动量定理动量守恒在电磁感应中导轨与导体棒的应用—解析

一、单棒问题

【典例1】如图所示，AB杆受一冲量作用后以初速度v0=4m/s沿水平面内的固定轨道运动，经一段时间后而停止．AB的质量为m=5g，导轨宽为L=0.4m，电阻为R=2Ω，其余的电阻不计，磁感强度B=0.5T，棒和导轨间的动摩擦因数为μ=0.4，测得杆从运动到停止的过程中通过导线的电量q=10C，求：上述过程中 （g取10m/s）（1）AB杆运动的距离；（2）AB杆运动的时间； （3）当杆速度为2m/s时，其加速度为多大？ 【答案】（1） 0.1m；（2）0.9s；（3）12m/s． （2）根据动量定理有：﹣（F安t+μmgt）=0﹣mv0 而F安t=BLt=BLq，得：BLq+μmgt=mv0， 解得：t=0.9s

（3）当杆速度为2m/s时，由感应电动势为：E=BLv 安培力为：F=BIL，而I=

然后根据牛顿第二定律：F+μmg=ma 代入得：

解得加速度：a=12m/s，

25.（20分） 如图(a)，超级高铁(Hyperloop)是一种以“真空管道运输”为理论核心设计的交通工具，它具有超高速、低能耗、无噪声、零污染等特点。

如图(b)，已知管道中固定着两根平行金属导轨MN、PQ，两导轨间距为r；运输车的质量为m，横截面是半径为r的圆。运输车上固定着间距为D、与导轨垂直的两根导体棒1和2，每根导体棒的电阻为R，每段长度为D的导轨的电阻也为R。其他电阻忽略不计，重力加速度为g。 (1)如图(c)，当管道中的导轨平面与水平面成θ=30°时，运输车恰好能无动力地匀速下滑。求运输车与导轨间的动摩擦因数μ；

(2)在水平导轨上进行实验，不考虑摩擦及空气阻力。

①当运输车由静止离站时，在导体棒2后间距为D处接通固定在导轨上电动势为E的直流电源，此时导体棒1、2均处于磁感应强度为B，垂直导轨平向下的匀强磁场中，如图(d)。求刚接通电源时运输车的加速度的大小；（电源内阻不计，不考虑电磁感应现象）

2

2

2

﹣2

A v0 B R B

②当运输车进站时，管道内依次分布磁感应强度为B，宽度为D的匀强磁场，且相邻的匀强磁场的方向相反。求运输车以速度vo从如图(e)通过距离D后的速度v。

【典例3】 如图所示,水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab.导轨的一端连接电阻R，其他电阻均不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下,金属棒ab在一水平恒力F作用下由静止开始向右运动．则

( )

A．随着ab运动速度的增大，其加速度也增大 B．外力F对ab做的功等于电路中产生的电能

C．当ab做匀速运动时，外力F做功的功率等于电路中的电功率

D．无论ab做何种运动，它克服安培力做的功一定等于电路中产生的电能 【答案】CD

【典例4】 一个闭合回路由两部分组成，如图所示，右侧是电阻为r 的圆形导线,置于竖直方向均匀变化的磁场B1中，左侧是光滑的倾角为θ的平行导轨，宽度为d，其电阻不计．磁感应强度为B2的匀强磁场垂直导轨平面向上,且只分布在左侧,一个质量为m、电阻为R的导体棒此时恰好能静止在导轨上,分析下述判断正确的是 ( )

A．圆形导线中的磁场，可以方向向上且均匀增强，也可以方向向下且均匀减弱 B．导体棒ab受到的安培力大小为mgsin θ C．回路中的感应电流为

mgsin θ

B2dm2g2sin2θ

D．圆形导线中的电热功率为(r＋R) 22

B2 d【答案】ABC

【解析】根据左手定则，导体棒上的电流从b到a，根据电磁感应定律可得A项正确；根据共点力平衡知识，导体棒ab受到的安培力大小等于重力沿导轨向下的分力，即mgsin θ，B项正确；根据mgsin θ＝

mgsin θmgsin θ2m2g2sin2 θ2

B2Id，解得I＝，C项正确；圆形导线的电热功率P=Ir=()r=r,D项错误. 2

B2dB2dB22d【典例4】如图甲所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ相距为L，导轨平面与水平面夹角为α，金属棒

ab垂直于MN、PQ放置在导轨上，且始终与导轨接触良好，金属棒的质量为m。导轨处于匀强磁场中，磁

场的方向垂直于导轨平面斜向上，磁感应强度大小为B。金属导轨的上端与开关S、定值电阻R1和电阻箱

R2相连。不计一切摩擦，不计导轨、金属棒的电阻，重力加速度为g。现在闭合开关S，将金属棒由静止

释放。

(1) 判断金属棒ab中电流的方向；

(2) 若电阻箱R2接入电路的阻值为0，当金属棒下降高度为h时，速度为v，求此过程中定值电阻上产生的焦耳热Q；

(3) 当B＝0.40 T，L＝0.50 m，α＝37°时，金属棒能达到的最大速度vm随电阻箱R2阻值的变化关系，如图乙所示。取g＝10 m/s，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80。求R1的阻值和金属棒的质量m。 12

【答案】 (1)b→a (2)mgh－mv (3)2.0 Ω 0.1 kg

2

(3)金属棒达到最大速度vm时，切割磁感线产生的感应电动势：E＝BLvm 由闭合电路的欧姆定律得：I＝

2

ER1＋R2

从b端向a端看，金属棒受力如图所示

金属棒达到最大速度时，满足：mgsin α－BIL＝0 由以上三式得vm＝

mgsin α

(R2＋R1) B2L2

60－30－1－1－1－1

m·s·Ω＝15 m·s·Ω，纵轴截距v＝30 m/s 2

由图乙可知：斜率k＝所以

mgsin αmgsin α

R1＝v，＝k 22

BLB2L2

解得R1＝2.0 Ω，m＝0.1 kg

24．如图所示，相距L=0.4 m、电阻不计的两平行光滑金属导轨水平放置，一端与阻值R=0.15 Ω的电阻相

连，导轨处于磁感应强度B=0.5 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于导轨平面向里。质量m=0.1 kg、电阻r=0.05 Ω的金属棒置于导轨上，并与导轨垂直。t=0时起棒在水平外力F作用下以初速度v0=2 m/s、加速度a=1 m/s2沿导轨向右匀加速运动。求： （1）t=2 s时回路中的电流； （2）t=2 s时外力F大小； （3）前2 s内通过棒的电荷量。

【答案】（1）4 A （2）0.9 N （3）6 C

【解析】（1）t=2 s时，棒的速度为：v1=v0+at=2+1×2=4 m/s 此时由于棒运动切割产生的电动势为：E=BLv1=0.5×0.4×4 V=0.8 V 由闭合电路欧姆定律可知，回路中的感应电流：IE0.8A4ARr0.150.05 （2）对棒，根据牛顿第二定律得：F?BIL=ma 解得F=BIL+ma=0.5×4×0.4+0.1×1=0.9 N

121at22146m22 Δ根据法拉第电磁感应定律得：EΔt E根据闭合电路欧姆定律得IRr ΔBLx通过棒的电荷量：qIΔt6CRrRr （3）t=2 s时棒的位移xv0t【名师点睛】（1）棒向右匀加速运动，由速度时间公式求出t=1 s时的速度，由E=BLv求出感应电动势，由闭合电路欧姆定律求解回路中的电流。

（2）根据牛顿第二定律和安培力公式求解外力F的大小。

（3）由位移时间公式求出第2 s内棒通过的位移大小，由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电荷量公式求解电荷量。

2．如图所示，两根足够长平行金属导轨MN、PQ固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，顶部接有一阻值R＝3 Ω的定值电阻，下端开口，轨道间距L＝1 m．整个装置处于磁感应强度B＝2 T的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向上．质量m＝1 kg的金属棒ab置于导轨上，ab在导轨之间的电阻r＝1 Ω，电路中其余电阻不计．金属棒ab由静止释放后沿导轨运动时始终垂直于导轨，且与导轨接触良好．不计空气阻力影响．已知金属棒ab与导轨间动摩擦因数μ＝0.5，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，取g＝10 m/s2.

(1)求金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm；

(2)求金属棒ab沿导轨向下运动过程中，电阻R上的最大电功率PR；

(3)若从金属棒ab开始运动至达到最大速度过程中，电阻R上产生的焦耳热总共为1.5 J，求流过电阻R的总电荷量q.

解析：(1)金属棒由静止释放后，沿斜面做变加速运动，加速度不断减小，当加速度为零时有最大速度vm.

由牛顿第二定律得mgsin θ－μmgcos θ－F安＝0 F安＝BIL，I＝

BLvmR＋r

，解得vm＝2.0 m/s

(2)金属棒以最大速度vm匀速运动时，电阻R上的电功率最大，此时PR＝I2R，解得

PR＝3 W

(3)设金属棒从开始运动至达到最大速度过程中，沿导轨下滑距离为x，由能量守恒定律得

1

mgxsin θ＝μmgxcos θ＋QR＋Qr＋2mv2m QRR

根据焦耳定律Q＝r，解得x＝2.0 m

r根据q＝I Δt，I＝

R＋rE

ΔΦBLx

E＝Δt＝Δt，解得q＝1.0 C 答案：(1)2 m/s (2)3 W (3)1.0 C

26．CD、EF是水平放置的电阻可忽略的光滑平行金属导轨，两导轨距离水平地面高度为H，导轨间距为

L，在水平导轨区域存在方向垂直导轨平面向上的有界匀强磁场（磁场区域为CPQE），磁感应强度大小为B，如图所示。导轨左端与一弯曲的光滑轨道平滑连接，弯曲的光滑轨道的上端接有一电阻R。将一阻值也为R的导体棒从弯曲轨道上距离水平金属导轨高度h处由静止释放，导体棒最终通过磁场区域落在水平地面上距离水平导轨最右端水平距离x处。已知导体棒质量为m，导体棒与导轨始终接触良好，重力加速度为g。求：

（1）电阻R中的最大电流和整个电路中产生的焦耳热。 （2）磁场区域的长度d。

mgx22mRg【答案】（1）Qmgh（2）d222ghx4H BL2H

【解析】（1）由题意可知，导体棒刚进入磁场的瞬间速度最大，产生的感应电动势最大，感应电流最大

由机械能守恒定律有：mgh解得：v112mv12

2gh

由法拉第电磁感应定律得：EBLv1由闭合电路欧姆定律得：IE2R

联立解得：IBL2gh2R

12gt2

由平抛运动规律可得：xv2t,H解得：v2xg2H 由能量守恒定律可知整个电路中产生的焦耳热为：

【名师点睛】对于电磁感应问题两条研究思路：一条从力的角度，重点是分析安培力作用下导体棒的平衡问题，根据平衡条件列出方程；另一条是能量，分析涉及电磁感应现象中的能量转化问题，根据动能定理、功能关系等列方程求解。

【典例9】如图所示，水平放置的足够长平行导轨MN、PQ的间距为L=0.1m，电源的电动势E=10V，内阻r=0.1Ω，金属杆EF的质量为m=1kg，其有效电阻为R=0.4Ω，其与导轨间的动摩擦因素为μ=0.1，整个装置处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度B=1T，现在闭合开关，求： （1）闭合开关瞬间，金属杆的加速度； （2）金属杆所能达到的最大速度；

（3）当其速度为v=20m/s时杆的加速度为多大？（g=10m/s，不计其它阻力）． 【答案】（1）1m/s；（2）50m/s；（3）0.6m/s． 【解析】（1）根据闭合电路欧姆定律，有：I=安培力：FA=BIL=1×20×0.1=2N 根据牛顿第二定律，有：a=

【典例10】如图所示，长平行导轨PQ、MN光滑，相距l

2

2

2

0.5m，处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T

的匀强磁场竖直向下穿过导轨面．横跨在导轨上的直导线ab的质量m =0.1kg、电阻R =0.8Ω，导轨电阻不计．导轨间通过开关S将电动势E =1.5V、内电阻r =0.2Ω的电池接在M、P两端，试计算分析： （1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？随后ab的加速度、速度如何变化？ （2）在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度υ =7.5m/s沿导轨向右运动？试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）． 【答案】见解析

设最终达到的最大速度为υm，根据上述分析可知：EBlm0 所以mE1.5m/s=3.75m/s． Bl0.80.5（2）如果ab以恒定速度7.5m/s向右沿导轨运动，则ab中感应电动势

E'Blv0.80.57.5V=3V

E'E31.5由于E＞E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：IA=1.5A

Rr0.80.2''直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为

F'BlI'0.80.51.5N=0.6N

所以要使ab以恒定速度v7.5m/s向右运动，必须有水平向右的恒力F0.6N作用于ab．

上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点： ①作用于ab的恒力（F）的功率：P'Fv0.67.5W=4.5W

22②电阻（R +r）产生焦耳热的功率：PI(Rr)1.5(0.80.2)W=2.25W

③逆时针方向的电流I，从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的形式储存起来．电池吸收能量的功率：PIE1.51.5W=2.25W 由上看出，P'''P'P''，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）．

3．如图所示，一对足够长的平行光滑金属导轨固定在水平面上，两导轨间距为L，

左端接一电源，其电动势为E、内阻为r，有一质量为m、长度也为L的金属棒置于导轨上，且与导轨垂直，金属棒的电阻为R，导轨电阻可忽略不计，整个装置处于磁感应强度为B，方向竖直向下的匀强磁场中．

(1)若闭合开关S的同时对金属棒施加水平向右恒力F，求棒即将运动时的加速度和运动过程中的最大速度；

(2)若开关S开始是断开的，现对静止的金属棒施加水平向右的恒力F，一段时间后F

再闭合开关S；要使开关S闭合瞬间棒的加速度大小为m，则F需作用多长时间．

解析：(1)闭合开关S的瞬间回路电流I＝

ER＋r

金属棒所受安培力水平向右，其大小FA＝ILB FA＋F

由牛顿第二定律得a＝m 整理可得a＝

FLB＋m

R＋rmE

金属棒向右运动的过程中，切割磁感线产生与电源正负极相反的感应电动势，回路中电流减小，安培力减小，金属棒做加速度逐渐减小的加速运动，匀速运动时速度最大，此时由平衡条件得FA′＝F

由安培力公式得FA′＝I′LB BLvm－E

由闭合电路欧姆定律得I′＝ R＋rFR＋rE

联立求得vm＝B2L2＋BL (2)设闭合开关S时金属棒的速度为v， BLv－E

此时电流I″＝

R＋r

F－FA″

由牛顿第二定律得a″＝m FBLv－E

所以加速度a″＝－LB

mR＋rm

FBLv－EFF＝ －LB若加速度大小为m，则mR＋rmmEE2FR＋r

解得速度v1＝BL，v2＝BL＋B2L2 F

未闭合开关S前金属棒的加速度一直为a0＝m 解得恒力F作用时间

v1mEv2mE2mR＋rt1＝a＝FBL或t2＝a＝FBL＋B2L2

00答案：(1)

EFFR＋rE

LB＋m B2L2＋BL R＋rm

mEmE2mR＋r

(2)FBL或FBL＋B2L2 【典例8】如图所示，在水平面内有一个半径为a的金属圆盘，处在竖直向下磁感应强度为B的匀强磁场中，金属圆盘绕中心O顺时针匀速转动，圆盘的边缘和中心分别通过电刷与右侧电路相连，圆盘的边缘和中心之间的等效电阻为r，外电阻为R，电容器的电容为C，单刀双掷开关S与触头1闭合，电路稳定时理想电压表读数为U，右侧光滑平行水平导轨足够长，处在竖直向下磁感强度也为B的匀强磁场中，两导轨电阻不计，间距为L，导轨上垂直放置质量为m，电阻也为R的导体棒，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，求：

（1）金属圆盘匀速转动的角度ω；

（2）开关S与触头2闭合后，导体棒运动稳定时的速度v． 【答案】（1）

；（2）

．

（2）根据动量定理得：F△t=mv﹣0， 而F△t=BIL△t=BL△q， 电荷的变化量△q=C△U， 电压的变化量△U=U﹣U′=U﹣BLv 则mv=BLC（U﹣BLv）

解得：v=

【典例11】 光滑U型金属框架宽为L，足够长，其上放一质量为m的金属棒ab，左端连接有一电容为C的电容器，现给棒一个初速v0，使棒始终垂直框架并沿框架运动，如图所示。求导体棒的最终速度。

【答案】

练习：如图所示，水平放置的金属导轨宽为L，质量为m的金属杆ab垂直放置在导轨上，导轨上接有阻值为R的电阻和电容为C的电容器以及电流表。竖直向下的匀强磁场的磁感应强度为B。现用水平向右的拉力使ab杆从静止开始以恒定的加速度向右做匀加速直线运动，电流表读数恒为I，不计其它电阻和阻力。求：

（1）ab杆的加速度。 （2）t时刻拉力的大小。

8. 平行金属导轨MN竖直放置于绝缘水平地板上如图所示，金属杆PQ可以紧贴导轨无摩擦滑动，导轨间除固定电阻R外，其他电阻不计，匀强磁场B垂直穿过导轨平面，导体棒PQ质量为M，闭合S，同时让金属杆PQ自由下落，试确定稳定时， (1)金属杆的速度是多少？

(2)若将固定电阻R换成一个耐压值足够大的电容器，电容为C.闭合S的同时，释放金属杆，试求稳定状态下回路的电流． 【答案】 (1)Δv(2)a＝①

ΔtΔE＝Δu＝BLΔv②

MgRBLCmg 22 (2)22

BLBLC＋mI＝

ΔQ③ ΔtΔQ＝CΔu④

将①②③④得：I＝BLaC⑤

对金属杆由牛顿第二定律，得Mg－BIL＝ma⑥ 由⑤⑥得a＝

mg，⑦

BL2C＋m2

BLCmgI＝22.⑧

BLC＋m【典例12】如图所示, 竖直放置的光滑平行金属导轨, 相距l , 导轨一端接有一个电容器, 电容量为C, 匀强磁场垂直纸面向里, 磁感应强度为B, 质量为m的金属棒ab可紧贴导轨自由滑动. 现让ab由静止下滑, 不考虑空气阻力, 也不考虑任何部分的电阻和自感作用. 问金属棒的做什么运动？棒落地时的速度为多大？

【答案】v2ah2mgh 22mCBl【解析】：ab在mg 作用下加速运动，经时间 t ，速度增为v，a =v / t 产生感应电动势 E=Bl v

电容器带电量 Q=CE=CBl v，感应电流I=Q/t=CBL v/ t=CBl a 产生安培力F=BIl =CB2 l 2a，由牛顿运动定律 mg-F=ma ma= mg - CB l a ，a= mg / (m+C Bl )

∴ab做初速为零的匀加直线运动, 加速度 a= mg / (m+C B l ) 落地速度为v2

2

2

2

2

2

2ah2mghmCB2l2

25．（18分）如图，在竖直平面内有两条间距为L的足够长的平行长直金属导轨，上端接有一个阻值为R的电阻和一个耐压值足够大的电容器，电容器的电容为C，且不带电。质量为m的导体棒ab垂直跨在导轨上，接触良好。导轨所在空间有垂直导轨平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。S为单刀双掷开关。现将开关S接1，由静止释放导体棒ab。已知重力加速度为g，不计导轨和导体棒的电阻，不计一切摩擦。

(1)当金属棒向下运动的速度为v1时，电容器所带的电量q； (2) 求导体棒ab下落h高度时的速度大小v2；

(3)当速度为v2时迅速将开关S接2，请分析说明此后导体棒ab的运动情况；并计算导体棒ab在开关接2后又下落足够大的高度H的过程中电阻R上所产生的电热Q。

2mghm2ghm3g2R225、【答案】（1）CBLv1 （2） （3）mgH 2244mB2L2CmBLC2BL（1）金属棒向下以速度为v1切割磁感线产生的感应电动势 EBLv1 （2分）

电容器所带电荷量 qCECBL1v （2分）

（2）设在t时间内，金属棒速度变化为v，

金属棒产生的感应电动势变化

电容器两极板电压变化

EBLv（1分） UBLv（1分）

v（1分） 电容器所带电荷量变化 qCUCBL金属棒中的电流

IqvCBLCBL（a1分） tt对金属棒，由牛顿第二定律有：mgBILma（1分）

联立解得 amg （1分）

mB2L2C可以看出加速度与时间无关，说明金属棒做匀加速直线运动， 设金属棒沿导轨向下运动h时的速度为v2，由v22ah （1分）

解得 v222mgh （1分） 22mBLC(3)此时迅速将开关S接2。若重力大于安培力，则棒先做加速运动后做匀速运动；若重力等于于安培力，则棒做匀速运动；若重力小于安培力，则棒先做减速运动后做匀速运动。

B2L2v3因为最后匀速，所以由平衡条件 mgF安 （2分）

RmgR （1分） B2L21122对导体棒在该过程使用动能定理： mgHW克安mv3mv2 （2分）

22解得

v3故此过程中电阻R上产生的电热：QW克安m2ghm3g2R2mgH （1分） 2244mBLC2BL双杆模型前提条件都是光滑导轨：

21．两固定水平平行金属导轨间距为L，导轨上放着两根相同导体棒ab和已知每根导体棒质量均为m，电

阻均为R，导轨光滑且电阻不计，整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感强度为B，开始时ab和cd两导体棒有方向相反的水平初速度，大小分别为v0和2v0。 （1）求从开始到最终稳定的过程中回路总生的焦耳热； （2）当d棒的速度大小变为v0/4时，求：

①通过d棒的电荷量为多少？ ②两棒间的距离增大了多少？ 【答案】（1）

3mv05mv03mv0R5mv0R92

或q2②x1或 mv0（2）①q1x2222244BL4BL2BL2BL

【解析】（1）从开始到最终稳定的过程中，两棒总动量守恒，则有：2mv0–mv0=2mv 解得：vv02

由能量守恒可得从开始到最终稳定回路中产生的焦耳热为：

（2）分析两棒运动的情况可知，ab棒的速度大小为v0/4有两种情况：

1．当ab棒速度未反向时，即vabv0，设此时cd棒的速度为v1，由动量守恒定律：42mv0mv0m解得：v15v04

v0mv14

2．当ab棒速度反向时，即vab解得：v2v0，设此时cd棒的速度为v2，由动量守恒定律： 43v04

①对棒由动量定理可得：F安tmv其中F安=BIL E=BL(vcd–vab) q=It

带入两种情况可知：当vab解得：q1v0v时，BLq2mv0m044

5mv0解得：q24BL

3mv0R5mv0RBLx②由q可得：x1或 x22R2R2B2L22B2L2当vab22．如图所示，在大小为B的匀强磁场区域内跟磁场方向垂直的平面中有两根固定的足够长的金属平行导

轨，在导轨上面平放着两根导体棒ab和cd，两棒彼此平行，构成一矩形回路。导轨间距为l，导体棒的质量都是m，电阻各为R，导轨部分电阻可忽略不计。设导体棒可在导轨上无摩擦地滑行，初始时刻ab棒静止，给cd棒一个向右的初速v0，求 （1）当cd棒速度减为0.8v0时加速度；

（2）从开始运动到最终稳定，电路中产生的电能多大； （3）两棒之间距离增长量x的上限。

3mv04BL

v0v时，BLq1mv0m044

0.3B2l2v0mRv12【答案】（1）a（2）Qmv0（3）x220

mR 4Bl

【解析】（1）设当cd棒速度减为0.8v0时ab棒的速度为v'，由动量守恒定律

mv00.8mv0mv①

解之得：v0.2v0此时回路的电流是

IBl0.80.2v02R②

cd棒的加速度为aBIl③ m0.3B2l2v0解得：amR

（2）据动量守恒定律，设两棒稳定时共同的末速度为v

mv0mmv④

得：vQ12112⑤ mv0mmv2mv02241v02

25．(18分)如图,金属平行导轨MN、M’N’和金属平行导执PQR、P’Q’R’分别同定在高度差为h(数值未知)的水平台面上。导轨MN、M'N’左端接有电源,MN与M’N’的间距为L=0.10m线框空间存在竖直向上的匀强磁场,磁感应强度B1=0.20T;平行导轨PQR与P’Q’R’的间距为L=0.10m,其中PQ与P’Q’是圆心角为60°、半径为r=0.50m的圆弧导轨,QR与Q’R’是水平长直导轨,QQ’右侧有方向竖直向上的匀强磁场,磁感应强度B2=0.40T。导体棒a质量m1=0.02kg,电阻R1=2,0Ω,放置在导轨MN、M’N’右侧N’N边缘处;导体棒b质量m2=0.04kg,电阻R2=4.0Ω放置在水平导轨某处。闭合开关K后,导体棒a从NN’水平抛出,恰能无碰撞地从PP’处以速度v1=2m/s滑入平行导轨,且始终没有与棒b相碰。重力加速度g=10m/s,不计一切摩擦及空气阻力。求 (1)导体棒b的最大加速度。

(2)导体棒a在磁场B2中产生的焦耳热。 (3)闭合开关K后,通过电源的电荷量q。

25．(1) am0.02m/s （2）Q0.02J （3）q1c

【解析】试题分析：设a棒在水平轨道上时的速度为v2，根据动能定理求出速度，因为a棒刚进入磁场时，

22

ab棒中的电流最大，b受到的力最大，加速度最大，再根据电磁感应定律和牛顿第二定律即可求出加速

度；两个导体棒在运动过程中，动量守恒和能量守恒，当两棒的速度相等时回路中的电流为零，此后两棒做匀速运动，两棒不在产生焦耳热，根据动量守恒和能量守恒，即可求出导体棒a在磁场中产生的焦耳热；设接通开关后，a棒以速度v0水平抛出，根据动量定理即可通过电源的电荷量。 （1）设a棒在水平轨道上时的速度为v2，根据动能定理：

m1grrcos600解得：v2=3m/s

112 m1v2m1v1222 （2分）

因为a棒刚进入磁场时，ab棒中的电流最大，b受到的力最大，加速度最大，所以有： 电动势为： EB2Lv2电流为： I （1分）

（1分）

ER1R2根据牛顿第二定律： B2ILm2amax联立以上解得： amax0.02m/s2 （1分）

（1分）

（2）两个导体棒在运动过程中，动量守恒和能量守恒，当两棒的速度相等时回路中的电流为零，此后两棒做匀速运动，两棒不在产生焦耳热，所以 根据动量守恒： m1v2m1m2v3 （2分）

由能量守恒定律：

1122 m1v2m1m2v3QaQb22 （2分）

QaR1 QbR2 （2分）

由于ab棒串联在一起，所以有：

解得： Qa0.02J

（1分）

0（3）设接通开关后，a棒以速度v0水平抛出，则有： v0v1cos601m/s对a棒冲出过程由动量定理： B1ILtm1v0 即： B1Lqm1v0 （2分）

（1分）

代入数据解得：q=1C （2分）

如图，MN、PQ为两根足够长的水平放置的平行金属导轨，间距L＝1 m；整个空间以OO′为边界，左侧有垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1 T，右侧有方向相同、磁感应强度大小B2＝2 T的匀强磁场。两根完全相同的导体棒a、b，质量均为m＝0.1 kg，与导轨间的动摩擦因数均为μ＝0.2，其在导轨间的电阻均为R＝1 Ω。开始时，a、b棒均静止在导轨上，现用平行于导轨的恒力F＝0.8 N向右拉b棒。假定a棒始终在OO′左侧运动，b棒始终在OO′右侧运动，除导体棒外其余电阻不计，滑动摩擦力和最大静摩擦力大小相等，g取10 m/s2。

①a棒开始滑动时，求b棒的速度大小；

②当b棒的加速度为1.5 m/s2时，求a棒的加速度大小；

③已知经过足够长的时间后，b棒开始做匀加速运动，求该匀加速运动的加速度大小，并计算此时a棒中电流的热功率。

【答案】(1)0.2 m/s (2)0.25 m/s2 (3)0.4 m/s2 0.078 4 W

25．（19分）如图所示，PQ和MN是固定于倾角为30o斜面内的平行光滑金属轨道，轨道足够长，其电阻可忽略不计。金属棒ab、cd放在轨道上，始终与轨道垂直，且接触良好。金属棒ab的质量为2m、cd的质量为m，长度均为L、电阻均为R；两金属棒的长度恰好等于轨道的间距，并与轨道形成闭合回路。整个装置处在垂直斜面向上、磁感应强度为B的匀强磁场中，若锁定金属棒ab不动，使金属棒cd在与其垂直且沿斜面向上的恒力F=2mg作用下，沿轨道向上做匀速运动。重力加速度为g；

（1）试推导论证：金属棒cd克服安培力做功的功率P安 等于电路获得的电功率P电；

（2）设金属棒cd做匀速运动中的某时刻t0=0，恒力大小变为F′=1.5mg，方向不变，同时解锁、静止释放金属棒ab，直到t时刻金属棒ab开始做匀速运动；求：

①t时刻以后金属棒ab的热功率Pab； ②0～t时刻内通过金属棒ab的电量q； 25．解：

（1）金属棒cd做匀速运动的速度为v，

P E=BLv I=E/2R ○2 M FA=IBL ○3 金属棒cd克服安培力做功的功率P安 FAv ○4 =

30o d b 30 oQ B c a 1 ○N

E2电路获得的电功率P电= ○5

2RB2L2v2由1○2○3○4 P安 ○6 =○2RB2L2v21○3○5P电= ○7 ○2R所以：P安8 = P电 ○

（评分标准：①○2○4○5各式1分，○3○6○7○8各式0.5分，共6分。其他解法正确同样给分。）

（另解：金属棒cd做匀速运动的速度为v，cd杆受力平衡有

联立解得I根据：

3mg33mgR ， F安mg ， v22 2BL2BL9m2g2RP所以：P） 电安2B2L2（2）①金属棒ab做匀速运动，则有I1BL=2mgsin30o ○9

金属棒ab的热功率Pab=I12R ○10

m2g2R由9○10解得：Pab= ○11 ○B2L2（评分标准：○9、○11各式2分，○10式1分，共5分。其他解法正确同样给分。） ②设t后时刻金属棒ab做匀速运动速度为v1，金属棒cd也做匀速运动的速度为v2； 由金属棒ab、金属棒cd组成系统动量守恒：

mv=2mv1+m v2 ○12

回路电流

I1=

BL(v2v1) ○13

2R由9○12○13解得：金属棒ab做匀速运动速度为v1=○

mgR ○14

3B2L20～t时刻内对金属棒a b分析：在电流为i的很短时间t内，速度的该变量为v由动量定理得： 对○15进行求和得：

解得BLq-mgt=2mv1 ○17

2m2gR3mgB2L2t由14○15解得：q= ○18 ○3B3L3（评分标准：○12○13○14○16○17○18各式1分，○15式2分，共8分。其他解法正确同样给分。） （或：设ab、cd杆之间距离变化量为x，则：

设任意时刻，ab杆速度为v1，cd杆速度为v2，利用微元求和可得： 对ab杆进行动量定理：

B2L2(v2v1)t2mgsin30ot2mv 联立可得：2R0tB2L2x2mgsin30ot2mv1 求解得：

2R同样可以得到答案）

如图所示，平行金属导轨与水平面间夹角均为θ= 370 ，导轨间距为 lm ，电阻不计，导轨足够长．两根金属棒 ab 和 a ' b ’的质量都是0.2kg ，电阻都是 1Ω ，与导轨垂直放置且接触良好，金属棒和导轨之间的动摩擦因数为0.25 ，两个导轨平面处均存在着垂直轨道平面向上的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度 B 的大小相同．让a’, b’固定不动，将金属棒ab 由静止释放，当 ab 下滑速度达到稳定时，整个回路消耗的电功率为 8W ．求 ( 1 ) ab 达到的最大速度多大？ ( 2 ) ab 下落了 30m 高度时，其下滑速度已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量 Q 多大？ ( 3）如果将 ab 与 a ' b’同时由静止释放，当 ab 下落了 30m 高度时，其下滑速度也已经达到稳定，则此过程中回路电流的发热量 Q ’为多大？ ( g =10m / s2 , sin370 =0.6 ,cos370 =0 . 8 )

1. 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨cd和ef水平放置，在其左端连接倾角为θ=37°的光滑金

属导轨ge、hc，导轨间距均为L=1m，在水平导轨和倾斜导轨上，各放一根与导轨垂直的金属杆，金属杆与导轨接触良好．金属杆a、b质量均为M=0.1kg，电阻Ra=2Ω、Rb=3Ω，其余电阻不计．在水平导轨和斜面导轨区域分别有竖直向上和竖直向下的匀强磁场B1、B2，且B1=B2=0.5T．已知从t=0时刻起，杆a在外力F1作用下由静止开始水平向右运动，杆b在水平向右的外力F2作用下始终保持静止状态，且F2=0.75+0.2t（N）．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，g取10m/s2） （1） 判断杆a的电流方向并通过计算说明杆a的运动情况； （2） 从t=0时刻起，求1s内通过杆b的电荷量；

（3） 若从t=0时刻起，2s内作用在杆a上的外力F1做功为13.2J，则求这段时间内杆b上产生的热量．

【答案】（1）杆a做加速度为a=4m/s2的匀加速运动（2）0.2C （3）6J

2. 如图所示，两条光滑的金属导轨相距L=lm，其中MN段平行于PQ段，位于同一水平面内，NN0

段与QQ0段平行，位于与水平面成倾角37°的斜面内，且MNN0与PQQ0均在竖直平面内。在水平导轨区域和倾斜导轨区域内分别有垂直于水平面和斜面的匀强磁场B1和B2，且B1=B2=0.5T。ab和cd是质量均为m=0.1kg、电阻均为R=4Ω的两根金属棒，ab置于水平导轨上，ab置于倾斜导轨上，均与导轨垂直且接触良好。从t=0时刻起，ab棒在外力作用下由静止开始沿水平方向向右运动（ab棒始终在水平导轨上运动，且垂直于水平导轨），cd受到F=0.6-0.25t（N）沿斜面向上的力的作用，始终处于静止状态。不计导轨的电阻。（sin37°=0.6） （1） 求流过cd棒的电流强度Icd随时间t变化的函数关系：

（2） 求ab棒在水平导轨上运动的速度vab随时间t变化的函数关系； （3） 求从t=0时刻起，1.0s内通过ab棒的电荷量q；

（4） 若t=0时刻起，l.0s内作用在ab棒上的外力做功为W=16J，求这段时间内cd棒产生的焦耳

热Qcd。

【答案】（1）0.5t （2）8t （3）0.25C （3）6.4J

3. 如图所示，两条平行的金属导轨相距L＝1 m，金属导轨的倾斜部分与水平方向的夹角为37°，整

个装置处在竖直向下的匀强磁场中．金属棒MN和PQ的质量均为m＝0.2 kg，电阻分别为RMN＝1 Ω和RPQ＝2 Ω.MN置于水平导轨上，与水平导轨间的动摩擦因数μ＝0.5，PQ置于光滑的倾斜导轨上，两根金属棒均与导轨垂直且接触良好．从t＝0时刻起，MN棒在水平外力F1的作用下由静止开始以a＝1 m/s2的加速度向右做匀加速直线运动，PQ则在平行于斜面方向的力F2作用下保持静止状态．t＝3 s时，PQ棒消耗的电功率为8 W，不计导轨的电阻，水平导轨足够长，

MN始终在水平导轨上运动．求： (1) 磁感应强度B的大小；

(2) t＝0～3 s时间内通过MN棒的电荷量； (3) 求t＝6 s时F2的大小和方向；

(4) 若改变F1的作用规律，使MN棒的运动速度v与位移x满足关系：v＝0.4x，PQ棒仍然静止

在倾斜轨道上．求MN棒从静止开始到x＝5 m的过程中，系统产生的热量． 【答案】（1）2T （2）3C （3）-5.2N 负号表示方向沿斜面向下（4）

20J 3如图所示足够长的导轨上，有竖直向下的匀强磁场，磁感强度为B，左端间距L1=4L，右端间距L2=L。现在导轨上垂直放置ab和cd两金属棒，质量分别为m1=2m，m2=m；电阻R1=4R，R2=R。若开始时，两棒均静止，现给cd棒施加一个方向向右、大小为F的恒力，求： （1）两棒最终加速度各是多少； （2）棒ab上消耗的最大电功率。

a c L1 b B L2 F d