中考数学精选例题解析：因式分解

知识考点：

因式分解是代数的重要内容,它是整式乘法的逆变形,在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解,以提高综合解题能力。 精典例题： 【例1】分解因式：

（1）x3yxy3

（2）3x318x227x （3）x1x1

2（4）4xy2yx

23分析：①因式分解时,无论有几项,首先考虑提取公因式。提公因式时,不仅注意数,也要注意字母,字母可能是单项式也可能是多项式,一次提尽。

②当某项完全提出后,该项应为“1” ③注意ab2n2n2n12n1ba,abba

④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前,字母因数在后；单项式在前,多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围,一般在有理数范围内分解。

答案：（1）xyxyxy； （2）3xx3；

2 （3）x1x2； （4）2xy2xy

2【例2】分解因式：

（1）x23xy10y2

1

（2）2x3y2x2y212xy3

2（3）x4216x2

分析：对于二次三项齐次式,将其中一个字母看作“末知数”,另一个字母视为“常数”。首先考虑提公因式后,由余下因式的项数为3项,可考虑完全平方式或十字相乘法继续分解；如果项数为2,可考虑平方差、立方差、立方和公式。（3）题无公因式,项数为2项,可考虑平方差公式先分解开,再由项数考虑选择方法继续分解。

答案：（1）x2yx5y；（2）2xyx3yx2y；（3）x2x2

22【例3】分解因式：

（1）4x24xyy2z2；

（2）a3a2b2a2b （3）x22xyy22x2y3

分析：对于四项或四项以上的多项式的因式分解,一般采用分组分解法,。四项式一般采用“二、二”或“三、一”分组,五项式一般采用“三、二”分组,分组后再试用提公因式法、公式法或十字相乘法继续分解。

答案：（1）2xyz2xyz（三、一分组后再用平方差） （2）a2ba1a1（三、二分组后再提取公因式） （3）xy3xy1（三、二、一分组后再用十字相乘法） 【例4】在实数范围内分解因式：

（1）x44； （2）2x23x1

答案：（1）x22x2x2

2

 （2）2x317317x 44【例5】已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a2b2c2abbcac,求证：△ABC

为等边三角形。

分析：此题给出的是三边之间的关系,而要证等边三角形,则须考虑证abc,从已知给出的等式结构看出,应构造出三个完全平方式abbcca0,即可

222得证,将原式两边同乘以2即可。

略证：a2b2c2abbcac0 2a22b22c22ab2bc2ac0 abbcca0

222 ∴abc

即△ABC为等边三角形。 探索与创新： 【问题一】

（1）计算：11111 111222223910 分析：此题先分解因式后约分,则余下首尾两数。

解：原式＝1111111111111111 2233991010 ＝

1323910911 223489101011 20 ＝

22000219992199822212 （2）计算：200222001 3

分析：分解后,便有规可循,再求1到2002的和。

解：原式＝200220012002200120001999200019992121 ＝2002＋2001＋1999＋1998＋…＋3＋1 ＝

200212002

2 ＝2 005 003

【问题二】如果二次三项式x2ax8（a为整数）在整数范围内可以分解因式,那么a

可以取那些值？

分析：由于a为整数,而且x2ax8在整数范围内可以分解因式,因此可以肯定

x2ax8能用形如x2pqxpq型的多项式进行分解,其关键在于将－8分解为

两个数的积,且使这两个数的和等于a,由此可以求出所有可能的a的值。

答案：a的值可为7、－7、2、－2 跟踪训练： 一、填空题： 1、9n22、分解因式：

2；2a22；am1bamc＝ 。

x22xyy2＝ ；

x27xy18＝ ；

xy210xy25＝ 。

3、计算：1998×2002＝ ,2724627232＝ 。 4、若a2a10,那么a2001a2000a1999＝ 。

4

5、如果282102n为完全平方数,则n＝ 。

6、m、n满足m2n40,分解因式x2y2mxyn＝ 。 二、选择题：

1、把多项式ab1ab因式分解的结果是（ ）

A、a1b1 B、a1b1 C、a1b1 D、a1b1 2、如果二次三项式x2ax1可分解为x2xb,则ab的值为（ ）

A、－1 B、1 C、－2 D、2 3、若9x2mxy16y2是一个完全平方式,那么m的值是（ ）

A、24 B、12 C、±12 D、±24

4、已知2481可以被在60～70之间的两个整数整除,则这两个数是（ ）

A、61、63 B、61、65 C、61、67 D、63、65 三、解答题：

1、因式分解：

（1）6xn114xn8xn1

2（2）x3x22x23x8

（3）a2b22ab2b2a1 （4）x1x2x3x41

（5）1a21b24ab

2、已知x26x8yy2250,求2x3y的值。

5

3、计算：10029929829722212 4、观察下列等式： 1312 132332 13233362

13233343102……

想一想,等式左边各项幂的底数与右边幂的底数有何关系？猜一猜可引出什么规律？用等式将其规律表示出来： 。

5、已知a、b、c是△ABC的三边,且满足a4b2c2b4a2c2,试判断△ABC的形状。

阅读下面解题过程：

解：由a4b2c2b4a2c2得：

a4b4a2c2b2c2 ① a2b2a2b2c2a2b2 ②

 即a2b2c2 ③ ∴△ABC为Rt△。 ④

试问：以上解题过程是否正确： ；若不正确,请指出错在哪一步？（填代号） ；错误原因是 ；本题的结论应为 。

参考答案

一、填空题：

6

1、3n,2a,amabc；2、xy,x9x2,xy5

223、3 999 996 610；4、0；5、10或4；6、xy2xy2 二、选择题：DADD 三、解答题

1、（1）2xn1x13x4； （2）x1x2x4x1

2 （3）ab1； （4）x5x5

22 （5）1abab1abab

2、32 3、5050

nn14、1234n 22333335、不正确,③,等式两边除以了可能为零的数,等腰或直角三角形。

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