目 录
1. 四则运算
1.1乘除混合运算……………………………………………………………………（**）4 1.2积商之和（差）的混合运算 ………………………………………………… （**）6 1.3两个商（积）之和（差）的混合运算………………………………………… （**）8 1.4含有小括号的三步计算式题……………………………………………… ……（**）13 2. 位置与方向
2.1体会位置关系的相对性…………………………………………………………（**）14 3.运算定律与简便计算
3.1乘法结合律………………………………………………………………………（**）16 3.2乘法分配律………………………………………………………………………（**）19 3.3连减的简便计算…………………………………………………………………（**）24 3.4加减混合简便计算………………………………………………………………（**）26 4.小数的意义与性质
4.1小数的意义………………………………………………………………………（**）27 4.2小数点位置移动引起小数大小的变化…………………………………………（**）30 4.3单名数、复名数的互化…………………………………………………………（**）34 4.4求一个小数的近似数……………………………………………………………（**）35 5.三角形
5.1三角形的高………………………………………………………………………（**）38 5.2三角形的三边关系……………………………………………………………… （**）39 5.3三角形的分类……………………………………………………………………（**）42 5.4三角形的内角和…………………………………………………………………（**）43 6、小数的加法与减法
6.1用竖式计算小数加减法，理解小数点对齐的算理……………………………（**）44 6.2小数加减法的计算………………………………………………………………（**）45 6.3小数的简便运算…………………………………………………………………（**）46 7、植树问题
7.1两端都不种植树问题……………………………………………………………（**）47
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二、原始错例 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（八）册学生错例
误37.5% 采集** 采集 *** 40 错率 者 学校 基√ 课时 √ 新授 第一单元 本 课 题 综 时 课 练习√ 《口算》P5 单元 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 四则运算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ )
策略性知识( ) 此练习题是在学习完同级、异级、有小括号运算顺教学简序之后的第一节练习课时做的，学生对于四则运算顺序述 基本掌握。 ◆典型错题 题目：
4×6÷4×6= 学生错解：
4×6÷4×6=1 ◆原因分析
显而易见，学生的错解被算式中数字的特殊性与符号的特殊性所造成，从而可以深入看到以下不足：
1．“简算”误区。对于相同两数（0除外）相除，商为1，学生在这方面的简算意识特别强烈，所以一看到此模型，顺理成章抓住两个“4×6”，相除结果就是1，忽略了这样运算顺序的改变导致了结果的改变，这样的“简算”无据可依，是不成功的。
2．数字“成对性”的误区。在培养学生的数感当中，数字的成对出现（同时加括号）对学生简算意识的培养有一定的促进作用。但有时由于思维的定势，忽略了运算顺序的存在，从而导致结果改变。
3．“除号”的特殊性。由于学生平时接触到的加法、乘法相关计算，适当地改变一些运算顺序，结果没有发生变化（背后有相应的定律和性质支撑）。学生顺理成章应用到其中，没有考虑到“除号”的存在，如果随意地改变运算顺序，有可能会使结果发生变化。 ◆教学建议
基于以上三个误区，有以下几点建议：
1.在教学第三单元运算定律之时，要充分将定律运用之后与原有运算顺序进行对比，
找到共同点与不同点，体现定律与性质的作用。尤其在对有除号存
2
在的简算与计算时，如果不合理运用定律和性质，就会使结果发生变化。
2.数感的培养要科学与全面。不要随意地去归纳某种特性而成为学生背诵的“条例”，
让学生全方位地观察与思考，抓住数字与符号的特性，选择合理的计算或简算方法。在本题中，因为数字较小，学生完全可以按照从左往右的计算法则进行计算，如果想要使计算变得更简便，能过观察可以把算式变成这样“4÷4×6×6”进行计算。 ◆资源链接
600－60÷15 20×4÷20×4 736－35×20 25×4÷25×4 98－18×5+25 56×8÷56×8 280－80÷ 4 12×6÷12×6 175－75÷25 25×8÷25×8 80－20×2+60 36×9÷36×9
36－36÷6－6 25×8÷（25×8） 100+45－100+45 15×97+3 100+1－100+1 48×99+1 1000+8－1000+8 5+95×28 102+1－102+1 65+35×13
25+75－25+75 40+360÷20－10
（ 四 ）年级数学第（八）册学生错例
误62．采集** 采集 *** 40 错5% 率 者 学校 基 新授 第一单元 课时 √ 本 课 题 综√ 时 课 练习√ 自编习题 单元 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 四则运算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 策略性知识( ) 在四则运算单元，真正涉及到的列式计算很少，在教学简《小灵通》中出现的列式计算学生都做得很糟糕，于是述 我们自编了几题有关列式计算的习题，让学生进行深入
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练习。 ◆典型错题 题目：
30加上96减去12与5的积所得的差，和是多少？ 学生错解：
30+96—12×5 =30+96—60 =126—60 =66
◆原因分析
人教版教材中列式计算相关的题出现得并不多，所以由于平时练习量较少，学生的出错率非常高，从此错题中可以看出以下几方面的错因。
1.学生对“看着算式用语言表达”和“看着语言用算式表求”两都之间不能和谐民展。
前都优于后者，题中可看出先算积，再算减，最后算加。尽管学生所列的算式的最后答案与正确答案一致，但运处顺序却发生了变化，而学生只追求最后的得数对了，完全没考虑本题列式计算对运算顺序提出的重要性。
2.验算意识不强。从学生答题的算式中我们可以通过校对运算顺序来进行验算，完全
可以避免这个错误，但学生并没有用验算来辨别对错的意识，他们对验算的意识只停留在计算部分的列式计算，看到有“验算”就想到要验算，没有主动将验算作为一种数学方法去使用。 ◆教学建议
根据以上错因，提出以下几方面教学建议：
1．平时课堂中要关注对综合算式的表达。每一个综合算式或更复杂一些的综合算式，一定能让学生用简洁而正确的数学语言表达它的运算过程，从而为学生真正形成规范的数学术语表达作铺垫。 2．增强学生验算意识。在明确题中先算什么，再算什么时，要主动与自已的综合算式一一对应，养成自觉验算的好习惯。验算不是单纯的一种计算过程，更重要的是它是一种数学方法与思想的结合，学生要合理地使用这种方法去进行自我判断，从而提高自身的数学素养。 ◆资源链接
（1）25与16的积，减去756除以4的商，差是多少？ （2）920减去6300与45的商，差是多少?
（3）1650除以5的商加上16与8的积，积是多少？ （4）637加上86与19的积，再减去1357，差是多少？ （5）15乘以14与60的和，积是多少？
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（八）册学生错例
误35% 采集** 采集 *** 40 错率 者 学校 基 新授 第一单元 课时 本 课 题 综√ 时 课 练习√ 《小灵通》P6 单元 √ 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 四则运算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 本题的练习已经是进入第一单元的综合练习环节，教学简对于工程问题之类的解决问题，在四上年级早已涉及，述 学生在处理相关信息和数量之间的关系已经有了一定的能力水平。 ◆典型错题 题目：
陈师傅一共要加工2240个零件，前15天加工了60个，照这样计算，还要加工多少天才能完成？ 学生错解： ①2240÷（600÷15） ②2240－600÷15 ③2240－600÷（600÷15）
=2240÷40 = 2240－40 =2240÷40
=56（天）（10人） =2200（天）（1人） =46（天）（1人）
④还有2人不会做 ◆原因分析
此题出现了4种错解，以第1种出现答案居多，先算陈师傅的工作效率，即一天加工了多少个；再用工作总量÷工作效率，计算出总的工作时间，学生到此就停止了。通过访谈，主要存在以下几个原因：
1．学生的读题能力令人担忧。在访谈当中，我问学生提了什么问题，学生不假思索地回答，求加工需要的时间，再次提醒他把题好好看一次，学生才脸红发现了问题的所在。
2．数量之间关系使用“呆板”。学生在解决问题时，明确了本题要通过工效、工时和工总三者之间的关系来解决问题，然后就用数量关系去套问题解决，而不是根据所求问题来理清数量之间的关系，再解决。而第2、3种答案，更是完全对数量关系的理解有误。
3．“理论”与“实际”联系缺乏。从第2种答案就可看出学生缺少了考虑实际情况的能力。 ◆教学建议
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根据以上3点错因，提出以下几方面教学建议：
1.应加强学生的审题能力。努力培养学生的的审题意识，最好养成边读题边圈重点词
或关键句的良好习惯。如在本题中，学生从题中可以圈出“前15天加工了60个”“ 还要加工”这些词句，这样有利于学生在过会解题过程中犯下不必要的错误或起到提醒作用。
2．应正确理清数量之间的关系。熟记数量关系这是前提，但必须理解性地去记忆，在理解当中真正理清它们之间的关系，那样才是真正在解决问题，而不是生搬硬套地去死用数量关系。 ◆资源链接
1．一条公路长3600米，已经修筑了7天，平均每天修筑300米，余下的每天修筑500米，还要几天才能全部修完？
2．星星服装厂生产495套服装，原计划11天完成，实际每天多生产10套，几天可以完成任务？
（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例 采集样37 错误71.1% 采集** 采集 *** 本 率 者 学校 错题来第一单元四则运算 基√ 课时 √ 新授 源 本 课 题目出课堂练习 题 综 时 课 练习√ 单元 处 型 合 机 型 课 相关知两个商（积）之和拓 总复 复习 识 （差）的混合运算 展 习 课 知识属性 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 这是第一单元的学习内容，学生已掌握加减混合运算、 教学简乘除混合运算 积商之和（差）的混合运算、 两个商（积）述 之和（差）的混合运算的计算顺序，在上完例4的练习课中进行的基本练习中出现的一道题目。 ◆典型错题： 错解① 错解② 64+360÷20-5
64+360÷20-5 =64+360÷4
=64+90 =64+18 =154 =82
=77
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◆原因分析
1．从学生的角度看：
①四年级的学生注意力的分配能力还比较差，四则运算要求他们在同一时间把注意分配到两个或两个以上的对象，就出现数字忘抄、符号抄错等现象，有些学生学习习惯比较差，也导致丢三落四的错误。
②有些学生深受20÷5的干扰，看到20-5就马上反应出20÷5=4，有些学生是对混合运算顺序的理解不够，顺序混乱而导致错误。
③有些学生学困生还停留在对某些一步计算的算理和算法的缺失，基本的数学概念和口算没能好好的掌握所造成的错误。
2． 从教材的编排看：
教材编排采用的是“能结合现实素材理解运算顺序，并进行简单的整数四则混合运算”的理念，对四年级的学生理解“解决问题过程中感受运算顺序”带来了难度，特别是学习基础比较差的学生则造成了“解决问题和计算顺序”两头都不能兼顾的情况，同时这单元学生正式接触递等式的书写格式，教材中四则运算的强化练习题安排也不是很多。 ◆教学建议
1．加强口算，重视习惯。
四则运算的速度和正确率取决于口算的熟练和正确率，整个单元的学习加强每天在家练习口算10分钟、课前安排了2-3分钟口算训练，练习内容为一步或两步的100以内的加减法、表内乘除法、整十数的乘除法、和教师收集整理的学生常错、易混的口算题进行听算和看算训练。在四则运算中还要求学生结合计算过程在草稿本上列好竖式，草稿本也定期检查评比，以培养学生良好的书写和仔细算的习惯等。
2．运用数学术语口头读一读算式，如64+360÷20-5，读作64加上360除以20的商减去5，差是多少？使学生进一步理解“和、差、积、商，乘、除以、除”等数学用语的含义，分清计算顺序，也为后面学习列综合算式解答文字叙述题作了必要的渗透。接着在脱式计算前，要求学生同桌口述运算顺序，如58×41-16÷4先算58乘41的积，再算16除以4的商，最后算他们的差，也可以说先两头的乘除，再算中间的减法，一般能把算式读正确顺序说清楚也就理解了四则运算的计算顺序了。
3．在计算中要求学生用笔先画一画顺序线，搞清要先算的每一步再算，以进一步防止学生迷失方向，从而为学生计算正确在计算顺序上保驾护航。 ◆资源链接
针对性练习： 算一算：
①175-75×2+28 ②25×4÷25×4 ③（12-2）+10÷5 ④240÷(20-5) ⑤375＋625÷25×4 ⑥25×4－60＋40 ⑦325÷13×(266-250)
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（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误34% 采集*** 采集 *** 44 错率 者 学校 基 新授√ 第一单元四则运算 课时 √ 本 课 题 综√ 时 课 练习 数学作业本P3 单元 型 合 机 型 课 四则运算及运算顺拓 总复 复习 序 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 策略性知识( ) 这个题目是学生初步学习四则混合运算后的基本练习题，学生已基本掌握了四则运算的方法，即先算乘除后教学简算加法。在此之前，学生已经做了一些较为简单的混合运算的题目，如24×5÷30,13+46-21等。而在四则混述 合运算的基础上，学生将要学习的是较负责的四则混合运算（有括号的先算括号里面的），如（61+11）÷（19-11），24÷（75-67）×60等 ◆典型错题 28+32×3-60 =60×3-60 =180－60 =120
◆原因分析（可以从教师、学生、教材三个维度分析）
多数学生在做该题时都按从左往右的顺序在计算，四则混合运算对学生来讲是头一次接触，在这之前学生接触的题型都是按从左往右的方法计算的，自然而然地学生形成了一种思维定式：计算题都是从左往右计算的。而在教学中我发现有部分学生都存在一个小和尚念经的问题，问他们四则混合运算时先算什么，学生都能很快说出：先算乘除后算加减，但在实际作业中却错漏百出。在教学中，由于上课时间有限，教师没有让学生加强练习，只是过多地强调“先算乘除后算加减”，学生无法将理论与实际结合起来 ◆教学建议
1．在练习时通过划线标序号的方法在计算前强制性地让学生养成先弄清运算顺序与运算方法后再计算。
2．对在作业中错误率较高的题目，可以请平时计算存在较大问题的学生上台板演，结合这些学生计算中出现的错误及时进行讲评，同时请平时计算正确率较高的学生做做小老师，来介绍自己的经验。或者教师也可选取一些错误率较集中的题目，将错题原模原
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样地写在黑板上，让出错的学生说说自己的想法，在回答中逐渐引导他们走向正确的思考方法。 ◆资源链接
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（八）册学生错例
误37.5% 采集** 采集 *** 40 错率 者 学校 基√ 课时 √ 新授√ 第一单元 本 课 综 时 课 练习 数学书P7做一做2 题单元 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 四则运算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 教学简本题的练习是在刚刚学习了异级运算顺序新授课述 之后的做一做练习。 ◆典型错题 题目：
星期天，6名学生去参观卡通画展览，共付门票费30元，每人乘车用2元，平均每人花了多少钱？ 学生错解：
①30÷（6+2） ②许多学生无从下笔 =30÷8
=3（元）……6（元） ◆原因分析
在解决这个问题时，居然有许多学生无从下笔，当时令我很惊讶，马上进行了学生访谈，找到了原因：
1.信息提炼能力欠缺。从第1种错解来看，学生们的总体思路指向性还是明确的：求
平均每人花了多少钱，用总共花的钱除以人数，但再细化思路，学生所提炼的信息发生了明显的错误。30元，只是总钱数里的一部分，人数是6人，而“6+2”毫无道理，所以最后算式的数量关系不成立。题中提供的信息比较零碎，学生不能有效整合，即信息与信息之间，信息与问题之间找不到衔接点。
2．平均数概念模棱两可。求平均数时，学生无法找到并区别总数与总份数。 ◆教学建议
根据以上错因，提出以下几方面教学建议： 1．加强学生处理信息的能力。在解决问题时，学生从读题开始，
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边读边从题中提炼出最简明扼要的信息，再分步思考信息之间有什么联系与区别，再与问题相结合，最后梳理出有用信息进行解决。 如本题中，题中有3个信息：①“6名学生”②“共付门票费30元”③“ 每人乘车用2元”，求平均每人花了多少钱。让学生思考：
①②2个信息，可求出平均每人付门票费多少元？30÷6=5 ①③2个信息，可以求乘车共用多少钱？6×2=12
问题：平均每人花了多少钱？学生花的钱包括了门票费和车费两部分，可以有两种思路去思考：“平均每人的门票费+平均每人的车费”，即30÷6+2；或者“总共花的钱÷总人数”，即（30+6×2）÷6。
2．有效构建平均数概念。在教学平均数时，要特别关注量与量之间的一一对应性，即总数与总份数相对应；“总平均数”可以写成几个“子平均数”的和，但它们的总份数是一致的。
（四）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样本 错题来源 题目出处 49 错误率 70% 采集者 基本 综题 合 ** 采集 学校 *** 新授课 练习第一单元 课时 过关检测 √ 单元 √ 时 课 课 机 型 √
四则运算解决问题 型 相关知两个商（积）之和识 （差）的混合运算（例4） 知识属性 拓展 总复习 复习课 陈述性知识( ) 程序性知识( ) 策略性知识( √ ) 10
教学简述 课本p15也类似的题目，学生受其影响，产生思维定势。 ◆典型错题
动物园推出“一日游”的活动价： 成人：每人150元 儿童：每人60元
团体5人以上（包括5人），每人100元。 现在成人有4人，儿童7人要去游玩，想一想怎样买票最省钱？ 学生错解： 分别算出成人、儿童分别买票与团体买票的价格，再进行比较，取其小者为省钱。
◆原因分析
课本p15也类似的题目，课本中明确规定了方案一和方案二，学生只要按图索骥，分别算出方案一和方案二的价格，再进行比较即可。学生受其影响，产生思维定势，认为只有这两个方案，故“孰能生笨”，拿来主义，未作思考，直接套用。殊不知，除了以上两个方案，还存在着一个一部分买给人票，一部分凑成买团体票的这个方案。而此题恰恰是4个成人外加1个儿童买团体票，剩下6个儿童买儿童票更为省钱。
教师在课本教学时，直接出示了课本中已有的两种方案，而未让学生有独立思考的时间与空间，导致学生思维狭隘。
◆教学建议
1．教师在教学P15课本中的第10道练习题时，不要将数学中现成的方案一、方案二直接出示，可以和在一起，让学生思考，让他们提出可能的方案，这样就可以更加全面培养学生分析问题解决问题的能力，同时也避免了学生思维的局限性。
2．教师要善于运用变式，把价格或人数做适当调整后，让学生深入思考：即当数字变化时，选择的方案有可能是不一样的，培养学生思维的深刻性。
◆资源链接
希望小学组织全校1180名学生去春游,共6个年级,每个年级有8名教师带队,请你根据下面的租车单价表设计一个最省钱的租车方案,并计算出租金共多少元?
车型 双层车 单层车 大客车 面包车 限坐人数(人) 120 70 60 30 单车租金(元) 400 240 300 200
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （四）年级数学第（八）册学生错例
误24.2% 采集** 采集 *** 33 错率 者 学校 新授 第1单元 混合运算 基√ 课时 本 课 综 时 课 练习 第一单元过关检测 题单元 √ 型 合 机 型 课 拓 总复 复习√ 四则混合运算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 在此之前，学生已经学习了没有括号的四则混合运教学简算和有小括号的四则混合运算，并知道运算顺序，能正述 确进行计算。 ◆典型错题（写清错题与错解）75×6÷6×75 学生错解： 75×6÷6×75 =450÷450 =1
◆原因分析（可以从教师、学生、教材三个维度分析）
这是一道没有括号的整数乘除混合运算，由于受前后相同数据的诱惑，干扰了学生对运算顺序的执行，从而不自觉地将除号左右的两组“75×6”分别同时进行计算，导致了计算结果的错误。笔者认为，错因归咎于：一是学生对“没有括号的整数乘除混合运算的顺序”掌握不够牢固；二是教师在教学时，缺少对“没有括号的整数乘除混合运算”与“有括号的整数乘除混合运算”的设计与比较。
◆教学建议
1.明确错因。通过分析讲评，让学生明确上述错误的原因是，由于运算顺序的出错导致的，此题最后一步是算乘法，而不是算除法。要使上述答案是正确的话，需要在后面的6×75这个算式加上括号。
2.加强比较。教师可以通过题组的比较和练习，如“75×6÷6×75和（75×6）÷（6×75）”，让学生区分这两类混合运算的顺序，从而加深对运算顺序的理解和掌握。 ◆资源链接
1.对比练习：
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（1）75×6÷6×75 （2）（75×6）÷（6×75） 2.添上运算括号，使等式成立。
18÷2×3+6=1 18÷2×3+6=81
（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样本 37 错误18.91采集率 % 者 基本 题 综** 采集 学校 *** 新授课 错题来第二单元位置与方源 题目出处 向 课堂练习本 课时 时 课 练习√ 单元 型 机 型 课 合 拓展 总复习 √ 复习课 √
相关知体会位置关系的相识 知识属性 对性 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 这是在总复习中教师自己添加的一道练习题。学生教学简已经掌握了第二单元关于根据方向和距离两个条件确定物体的位置、根据方向和距离，在图上绘出物体的位述 置、位置关系的相对性和描绘并绘制简单的路线图及三角形内角和等知识，这道题是综合运用以上这些知识加
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以解决。 ◆典型错题： 超市 北
30°
学校
错解①以超市为观察点，学校在（南偏东30°） 错解②以超市为观察点，学校在（西偏北60°） ◆原因分析
1.从学生的角度看：
①对于这道题目，根据简单的图示要学生说出位置，很多学生由于既画图的习惯，又方向的掌握不是很正确就导致了错误。
②学生对于角的度量知识掌握的不扎实，根据三角形内角和180°，可以算出以超市为观察点的南偏东的角是60°，东偏南的角是30°。
③对位置的相对性理解不是很好，不会根据根据学校为观察点，超市在学校的位置来推断出相对的位置。
2. 从教师的角度看：
①教师对于做这类题目的时候，还不够重视学生通过画图对解题的帮助。
②对于有些学生的方向知识还是需要强调，进一步达到巩固。 ◆教学建议
1．指导学生在图上的超市和学校点划上十字架（四个东南西北的方向），帮助解决问题。
2.指导学生运用方向的知识直接从超市为观察点，找到学校在超市位置，并且有两种表述方法：以超市为观察点的南偏东的角是60°，东偏南的角是30°，指导学生灵活应用所学的知识。
3.指导学生运用位置的相对性的知识，先以学校为观察点说说，超市在学校的位置是西偏北30°，然后强调根据这两地的位置具有相对性，以这两个不同地点为观察点描述以超市为观察点，学校在超市的位置时，方向正好相反，角度不变。（西-东，北-南，西偏北-东偏南30°） ◆资源链接
1.A点是学校的教学楼，B点是体育馆，则体育馆在教学楼的南偏西75°方向上，A点看B点是 方向。
2. 小明家在小东家南偏西40°方向500米处，请你用画一画平面图。
（四）年级数学第（ 八 ）册学生错例
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采集样本 错题来源 题目出处 49 错误率 20% 采集者 基本 题 综型 合 拓展 ** 采集 学校 *** 新授课 第二单元 √ 课时 √ √
课堂自编练习 时 课 练习单元 机 型 课 总复习 复习课 相关知位置与方向体会位识 知识属性 置关系的相对性 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 教学简学生从初步掌握了位置的相对性，但以谁为观察点，往述
◆典型错题：
小明家在小丽家的（ ），小丽家在小明家的（ ）
往容易出错，尤其是新课阶段更是错误的高发期。
错误答案：西偏南35° 东偏北35° ◆原因分析：
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以谁为“标准”，学生混淆了。学生对于掌握两个地点方向的相对性上，应该说有所掌握，但究竟是以谁为“标准”，也就是观察点的选择上，学生思维发生了混乱。 ◆教学建议：
在教学中要“用教材教”而不是“教教材”，不能死扣教科书。而是应该采用灵活多样的手段，给予学生更多的实践机会，通过实践活动让学生掌握和理解“方向的相对性”，并在实践中感悟观察点的不同，描述的位置也不同。 ◆资源链接：
（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样本 错题来源 题目出处 34 错误率 70.5% 采集者 基本 题 型 综合 ** 采集 学校 *** 新授书本第三单元 √ 课时 √ 时 课 课 √
书本p35做一做（2） 机 型 练习单元 课 16
相关知识 知识属性 乘法结合律 拓展 总复习 复习课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 解决这个题目需要运用的知识是乘法结合律，学生在练习这题时，刚刚学习理解什么叫乘法结合律，什么时候教学简述 需要运用乘法结合律之后的一个初步练习，在这个课时之前学习了加法交换律，加法结合律，乘法交换律这些知识，正在逐步树立简便计算的运算定律并开始熟练运用各类简便计算的方法，后面还需要进行这4种运算定律的分辨和联系及混合运用的教学。 ◆典型错题： 题目：每瓶2元，买这些矿泉水，一共要花多少钱？（图面上有五箱，每箱24瓶）
典型错例：学生列式为24×5×2后直接进行计算。 ◆原因分析：
教师层面：我觉得主要是在之前教学乘法交换律中教师过于强调25和4乘，125和8乘，学生对于25和4印象特别深刻，教师的一再强调导致学生机械地只看数字，没有进行全面地分析。
学生层面：收到了25乘以4常用惯例的知识负迁移，机械地形成了碰到题目就找25乘以4。
教材上：其实教材给学生的信息非常有层次性，先是2元，再是24瓶，而后通过数可以得到5箱，如果稍加细心分析可以列式为：2×5×24或者24×（5×2） ◆教学建议：
1．从教学引入和具体教学内容的教学都要始终围绕情境教学进行，不要单一机械地算式解答练习。多给学生接触解决问题的时机。
2．给学生创设的情境练习不要过于单一，不要过于围绕25乘以4和125乘以8，还可以加入一些24乘以5、66乘以5等非典型简算数据的情况。 ◆资源链接
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （四）年级数学第（八）册学生错例 误18.2% 采集** 采集 *** 33 错率 者 学校 第3单元 运算定律基√ 课时 新授 和简便计算 本 课 题 综 时 课 练习 单元过关检测 单元 √ 型 合 机 型 课 拓 总复 复习√ 乘法运算定律 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 这是第三单元“运算定律和简便计算”过关检测中教学简的一道简算题。学生之前已掌握了混合运算的运算顺述 序，已学过用乘法分配律和乘法结合律，并能用这些运算定律进行简算。 ◆典型错题（写清错题与错解） 题目：怎样简便怎样算25×（153×4） 学生错解： 25×（153×4）
=（25×153）×（25×4） =3825×100 =382500
◆原因分析（可以从教师、学生、教材三个维度分析）
由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生容易造成知觉上的错误，误把乘法结合律当乘法分配律运用，这说明学生对这两条运算的理解还不够透彻。乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律，而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序，像上题三个连乘应选用乘法交换律或乘法结合律，而不应选用乘法分配律。这类错误的归因：一是学生方面，对两种运算定律混淆；二是教师方面，缺少对这两种运算定律的比较和巩固。 ◆教学建议
1.明确错因。面对这些学生，教师不能简单地从形式入手，告诉学生括号里是乘号时不能运用乘法分配律，只能当括号里是加法或减法时才能用乘法分配律。而应从乘法结合律和乘法分配律的意义入手，可以通过结合具体的情境让学生加以理解，也可以通过让学生对这两条运算定律进行比较，深入地理解乘法结合律及乘法分配律意义，自主建构起知识体系。
2.加强比较。教师可让学生用两种不同的思路加以练习，如25×（153×4）与25×（153+4），以区别两种运算定律的不同之处及
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其运用后所产生不同的简便程度，这样可以加深学生对这两种运算定律的理解。 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误32.4% 采集** 采集 *** 37 错率 者 学校 第三单元运算定律基 新授√ 课时 √ 与简便计算 本 课 题 综√ 时 课 练习 课堂练习本 单元 型 合 机 型 课 乘除法中的简便计拓 总复 复习 算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 这是第三单元的学习内容，学生已掌握加法、乘法教学简的几个定律和学了加减、连减、连除计算，在学习了课述 本例4的乘除法运算常见的简便方法之后，在进行课堂练习本中的练习出现的一道题目。 ◆典型错题： 错解①25×64×错解②25×64×125 125 =25×8×8×125
=25×8+125×8 =100×（8×125）
=100×1000 =100+1000 =100000 =1100 ◆原因分析
1. 在乘法计算中对于一些相乘可以得到整十、整百、整千的特殊算式2×5、25×4、125×8的计算结果不够熟练或计算不够仔细，导致计算错误。
2. 由于乘法结合律与乘法分配律在表现形式上十分相近，致使一些学生容易造成知觉上的错误，误把乘法结合律当乘法分配律运用，这说明学生对这两条运算的理解还不够透彻。而且在乘法计算时一个数乘以两位数可以转化成连续乘以两个一位数以达到简便计算的理解不到位，乘法分配律是乘法对于两个数的和或差的分配律，而乘法结合律是几个数连乘时，可以交换运算顺序，像上题三个连乘应选用乘法交换律或乘法结合律，而不应选用乘法分配律。
◆教学建议
1．加强对一些相乘可以得到整十、整百、整千的特殊算式2×5、25×4、125×8的计算的口算练习和记忆，同时要求学生看清题目。
2.加强拆分专项练习25×12=25×4×3、25×32=25×4×8等，
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另外，加强与乘法分配律的对比练习：25×88,25×（8+80），让学生进一步理解乘法分配的含义和学会对此类题目的正确转化。 ◆资源链接
针对性练习： 算一算：
① 125×88×25 ② 125×16×22 ③ 25×44×6 ④ 125×32×25
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误36.3 采集** 采集 *** 46人 错率 % 者 学校 基 新授 第三单元 课时 √ 本 课 题 综√ 时 课 练习√ 课堂作业本 单元 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 乘法分配律 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 在本单元的学习中，学生已经认识了加法的交换律和教学简乘法的交换律，这几个运算定律之间都是互相关联的，学述 生易于掌握。但是刚接触乘法分配律，学生对于这个运算定律容易和前面的运算定律产生混淆。 ◆典型错题： （1）（80＋4）×25=80×25＋4 错误率36.3% （2）7×48＋7×52=7×（48×52） 错误率16.5% （3）25×(4×8)=25×4+25×8 错误率26% ◆原因分析：
面对这样的错误率，老师一般又要用几节课的时间进行正面强化训练才使学生的这些错误有所好转。这样的效果使我们很郁闷，问题到底出在什么地方？有老师说是学生的接受能力太差，这么简
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单的形式只要记住去套用就可以了。可我们教了好几届学生但每次发现同样的问题，原因应该不在学生而在我们老师或教材身上。
对相关数学教师进行了访谈，女她们或多或少都有这样的感觉:这个知识点由于学生没有足够的生活经验及相关认识,其运用又变化多端,所以课即使上了,他们也没能真正理解其内涵,只是在“依葫芦画瓢”;课后,学生对这个知识点的遗忘速度更是非常快。尤其对于数学基础薄弱的学生,虽然是硬记了各种类型的解答方法,但依然不能从真正意义上去理解。
我们又对出错学生进行了重点访谈，发现首要问题是这些学生普遍说不出乘法分配律。第二个问题是他们觉得像第一题２５已与８０相乘了，为何还要与４相乘，与原有认知或潜意识不相符合（怎么可以同一个数重复使用两次呢？）。第三个问题是受到乘法结合率的负迁移的影响，想当然得出了这样的算式。
我们又查阅了几个版本教材对这一内容的编排特点，发现人教版、北师大版和的教材都是这样编排的，它强调从问题情境列出算式入手，发现两边的算式结果是相等的，而且还能举出很多这样的例子，却举不出反例，于是采用不完全归纳法得出了乘法分配律（a＋b）×c=a×b＋a×c，一般老师的教学程序正好体现了教材的编排意图。说明利用情境帮助学生学习乘法分配律已经达成了共识。
通过对师生的访谈、各版本教材的分析和我们的研究，我们认为根本原因在于学生不知道为什么乘法分配律会成立，从两边算式相等中提取乘法分配律，只是机械记住了乘法分配律的形式，学生只知其然不知其所以然是最根本的原因，没有很好从意义入手理解乘法分配律，不利于学生对知识的掌握，也不利于建立数学模型。我们认为乘法分配律教学必须从形式化理解走向意义建构。 ◆教学建议：
乘法的意义对于学生并不陌生，如果整节课围绕乘法的意义展开乘法分配律的教学，学生就能学习得比较深入。不仅可以掌握它的外形结构，而且较好地理解它的意义内涵，或者说真正地理解乘法分配律，大大提升学生的对乘法分配建的认识水平，又符合学生的认知特点，取得理想的教学效果。一、我们可以采用从乘法算式中一个因数的分解与展开，让学生在乘法中感受分配律的意义。二、我们先让学生经历乘法分配律的获取过程然后在小结中提升揭示这种数学的思考方法，利用数学规律学习过程中较好地渗透数学思想方法的学习。同时让学生对不完全归纳法有个初步的理解和应用。
◆资源链接：
1．课前预热，从生活中的分配引入到数学中的分配，通过七人分粥的故事，让学生畅开心说想法，拉近与学生的距离。
师：同学们，刚才我们听了生活中关于分配的故事。今天，我们要来研究数学中有关分配的知识，看看我们班谁是最能干的。 2．从乘法意义出发构建乘法分配律
(1)出示格子图通过数形结合得出算式18×6，结合图示让学生顺利得出算式表示的是 18个6或6个18取其一）
回忆我们是如何计算的？引导学生得出计算18个6实际上把10个6与8个6合并起来得到的。
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18×6＝（10＋8）×6 ＝10×6 ＋8×6 让学生用意义读一读。18个6等于10个6与8个6的和。
告诉学生实际上，我们是把18分成了10与8的和，还可以把18分解成另外两个数相加的和吗？引导学生把18分成1和17、2和16、3和15等等。从而展开得出形如：（1＋17）×6 ＝1×6 ＋17×6等等式，并告诉学生像这样表示左右两边相等的式子叫等式。
(2)你还能举出别的例子也进行这样的展开，写出等式吗？抽几位学生的回答板书。 3）小结提升意义构架：
师：观察上面的等式，我们在乘法中先把一个因数分解然后再展开的等式中请你观察左边和右边的变化，有没有发现什么相同的规律？
待学生有所发现后，师：（惊奇地）你们真的发现了这几个算式中隐含着的规律，请与你的同桌交流一下，好吗？
师：从大家神态和脸部表情中，老师知道你们一定是自己发现了什么规律。同学们们你们发现了什么，我能猜到。不过，你们所看到的也许只是一种偶然。你们能再举些例子对自己的猜想进行验证吗？
学生各自举例，然后老师引导说明万一我们举的例子都只是碰巧怎么办？你能举出一个反例吗？期待引起同学们的的深入思考……
学生说不能出现0乘0，因为0本身就表示没有，不能再分了，我们一般不研究。
(3) 根据你的发现填空：
(12+18)×4 =12× □ + 18×□ （15+20）×6= □×6+ □×6
(☆+7) ×200= □×200+ □×200 75×6= □×□ + □×□ 35×27= □×□ + □×□
重点研讨第四题，第五题，既可分解35也可分解27，再进行展开填数。
(4)教师再次出示三个算式引导学生也能展开来写出等式。 （15 +26）×○ =？ （A+80）× △=？ （a＋b）×c=？
（1）学生作业指名汇报，集体交流。
【从圆、三角形，数字最后到字母式表示式，从具体到抽象，让学生逐步理解乘法分配律。】
重点讨论：（a＋b）×c＝a×c＋b×c
这个字母表达式代表所有算式吗？我们看，“a＋b”在这里表示……“c” 在这里表示……
（揭示课题）你这样把左边的算式改写成右边算式的过程这就是我们今天要学的乘法分配律。
再请向个同学用自己的话说说什么是乘法分配律：
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两个数的和与一个数相乘可以先把它们分别与这个数相乘再相加，这叫做乘法分配律。
让学生对照书上的概括，进一步加深对乘法分配律的了解，谁能说说“分配”是什么意思，它是怎么分配的？（让学生理解分配是表面，实质是分解与合并。）
师：对于乘法分配律用文字或字母来表示感觉怎样？体会字母表示的简洁、明了，告知这就是数学的美。
【意图：对于乘法分配律的教学，教师没有把重点放在数学语言的表达上，反复进行所谓的严格准确和简明的表述，而是把重点放在让学生通过分拆的计算去完整地感知，对所列算式进行观察、比较和归纳，大胆提出自己的猜想并举例进行验证……只有经过这样的探究活动，学和才会真正有所体验，才能构建有自己意义的知识，用语言表达乘法分配律也就思维的外化。特别要让学生对照等式来说，期待在脑中建立表像】
3．在对比练习中深化学生对乘法分配律的认识 (1)题组练习判断对错，加深学生的认识：
（75＋6）×4=75×4+6
（75×6）×4=75×4+6×4
（75×6）×4=75×4×6×4
（75×6）×4=75×4×6
【通过辨析，学生更加清楚乘法分配律的内涵及与乘法结合律的区别】
(2)（6－4）×5 =6×5 －4×5 【把乘法分配律拓展到减法，利用面积和意义来帮助学生理
解。】
3．拓展练习
25×44
【用乘法分配律或结合律进行对比简便计算，体会乘法分配律的用途。】
4．课堂小结提升认识
今天我们学习了乘法的另一种规律，乘法分配律，你觉得我们是怎样得出乘法分配建的？请同学和大家分享一下你今天这节课的收获。
【在学生回忆获得乘法分配律的过程中点破不完全归纳法提升认识。】
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （四 ）年级数学第（八 ）册学生错例
误 采集** 采集 *** 34 错率 者 学校 基 新授 第三单元 课时 √ 本 课 综√ 时 课 练习√ 书本P38页练习（6） 题单元 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 简便计算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 教学简此题在练习六中，是个纯算式的简算练习，是加法和乘法的运算定律学完后的一个练习。之后将学习的是连减述 连除的简便计算。 ◆典型错题： 题目：20×55
学生解答为：20×50+20×5 ◆原因分析:
其实我觉得这个并不算是学生错解，只是我认为教材在题目要求学生用乘法分配律计算，而这个练习位于加法、乘法运算定律之后的最后一个练习，我觉得此时不仅仅只针对乘法分配律练习，因为之后将进入其他的简便计算的学习，此时不光要巩固乘法分配律，更需要进行乘法所有运算定律的对比运用练习和加法乘法运算定律的对比运用练习。而20×55不仅可以运用乘法分配律20×50+20×5来解答，也可以运用20×5×11来解答，这个则是运用乘法结合律这个知识点的。 ◆教学建议：
此题可以告诉学生运用乘法分配律后想想有哪题可以运用别的不同方法进行简便计算的，然后引导学生思考：还有哪种题目也像20×55可以运用不同方法的。 ◆资源链接
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误26.采集** 采集 *** 44 错率 7% 者 学校 第三单元运算定律基√ 课时 √ 新授 与简便计算 本 课 题 综 时 课 练习√ 教材P47第5题 单元 型 合 机 型 课 乘法分配律、整数拓 总复 复习 四则运算法则 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 此题是学生在已经在理解和掌握了五条运算定律教学简的基础上，进一步学习整数四则运算中的一些简便运算。学生接触过乘法分配律的简便计算，以后可安排一述 些题目，让学生区分哪些可以使用简便计算，哪些不能使用简便计算。 ◆典型错题 12×97+3
=12×（97+3） =12×100
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=1200
◆原因分析
教师方面：本单元学习简便计算，教师总是引导学生能简算的要简算。
学生方面：
1.审题不仔细。
2.学生形成了思维定势，受到“97+3可凑成整百数”的干扰，马上想到运用乘法分配律计算。忽视了乘法分配律的前提条件。
3.缺乏验算习惯。计算过程第二步说明是100个12相加，但题目中并没有出现97个12与3个12相加。
教材方面：
这题是考察学生对乘法分配律是否掌握，这种判断对错的形式呈现，对于小学生来说显得枯燥无味，缺乏吸引力，导致了学生看到题目就去凑整简算。 ◆教学建议
1.培养认真审题的习惯，看清题目中的数字和运算符号，弄清计算顺序，先算什么，再算什么。
2.真正理解乘法分配律，可以出一些相应的练习，把能简便与不能简便的习题同时呈现，让学生知道有些习题能运用运算定律能使计算简便，而有些则不能。
3.培养验算习惯，让学生做完题目后马上检查错误。
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（ 四）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误100% 采集** 采集 *** 34 错率 者 学校 基 新授 第三单元 课时 √ 本 课 题 综√ 时 课 练习√ 书本P41（3） 单元 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 连减的简便计算 展 习 课 26
知识属性 陈述性知识( ) 程序性知识( ) 策略性知识( √ ) 教学简此题是学习了连减的简便方法之后的一个解决问题的述 练习，之后将进入连除的简便计算。 ◆典型错题： 题目：图示5个同学身高：156厘米 158厘米160厘米162厘米164厘米
问题：这5名队员的平均身高是多少？ 错例：所有学生都非常老实地把5名学生的身高相加然后除以5.
◆原因分析：
1.从教材教学内容编排上看，学生没有错，因为过去在学习求平均数这个教学内容时，学生被要求牢固的掌握用总数除以数量等于平均数这个计算公式，所以在这里学生自然先选择了直接并单纯地运用了这个公式，而从这个单元的教学内容编排上看，只有在书本32页的“你知道吗”简单介绍了高斯的简算故事，其他没有在出现多个数简便计算的情况，所以学生没有求多个数简便计算的意识和经验。
2.教师在教学时因为很多学生已经从其他地方接触到了高斯简算的故事，所以忽视了这个小知识的详细介绍，其实学生对于其中详细的步骤并不是很清晰，也没有自己独立来简算一遍过。所以错过了这个很好的知识链接。
3.学生在这个教学单元中没有进行过多个数进行简算的详细教学，没有多个数简算的意识和经验，而且受到了过去简单求平均数知识点的迁移。所以没有进行简算。 ◆教学建议：
1.要重视起32页，“你知道吗”这个知识简介，让学生自己动笔具体写写中间的简算思路。
2.开辟一个课堂小专题，《求平均数的多种方法》。求平均数其实有很多种方法，利用简算这个单元进行这个趣味知识的教学，让学生了解不同情况下可以使用灵活多变的方法。
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误52.9% 采集** 采集 *** 34 错率 者 学校 基√ 课时 新授 第三单元 本 课 题 综 时 课 练习√ 书本P41练习七 单元 √ 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 连减的简便计算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( ) 策略性知识( √ ) 教学简此题是学习了连减的简便方法之后的一个解决问题的述 练习，之后将进入连除的简便计算。 ◆典型错题： 题目：图片节日大酬宾彩电降355元，样品再降245元，现价2255元，这台彩电原价多少钱？
错例1：学生列式解答为2255-355-245 错例2：学生列式解答为2255+355+245: ◆原因分析：
因为我是让学生直接独立做在作业本上的，当时还有别的5道题目，很多学生是利用中午午休时间做的，在做的时候比较匆忙，只是忽略的省题后就解答了。
教材在图示中“大酬宾”“降”等字眼给了学生强信息，“现价”字样在后面，“原价”在题目中，在书本最下页，可能从视角上给学生的是稍弱信息。
错例1最主观的原因还是学生审题不全，审题习惯不好，需要审全、审深题目。
错例2出错的原因还是简算意识的忽略，数据比较大，就习惯性地默认为了不会需要简算，没有分析出355和245可以凑整。 ◆教学建议：
1．布置作业时教师可以给孩子这题做个记号，提示性的告诉学生这题要仔细审题，不然容易掉到陷阱里，并给学生足够的安静作业时间，从客观上给学生创造安静思考的氛围。
2．出错后讲解时，直接把题目出示，并把最终答案出示，让学生思考有问题吗？这样可以进一步帮助学生建立现价和降价前原价数据大小的数感。
3．审题习惯是至始至终贯穿小学阶段的一个习惯培养，应加强学生的审题能力。努力培养学生的读题习惯，不能断章取义，也不能随意模仿，数学问题的审题必须是严谨的。如本题，不能看到降就一定是减法来解决。
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4．较大数凑整的解决问题书本的练习中出现的并不多，所以教师在练习课的讲评中有意识地适度增加是有必要的，因为纯算式练习时学生容易思考到需要简算，在解决问题时思考重心用在分析数量关系上了，所以对于数据的分析略显弱势。适当增加解决问题的练习后学生这方面的能力必定能够加强，当然需要注意一个度地问题。
◆资源链接
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误82.3% 采集** 采集 ***四（2） 34 错率 者 学校 基√ 课时 新授 第三单元 本 课 题 综 时 课 练习√ 书本P47 单元 √ 型 合 机 型 课 加减混合的简便计拓 总复 复习 算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 教学简在这里学生已经全部学习完了这个单元各种简便计算述 的类型，进行综合练习。 ◆典型错题： 错题：判断123-68+32=123-（68+32）这样的计算正确吗？ 错例：学生都认为是对的。 ◆原因分析：
1.教材中只安排了连减的简便计算的教学，并没有进行加减混合运算的专门课时的训练。此题的安排只是为了帮助学生进行辨析连减的简算方法，但是在帮助学生分析为什么括号里不能加时往往会运用加减混合简算的知识来分析。
2.在一些课外练习和拓展练习中往往会出现加减的混合简算题目，教师往往为了帮助解题就进行了加减混合简算的方法讲解，但是学生的确特别容易和连减的简算相混淆，所以在方法的讲解上一定要特别慎重。
3.学生在简算方法的掌握上有很大程度是依赖与表象记忆，他们往往只是记住了碰到怎么样的题目，可以变化成什么样子来计算，所以到后来简算种类一多，特别是有些变化之前相近，有些变化之后相近，学生是极易混淆使用的。 ◆教学建议：
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1.在学习完一种简便方法后需要与比较相近的简算方法进行类比，让学生自己来发现区别，并在对比练习中进行运用，这样帮助学生熟练正确地运用。
2.在教学各种简便计算时一定要注重在实际情境中的理解，在实际情境中理解后来建模，学生学得更清晰，不只是停留在表象的记忆上。
3.在教学连减时就可以放手让学生去猜想验证，然后出现加减混合简算时也放手让学生去验证猜想，建立一个比较完整的结构体系，而不是碰到一题讲解一题。让学生完整地学习到加减混合时有哪些简算的方法，通过实际情境的理解思考为什么可以这样简算，并且什么情况下使用哪种简算方法比较好。
（ 四 ）年级数学第（八）册学生错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 40 错误率 75% 采集者 基本 题 综型 合 拓展 ** 采集 学校 *** 新授课 小数的产生和意义 √ 课时 √ √
课堂作业本P24 时 课 练习单元 机 型 课 总复习 复习课 小数意义的理解 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 30
教学简述 小数意义的理解对学生来说，可能更多地是关注从“形”上的把握，学生对于意义的深刻理解还需充分体验。 ◆典型错题：
题目：
根据要求涂色：已 经平均分成了
100小格 学生错解：空白部分是（0.7）
0．93
空白部分是（ ） ◆原因分析：
从学生的角度分析： 1.一位小数的“先入为主”现象。学生对于知识的认知与建构，往往是从比较简单、常见的现象开始学习与关注的。因此，认识小数也一样，最简单的莫过于一位小数了，所以对它特别敏感，学生看到题中空白部分有7格，在脑中闪过的第一个小数就是0.7
2.小数意义的“蜻蜓点水”现象。在建构小数与分数之间的联系时，我们是从常见的人民币以及长度单位开始导入的。如1角是1/10元，也可以说是0.1元，从1/10元=0.1元找到了1/10=0.1的关系，即分母是10的分数可以用一位小数来表示。而学生在理解时，只是“蜻蜓点水”似地学习与识知，或是只关注到了结果却没有体会具体的学习过程，所以并没有将知识真正建构。从图中可以看到，把正方形平均分成了100份，空白部分占了其中的7份，就是7/10，也就是0.7，或者说平均分成了100份，它的计数单位是0.01，7格就是0.07，可是学生并没有从真正意义上找到它们的衔接点。
从教师角度出发：
1.小数的意义“轻描淡写”。在教学过程中，教师过分关注分数与小数之间联系的产生，即分母是10的分数，可以用一位小数来表示，分母是100的分数，可以用两位小数来表示……而忽视了它们之间的联系为什么会如此，实际上就是对小数意义的理解并没有做透。
2.没有读懂学生。对于小数，学生们早就接触过它们的“形”，但对于“意”的理解还是一知半解。但是从学生独立理解上来看比较抽象，在这短短一节课的时间里要求学生掌握小数的意义，还是有一定难度的。 ◆教学建议：
教师应根据学生的学习起点，有效分散难点，进行指导。
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1．放慢“脚步”，反复体验。在寻找小数与分数之间的关系时，教师可以从常见的人民币单位入手，首先要明白超市里商品的标价，这些小数所表示的意思，让学生体会到这些小数小数点左边表示“元”，右边第一位表示“角”，依次是“分”，将生活中的这些小数提炼出它最本质的东西。然后让学生学会用不同的方式来表达，如3角=0.3元，3角=3/10元，9角=0.9元，9角=9/10元，5分=0.05元，5分=5/100元，13分=0.13元，13分 =13/100元……从不断地表达中让学生自己来感悟分数与小数之间的关系，发现3/10=0.3，9/10=0.9，5/100=0.05，13/100=0.13。人民币的体验之后可以让学生再用长度单位进行体验，从而也找到分数小数之间的关系。从两类单位比较之后，找到共性，然后去掉单位，小结出分数与小数之间的关系。
2．丰富“变式”，深刻体验。光是从人民币和长度单位两方面的体验以找到分数小数之间的关系，学生对于它们理解可能也只是“形”上面的建模，如何使这个“形”能真正达到“意”上面的理解，因此我们要将这些体验进行“变式”训练，多采用直观的形式让学生加深理解。如线段图，平均分成10份，100份取其中的1份或几份；格子图，平均分成10份，100份等取其中的1份或几份……用这些直观的图，刺激学生逐步对分数与小数之间的联系理解更深入。 ◆资源链接
小数意义练习题：
1、三位小数表示( )分之几，0.36写成分数是( )。 2、小数点右边第二位是( )位，计数单位是( )。 3、 1里面有（ ）个十分之一，（ ）个百分之一；0.9里有( )个0.1；0.49里有( )个0.01。 4、0.425是由4个（ ）分之一，（ ）个百分之一，（ ）个千分之一组成的。
5、五个一，四个十分之一，六个百分之一组成的数是( )． 6、一个小数，个位上的数字是6，百分位上的数字是3，万分位上的数字是8，其它数位是0，这个小数写作( )。 7、10个0.1是（ ），10个0.01是（ ），72个0.01是（ ），26个0.1是（ ）。
8、0.4的计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位。0.138的计数单位是（ ），它有（ ）个这样的计数单位。 9、在4.04中，左边的4在（ ）位，它表示（ ），右边的4在（ ）位，它表示（ ），左边的4是右边的4的（ ） 倍。 10、大于7而小于8的一位小数有（ ） 个。
11、一个小数的计数单位是0.001，它比0.01大，又比0.02小，这个小数可能是 。
12、把下面的数改写成用“米”或“元”做单位的数。 （1）一枝铅笔长20厘米，是（ ）米。 （2）一根红头绳长55厘米，是（ ）米。 （3）一条皮带长12分米，是（ ）米。
（4）每本日记本1元6角5分，是（ ）元。 （5）每千克巧克力是30元8角，是（ ）元。
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（四）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 教学简述 49 错误率 25% 采集者 基本 ** 采集 学校 *** 新授课 练习课 复习课 第四单元 √ 课时 √ √
作业本P24 小数的意义和读写法小数的意义（例1） 综题 合 型 拓展 时 单元 课 机 总复习 型 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 这一部分的学习是小数的意义和读写法。学生此时还没有学过小数的加减法。这是新授课后作业本中的一次作业。 ◆典型错题
先用阴影部分表示给出的小数，再写出空白部分所表示的小数
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0.93 ( ) 错误答案：0.7 ◆原因分析
1．这一部分的学习是小数的意义和读写法。还没有学过小数的加减法。但学生在潜意识里会自觉不自觉应用自创的小数减法，错误计算1-0.93=0.7.显然，学生受到数字表明特征的影响，未作深入思考。
2．对小数的十进制数位的理解还不深入，同时也缺少必要的反思。因为如果答案是0.7，也就是7/10，它要占到一半以上，显然与图中空白部分的表示有很多落差，学生数感几乎没有。 ◆教学建议
1．沟通分数与小数之间的联系，加强对小数十进制数位的理解。如0.93表示9个十分之一和3个百分之一，也可表示93个百分之一等。
2．沟通图形结合，加强学生自我反思与自我纠错能力培养。如学生填写是0.7时，教师可让学生自己表示0.7在方格上应该有多少，让学生把错误答案与之比较，通过正反对边，让学生自我纠错，并从中培养学生的数感积累。
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◆资源链接
有一个数，十位和十分位上都是2，个位和百分位上都是5，这个数是（ ），它的计数单位是（ ）。
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误40.54采集** 采集 *** 37 错率 % 者 学校 第四单元小数的意基 新授√ 课时 √ 义和性质 本 课 综√ 时 课 练习 课堂练习本第27页 题单元 型 合 机 型 课 小数点位置移动引拓 总复 复习 起小数大小的变化 展 习 课 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 这是小数点位置移动引起小数大小的变化学习中，5和一定的针对性练习后，再运用课堂教学简上了课本中的例练习本进行书面独立作业时学生出现的错误，学生已学述 会了小数的意义、小数的读写、小数的性质和大小比较等知识。 ◆典型错题： 错解①
把46.6先缩小为它的1/10，再把小数点向左移动一位，再乘10000后是（46.6）。 错解②
把46.6先缩小为它的1/10，再把小数点向左移动一位，再乘10000后是（46600）。 ◆原因分析：
1.从学生的角度看：通过学生访谈
①10.81%学生对于左右方向还要搞错。
②10.81%学生对于缩小、乘10000要向左边移动，扩大要向右边移动搞不清楚。
③18.92%对于小数点如何移动的方法掌握得不好，导致结果错误。
2. 从教师的的看：
对于缩小和扩大中小数点的移动方法：如怎样移动数位，数位
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不够添0等在教学中还需指导的再仔细些，另外对于班级中左右方向搞不清楚的学生还应充分估计。
3．从练习题的编排看：
这道练习题可以放在上完例6、7之后，结合小数点位置移动引起小数大小的变化的规律的应用后再进行，效果会更好。 ◆教学建议：
1．小数点位置的移动引起小数大小的变化规律，既难理解，又易混淆．移动的方向与大小变化是相关的，移动的位数与变化的倍数是相应的．这些变化规律教师要清楚让学生理解和牢固掌握。
2.在教学中尝试让学得好的学生介绍长我的方法给大家，相互学习，用孩子的方法更加容易接受和掌握。
3．让学生先画一画左（缩小）、右（扩大）的草图，再画一画移动的小数点的过程，让思考过程更完整，更好避免错误。
左（缩） 右（扩）
1 46.6
2 3 ◆资源链接：
针对性练习： 想一想，填一填：
⑤ 把42.607扩大（ ）就是4260.7，缩小为原数的（ ）就是4.2607。 ⑥ 把33.36先缩小为它的1/100，再把小数点向右移动3位，再除10000后是（ ）。
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性
（ 四 ）年级数学第（八 ）册学生错例
误15.2 采集** 采集 *** 46人 错率 % 者 学校 基√ 课时 √ 新授 第四单元 本 课 书本练习十66页第题 综 时 课 练习√ 单元 12题改编题 型 合 机 型 课 《小数点的移动引拓 总复 复习 起大小的变化》 展 习 课 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 36
在这之前学生已经学习了小数的基本性质和小数的教学简大小比较，这为小数点的移动引起小数大小变化奠定了一述 定的基础。 ◆典型错题: （3）把0.03扩大到它的1000倍是（ ）。 （4）把42缩小到它的1/1000是（ ）。 学生错解：
（3）把0.03扩大到它的1000倍是（ 3 ）。 （4）把42缩小到它的1/1000是（ 0.42 ）。 ◆原因分析:
在学生的错解中，我们可以发现：学生对于学生对于小数点的移动引起小数的变化已有所掌握。知道小数点向右移动是把原小数扩大，小数点向左移动是把原小数缩小。学生引起错误的原因是当小数位数不够的时候，要用0补足，这一点没有好好掌握。原因在于：
1．教师在教学的时候，没有进行知识的串联。向右移动遇到小数位数不够，就需要在小数的末尾添上0后在移动，这里就要用到前面的小数的性质这个知识点。学生只知其一，不知其二，才会引起一知半解。
2．学生对小数的数位感不强。在数位移动的时候，教师没有帮助学生利用小数的数位表来进行小数点的移动。像第二小题，需要向左移动三位，实际上学生只移动了二位就停下来了。如果教师在教学的时候，能让学生锁定其中的一位，然后在数位表上相应地移动就能够发现十分为上是0，久而久之，学生势必能提高一定的认识。
◆教学建议:
小数点位置的移动，引起小数的大小发生了变化，本质是小数中每个数的位置发生了变化！那么该以哪个位置上的数作为标准呢？其实我们不难发现，个位在小数点位置移动中有着重要作用，小数点向右移动一位，原数就扩大10倍，个位上的数就移动到十位！小数点向右移动两位，原数就扩大100倍，个位上的数就移动到百位！小数点向左移动一位，原数就缩小到它的十分之一，个位上的数就移动到十分位；小数点向左移动两位，原数就缩小到它的百分之一，个位上的数就移动到百分位！在原来结论的基础上，加入了个位上的数在变化后的位置！这样就可以培养学生较强的数位感，也能把这个小数数位表印记在脑中，在脑中进行数位的核对比较。
◆资源链接 片段问题设计
1出示计算题，进行计算；
2观察分析原小数中每个数的位置，与计算后的位置的变化！ 3讨论：以哪个数位上的数来作标准比较方便？
4根据个位上的数字的位置的变化，你可得到结论？ 5、相应练习。
（四）年级数学第（ 八 ）册学生错例
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 49 错误率 45% 采集者 基本 ** 采集 学校 *** 新授课 第四单元 课时 单元检测 小数的意义和性质求一个小数的近似数 综练习题 课 √ 时 单元 √ √ 合 课 型 机 型 拓展 总复习 复习课 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 教学简学生已经学习了求一个小数的近似数，但遇到综合性问述 题时由于数学阅读、思维难度的增加出错率居高不下 ◆典型错题
一个小数，千分位“五入”以后的近似数是3.75，这个小数精确到十分位约是（ ） 错误答案：3.8 ◆原因分析
1．学生没有仔细理解题目意思，数学阅读能力较差。他以为是3.75精确到十分位约是3.8了。
2．这道题目本身是一道综合性质的题目，对于此类题目学生的分析能力、数学阅读能力等都是一次综合考验。因为要绕个弯，
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学生的思维又比较单一化，导致出错。 ◆教学建议
1．教师教学时，可将此题拆开成两小题，降低思考难度。一个小数，千分位“五入”以后的近似数是3.75，这个小数可能是多少？这个小数精确到十分位约是多少。
2．通过访谈，有部分学生不是不会，而是难以理解题目。所以数学阅读能力提高是一个综合性、长期性工程，教师要在平时日常教学中，有意渗透类似数学阅读能力培养。如阅读数学科普、数学报等。 ◆资源链接
74（ ）635≈74万，（ ）里可以填（ ），（ ）里最大填（ ）。
74（ ）635≈75万，（ ）里可以填（ ），（ ）里最小填（ ）。
一个数省略\"亿\"位后面的尾数的近似数是8亿，这个数最大是（ ），最小是（ ），它们相差（ ）。
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（四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误13.1 采集** 采集 *** 46人 错率 % 者 学校 基√ 课时 √ 新授 第四单元 本 课 综 时 课 练习√ 书本71页第8小题 题单元 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 生活中的小数 展 习 课 39
知识属性 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 单位之间的换算学生在之前地学习中已有所接触，这教学简个内容是融合了单位的换算和小数点的移动引起大小的述 变化这两个知识点。 ◆典型错题: （ ）千克=4.08吨 学生错解：
（4008 ）千克=4.08吨 （0.0048）千克=4.08吨 ◆原因分析:
这块内容的教学看上去是单位的换算，实际上是对前面所学的小数点的移动引起小数大小变化的延伸与实际生活应用。像这两种错误的解答中可以发现，学生因为已有原先单位换算的基础，知道了单位的换算与单位之间的进率有关系。引起错误的原因在于： 1.还有个别学生对小数点的移动这一块的知识不过关，不知如何移动。
2.单位换算之间的等量没有掌握好，学生只知道他们的进率是1000，但是这个1000
是怎么变化，是乘1000还是除以1000，就有点不知所措。 ◆教学建议:
教师在教学的时候首先要以小数点的移动引起小数大小变化这个知识点作为教学的基础，这直接影响到单位之间的换算。可以是课前简单的复习，也可以是在新课教学过程中的融合。让学生感受到知识之间是有联系的，是互为基础的。
其次，单位的换算要以等量为基础，学生之所以会出现第二种情况，就是没有掌握好等量的关系。教学时教师要让学生充分地感受到在大小不变的情况下，高级单位化成低级单位，单位变小了数字就要变大，就乘他们的进率；反之低级单位化成高级单位，单位变大了数字就要变小，就除以他们的进率。当学生的脑中有这样一个守恒的感觉在，那么错误率也将大大降低。 ◆资源链接 问题设计：
1． 出示1000千克 1吨
1.2吨 1200千克 你觉得谁更大一点？为什么?
2.你能在上面的两组中找到单位换算的规律吗？数字和单位之间有什么联系吗？ 3.讨论规律 4.应用规律
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（八 ）册学生错例
误63.1 采集** 采集 *** 46人 错率 % 者 学校 基 新授 第四单元 课时 √ 本 课 题 综 时 课 练习√ 课堂自编题 单元 型 合 机 型 课 求一个小数的近似拓√ 总复 复习 数 展 习 课 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 学生在新课学习的时候，已经知道了四舍五入，以及教学简用四舍五入求一个小数的近似数。本课的学习，不仅帮助述 学生巩固求一个数的近似数的方法，同时为了拓展学生的思维，而设计了相应的练习。 ◆典型错题： 你知道近似数是2.2的两位小数吗？这些两位小数中最大是（ ），最小是（ ）。
学生错解：1、这些两位小数中最大是（ 2.29 ），最小是（ 2.20 ）。
2、这些两位小数中最大是（ 2.25 ），最小是（ 2.14 ）。 ◆原因分析：
从学生的角度来说：
1．学生的数感不强。在新课教学的时候，学生对四舍五入比较牢记于心，会运用自如，可以对于逆向思维，求取值范围却出现了迷茫。深入思考原因，是由于学生游离在只是四舍五入表面的原因，没有建立起准确数和近似数之间的一种关系
2．取值的区间不明。我们可以这样理解，近似数是对应的一组数所聚焦的一个点，这个点就是这组数的近似数。从学生的错解中可以看到学生对于近似数所对应的范围比较模糊，深入思考原因在于学生能够把数定到期中一个数值区间，但由于对近似数概念的不清导致对区间的概念无法准确定位。
从教师的角度来说：
教师在教学的时候，往往比较注重求一个小数的近似数的求法，而缺少为什么要四舍五入这样的深层次的课堂思考，这就直接影响了学生对近似数的理解。教学的时候，教师没有注重让学生在理解近似数的同时，比较近似数和准确数之间的关系。如果有了联系和比较，不仅更好地理解了近似数，同时也为近似数的区间发下一定的认识基础。
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◆教学建议：
1．利用数轴培养学生的数感。学生对于取值范围难以理解，关键是没有建立起对近似数的理解。在进行课堂教学的时候，需要通过数轴形象地展示一个小数所接近的数，这样就能在头脑中形象地理解近似数的含义，为学生对取值范围的理解起到一定的辅助作用。
2．帮助学生建立近似数所含范围的模型。数学思维的深度在于通过观察和比较来发现存在数学内部的规律，建立起一定的数学模型，并利用这个数学模型来进行有效地学习。而这里的数学模型就是存在于近似数内部的有关于取值范围的规律，四舍与五入范围内的数都接近那个准确数。例如：近似数2不仅仅是指2而是指2.4与1.5范围内的数。而2.0也不仅仅指2.0而是指2.04与1.95范围的数。培养学生一看到近似数就能想到它对应的范围。掌握这个规律，将有效减少对这个知识点的错误发生。
3．借助数轴－建立表象－内化认知。通过建立课堂的主干线，把学生的认知和经验进行数学化改造，把对知识的初步认知内化为系统的知识体系，提高学生的数学认知能力。 ◆资源链接 一、直接导入
1．生活中的小数引入
前段时间我们学习了生活中的小数（出示1.391） 1.391米表示真么意思呢？ 1.391元又表示什么意思？ 在我们去超市买东西的时候，显示器上经常有这样的显示，碰到这种情况我
们该付多少钱呢？你是怎样想的？
就是把这里的三位小数通过四舍五入变成了一位小数，1.391≈1.4，这里关键是看哪里？
2．如果1.391米这是你的身高的话，你会怎样介绍你的身高？你是怎样想的？
算到厘米，就是把这里的三位小数通过四舍五入变成了二位小数，1.391≈
1.39，这里关键又看那里？
3．引导学生小结并引出课题
看来，同学们对本节课的知识已经知道了不少，真了不起！谁能根据你的理
解，向大家介绍如何通过四舍五入保留一位小数和两位小数？ 学生在回答的时候可以追问：保留三位小数呢？ 这就是我们这节课要学习的知识。（出示课题：小数的近似数） 二、探究
那么为什么要去看舍去部分的最高位，它与这个近似数之间又有怎样的关系呢？我们将继续深入地研究。 （一） 研究一位小数
1、 这是一道我们在上学期曾经碰到过的题目？
这里的1大格表示1，那么里面的每一小格就代表0.1
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2、 除此之外，这里还有哪些小数呢？（教师根据学生回答板书）
这些小数哪些接近整数1，那些接近整数2？讨论5，点明四舍五入。
3、 我们把目光锁定在2上，接近2的一位小数还有哪些呢？（板书）
这些数都接近2，我们可以说他们都是近似数2的家族成员，他们保留整数 都约等于2。
4、 如果把这条数轴在脑中延长，按照刚才的方法，哪些一位小数的近似数
是1，你能介绍一下你的方法吗？
刚才我们只讨论了近似数1呵近似数2家族成员中的一位小数，如果从左边的5开始到小于5，他的家族成员应该有无数个。 5、 在这些一位小数家族成员中，你能给他们分成两部分吗？ 交流得出：左边最小比1小5个1.0，右边最大比1多4个0.1 师小结：所以像这里要保留整数，我们关键是看十分位，最小的数比这个近
似数少5个0.1，最大比近似数多4个0.1 （二） 研究二位小数
1、 如果老师再画几个小点，你能在这里找到更多的小数吗？
刚才，我们说到1小格表示0.1，那么1小小格就是0.01。 2、 我们来锁定其中一个二位小数（出示1.81），你能说一说，它在哪两个小
数之间？它又接近哪个小数？
3、 接近这个小数的两位小数还有哪些？你能有规律地分成两部分来说一说 吗？
刚才这位同学分成怎样的两部分？说说这两部分的特点吗？ 交流：左边少5个0.01.右边多4个0.01
引导学生小结：像这里要保留一位小数，关键是要看百分位，满5可以向前
进1。所以最少可以比近似数少5个0.01，最大比近似数大4个0.01。
4、 按照规律说一说，哪些二位小数接近2.0，你会说吗？ （三）拓展三位小数
如果请你找近似数为1.39，最大可多几个几，最少可以少几个几？
交流：保留二位小数，关键要看千分位，最大多4个0.001，最小少5个0.001. （四）精确度
同学们真厉害，通过观察和比较，找到了近似数最大和最小值的范围，我们回过来看2.0和2，刚才老师说到他们在同一点上表示大小是相等的，他们有没有不一样的地方呢？
根据学生回答教师演示课件，比较近似数2.0和2的取值范围。
43
师小结：精确度和保留的数位有密切的关系，保留的数位越多就越精确。所
以在数学上我们也把保留一位小数叫做精确到十分位，保留两位小数叫做精确到百分位，保留三位小数也叫…… 三、生活中的近似数（教师边说边演示课件）
近似数在我们的生活中，可以说是随处可见，因为生活中计算某些事物无法得到精确值，所以要用到近似数。比如我们在超市称重量的时候，我们可以测出千克、克，1毫克甚至比1毫克还要小的重量就无法测出了，所以重量是近似数。量身高的时候，我们的米尺没有项特殊的测量工具那么精准，所以我们的身高一般都是近似数。近似数在生活中的用处是非常大的，所以我们在五年级的时候将在小数乘法和小数除法中将进一步学习近似数。 四、练习
1、求下面各小数的近似数。
（1）3.47 0.239 4.08 （精确到十分位） （2）5.344 6.268 0.402 （保留两位小数） 先请学生在纸上做一做，再全班交流。 2、2.8□≈2.8，□中可以填( )。
看到这题，你是怎么想的？
如果把8改成7，2.7□≈2.8现在又改怎么填了呢？
3、小明和小亮的身高大约都是1.7米，而小明对小亮说：他比小亮高9厘米。你说有这种可能性吗？
根据学生的回答教师出示这样一个模型□. □□≈1.7 然后交流。
如果要使近似数的大小不变，你要怎么改才使他们之间的差距缩小？这时他们的差距最多是多少？
□. □□□≈1.7
看来就应验了刚才的那句话，保留的数位越多，数之间的差距就越小，也就越精确。
五、小结：同学们，请你回顾一下，刚才我们学了什么？
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识
（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误25.8% 采集** 采集 *** 31 错率 者 学校 第五单元三角形 基 新授 课时 √ （人教版） 本 课 浙教版课堂作业本题 综√ 时 课 练习√ 单元 45页 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 图形的底与高 展 习 课 44
知识属性 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 教学简这是一道在教学画三角形、平行四边形和梯形指定底边上的高时出现的在钝角三角形中钝角边上画高的练习述 题 ◆典型错题（写清错题与错解） 题目：画出下面三角形指定底边上的高。
学生错解
（1）错误率19%（2）错误率
7% ◆原因分析
通过访谈这些错误的学生得到下面2种情况：
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1．第一类错误的学生，能找到指定的底边，但没考虑到三角形的高应该是从顶点到对边的垂直线段这一点。
2．第二类错误的学生，他记住了在钝角三角形中，夹成钝角的两条边上的高都是画在三角形的外面的，且需要把底边进行延长，但却不懂该如何延长以及向哪边延长的方法，一知半解地画成了上面的情况。 ◆教学建议
1．首先要让学生了解什么叫三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。
2．在画高前，先找到指定底边对面的顶点，再从这个顶点出发画高。
3．当遇到画钝角三角形钝角所在的边上的高时，先确定往哪个方向把底边延长，必须以原来的底边为基础延长，再根据画高的要求把高画出来。 ◆资源链接 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误36% 采集** 采集 *** 31 错率 者 ** 学校 第五单元三角形 基 新授 课时 √ （人教版） 本 课 浙教版课堂作业本题 综 时 课 练习√ 单元 39页 型 合 机 型 课 三角形两边之和大拓√ 总复 复习 于第三边 展 习 课 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 教学简学习了三角形能按边的长短分成三类三角形，也知道了三角形三条边之间的关系：任意两边之和要大于第三述 边。 ◆典型错题 题目：在△ABC中，AB长5厘米，AC长8厘米。BC最小应大于（ ）厘米？最大应小于（ ）厘米？
学生错解：最小大于12厘米，最大小于4厘米的占26%；题目意思不理解的占10% ◆原因分析
通过访谈，发现部分学生不懂得“最小应大于”、“最大应小于”这两句话的意思，从而导致解题的困难。这类错误的原因有：一是教师在教学“三角形两边之和大于第三边”时，缺乏对此类题目的渗透和引领；二是学生理解能力的缺乏。 ◆教学建议
1．在教学中要注重学生的动手操作过程，让学生在自己动手
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的过程中理解三角形三条边之间的关系，这样最小的边要大于，最大的边要小于也就不难理解了。
2.重视比较练习。出示：（1）在△ABC中，AB长5厘米，AC长8厘米。BC最小应大于（ ）厘米？最大应小于（ ）厘米？（2）在△ABC中，AB长5厘米，AC长8厘米。BC可以是（ ）厘米。（取整厘米数）。从而让学生明确，“最大应小于多少”“最小应大于”的意义。
3．在此基础上，教师引导学生归纳出：在三角形中，已知两条边的长度，第三条边的长短是有一个范围的，如果这条边作为最小的边，那么，它应大于已知的两条边的差，如果把它作为最大的边，那么它应该小于已知的两条边的和。 ◆资源链接
《三角形两边之和大于第三边》教学片段 1、设置矛盾，激发兴趣。 游戏：围三角形
要围成一个三角形需要几条线段？出示四种颜色的小棒红色（10cm）、蓝色（6cm）、绿色（5cm）、黄色（4cm）各数根，让学生任选三根在规定的时间内围成一个三角形。
这时学生可能出现两种情况：一是有的同学围成了三角形，有的同学围不成三角形。那么，教师就可以指出：看来不是随随便便的三条线段就可以围成三角形的，让 我们来研究为什么三根小棒有时围不成三角形呢？另一种情况是学生不断调换小棒，最后所有的学生都围成了三角形，这时教师可以追问：是不是只要有三根小棒就 一定能围成三角形呢？其实学生在调换小棒时就无意中发现了三根小棒有时围不成三角形，老师的提问可以引起他的思考，使学生的无意发现变成有意识的探究。
[设计思路]这一环节主要是让学生在围三角形的活动中出现多种围的结果，引起学生的思考，激发学生的学习欲望。 2、提出问题，进行探究。
研究三根小棒有时围不成三角形的原因：
请一些没有围成三角形的学生把自己的作品拿到前面实物投影仪上进行展示。
（1）教师先选取其中一份两边之和小于第三边的作品。指着作品说：哪位同学能帮他想想办法，怎样围成一个三角形？在老师的诱导下，有的学生会说“把那两根 小棒再斜一下，教师演示小棒的移动，让学生观察思考，发现：这两根小棒的长度和小于第三根。在这里通过动态演示两根小棒“斜摆”的活动，使学生感受到围不 成的原因在于“两根小棒的长度之和小于第三根小棒”，自然将学生的眼光吸引到两边之和与第三边的关系上； 总结：看来如果三根小棒中的两根小棒之和小于第三根时是不能围成三角形的。 （2）那么，两根小棒之和等于第三根小棒时能不能围成三角形呢？ 请学生从自己的小棒中选择一根红色（10cm），一根蓝色（4cm），一根黄色（6cm）的小棒，围围看，能不能围成一个三角形。
在这个环节的教学中，由于小棒是一个立体的物体，学生的观察存在一定的困难，我在这里用课件把小棒抽象成线段，使学生直
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观看出现在摆成的不是三角形，而是两条平行线。
学生在小组中合作，交流发现，两边之和等于第三边时，也不能围成三角形。
归纳：通过刚才的活动我们发现了什么？ A：两边之和小于第三边时，围不成三角形。 B：两边之和等于第三边时，也围不成三角形。 3、引发猜想，实践验证
那么怎样的三根小棒能围成三角形呢？
学生可能会从前面的结论中总结出：两边之和大于第三边时可以围成三角形。是不是这样呢？我们再来看看大家刚才的作品，动手量量每根小棒的长度，在统计表中做一下记录，注意小棒的长度，由短到长填写。
第一根小棒长度 第二根小棒长度 第三根小棒长度 能否围成三角形
4厘米 5厘米 6厘米 √ 5厘米 6厘米 10厘米 √ 4厘米 5厘米 10厘米 X 4厘米 6厘米 10厘米 X 6厘米 6厘米 6厘米 √
引导学生填写“两根小棒之和大于第三根小棒”一栏时，教师提示学生是任意两根小棒和。通过观察表格再引导学生发现，只要两条短边的长度和大于最长的边，就一定会是任意两边的长度都大于第三边。
再引导学生寻找能围成三角形这几种情况中三条边之间的关系得到：三角形两条边长度的和大于第三边。
[设计思路]设计这部分主要是想让学生通过动手操作与分析，得出什么情况能围成三角形，什么情况围不成三角形，因而得出：三角形两边长度的和大于第三边。
（四）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样本 错题来源
49 错误率 20% 采集者 题 基型 本 48
** 采集 学校 *** 时 课 新授课时 机 型 课 第5单元 题目出处 过关检测 三角形的特性创设具体的问题情境，综合 √ 单元 √ 练习课 √
相关知识 使学生在积极地探索活动中发现“三角形任意两边的和大于第三边” （例3） 拓展 总复习 复习课 知识属性 陈述性知识(√ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 教学简学生在学习了三角形相关知识后的一次学习检测中出述 现的问题 ◆典型错题
一个等腰三角形，一条边长是10厘米，第二条边长是5厘米，第三条为（ ）厘米。
错误答案：5厘米。
◆原因分析
1．学生对于双重或多重条件的限制的题目时，他的注意力（尤其是一些后进生）往往只能照顾到一个，思考分析问题缺乏全面性。这里讲等腰三角形，学生往往只注重了等腰，即三角形的两条边要
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相等，而忽略了“三角形”——即构成三角形的必要条件：任意两边之和要大于第三边。这也是小学生认知发展过程中的思维不够严谨所致。
2．但令人费解的是，既然注重了等腰这个条件，这些学生为什么不选10厘米呢？我经过访谈后得知：其实学生对于构成三角形的必要条件因为题目中没有明确的提示，是一个隐含条件，他们压根儿就没有注意到。10厘米和5厘米只是任选其一而已。
◆教学建议
1．加强多重条件限制情况下，学生思辨能力和分析问题全面性的训练。
2．教师多设计条件开放题，如条件不足、条件多余、条件隐含，培养学生的思维品质。
3．对是否能构成三角形的必要条件在新授课时，要多让学生动手操作、体验，使之形成良好的数感。 ◆资源链接
一根17厘米长的绳子把它截成三段，可以拼成三角形的，有几种截法，你能写出多少种？（每条边长都是整厘米数）
（四）年级数学第（八）册学生错例
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采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 错误75% 率 第5单元 三角形 32 网络作业 三角形的分类 采集者 基本 题 综型 合 拓展 采集 *** 学校 新授 课时 课 课 练习 √ 时单元 √ 机 型 课 总复 复习√ 习 课 ** 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 这是第五单元“三角形”网络作业中的一道题。学教学简生之前已掌握了三角形的认识、按角分类、按边分类、述 三角形的内角和等相关知识，已经会用量角器度量“角”。 ◆典型错题 题目：判断：在同一个三角形中，最长边所对的角最大。（ ） 学生错解：× ◆原因分析
笔者访谈了出现上述错误的几位学生，大部分孩子受“角的大小与角两边的长短无关”的负迁移，干扰了对此题的判断，他们误以为“边的长短”与“边所对应角的大小”没有关系，所以想当然地认为此题“错误”。产生上述错误的原因有：一是教师在教学三角形的分类时，缺乏让孩子对“边的长短”与“所对角的大小”之间关系的感悟，致使大部分学生对此关系理解模糊；二是学生良好解题习惯的缺失，当学生对此题把握不定的时候，缺乏用“作图”的方法帮助理解的习惯。三是教师缺少让孩子对此题与“角的大小与角两边的长短无关”的比较和思辨。 ◆教学建议
1.加强对比感悟。在三角形分类的教学时，教师要重视对“边”与“所对角”之间的关系对比感悟。通过学生的观察、比较，体会到“在同一三角形中，长的边所对的角比较大，短的边所对的角比较小，相同的边所对的角是相等的”这一规律。
2.培养作图习惯。教师指导学生（特别是学困生）当理解此类问题有困难时，要养成先作图，再判断的习惯。
3.重视比较思辨。教师可以将“角的大小与两边长短无关”与“在同一个三角形中，最长边所对的角最大”这题放一起，让孩子进行比较思辨，从而使学生对此题的理解走向深入。 ◆资源链接
1. 观察发现，下列每个三角形中，哪条边所对的角最大？哪条边所对的角最小？你发现了什么？
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2.在同一个三角形中，相同边所对的角是相同的。对吗？（请画图说明）
（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误19% 采集** 采集 *** 31 错率 者 ** 学校 第五单元三角形 基 新授 课时 √ （人教版） 本 课 综√ 时 课 练习√ 人教版教与学43页 题单元 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 三角形的内角和 展 习 课 陈述性知识( √ ) 程序性知识( ) 策略性知识( ) 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 本内容是在学生学习了三角形的内角和这一个知教学简识后的一个综合性练习，在这题之前学生已经学习三角述 形的内角和是180°，将两个三角形靠在一起进行求内角度数并进行转换的练习。 ◆典型错题 题目： 已知：∠1=37°，∠2=55°，∠3=58°
求：∠4=（ ），∠5=（ ）
学生错解：∠4=67°， ∠5=76° ◆原因分析
学生理解了三角形的内角和是180°，也会做已知两个角的度数，求第三个角度数的题目，但是由于这道题的信息比较复杂，不少孩子不知道要求角4和角5的度数，必须先求出一个中间量——角4旁边的一个钝角，从而导致解题的障碍。究其原因，一是教师平时缺乏对孩子找中间量的训练；二是教材中缺少类似的题目。 ◆教学建议
1．弄清解题思路。本题的纠错教学，首先要让学生明白解题
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的思路，要想知道∠4的度数，必须先求出左边三角形中的未知角的大小，而这个角是180°—55°—58°=67°，再根据平角等于180°，求出∠4=180°—67°=113°，而当得到∠4的大小后，再根据三角形内角和，计算出35=180°—37°—113°=30°。
2．加强先求中间量问题的训练。可以出示类似的题目，然后让学生根据题目说说，“题目中告诉你什么信息？你还能想到什么？”通过这样的训练，培养孩子根据已有信息解决未知信息的能力，同时培养孩子求“中间量”的能力。
采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误26.采集** 采集 *** 44 错率 7% 者 学校 第六单元小数基√ 课时 √ 新授 加减法 本 课 综 时 练习√ 教材P99第5题 题 单元 课 合 型 机 型 课 用竖式计算小数加拓 总复 复习 减法，理解小数点展 习 课 对齐的算理 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 本节课是在学生初步掌握小数加减法的计算方法教学简的基础上，通过练习使学生进一步巩固小数加减法的法述 则，并能运用法则进行准确计算。 ◆典型错题： 9．8＋6.28＝7.26 0.704－0.25＝0.679
◆原因分析
教师方面：学生在第一课时的学习中都能自己理解并概括出计算小数加减法是时要小数点对齐，且第一课时的练习设计中小数点对齐与末尾对齐基本是一个样，错误很少,老师误认为学生已经真正明白了小数点对齐与末尾对齐的异同。
学生方面：
1.受思维定势的影响，由于从入学到现在，学生在计算加减法时都是末尾对齐,学生会在计算是习惯性地做成末尾对齐，没有考虑到小数加减法时由于小数位数的不同，末尾对齐反而不是相同数位上的数相加减了。
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2.学习习惯不好，首先缺少好的审题习惯，拿到习题，不认真分析，动笔就做，草草了事。其次缺少估算的验算意识。
教材方面：这题是巩固提升学生的计算技能，对于小学生来说显得枯燥无味，缺乏吸引力，导致了学生看到题目就匆匆去做，以完事为目的。 ◆教学建议
1.在第一课时的学习中，加强对“小数点对齐”这一算理理解的专题训练，如把小数位数相同与不同的横式改写成竖式，评一评议一议，为什么有的习题是末尾对齐有的就不是了。
2.培养先认真审题，再动笔做题的习惯。
3.加强估算教学，养成用估算来初步检查计算结果的习惯。 ◆资源链接 采集样本 错题来源 题目出处 相关知识 知识属性 （ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
误72．采集** 采集 *** 44 错7% 率 者 学校 第六单元小数加减基 新授√ 课时 √ 法 本 课 综√ 时 课 练习 作业本P42每2题 题单元 型 合 机 型 课 单位名数的转化及拓 总复 复习 小数加减法的计算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 这一习题的解答在生活中运用普遍，它是在学生掌握了教学简小数加减法的竖式计算及第四单元的复名数转化为单名数的基础上进行练习的。习题以填空的方式设计，对述 这类题的解题策略与解题步骤的掌握有所帮助。对下一节练习课中课本练习十六习题6有铺垫作用。 ◆典型错题 2吨35千克＋600千克=（2.35）吨＋(0.6)吨=(2.95)吨 36千米－８千米５6４米＝（36）千米－(8.564)千米=(28.564)千米
◆原因分析（可以从教师、学生、教材三个维度分析）
老师方面：
平时上课学生课堂独立作业时间短，同伴及与老师互动的评议时间很少，养成学生草草赶作业的坏习惯。对前一单元的单位名数的转化没有达到使每个同学都能正确转化。作业前不加指导。
学生方面：
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作业习惯不良，对习题的分析思考不到位，如千克与吨的转化，同一题中前半部分进率是100，后半部分是1000，发下去订正时大部分同学都能自己很快找到错误原因，计算马虎，没要求竖式计算很少有同学在竖式计算；缺少自觉验算的意识，有一部分同学发下去订正时还找不到方向，认为自己是对的。在提醒验算与竖式计算的情况下学生才反应过来。
教材方面：
单位名数的转化在第四单元学过，对大部分学生来说，这一知识点较难，既要考虑进率，又要考虑小数点的位置移动方向与位数，还是复名数到单名数，而且又隔了一段时间，今天又是小数加减法的第一课时，确实有一定的难度。 ◆教学建议
1．尽可能地留给学生课堂作业时间，以养成良好的作业习惯。 2．在作业前稍作指导，特别是单位转化的进率。 3．作为第一课时，可以要求学生竖式计算。 ◆资源链接
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误43采集** 采集 *** 44 错率 ．1% 者 学校 第六单元小数基√ 课时 √ 新授√ 加减法 本 课 作业本P46第3题 综 时 课 练习 单元 题 型 合 机 型 课 拓 总复 复习 小数的简便运算 展 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( √ ) 策略性知识( ) 55
以解决问题为契机，引导学生经历交流评判，通过多个有限的简算实例，帮助学生合情推出并理解加法运教学简算定律在小数运算中同样适用。接着选择课本做一做进述 行基本练习，再通过作业本1的凑数专项练习培养学生的数感与口算能力。最后让学生根据数据特点独立完成作业本3怎样简便就怎样算。 ◆典型错题 15.49-5.49+4.51 =15.49-(5.49+4.51) =15.49-10 =5.49
◆原因分析
1.思维定势的影响，学生看到怎样简便就样算，认为是一定可以简算的，而简算的运算顺序肯定有所变化。况5.49与4.51相加是能凑成10的.
2.学生没有真正透彻地理解运算定律，以凑整为主要目标，不管什么状况，以能凑整了就达到了简算的目的。
3.审题不全面，对加法的凑整比减法敏感等。 ◆教学建议
1.加强审题意识的培养，引导学生在动笔前对习题进行较全面地数据特点和运算符号的分析。通
过让学生看题说一说议一议怎样计算更简便。通过个体与个体、个体内部的碰撞，培养学生的数感与符号感。
2.分层教学，在计算前先让学生判断，哪些题运用运算规律简便，哪些题按原运算顺序计算合理。 ◆资源链接
（ 四 ）年级数学第（ 八 ）册学生错例
采集样37 错误54.05采集** 采集 *** 本 率 % 者 学校 错题来第八单元数学广角 题 基√ 时 课时 √ 课 新授√
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源 型 本 题目出书本 综 处 合 相关知两端都不植树问题 拓 识 展 知识属性 机 型 课 练习 单元 课 总复 复习 习 课 陈述性知识( ) 程序性知识( ) 策略性知识( √ ) 第八单元数学广角是关于植树问题的三种情况，这道题目是课本中的例2是关于不封闭图形中两端都不种教学简的植树问题，学生在前面学习中不封闭图形中两端都种述 的植树问题，而且对于间隔和棵数之间的关系也有了一定的理解。这道题目是采用了新课教学前让学生先进行尝试练习所出现的错误。 ◆典型错题： 大象馆和猩猩馆相距60米。同学们要在两馆间的小路两旁栽树，相邻两棵树之间的距离是3米。一共要栽几棵树？
错解①60÷3+1＝21（棵），21×2＝42（棵） 错解②60÷3－1＝19（棵） ◆原因分析
1. 从学生的角度看：
①学生对于审题还存在着一定问题，如对于理解两馆间栽树，两端是不能种的，没有考虑到跟前面学过的不封闭图形中两端都种的植树问题是有所区别的；同时对于小路两旁栽树是要求出一边植树的棵数后还要乘上2也忽视了。
②对于植树问题解题要根据实际情况进行分析，有些孩子对于独立的尝试练习就无从下手，不会思考，也不会借助一定的帮助的方法：如画图等。
2. 从教师的角度看：
对于独立尝试练习的形式是造成学生错误率高的一个原因，同时也说明很大一部分学生不会用自己的思维独立解决问题，教师要在学生的思维上加强启迪，对于解决问题的方法上也欠加强指导。 ◆教学建议
1．对于学生出现的种种错误，教师可以一一罗列在黑板上，请学生说说自己的想法，然后让学生自己展开讨论和辨析，对学生的答案进行判断。
2．运用画图法，理解和研究根据生活实际确定两端的植树情况、判断间隔数和棵数之间的关系：发现在一段直路上植树，如果两端都不种，植树的棵数比间隔数少1的现象。从而掌握这类植树问题的解决方法和思路。
3．通过一些针对性练习，掌握和建立植树问题的“数学模型”。
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练习：
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①两座楼房之间相距56米,每隔4米栽雪松一棵,一直行能栽多少棵?
②植树节到了，少先队员要在相距72米的两幢楼房之间种8棵杨树。如果两头都不栽，平均每两棵树之间的距离应是多少米？
③甲、乙两人在长300米的公路两旁栽树，每隔20米栽一棵柳树，在每相邻两棵柳树之间又栽上两棵梧桐树.已知甲比乙多栽树12棵，问甲、乙各栽树多少棵？
四年级下册典型错例知识结构分布表
错例 个数 加减混合运算（例1） 1 解决问乘除混合运算（例2） 积商之和（差）的混合运算（例3） 2 题 四则两个商（积）之和（差）的混合运算（例4） 4 运算 三步式含有小括号的三步计算式题（例5） 1 题 引导总有关0的运算（例6） 结 根据方向和距离两个条件确定物体的位置（例 1） 根据方向和距离，在图上绘出物体的位置（例 位置与方向 2） 体会位置关系的相对性（例3） 2 描绘并绘制简单的路线图。（例4） 加法交换律（例1） 加法运加法结合律（例2） 算定律 加法运算定律的运算（例3） 运算乘法运乘法交换律（例1） 定律算定律 乘法结合律（例2） 3 与简乘法分配律（例3） 3 便运连减的简便计算（例1） 2 算 2） 1 简便计加减法计算的灵活运用（例连除的简便计算（例3） 算 乘除的灵活运用（例4） 乘加的灵活运用（例5） 小数小数的小数的意义（例1） 2 的意意义和小数的读写（例2、3） 义和读写法 知 识 结 构
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性质 小数的性质和大小比较 生活中的小数 求一个小数的近似数 小数的性质（例1、2、3） 小数的大小比较（例4） 小数点位置移动引起小数大小的变化（例5、6） 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 生活中的小数（例1） 单名数、复名数的互化（例1、2） 求一个小数的近似数（例1） 不是整万或者整亿的数改写成用“万、亿”作单位的数（例2） 结合生活情境和具体操作活动，使学生抽象概括出三角形的特性，认识三角形各部分的名称及底和高的含义，学习用字母表示三角形。（例） 三角形1的特性 联系生活实际，让学生了解三角形的稳定性及其应用（例2） 创设具体的问题情境，使学生在积极地探索活动中发现“三角形任意两边的和大于第三边” （例3） 三角形 三角形让学生在给三角形分类的探索活动中发现和认的分类 识锐角三角形、直角三角形、钝角三角形及等腰三角形、等边三角形的特征。（例4） 三角形通过一系列的实验、操作活动，让学生推理归内角和 纳出三角形的内角和是180度。（例5） 通过拼、摆、画等活动，让学生进一步感受三图形的角形的特征及三角形与四边形的联系与区别。6） 拼组 感受数学的转化思想。（例让学生在图形的拼组、设计活动中进一步发展空间观念和动手操作、探索能力。（例7） 用竖式计算小数加减法，理解小数点对齐的算理（例1） 总结小数加减法的一般方法。（例2） 小数加减法混合运算。（两步为主，不超过三步。）（例小数3） 的加法 小数的简便运算。（例4） 认识了解折线统计图，了解折线统计图的特点。根据折线统计图回答简单的问题。根据数据的变化，体会统计统计 的作用（例1） 完成折线统计图。根据统计图解决问题。根据数据的变化进行合理的推测。（例2） 数学两端都种的植树问题。（例1） 广角 两端不种的植树问题。（例2）
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封闭图形的植树问题。（例3） 60
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