贝塞尔函数性质

Methods in Mathematical Physics

第十五章 贝塞尔函数

Bessel Function

第十五章 贝塞尔函数

Bessel Function

§15.2 贝塞尔函数的性质 Properties of Bessel Function

一、母函数关系式

e

x 1(t ) t 2

 J n (x)t

n



n

(1)

1k z e 󰀀z, z  k 0 k!  15.2 Bessel 函数的性质

1 x l

证明：Qe  ( t), t  

l 0 l! 2 x 1 x 

m

e 2t   (), t  0

2t m0 m!   x 1(t ) x x 1 x 1 x t 

m l22 t 2t ( ) e  e  ( t)  e 2t m0 m! l 0 l! 2

m

(1) x l m l m

 l !m! ( 2 ) t l 0 m0

x t2



一、母函数关系式

15.2 Bessel 函数的性质

x (t 1 

m

t )  (1) e

2

( x ) l m l m

l 0 m0 l

!m! 2 t 令 l  m  n, 则l m  n



 

l 0

mn0 



 m 

n

x 



(1)

nm

x 2mn n(t  1 ) e 2 t n m0( ) t (m n)!m! 2



  Jn (x)tn

n

J )  (1)k ( x )2k n n (x k 0 k!(n  k )! 2





f zd 1 zf z  c z b,c k1  k k 15.2 Bessel󰀀bl 2i z 函数的性质一、母函数关系式 kk x1(t) t e(x) 的积分表示？ 问：1.Jn 2  Jn (x)t n n󰀀(1) J 1  n (x)  2e i ( x sin n  ) d   或 J 1 

n (x)  0

cos(x sin  n )d2. Jn (x)的微分式？

3. J(x（)   n）有母函数关系吗？

x 2k ( ) (4)J (x)  15.2 Bessel !(  k 1) 2 k k 0 二、递推公式： 函数的性质  d [x J(x)]  x J(x) (2)  dx    1 d   [xJ (x)]  xJ 1 (x) (3)  dx  (1)k （1）可派生出其他递推公式 用途：

xJ (x) J(x) xJ 1 (x) (4)

?xJ (x) J (x)  xJ 1 (x) (5) 

2J (x)  J 1 (x) J 1 (x) (6)  n 2J(x) J 1 (x) J 1 (x) (7) x

J1 (x) 表，可计算出任一 J (x) J0 (x) 和 （2）只要查

二、递推公式：

x) (6) 2J (x)  J(x)  J( 15.2 Bessel  1  1 函数的性质

d (2)  1 (x) (x)]  x J  dx [x J  d [x J (x)]  x J 1 (x) (3)  dx

（3）可用来计算含J (x)的积分 用途：

(a)  2aJ 2 (a) 例1： xJ 0 (x)dx  ? aJ 1 3 2 a

3

0

例2：J1 (x)dx  ?

 J0 (x)  c  (x) J1 (x)  J0

J(x)dx  ? 例3： 3 

 J0 (x)  2J 2 (x)  c

三、正交性

a

2

n m

n l

15.2 Bessel 函数的性质

a 2 n

J ml (8) J (k  )J (k  )d n1 (k l a)n n 0

2

证明：Q  R ( ) R( )  (k   n)R( )  0

2

2

2

2

2 dR 2

 ()  (k n)R  0



dn d2  nn 2 n d dJ (k  ) 󰀀n m [] [(k m )   ]Jn (km  )  0 (9)

d dn 2 nd dJ (k  ) n 2 n

)  0 (10) [󰀀n l ] [(k dl )    ]Jn (kl 

dn

J n (k m  1,2,L, l,L m a)  0,

d

三、正交性

n m 2

15.2 Bessel 函数的性质

nd dJ ) n (k  n 2 n ] [(k m )   ]Jn (km 证明： [ )  0 (9) dn d2 nd dJ (k  ) n 2 n

(10) 󰀀n l )   ]J(k  )  0 n ll [] [(k d  a n dn

[(k ) (k )] J (k  )J (k  )da dl 0 n m n m n l n n

dJ (k  )   dJ (k ) a d n

n m  n l J(k) [n m ]d]d  0 J(k ) [ d d 0 n l n n n  dJ (dd  n ak  ) (k  ) dJ (k  ) dJ a    n 2

n 2



0

 )  (10)  J(k )]d : n m [(9)  Jn (kl

a

n

n

n l n m Jn (km ) n dl ]d0 0  ddn n n n

  dJ (k  ) a a dJ (k  ) dJ (k  ) n m n l Jn (kl ) n dm 0 0 ]d d d







 三、正交性

xJ (x) n m

n l

n l

n

15.2 Bessel ) xJ 1 (x J (x)  函数的性质 (5) [(k ) (k )] J (k  )J (k  )dn n 

n 2

m

n 2 l

0

a  [J (k  ) dJn (k  )  J (k  ) dJn (k  ) ] 0n m n l

ddn

n

m

a

 0 (Q Jn (k a)  0, m  1,2,L, l,L)

n m

1. 若m  l :

J (k  )J (k  )d  0 n n 0

n

mn 2n

l 2n n

l

a

n m n l

2. 若m  l, 令 m  l

aJ n (k a)J n (k a)k k lim (k )  (k ) k 0 J n (k  )J n (k  )dm l m l2n n n2

  akJ (k a)J (k a) a 2 n 2 l n m n l  lim  n 2 1 lnk m [Jn (kl a)]  a J n kl 2km (k a) 2 2 a

n m

n l

n

n

n

n

四、广义傅氏展开

15.2 Bessel 函数的性质

若f ( ) 在[0,a]上有连续的一阶导数，分段连续 的二阶导数，且 f ( )  0  有界，f ()  a  0 则

f ( ) c ) m J n (k 

n

m

m1



c m 

1

2

a2 n

J n1 (k m a) 2

f ( )J (k )d0

n

n m

a

四、广义傅氏展开

Z 15.2 Bessel 函数的性质

例4：一半径为a高为h的均匀圆柱体，其下底和侧面保持温度

 u  0, 0    a, (1) u(a, z)  0

(2) h  (,0)  0 (3) Y a 解： u(, h)  u (4) u X 0 

1. 令 u(, z) R( )Z (z)  Z   Z  0 (5)

(1) 2 2

  R  (k   0)R  0 (6)  R

2

为零度，上端温度为u0 ,求柱内的稳定温度分布。

(2) R(a)  0 (7);

2. 解本征值问题(6)(7)得

2

(3)  Z (0)  0 (8)

x

0

2

0

m k   () , Rm () J0 (km  ), m  1,2,L

a

四、广义傅氏展开

15.2 Bessel 函数的性质

解：3. 解方程（5）：

 Z  0 (5)  Z (z)  c sinh(k 0 z) Zm mm

(8)  Z (0)  0

4. 叠加，定系数： 

u(, z) cm sinh(k z)J 0 (k  )

0

m

0 m

m1

 cm sinh(k h)J 0 (k  )  u0

m1

a 1 cm 2 00 0 uJ(k )d20 0 m J (k a) sinh(k h) a0 

1 m m 2

0 m

0 m

四、广义傅氏展开

解：4. 叠加，定系数：

d 15.2 Bessel [x J (x)]  x J (x 1 ) 函数的性质 dx (2)  0 0

a

令 x  k 0 m

0

m 问：J1 (k a)＝0 ？ 1

1  J 0 2m 0 0 (k ) 1 0 xJ J (k  )d (x)dx k m

(k 0 a )

a

(k a)

m

0

cm



0

m

m

a

0

0

uJ(k )d0 0 m 2J (k a) sinh(k h) 0

a1 m

m

2 2u 󰀀0 0 0 (k a) sinh(k h)J (k 0 a)

2

0

m

m

1

m

2u ) 0 sinh(k z) J 0 (k  u 0 m1 xm sinh(k h) J 1 (k a)  0 m 0 m 0 m 0 m

五、小结 (贝塞尔函数的性质)

15.2 Bessel 函数的性质



n

x 1(t )

（1） 母函数关系式

e 2

t

  Jn (x)t

n

(1)

 d (2) 1 (x) （2） 递推公式： [x J (x)]  x Jdd x [x J (x)]  x J 1(x) (3) dx 2 aa2 n n n 

（3）正交性 Jn (km  )Jn (kl  )d 2 Jn1 (kl a)ml (8)

0

（4）广义傅氏展开 f ( )  c ) n (k  m J

n

m

m1



c m 1 2

a2 n J n1 (k m a) 2 f ( )J (k  )dn 0 n m a 15.2 Bessel 函数的性质

本节作业

15.2 : 2(3)(4)7 8(1)

习题