郑州大学数学分析2009考研真题及答案

一、（20）

设fx在0，+上连续并且单调递减，1x证明：函数Fx=ftdt在0,单调递减。x0

二、（20）

设0x13,xn1xn3xn证明：极限limxn存在并求之。x

三、（20）

设a1,a2,...,an是n个正实数，求aa...alimx0nx1x2xn1x

四、（10）

区间上的连续函数如果在任何有理点为零，证明:此函数恒为零。 五、（20）

证明:2sinxsinx dxdx0xx2

0六、（20）

研究函数fx0extdt的连续性及可微性。21t

2七、（20）

求正向简单闭曲线C使积分并求出最大值。cy3ydx2x3dy最大，

八、（每问10分，共20分）

设E为平面上一个有界闭集，连续函数f将E一对一映为平面上的点集F，证明：1F也是有界闭集 2f的逆映射也是连续函数。

郑州大学数学分析2009年试卷答案

一、

证明：对Fx求导，xx2由fx在0，上连续且单调递减，从而fxft0，t0,x所以F'x0即函数Fx=1xftdt在0,单调递减。0x

得Fx'xxxfxftdt02fxftdt0二、

证:显然0三、

a1a2...an解：对lim取对数x0na1xa2x...anxlna1xlna1...anxlnann得limlimx0x0xa1x...anxlna1lna2...lnanlnna1...annxxx1xxxx1xa1a2...an所以limna1...anx0n

四、证明：利用连续函数的局部保号性

五、

sin2x12证明：dxsinxdx0x20x'sin2x2sinxcosxdx00xxsin2xsin2x由于lim0,lim0x0xxxsin2xsinx所以上式=dxdx00xx2sinxsinx综上可得dxdx00xx2

六、

证明：设fx,t0extdt1t222ext11当x0,时，由,dt收敛，1t21t201t2从而fx在0，上一致收敛，故fx在0，上连续extt2ext'对对x求导得ftx,t1t21t2t2xt2因为1,一致有界，e单调递减趋于01t2所以由狄利克雷判别法知故fx在0，上可微的022t2extdt在0，上一致收敛1t22

七、

解：由cy3ydx2x3dy16x23y2dxdyDD是由曲线C所围成的平面区域由6x23y20要使16x23y2dxdy最大，D应尽量使平面区域最大化，且被积函数为正的，xcosx6那么积分曲线C:6x23y21,作积分变换ysinx316xD23y2dxdy212

八、

证明：1由E为有界闭集，f为连续函数，显然F是有界的下证F为闭集设 yn为F中的任意一个无限点集，对于每个yk存在一个fxkyk的xkE,它必有聚点x0E,即存在xk的子列xni,满足limxnkx0,则y0fx0flimxnklimfxnkynkkkk从而y0为聚点，即F中的均是聚点，可得F为有界闭集。

2由f是一一映射，知f1存在，因为f是一一映射，对y0F,存在x0E,使得fx0y00,由fx在x0连续，0,当xx0时，fxfx0令上述，即当yy0时,f1yf1y0从而f1在y0连续。由y0的任意性，f1是F上的连续函数。

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