2001年河南专升本高等数学真题和详细答案(优选.)

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2001年河南省普通高等学校

选拔专科优秀毕业生进入本科学校学习考试

一、选择题 （每小题1 分，共30 分，每小题选项中只有一个是正确的，请 将正确答案的序号填在括号内）. 1．函数 y1ln(3x)的定义域为（ ） xA．[0，3） B．（0，3） C．（0，3] D. [0，3] 2．已知 fx2112x，则fx等于（ ） 2xx22A．x2 B．x2 C．x2 D. x2

3．设f(x)1cos2x，g(x)x，则当x0时，fx是gx的（ ）

22A．高阶无穷小 B．低阶无穷小

C．等价无穷小 D．同阶但不等价无穷小

x244．对于函数y，下列结论中正确的是（ ）

x(x2)A．x0是第一类间断点，x2是第二类间断点； B．x0是第二类间断点，x2是第一类间断点； C．x0是第一类间断点，x2是第一类间断点； D．x0是第二类间断点，x2是第二类间断点.

5．设f02 ，则limh0fhfh的值

h为（ ）

1 / 25

精品word.

A．1 B．2 C．0 D．4 6．设ycose，则dy等于（ ）

A．esinedx B．esine C．esinedx D．sinedx

xxxxxxxx7．已知椭圆的参数方程为率为（ ） A．

xacost,(a0,b0)，则椭圆在t对应点处切线的斜

4ybsint,baba B． C． D． abab

8．函数yfx在点x0处可导是它在x0处连续的（ ） A． 充分必要条件 B．必要条件 C． 充分条件 D．以上都不对 9．曲线yx3x的拐点为（ ）

A．(1,2) B．1 C．(0,0) D．(2,4) 10． 下列函数中，在1,1上满足罗尔定理条件的是（ ） A． yx B．x C．x D．11．设F(x)是f(x)的一个原函数，则

3232

1 xf2xdx等于（ ）

A．

11FxC B．F2xC 221FxC 2

C．FxC D．

12．下列式子中正确的是（ ）

A．dF(x)F(x) B．ddF(x)F(x)C

2 / 25

精品word.

C．

df(x)dxf(x)dx D．df(x)f(x)dx dx13．设I110x2dx，I2exdx，则它们的大小关系是（ ）

012 A．I1I2 B．I1I2 C．I1I2 D．I1I2

x214．定积分lim0tantdtx0x3等于（ ）

A． B．

16 C． 0 D． 13 15．下列广义积分中收敛的是（ ） A．

111xxdx B．1xdx C．

1xdx D．111lnxdx

16．limxy11xxy等于（ ）

y00A． 0 B.12 C．12 D．

17．设zxyx3，则dz|y1x1等于（ ）

A． dx4dy B．dxdy C．4dxdy D．3dxdy

18．函数fx,yx2y22x2y1的驻点是（ ）

A．0,0 B．0,1 C．1,0 D．1,1

19．平面3x2yz50与x2yz40的位置关系是（3 / 25

）精品word.

A．平行 B． 垂直 C．重合 D． 斜交 20．设D（ ）

x,y|x2y2R2,y0，则在极坐标系下，fx2y2dxdy可表示为

D A.

0dfrdr B. 2dfr2rdr

20RR20C.

0dfrrdr D. dfr2dr

2000R2R21．设级数

1u收敛，则limunn1nn等于（ ）

A．1 B．0 C． D．不确定 22．下列级数中收敛的是（ ）

A．

n1n2n2n114 B．n C． D．2

3nnn1n1n1n323．设正项级数

un1n收敛，则下列级数中一定收敛的是（ ）

1un C． D．un2

n1unn1A．

nun1n B．

n124．下列级数中，条件收敛的是（ ）

1n1n1n1A．sin2 B．(1)2 C．(1) D．(1)n nn2nn1n1n1n125．设幂级数（ ）

an0nxn（an为常数，n1,2,）在点x2处收敛，则该级数x1处

A 发散 B．条件收敛 C．绝对收敛 D．敛散性无法判定

26．某二阶常微分方程的下列解中为通解的是（ ）

4 / 25

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A．yCsinx B．yC1sinxC2cosx C．ysinxcosx D．yC1C2cosx 27．下列常微分方程中为线性方程的是（ ） A．yexy B．yyysinx

2xC．x2dxy2xydy D．xyye 28．微分方程yx的通解是（ ） A．y0

141xC1x2C2xC3 B．yx3C1x2C2xC3 2412C．y141xC1x2C2xC3 D．yx3C1x2C2xC3 1218 29．微分方程y4y0的通解是（ ） A．yC1e2xC2e2x B．yC1C2xe2x

2xC．yC1C2e D．yC1cos2xC2sin2x

30．对于微分方程y2yx利用待定系数法求特解y时，下列特解设法正确的是（ ）

A．yaxbxc. B．y*x2ax2bxc C．yxaxb D．yxaxbxc

**2*22*二、填空题 （每小题 2分，共 20分） 1．lim1sinx________．

x01x2．设fxx3，则f3x40________．

5 / 25

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3．曲线yarctan2x在0,0点的法线方程为________． 4．exsinexdx________．

5．由曲线yx,y0,x1所围成的平面图形绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积是_______．

6．设 zxy，则

1yx2z________． x17．交换积分In0dxfx,ydy的积分次序，则I________．

x8.幂级数

n1x5n的收敛半径为________．

2nxn9．幂级数的和函数sx为________．

n!n010． 方程secxtanydxsecytanxdy0①的通解为________． 三、计算题 （每小题4 分，共36 分） 1．求极限limx022lncotx lnx12x2．求函数y(12x)的导数.

3．已知 zfxy,xy且f可微分，求4．计算xln(1x2)dx.

zz,. xy5．计算

21x211x2dx.

6．计算I222xy4,x0所围的右半圆. ，其中为xydxdyDD7．计算积分

xL3ydx(xsiny)dy，其中L是曲线yx2上从点0,0到点1,1之间的一段有向弧.

6 / 25

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8．求过点P(1,1,1,)且平行于平面1:2x3yz40与2:xyz60的直 线方程． 9．将函数fx1展开为麦克劳林级数，并写出收敛区间．

23xx2四、应用题 （每小题5分，共 10 分）

1．某工厂生产某产品需两种原料A、B，且产品的产量z与所需A原料数x及B原料数

y的关系式为zx28xy7y2.已知A原料数x的单价为1万元/吨，B原料数的单价为

2万元/吨.现有100万元，如何购置原料，才能使该产品的产量最大？

2．已知位于第一象限的凸曲线经过原点(0,0)和点A1,1且对于该曲线上的任一点

Px,y，曲线弧OP与直线OP所围成的平面图形的面积为x3． 求曲线弧的方程．

五、证明题 （4 分） 证明方程e

答案

1， 【答案】A.

【解析】 x要求x0；ln(3x)要求3x0，即x3.取二者之交集，得0x3.x

xdt30在区间0,1内有唯一实根. 2021t7 / 25

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应选A. 2， 【答案】C.

1112【解析】因为fxx22x2，故f(x)x2，应选C.

xxx 3， 【答案】D.

212(2x)fx1cos2xlimlim222，所以由定义知，fx是【解析】因为lim2x0gxx0x0xxgx的同阶但不等价无穷小.选D.

4，

【答案】B．

x24，故x0第二类间断点，且x0为无穷型间断点； 【解析】 因为limx0x(x2)x24(x2)(x2)x2limlim2，故x2是第一类间断点，且为又因为limx2x(x2)x2x2x(x2)x可去型间断点.所以选B． 5， 【答案】D. 【

解

析

】

limh0fhf(0)fhfhfhf0

limh0hh8 / 25

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limh0f0(h)f(0)f0hf0lim h0hhf0f04.选 D.

6， 【答案】A.

【解析】因为y(cose)sine(e)esine，所以dyydxesinedx，

xxxxxxx故选A. 7， 【答案】C. 【解析】

dydxdydybcost ，asint ，所以dtdtdxdtdxbcott. dta故椭圆在t 8，

4对应点处切线斜率为yb，应选C. 4a【答案】选C. 9， 【答案】A.

2【解析】 fx3x6x；fx6x66x1.令fx0，得x1；无二阶

不可导点.又当x1时，fx0，而当x1时，fx0，故(1,2)为拐点，选A.

9 / 25

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10， 【答案】C． 【解析】

（1）．x在x0处不可导，故x在1,1内不可导，排除A； （2）．x在端点x1及x1处的值不相等，排除B； （3）． 11， 【答案】B． 【解析】 12， 【答案】D. 13， 【答案】C.

【解析】因为当x0,1时，x1，而e2x23

11在x0处无定义，故在1,1上不连续，排除D.选C. xxf2xdx11f2xd2xF(2x)C. 选B． 221，且ex不恒等于x2，故I1I2，选C.

2 14，

10 / 25

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【答案】D.

【解析】 limx0x0tan2tdtx3tan2xx21limlim2.选D. 2x0x03x3x3 15， 【答案】A. 【解析】

1xx1dx111xdx22lim12012，故|x1xx32

1xx1dx收敛，选 A.

16， 【答案】B. 【解析】limx0y0xy1111lim，选 B. x0xyxy112y0 17， 【答案】C. 【解析】

zzzzy3x2；x.故dzdxdyy3x2dxxdy.

xyyxy1x1所以，dz|

4dxdy. 选C．

11 / 25

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18， 【答案】D. . 【解析】 由方程组

x1,fxx,y2x20,  得 故驻点为1,1.选D.

fx,y2y20,y1,y 19， 【答案】B.

【解析】 平面 3x2yz50的法向量为n13,2,1；平面x2yz40法向量为n21,2,1.因为n1.n20，所以n1⊥n2，平面3x2yz50与

x2yz40垂直，选B .

20， 【答案】C.

21，

【答案】A．

12 / 25

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【解析】因为

1u收敛，故由级数收敛的必要条件知

nn1 lim1un0

n所以，limun1lim1un101.选A.

nn 22， 【答案】B. 【解析】 （1）

n11111发散，排除A； 1为p1的p—级数，故2nn12nn1n2n22（2）n为公比q1的等比级数，故收敛，选B；

3n13n13nun2n21，故由达朗贝尔比值(n1,2,...)，因为limn12lim（3）记unnnunn1n2n审敛法知发散，排除C；

nn1114（4）因为2为p21的p—级数，故2收敛；又为公比的等比级

n1nn1nn13n144数，故发散.所以由级数的性质知2n1n13n3nn发散.  23， 【答案】D.

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【解析】

11（1）取un2，则un收敛，但nun发散，排除A；

nn1n1n1n

11（2）取un2，则un收敛，但un发散，排除，选B；

nn1n1n1n11n2发散，排除C； （3）记un2，则un收敛，但nn1unn1n1un2（4）因为un收敛，故limun0；所以由limlimun0，且un收敛知，

nnunn1n1nun12n也收敛.选D.

24， 【答案】C. 【解析】

111（1）sin2sin2，因为limsin2nnnnn1n1111sin且收敛，故绝对122nnn2n1n1收敛，排除A；

11n1（2）(1)22收敛，故(1)2绝对收敛，排除B； nnn1n1nn1n11n1（3）(1)nn收敛，故(1)n绝对收敛，排除D； 22n1n12n1n

（4）记un知

1(n1,2,...)，则显然un单减，且limun0，所以由莱布尼兹审敛法

nn(1)n1n11n1n1收敛；但(1)发散，故(1)条件收敛. nnnnn1n1n1

14 / 25

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25， 【答案】C. 【解析】由题意，

an0nx在点x2处收敛，故由Abel收敛定理知，anxn在

nn0x22的点x处均绝对收敛，又因为12，所以anxn在点x1处绝对收敛.

n0选C.

26，

【答案】B . 由通解的定义知，应选B .

27，

【答案】D . 所谓线性方程，指的是未知函数及其各阶导数都是一次的，据此定义知，应选D .

28， 【答案】A . 【解析】yxdx12x2C1； 215 / 25

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y1312x2Cdxx2C1xC2； 12614132x2CxCdxxCxC2xC3 121624 y 29， 【答案】A .

【解析】微分方程y4y0的齐次方程的特征方程为

r240

所以，特征根为：r12,r22.故通解为yC1e 30， 【答案】A．

【解析】微分方程y2yx的齐次方程的特征方程为

22xC2e2x，选A.

r220

所以，特征根为：r12,r22.

这里右端项fxxxe，因为0非特征根，故可设

220xy*x0ax2bxcax2bxc.故选A.

填空

16 / 25

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1，

【答案】填e.

【解析】lim1sinxlim1sinxx01xx01sinxsinxxe1e.

2，

【答案】填ln3.

【解析】fx3x3ln3；fx6x3ln3；fx63ln3；

2xx2x34 f3，

4x3xln43.所以，f40ln43.

【答案】填x2y0. 【解析】y12 ；故切线斜率为y02.所以法线方程为 2x1(2x)214x21y0(x0)，即 x2y0.

2 4，

【答案】填cosec

x【解析】exsinexdx sinexdexcosexc.

 5，

【答案】填.

15

12【解析】 V1xdx. 52017 / 25

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6，

【答案】填yx【解析】

7，

【答案】填Iy1yxlny.

zyxy1yxlny. x10dyfx,ydx.

y0【解析】积分区域D是由直线yx,y1及y轴所围成的三角形区域，交换积分 次序后I 8，

【答案】填1. 【解析】记un

10dyfx,ydx.

y0a11(n1,2,...)，因为limn1lim11，所以收敛半径为

nannnnR1

1.

9，

【答案】填e.

x2x

xn【解析】由展式e,x,.知

n0n!2nxn2x e2x.

n!n0n!n0n18 / 25

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10，

【答案】填tanx.tanyC. 【解析】①式可化为

sec2xsec2ydxdy ②

tanxtany②两边积分，得

sec2xsec2ydxdy，即 tanxtany11d(tanx)tanxtanyd(tany)lntanxlntanylnC.

也就是

lntanx.tanylnC. 所以原方程的通解为tanx.tanyC.

计算题

1， 【解析】

lncotx1cotx.(csc2x)（洛必达）lim-----------------------------------------2分 limx0x0lnx1xlimx0x ------------------------------------------3分

sinx.cosx limx0x1--------------------------------------------4分

xcosx2，

19 / 25

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【解析】

lny12xln(12x) --------------------------------------------------1 分

上式两端关于x求导，得 即 所以

yy2ln(12x)212x 3，

【解析】由微分形式的不变性知

12x11.y2ln(12x)(12x)..12x-------------------------2分 y12x1.y2ln(12x)2 ----------------------------------------------------3分 y.2ln(12x)2.---------------4分

dzf1.dxyf2.dxy-------------------------------------------------------2分

即

dzf1ydxxdyf2dxdy

yf1f2dxxf1f2dy----------------------------------------------- ----4分

所以

zzyf1f2；xf1f2.---------------------------------------------------5分

yx 4， 【解析】

20 / 25

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x2-----------------------------------------------------1分 xln(1x)dxln(1x)d222x2x22.ln(1x)d(ln(1x2))----------------------------------------2分 （分部）22x2x3x2(x3x)x22.ln(1x)dx.ln(1x)dx--------3分 2221x21xx2x.ln(1x2)xdxdx 21x2x2x21x2.ln(1x)d1x2 22221xx2x212.ln(1x)ln(1x2)C.------------------------------------4分 222 5，

【解析】令xtant，则dxsecdt----------------------------------------------------1分

2原式化为

21x21x21dxarctan2arctan24arctan12.sectdttan2t.sect42costdt------------------------2分 sin2t 411arctand(sint)|sin2tsint42-----------------------3分

2622.----------------------------------4分

33注意：倒数第二步用到 sinarctan21cscarctan211cot(arctan2)2111tan(arctan2)2 21 / 25

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11122. 326，

【解析】 Ixydxdy 2xydxdy ------------------------------------------1 分

DD122 （极坐标）220drcos.r2sin2.rdr-------------------------------------------3分

021281322cos.sind.rdr2sin|2.r4|.-----------4分

00003342237，

【解析】 L的参数方程为

yx2,x:01-----------------------------------------2分 xx, 故

xL3ydx(xsiny)dy

11322dxx33x2dxsinx2.2xdx xx(xsinx).2x0001135111x4x3|sinx2dx2cosx2|cos1.------------4分

0444008，

【解析】1的法向量是n12,3,1；2的法向量是n21,1,1.--------------1分 可取所求直线的方向向量为

ijk sn1n22312i3j5k2,3,5----------------------------3分

111故所求直线方程为

22 / 25

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9，

x1y1z1. 235------------------------------------------4分

【解析】fx其中

1111----------------------------1分

23xx2x2(x1)x2x11 x2111x1.n1xn,x2,2-------------2分

21x2n02xn0221221n11xn,x1,1 -------------------------------------------------------3分

x11xn0所以 fx 应用题

1，

【解析】本题即为求函数zfx,yx8xy7y在条件x2y100下的条件极值

221n1x,x1,1.-------------------------------------------4分 n12n0问题.宜用拉格朗日乘数法解之.为此令

Fx,y,x28xy7y2x2y100.

100Fx2x8y0,x,3由 Fy14y8x20,解之，

y200.Fxy1000.3由于驻点100200100200,唯一，实际中确有最大值.所以，当吨，吨时可使xy3333该产品的产量最大.

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精品word.

2，

【解析】 设所求曲线弧的方程为yyx(0x1).据题意，曲线弧OP与直线OP所围成的平面图形的面积为

x01yxdxx.yxx3 ①

2①式两边关于x求导，得 yx12，即 yxx.yx3x22 yxx.yx6x，亦即 所以

yx1.yx6x ② x ②为一阶线性微分方程，其通解为

1dxx6xedxCelnx6xelnxdxCx6dxCx6xC ③

yxe1dxx又将y11代入③，得C7.所以，所求曲线弧方程为y6x7x.

2 证明题

3xdt【解析】 构造函数fxe -------------------------------------------1 分

201t2x则fx在闭区间 0,1上连续，在开区间0,1内可导.

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精品word.

因f0130，而f1e0----------------------------------------------2分 224故由闭间上连续函数的根值定理知，至少存在一点0,1，使得

f0.即方程fx0在0,1内至少有一个实根------------------------------3分 又fxex10，故方程fx0在0,1内至多有一个实根. ----------4分 1x2因此，方程fx0在0,1内有且仅有一个实根. 注意：证明中用到当x0,1时，e1，且

x11x，故1fxe0. 1x21x2.

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