右面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1， 开始 A D B C 则输出x，y的值满足( ) 输入x,y,n A．y=2x B．y=3x

n1C．y=4x D．y=5x xx,ynyn=n+1 211．平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A， 否 x2+y2≥36? α//平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，

第 1 页 共 9 页 是 输出x,y 结束 α∩平面ABB1A1=n，则m，n所成角的正弦值为( )

3231A． B． C． D．

2233112．若函数f(x)x-sin2xasinx在(-∞,+∞)单调递增，则a的取值范围是( )

31111A．[-1,1] B．[-1,] C．[-,] D．[-1,-]

3333 第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在横线上． 13．设向量a=(x，x+1)，b=(1，2)，且a⊥b，则x= .

π3π14．已知θ是第四象限角，且sin(θ+)=，则tan(θ-)= .

415．设直线y=x+2a与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若|AB|=23，

则圆C的面积为 .

16．某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料

1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分. 17.（本题满分12分）

1已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn.

3(Ⅰ)求{an}的通项公式； (Ⅱ)求{bn}的前n项和.

18.（本题满分12分）

如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影

P 为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，

连接PE并延长交AB于点G.

(Ⅰ)证明G是AB的中点；

E A C (Ⅱ)在答题卡第（18）题图中作出点E在平面PAC

D G 内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积． B

19.（本小题满分12分）

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某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元. 在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数.

(Ⅰ)若n=19，求y与x的函数解析式；

(Ⅱ)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值；

(Ⅲ)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？

20.（本小题满分12分）

在直角坐标系xoy中，直线l：y=t(t≠0)交y轴于点M，交抛物线C：y2=2px(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N，连结ON并延长交C于点H.

OH(Ⅰ)求； (Ⅱ)除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由.

ON

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=(x -2)ex+a(x -1)2.

(Ⅰ)讨论f(x)的单调性； (Ⅱ)若有两个零点，求a的取值范围.

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请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题号

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

1如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，OA为半径作圆.

2(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；

(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD.

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

xacost在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）.在以坐标原

y1asint点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.

(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

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24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.

(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像； (Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.

2016年全国高考新课标1卷文科数学试题参

一、选择题，本大题共12小题，每小题5分，共60分．

1B 2A 3C 4D 5B 6D 7A 8B 9D 10C 11A 12C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

2413． 14． 15．4π 16．216000

33三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.只做6题，共70分.

117．解：(Ⅰ)依题a1b2+b2=b1，b1=1，b2=，解得a1=2 …2分

3通项公式为 an=2+3(n-1)=3n-1 …6分

11(Ⅱ)由(Ⅰ)知3nbn+1=nbn，bn+1=bn，所以{bn}是公比为的等比数列.…9分

331P 1()n313所以{bn}的前n项和Sn= …12分 F n112231E 3A C 18．(Ⅰ)证明：PD⊥平面ABC，∴PD⊥AB． D G 又DE⊥平面PAB，∴DE⊥AB．∴AB⊥平面PDE． …3分 B 又PG 平面PDE，∴AB⊥PG．依题PA=PB，∴G是AB的中点．…6分 (Ⅱ)解：在平面PAB内作EF⊥PA（或EF// PB）垂足为F，

则F是点E在平面PAC内的正投影. …7分

理由如下：∵PC⊥PA，PC⊥PB，∴ PC⊥平面PAB． ∴EF ⊥PC

作EF⊥PA，∴EF⊥平面PAC．即F是点E在平面PAC内的正投影.…9分 连接CG，依题D是正ΔABC的重心，∴D在中线CG上，且CD=2DG．

22易知DE// PC，PC=PB=PA= 6，∴DE=2，PE=PG3222．

33则在等腰直角ΔPEF中，PF=EF=2，∴ΔPEF的面积S=2．

14所以四面体PDEF的体积VSDE. …12分

3319．解：(Ⅰ)当x≤19时，y=3800；当x>19时，y=3800+500(x-19)=500x-5700.

x193800,所以y与x的函数解析式为y(xN*) …3分

500x5700,x19(Ⅱ)由柱状图知，需更换的易损零件数不大于18为0.46，不大于19为0.7，所以n的最小值为19. …6分

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(Ⅲ)若每台机器都购买19个易损零件，则有70台的费用为3800，20台的费用为4300，10台的费用为4800，所以100台机器购买易损零件费用的

1平均数为(3800×70+4300×20+4800×10)=4000. …9分

100若每台机器都购买20个易损零件，则有90台的费用为4000，10台的费用为4500，所以100台机器购买易损零件费用的

1平均数为(4000×90+4500×10)=4050. …11分

100 比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件.…12分

t2t2p20．解：(Ⅰ)依题M(0, t)，P(, t). 所以N(, t)，ON的方程为yx.

2ppt 联立y2=2px，消去x整理得y2=2ty. 解得y1=0，y2=2t. …4分

OH2t2 所以H(,2t). 所以N是OH的中点，所以=2. …6分

pONp(Ⅱ)直线MH的方程为ytx，联立y2=2px，消去x整理得y2-4ty+4t2=0.

2t解得y1=y2=2t. 即直线MH与C只有一个交点H.

所以除H以外，直线MH与C没有其它公共点. …12分

21．解：(Ⅰ) f '(x)=(x -1)ex+a(2x -2)=(x -1)(ex+2a). x∈R …2分 (1)当a≥0时，在(-∞,1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；

在(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增. …3分

(2)当a<0时，令f '(x)=0，解得x =1或x=ln(-2a).

e①若a=，ln(-2a) =1，f '(x)≥0恒成立，所以f(x)在(-∞,+ ∞)上单调递增.

2e②若a>，ln(-2a)<1，在(ln(-2a),1)上，f '(x)<0，f(x)单调递减；

2在(-∞, ln(-2a))与(1,+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增. e③若a<，ln(-2a)>1，在(1,ln(-2a))上，f '(x)<0，f(x)单调递减；

2在(-∞,1)与(ln(-2a),+∞)上，f '(x)>0，f(x)单调递增.…7分

(Ⅱ) (1)当a=0时，f(x)=(x -2)ex只有一个零点，不合要求. …8分 (2)当a>0时，由(Ⅰ)知f(x)在(-∞,1)上单调递减；在(1,+∞)上单调递增.

aa最小值f(1)=-e<0，又f(2)= a>0，若取b<0且b22a3从而f(b)>(b2)a(b1)2a(b2b)0，所以f(x)有两个零点. …10分

22e(3)当a<0时，在(-∞,1]上，f(x)<0恒成立；若a≥，由(Ⅰ)知f(x)在(1,+∞)上单调递增，不

2e存在两个零点.若a<，f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减；在(ln(-2a),+∞)上单调递增，也不存在两

2个零点.

综上a的取值范围是(0,1). …12分

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

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如图，ΔOAB是等腰三角形，∠AOB=120°. 以O为圆心，

1OA为半径作圆. 2(Ⅰ)证明：直线AB与⊙O相切；

(Ⅱ)点C,D在⊙O上，且A,B,C,D四点共圆，证明：AB∥CD. 证明：(Ⅰ)设E是AB的中点，连接OE，因为OA=OB， ∠AOB=120°. 所以OE⊥AB，∠AOE=60°. …3分

1在RtΔAOE中，OE=OA. 即圆心O到直线AB的

2距离等打半径，所以直线AB与⊙O相切. …5分

1(Ⅱ)因为OD=OA，所以O不是A,B,C,D四点共圆的圆心，故设其圆心为O'，则O'在AB

2的垂直平分线上.

又O在AB的垂直平分线上，作直线O O'，所以O O'⊥AB.…8分 同理可证O O'⊥CD.所以AB∥CD. …10分

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

xacost在直线坐标系xoy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a>0）.在以坐标原

y1asint点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=4cosθ.

(Ⅰ)说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

(Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.

解：(Ⅰ)消去参数t得到C1的普通方程x2+(y-1)2=a2.

所以C1是以(0,1)为圆心a为半径的圆. …3分 将x=cos，y=sin代入可得C1的极坐标方程为2-2 sin+1-a2=0. …5分

(Ⅱ)联立2-2 sin+1-a2=0与ρ=4cosθ消去ρ得16cos2-8sin cos+1-a2=0， 由tanθ=2可得16cos2-8sin cos=0. 从而1-a2=0，解得a=1. …8分 当a=1时，极点也是C1与C2的公共点，且在C3上，综上a=1. …10分

24.（本小题满分10分），选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)=| x+1| -|2x-3|.

(Ⅰ)在答题卡第24题图中画出y=f(x)的图像； (Ⅱ)求不等式| f(x)|>1的解集.

x4,x13解：(Ⅰ)f(x)3x2,1x

23x4,x2y=f(x)的图像如图所示. …5分

(Ⅱ)由f(x)的图像和表达式知，当f(x)=1时，解得x=1或x=3.

1当f(x)=-1时，解得x=或x=5. …8分

31 结合f(x)的图像可得| f(x)|>1的解集为{x|x<或1< x<3或x>5}. …10分

3

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小题详解

1．解：取A，B有的元素是{3,5}，故选B

2．解：(1+2i)(a+i)= a-2+(1+2a)i，依题a-2=1+2a，解得a=-3，故选A 3．解：设红、黄、白、紫4种颜色的花分别用1,2,3,4来表示，则所有基本事件有 (12,34)，(13,24)，(14,23)，(23,14)，(24,13)，(34,12)，共6个，其中1和4不在同一花坛的事件有4个， 其概

4263，故选C 率为P=

24．解：由余弦定理得：5=4+b2-4b×， 则3b2-8b-3=0，解得b=3，故选D

31c12bb2c2ea2，故选B 5．解：由直角三角形的面积关系得bc=4，解得16．解：对应的函数为y=2sin[ 2(x-4)+6]，即y=2sin(2x–3)，故选D 7．解：依图可知该几何体是球构成截去了八分之一，其体积

472873，解得R=2，表面积S422+2217，故选B VR3383848．解：取特值a=1，b=0.5，c=0.5，可排除A，C，D，故选B

9．解：当0≤x≤2时，y'=4x–ex，函数先减后增，且y'|x=0.5>0，最小值在(0,0.5)内。故选D

10．解：运行程序，循环节内的n，x，y依次为(1,0,1)，(2,0.5,2)，(3,1.5,6)， 输出x=1.5，y= 6，

故选C

11．解：平面A1B1C1D1∩平面CB1D1= B1D1与m平行，平面CDD1C1∩平面CB1D1= CD1与n平行，

所以m，n所成角就是B1D1与CD1所成角，而ΔCB1D1是等边三角形，则所成角是60°，故选A

2212．解：f(x)x-sinxcosxasinx，f'(x)1-(cos2xsin2x)acosx，依题f'(x)≥0恒成立，

33221111即acosx≥cos2x1恒成立，而(acosx)min=-|a|，cos2x1，|a|，解得a[，]，

333333故选C

213．解：依题x+2(x+1)=0，解得x=

3πππππ4π14．解：依题θ+是第一象限角，cos(θ+)=，tan(θ-)=- tan(-θ)=- tan[-(θ+)]=-

4444452ππππππ4sin[-(θ+)]/cos[-(θ+)]=- cos(θ+)/ sin(θ+)=

4444223|a|15．解：圆方程可化为x2+ (y-a)2=a2+2，圆心C到直线距离d=，由d2+3=a2+2，解得a2=2，

2所以圆半径为2，则圆面积为4π

16．解：设生产A、B两种产品各x件、y件，利润之和是z＝2100x+900y，

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1.5x0.5y1503xy300y x0.3y9010x3y900约束条件是，即 300 5x3y6005x3y600C x0,y0x0,y0200 B 作出可行域四边形OABC，如图.

画出直线l0：7x+3y =0，平移l0到l， O A ② 当l经过点B时z最大，联立10x+3y=900与5x+3y=600 l0 解得交点B(60,100)，所以 zmax=126000+90000=216000. ③ ① x

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